三次函数与导数--例题与练习答案
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三次函数与导数例题与练习答案
例1.(14全国大纲卷文21,满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.
解：（Ⅰ）2()363f x ax x '=++，2
()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）.
（ⅰ）当a ≥1时，△≤0，则()0f x '≥恒成立，且()0f x '=当且仅当1,1a x ==-，故此时()f x 在R 上是增函数.
（ⅱ）当1a <且0a ≠，时0>∆，()0f x '=
有两个根：12x x =
=
， 若01a <<，则12x x <, 当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在
21(,),(,)x x -∞+∞上是增函数；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在21(,)x x 上是减函数；
若0 上是减函数；当),(21x x x ∈21(,)x x x ∈时，()0f x '>，故()f x 在),(21x x 上是增函数； （Ⅱ）当0>a 且0>x 时, 0363)(2 >++='x ax x f ,所以 当0a >时，()f x 在区间（1，2）是增函数. 当0a <时， ()f x 在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得5 04 a - ≤<. 综上，a 的取值范围是5 [,0)(0,)4 -+∞. 例2.(14安徽文数 20)（本小题满分13分） 设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >。（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性； （1） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. （Ⅰ） ()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2 ()123f x a x x '=+-- 令()0f x '=，得121211,33 x x x x --+= =< 所以12()3()()f x x x x x '=--- 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>， 故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞和内单调递减，在12(,)x x 内单调递增 （Ⅱ）因为0a >，所以120,0x x <> （ⅰ）当4a ≥时，21x ≥，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，1]上单调递增， 所以()f x 在 0x =和1x =处分别取得最小值和最大值 （ⅱ）当04a <<时，21x <，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，2x ]上单调递增，在[2x ，1] 上单调递减，因此()f x 在213 x x -+==处取得最大值 又(0)1,(1)f f a ==，所以 当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值； 当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值； 当04a <<时，()f x 在0x =处取得最小值。 例4.（14年天津文科19,满分14分）已知函数232 ()(0),3 f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在 2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围 解：（Ⅰ）由已知，有2 ()22(0)f x x ax a '=-> 令()0f x '=，解得0x =或1x a = 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是10, a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递减区间是(,0)-∞，1,a ⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭ ， 当0x =时，()f x 有极小值，且极小值(0)0f =； 当1 x a = 时，()f x 有极大值，且极大值2113f a a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （Ⅱ）解：由3(0)02f f a ⎛⎫== ⎪ ⎝⎭ 及（Ⅰ）知，当30,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x <设集合{()|(2,)}A f x x =∈+∞，集合1 { |(1,),()0}() B x f x f x =∈+∞≠，则“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆，显然，0B ∉. 下面分三种情况讨论： （1）当 322a >，即304a <<时，由302f a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 可知，0A ∈，而0B ∉，所以A 不是B 的子集。 （2）当3122a ≤ ≤，即33 42 a ≤≤时，有(2)0f ≤，且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减，故(,(2))A f =-∞，因而(,0)A ⊆-∞； 由(1)0f ≥，有()f x 在(1,)+∞上的取值范围包含(,0)-∞，则(,0)B -∞⊆所以，A B ⊆ （3）当312a <，即2 3 a >时，有(1)0f <，且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减， 故1,0,(,(2))(1)B A f f ⎛⎫ ==-∞ ⎪⎝⎭ ，所以A 不是B 的子集。 综上，a 的取值范围是33,42 ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 课后练习、作业 1.设.221 31)(23ax x x x f ++-=. (1)若)(x f 在),3 2 (+∞上存在单调递增区间,求a 的取值范围；