第6章第2讲 等差数列及其前n项和(习思用.数学理)
§6.2 等差数列及其前n项和
11
方法技巧
方法1 等差数列的判定与证明的方法
1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(d为同一个常数,n∈N*); (2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*). 2.解选择题、填空题时,可用通项公式法或前n项和法直接判断. (1)通项公式法:若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数,即an=An+B (A≠0),则{an}是等差数列; (2)前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数), 则{an}为等差数列.
2.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn= d2 n2+
a1
d 2
n.
非零数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和Sn=f(n)是关于n的二
次函数或一次函数且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A2+B2≠0).
7
3.在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最
5
考向突破 考向 等差数列性质的应用
例2 (2019届黑龙江南岗区模拟,14)等差数列{an}、{bn}满足:对任意n
∈N*,都有 an = 2n 3 ,则 a7 + a5 =
.
bn 4n 9 b3 b9 b4 b8
解析 由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6,a7+a5=2a6.
15)
=n2-14n.
令bn=2n-15≤0,解得n≤7.
第2讲等差数列及其前n项和(学生版)
第2讲 等差数列及其前n 项和,1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做a ，b 的 ． 2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝ ．(2)前n 项和公式：S n ＝ ＝ ． 3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则 ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为 ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．1. 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( )A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项2. 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( )A ．45B ．54C ．63D ．274．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________．等差数列的基本运算(高频考点)(1)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A ．172 B ．192 C ．10 D ．12(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8[题点通关]角度一 求公差d 、项数n 或首项a 11．已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．3角度二 求通项或特定项2．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．等差数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列．等差数列的性质及最值(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198 D ．297(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________．(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．[通关练习]1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．402．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 173．等差数列{a n }中，如果 a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66——整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________．1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．152．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．123．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( )A ．20B ．17C ．42D ．84 4．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．1215．在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )A ．95B ．100C ．135D ．806．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．97．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________．9．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于________．10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当k ≥2时，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则S n 的最大值为________．11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n (n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 0152 015＝2，则S 2 019的值为________．13．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．14．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．。
等差数列前n项和知识点归纳总结
等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。
其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。
一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。
通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。
这种方法适用于数列项数较多的情况。
2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。
这种方法适用于数列项数较少的情况。
三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。
考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。
根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。
因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。
第六章 6.2等差数列及其前n项和
5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝_n__a_1＋2__a_n__或Sn＝_n_a_1_＋__n_n_2－__1__d__.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 大 值；若a1<0，d>0，则Sn存在 最 小 值.
解析 方法一 设等差数列{an}的公差为d， 则 a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝a21＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋ 36d＝27， 解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.
方法二 ∵S9＝a1＋2 a9×9＝27， ∴a1＋a9＝6， ∴a2＋a8＝2a5＝6， ∴a5＝3， 则a2a5＋a8＝3a2＋a8＝0， 即2a2＋6＝0， ∴a2＝－3，则a8＝9，
题组三 易错自纠 4.一个等差数列的首项为215，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公差
d 的取值范围是
8 A.d>75
3 B.d<25
83 C.75<d<25
√D.785<d≤235
解析 由题意可得aa91≤0>11，， 所以785<d≤235.故选 D.
即215＋9d>1， 215＋8d≤1，
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.等差数列的定义 从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数 ，我们称这样的数列为等差 数列，称这个常数为等差数列的 公差 ，通常用字母_d_表示． 2.等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是_a_n_＝__a_1_＋__(n_－__1_)_d_ 3.等差中项 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差 中项．
知识讲解_基础_等差数列及其前n项和
等差数列及其前n 项和【学习目标】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【学习策略】数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n 项和公式的性质特点。
注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及1a 、n 、d 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量。
【要点梳理】要点一、等差数列的定义 文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
要点诠释：⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d （即公差）； 符号语言形式对于数列{}n a ,若1n n a a d --=(n N +∈，2n ≥,d 为常数)或1n n a a d +-=(n N +∈，d 为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d 叫做等差数列的公差。
要点诠释：定义中要求“同一个常数d ”，必须与n 无关。
等差中项如果a ,A ,b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即2ba A +=. 要点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。
任意两实数a ，b 的等差中项存在且唯一. ②三个数a ,A ,b 成等差数列的充要条件是2ba A +=. 要点二、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式首相为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为：推导过程： （1）归纳法：根据等差数列定义1n n a a d --=可得：1n n a a d -=+， ∴211(21)a a d a d =+=+-，32111()2(31)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-， 43111(2)3(41)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-，……d n a a n )1(1-+=当n=1时，上式也成立∴归纳得出等差数列的通项公式为：d n a a n )1(1-+=（n N +∈）。
第二节 等差数列及其前n项和
等差数列及其前n项和 结 束
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
等差数列及其前n项和 结 束
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第二节等差数列及其前n项和课件
若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝
.
解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝－2，a2＋ a6＝2，所以－2＋d＋（－2）＋5d＝2，解得d＝1.由等 差数列的前n项和公式，得S10＝10×（－2）＋ 10×（210－1）×1＝25.
答案：25
题组二 易错自纠
常见误区：①等差数列概念中的两个易误点，即同
1.已知数列{an}满足a1＝－23，an＋1＝－3a2na＋n－43（n∈N*）.
（1）证明：数列an＋1 1是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
（1）证明：因为an＋1＋1＝
－2an－3 3an＋4
＋1＝
an＋1 3an＋4
，
所以an＋11＋1＝3aann＋＋14＝3＋an＋1 1，所以an＋11＋1－an＋1 1＝
2.等差数列的有关公式
（1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d；an＝am＋
（n－m）d.
（2）前n项和公式：Sn＝na1＋
n（n－1）d 2
＝
n（a1＋an） 2
.
3.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.
（1）若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝
2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
3，所以an＋1 1是首项为a1＋1 1＝3，公差为3的等差数列.
（2）解：由（1）得an＋1 1＝3n，所以an＝31n－1.
2.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和
为Sn，且Sk＝110. （1）求a及k的值；
（2）设数列{bn}的通项公式bn＝
Sn n
，证明：数列{bn}
是等差数列，并求其前n项和Tn.
等差数列及其前n项和全面总结
S 2 n1 T2 n1
.
基础自测
1.(2009·辽宁){an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0, 则公差d= A.-2 解析 （ B ） B. 1 C.1 D.2 2 2 根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1,
1 ∴a1=1.又∵a3=a1+2d=0,∴d= . 2
3.（2009·福建）等差数列{an}的前n项和为Sn,且
S3=6,a3=4,则公差d等于 A.1 解析 B. 5 C.2 3 设{an}首项为a1,公差为d, （ C ） D.3
3 2 则S3=3a1+ d=3a1+3d=6, 2
a3=a1+2d=4,∴a1=0,d=2.
4.已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6+a7+a8
知能迁移 2 设 {an} 是一个公差为 d (d≠0) 的等差数 列，它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列. （1）证明a1=d; （2）求公差d的值和数列{an}的通项公式. （1）证明 而{an}是等差数列，有a2=a1+d,a4=a1+3d. 于是(a1+d)2=a1(a1+3d),
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 d 2 d n (a1 )n Sn = 2 . 2 数列 {an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式
Sn=f（n）是n的 二次函数或一次函数且不含常数
项，即Sn= An2+Bn，（A2+B2≠0） .
7.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最 大 值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最 小 值.
a17 a9 24 ∴d= =3, 17 9 8 ∴an=a9+(n-9)·d=3n-63,an+1=3n-60,
课件5：6.2 等差数列及其前n项和
• 2．等差数列的通项公式 • 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的
通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项 如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．
4．等差数列的常用性质
[答案] 6
考向二 等差数列的判定或证明 例 2 (2015·江南十校联考)若数列{an}满足：a1＝23， a2＝2,3(an＋1－2an＋an－1)＝2. (1)证明：数列{an＋1－an}是等差数列； (2)求使a11＋a12＋a13＋…＋a1n＞52成立的最小的正整数 n.
思路点拨 由题设条件构造(an＋1－an)－(an－an－1)的值，并累 加求和．
∴a11＋
1 a2
＋…
＋a1n＝
3[(11－
1 2
)＋
(12－
1 3
)＋
…＋
(1n－
n＋1 1)＝
3·(1－n＋1 1)＞52
∴n＞5
n 的最小值为 6.
拓展提高 等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个 常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2 后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－ an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列． (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意 正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
(1)证明：数列{ann}是等差数列； (2)设 bn＝3n· an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (1)证明 由已知可得na＋n＋11＝ann＋1，即na＋n＋11－ann＝1，所以 {ann}是以a11＝1 为首项，1 为公差的等差数列．
等差数列及其前n项和(解析版)
等差数列及其前n 项和一、学习目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 二、知识讲解知识点一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 知识点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 通项公式的推广：a n ＝ (2)等差数列的前n 项和公式 S n ＝知识点三 等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 知识点四 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 知识点五 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 三、例题辨析考点一 等差数列基本量的运算【典例1】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。
第六章§6.2 等差数列及其前n项和课件
题组三 易错自纠
5.(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，
则下列结论正确的是
√A.d<0
C.S9>S5
√B.a7＝0 √D.S6与S7均为Sn的最大值
解析 S6＝S5＋a6>S5， 则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6， 则a7＝0， 则d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8<S7，a8<0， 则a9<0， 又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0， ∴S5>S9， 由a7＝0，a6>0知S6，S7是Sn中的最大值. 从而ABD均正确.
解析 ∵a4＋a8＝20，
∴a1＋3d＋a1＋7d＝20，
即a1＋5d＝10，
①
a7＝a1＋6d＝12，
②
②－①得d＝2.
4.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝ __1_2_6____.
解析 由已知可得a21a＋1＋2d5＝d＝2，10， 解得ad1＝＝6－. 10， ∴S9＝9a1＋9×2 8d＝－90＋36×6＝126.
(2)等差中项
a＋b
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝ 2 .
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
(2)前n项和公式：Sn＝ na1＋nn－ 2 1d
na1＋an 或Sn＝ 2
.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是 公差为 md 的等差数列.
第2讲-等差数列及其前n项和
第2讲-等差数列学习提纲与学习目标1、掌握等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的求法2、熟练掌握等差数列的性质，并能利用这些性质解决相应问题1．等差数列的定义对于数列{}n a ，如果对任意的*1()n n N ≥∈，都有1n n a a d +-=（常数），则称{}n a 为等差数列，常数d 叫这个等差数列的公差。
如,,a b c 三个数成等差数列，则称b 为,a c 的等差中项。
2．等差数列的通项公式若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为1(1)n a a n d =+-。
3．等差数列的前n 项和公式2111()(1)()2222n n n a a n n d d d S na n a n +-==+=+-；4. 数列{}n a 是等差数列2n S An Bn ⇔=+(,A B 为常数)nS n⇔为等差数列。
5．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．(3)a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)a n.例1（1）（2018全国I ）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12（2）（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ,则“0d >”是465"+2"S S S >的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】（1）32433343332133233()S S S S S a a S S d S d a d a d d =+⇒=-++=+⇒=⇒=⇒+=， 因12a =，故3d =-，故51410a a d =+=-，选C 。
等差数列的前n项和-概念解析
数学教育
等差数列的前n项和公式是数学 教育中的重要内容，是中学数学
课程中的必修知识点。
在物理领域的应用
物理学中的周期性现象
等差数列的前n项和公式可以用于描述物理学中的周期性现象，例如声音的振 动、波动等。
物理学中的序列问题
等差数列的前n项和公式可以用于解决物理学中的序列问题，例如在研究粒子运 动、流体动力学等领域中，可以通过等差数列的前n项和公式来描述一系列物理 量的变化规律。
解答
由于该等差数列是偶数项，所以它的前10项和等于中间两 项之和（第5项和第6项）乘以10除以2，即$(3 - 3) times 10 / 2 = 0$。
习题三：等差数列前n项和的实际应用问题
01 总结词
02 详细描述
03 应用1
04 应用2
05 应用3
掌握等差数列前n项和在实 际问题中的应用
等差数列前n项和在实际问 题中有着广泛的应用，如 计算存款、贷款、工资等 问题。
总结词
详细描述
公式
示例
解答
理解等差数列前n项和的 概念
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和，可以通过公式 或递推关系式来求解。
$S_n = frac{n}{2} times (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$是首项，$d$是公 差，$n$是项数。
求等差数列$1, 3, 5, 7, ldots$的前5项和。
等差数列前n项和的公式推导
等差数列前n项和的公式可以通过数学归 纳法进行推导。
化简得：$S_{k+1} = frac{(k+1)}{2}(2a_1 + kd)$，所以当n=k+1时，公式也成立。
课件7：§6.2 等差数列及其前n项和
2．设公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a4＝2(a2＋a3)，
则Sa71＝(
)
A．－7
B．14
C．7
D．－14
解析：由 a4＝2(a2＋a3)，得 a1＋3d＝2(a1＋d＋a1＋2d)，即 d＝－a1，
7(a1＋a1＋6d)
所以Sa71＝
2 a1
＝－14，故选 D.
答案：D
12，n＝1， 故 an＝－2n(n1－1)，n≥2.
方法技巧
等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
对于 n≥2 的任意自然数，
定义法
an-an-1 为同一常数 {an}是
等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法 2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N*) 成立 {an}是等差数列
通项公式法
an=pn+q(p,q 为常数)对任意
2．两个正项数列{an}，{bn}(n∈N*)中，已知 an，b2n，an＋1 成等差 数列，b2n，an＋1，b2n＋1成等比数列，证明：数列{bn}是等差数列．
证明：由题意知2b2n＝an＋an＋1，① a2n＋1＝b2nb2n＋1，② 又{an}，{bn}为正项数列， ∴an＋1＝bn·bn＋1，代入①式得 2b2n＝bn－1·bn＋bn·bn＋1(n≥2)， ∴2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，∴数列{bn}是等差数列．
等差数列及其前n项和讲义
等差数列与其前n 项和一、等差数列的相关概念〔一〕等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差．．．．．．．．．．．．．．．．等于同一个常数．．．．．．．，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
利用：“1+n a －n a ＝d (d 为常数)〞判断一个数列是否是等差数列。
注意：〔1〕如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是等差数列；〔2〕等差数列要求这个常数必须一样；〔3〕公差d ： d ＝1+n a －n a ＝n a －1-n a (n ≥2)；〔4〕当d ＝0时，数列为常数数列；当d ＞0，数列为递增数列；当d ＜0，数列为递减数列；〔5〕公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。
〔二〕、等差数列的通项公式如果等差数列{n a }的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是n a ＝．1a ＋．(n ．．－．1)．．d ，或者通项公式的变形：n a ＝．m a ＋．(n ．．－．m)．．d 。
〔三〕、等差中项：〔1〕由三个．．．数．a ，．A ．，．b ．组成的等差数列，．．．．．．．．A ．叫做．．a 和．b ．的等差中项，如此．．．．．．．．2A ．．＝．a ＋．b ．；． 〔2〕假如在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2n a ＝1-n a ＋1+n a 。
〔3〕 特别地：在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，如此B ＝600。
例1：数列{n a }为等差数列3a ＝54，7a ＝－74，如此15a ＝____________。
【根本量法】【解析】 －314.变式练习1：假如等差数列{n a }的公差d ≠0，且1a ，2a 是关于x 的方程x 2－3a x ＋4a ＝0的两根，求数列{n a }的通项公式。
【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1a 1＋d ＝a 1＋3d ，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2，a n ＝2n .变式练习2：〔1〕方程x 2－6x ＋1＝0的两根的等差中项为________。
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第二讲等差数列及其前n项和
考点1等差数列
1.在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.设等差数列{a n}满足a2=7,a4=3,S n是数列{a n}的前n项和,则使得S n>0成立的最大的自然数n是()
A.9
B.10
C.11
D.12
3.[2017张掖市高三一诊]等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为() A.{1} B.{1,} C.{} D.{0,,1}
考点2等差数列的前n项和
4.[2018贵阳市高三摸底考试]设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=2a3,则=()
A. B. C. D.
5.[2018长郡中学高三实验班选拔考试]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4+a12-a8=8,
a10-a6=4,则S23=()
A.23
B.96
C.224
D.276
6.[2017河南省郑州市高三一测][数学文化题]《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布.则该女最后一天织多少尺布?()
A.18
B.20
C.21
D.25
考点3等差数列的性质
7.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0,若a k=a1+a2+a3+…+a7,则k=()
A.22
B.23
C.24
D.25
8.已知数列{a n}为等差数列,a1+a2+a3=3,a5+a6+a7=9,则a4=.
9.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=.
答案
1.B∵a1+a5=2a3=10,∴a3=5,则公差d=a4-a3=2,故选B.
2.A由题意可得{a n}的公差d=-
-
=-2,a1=9,所以a n=-2n+11,故{a n}是递减数列,且
a5>0>a6,a5+a6=0,于是S9=·9>0, S10=·10=0,S11=·11<0,故选A.
3.B因为数列{a n}是等差数列,所以设数列{a n}的通项公式为a n=a1+(n-1)d,则
a2n=a1+(2n-1)d,所以=-
-=-
-
.因为是一个与n无关的常数,所以a1-d=0或
d=0.若a1=d≠0,则=;若a1≠0,d=0,则=1.所以该常数的可能值的集合为{1,}.故选B.
4.D===.故选D.
5.D设等差数列{a n}的公差为d,依题意得a4+a12-a8=2a8-a8=a8=8,a10-a6=4d=4,解得d=1,所以a8=a1+7d=a1+7=8,解得a1=1,所以S23=23×1+×1=276,选D.
6.C依题意得,织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列,设为{a n},其中a1=5,前30项和为390,于是有=390,解得a30=21,即该织女最后一天织21尺布,选C.
7.A因为a k=a1+(k-1)d=(k-1)d,a1+a2+a3+…+a7=7a4=7a1+21d=21d,所以k-1=21,得k=22.故选A.
8.2解法一因为数列{a n}为等差数列且a1+a2+a3=3,a5+a6+a7=9,所以
(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)=12,即6a4=12,得a4=2.
解法二设数列{a n}的公差为d,因为a1+a2+a3=3,a5+a6+a7=9,所以(a5-a1)+(a6-a2)+(a7-a3)=6,即12d=6,所以d=,代入a1+a2+a3=3,即a4-3d+a4-2d+a4-d=3中,得3a4-6d=3a4-3=3,所以a4=2.
9.5设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已
知条件,得奇偶
,
偶奇,解得
偶
,
奇
又S偶-S奇=6d,所以d=-=5.。