数学物理方法答案(5) 刘连寿
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第五章
5.1
二阶线性常微分方程
百度文库
二阶线性常微分方程解的一般性质 5.2 常点邻域内的幂级数解法
(为待定参数) ，在 z 0 的邻域内的级 1. 求厄米特方程 2 z 0，
数解。 解： （1）级数的形式。由于 p( z ) 2 z 和 q( z ) 在 z0 0 解析，故 z0 是 厄米特方程的常点。级数解具有下述形式
（3） 因 c2 0 ，故 c5 c8 0 3. 方程的通解
w( z ) c0
c0 z 3k c1 z 3k 1 z k 1 3k (3k 1) 6 5 3 2 k 1 (3k 1)3k 7 6 4 3
4. 由初始条件定 c0 , c1 由
k 2 k 0
2c2 [( k 2)( k 1)ck 2 ck 1 ]z k 0
k 1
c2 0, ck 2
ck 1 ( k 2)( k 1)
即 ck
ck 3 k (k 1)
亦即 c3k
c3k 3 3k (3k 1)
（1） 用 c0 表示 c3k
(k 2)(k 1)Ck 2 (2k )Ck 0
整理后即得待定系数的递推公式
Ck 2 2k Ck (k 2)(k 1)
（3）
（3）归纳出通项表达式，得级数解。由（3）式可见，偶次幂项系数 与奇次幂项系数是互不相干的，可以分别用 C0 和 C1 表示
( z ) Ck z k
k 0
（1）
（2）系数递推公式。将（1）式代入厄米特方程，由同次幂项系数之 和为零，得
Ck k (k 1) z k 2 2 z Ck kz k 1 Ck kz k 0
k 0 k 0 k 0
（2）
在第一个求和公式中，k=0，1 项均为零，故可将通项中的求和指标 加 2，相应地将求和号中的求指标减 2，得
C2 k 2(2k 2) 4k 4 C2 k 2 C2 k 2 2k (2k 1) 2k (2k 1) (4k 4 ) 2(2k 2 2) C2 k 2 2 2k (2k 1) (2k 2)(2k 2 1) (4k 4 )(4k 8 ) C2 k 4 2k (2k 1)(2k 2)(2k 3) (4k 4 )(4k 8 ) (4 )( ) C0 (2k )! (4k 2 )(4k 6 ) (6 )(2 ) C1 (2k 1)!
C2 k
（4）线性无关的解为
0 ( z ) C2 k z 2 k , 1 ( z ) C2 k 1 z 2 k 1
k 0 k 0
厄米特方程的通解是 0 ( z ) 与 1 ( z ) 的线性组合
2. 试用级数解法求在 z0 0 邻域内艾里方程 z 0 满足初始条件
(0) 1, (0) 0 的解。
解： 1. 解的形式 系数 p( z ) 0, q( z ) z 在 z0 0 解析， z0 是方程的常点 解的形式为： w( z ) ck z k
k 0
2. 系数递推公式 将 w( z ) 代入方程
k (k 1)ck z k 2 ck z k 1 0
Ck k (k 1) z k 2 Ck 2 (k 2)(k 1) z k
k 2 k 0
这样（2）式可写成
(k 2)(k 1)C
k 0
k 2
k (2k )Ck z 0
由于上式在 z0 的邻域内点点成立，故 z 的同次幂项的系数和为零，即
c3k c3k 3 1 c3k 6 3k (3k 1) 3k (3k 1) (3k 3)(3k 4) 1 c0 3k (3k 1)(3k 3)(3k 4) 6 5 3 2
（2） 用 c1 表示 c3k 1
c3k 1 c3k 2 1 c3k 5 3k (3k 1) 3k (3k 1) (3k 2)(3k 3) 1 c1 (3k 1)3k (3k 2)(3k 3) 7 6 4 3
0 w(0) c0 1 w(0) c1 z 3k 1 k 1 (3k 1)3k 7 6 4 3
得解： w1 ( z ) z
5.1
二阶线性常微分方程
百度文库
二阶线性常微分方程解的一般性质 5.2 常点邻域内的幂级数解法
(为待定参数) ，在 z 0 的邻域内的级 1. 求厄米特方程 2 z 0，
数解。 解： （1）级数的形式。由于 p( z ) 2 z 和 q( z ) 在 z0 0 解析，故 z0 是 厄米特方程的常点。级数解具有下述形式
（3） 因 c2 0 ，故 c5 c8 0 3. 方程的通解
w( z ) c0
c0 z 3k c1 z 3k 1 z k 1 3k (3k 1) 6 5 3 2 k 1 (3k 1)3k 7 6 4 3
4. 由初始条件定 c0 , c1 由
k 2 k 0
2c2 [( k 2)( k 1)ck 2 ck 1 ]z k 0
k 1
c2 0, ck 2
ck 1 ( k 2)( k 1)
即 ck
ck 3 k (k 1)
亦即 c3k
c3k 3 3k (3k 1)
（1） 用 c0 表示 c3k
(k 2)(k 1)Ck 2 (2k )Ck 0
整理后即得待定系数的递推公式
Ck 2 2k Ck (k 2)(k 1)
（3）
（3）归纳出通项表达式，得级数解。由（3）式可见，偶次幂项系数 与奇次幂项系数是互不相干的，可以分别用 C0 和 C1 表示
( z ) Ck z k
k 0
（1）
（2）系数递推公式。将（1）式代入厄米特方程，由同次幂项系数之 和为零，得
Ck k (k 1) z k 2 2 z Ck kz k 1 Ck kz k 0
k 0 k 0 k 0
（2）
在第一个求和公式中，k=0，1 项均为零，故可将通项中的求和指标 加 2，相应地将求和号中的求指标减 2，得
C2 k 2(2k 2) 4k 4 C2 k 2 C2 k 2 2k (2k 1) 2k (2k 1) (4k 4 ) 2(2k 2 2) C2 k 2 2 2k (2k 1) (2k 2)(2k 2 1) (4k 4 )(4k 8 ) C2 k 4 2k (2k 1)(2k 2)(2k 3) (4k 4 )(4k 8 ) (4 )( ) C0 (2k )! (4k 2 )(4k 6 ) (6 )(2 ) C1 (2k 1)!
C2 k
（4）线性无关的解为
0 ( z ) C2 k z 2 k , 1 ( z ) C2 k 1 z 2 k 1
k 0 k 0
厄米特方程的通解是 0 ( z ) 与 1 ( z ) 的线性组合
2. 试用级数解法求在 z0 0 邻域内艾里方程 z 0 满足初始条件
(0) 1, (0) 0 的解。
解： 1. 解的形式 系数 p( z ) 0, q( z ) z 在 z0 0 解析， z0 是方程的常点 解的形式为： w( z ) ck z k
k 0
2. 系数递推公式 将 w( z ) 代入方程
k (k 1)ck z k 2 ck z k 1 0
Ck k (k 1) z k 2 Ck 2 (k 2)(k 1) z k
k 2 k 0
这样（2）式可写成
(k 2)(k 1)C
k 0
k 2
k (2k )Ck z 0
由于上式在 z0 的邻域内点点成立，故 z 的同次幂项的系数和为零，即
c3k c3k 3 1 c3k 6 3k (3k 1) 3k (3k 1) (3k 3)(3k 4) 1 c0 3k (3k 1)(3k 3)(3k 4) 6 5 3 2
（2） 用 c1 表示 c3k 1
c3k 1 c3k 2 1 c3k 5 3k (3k 1) 3k (3k 1) (3k 2)(3k 3) 1 c1 (3k 1)3k (3k 2)(3k 3) 7 6 4 3
0 w(0) c0 1 w(0) c1 z 3k 1 k 1 (3k 1)3k 7 6 4 3
得解： w1 ( z ) z