椭圆方程及性质的应用

椭圆方程及性质的应用

教学目标

1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)

2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点)

3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点)

教材整理1 点与椭圆的位置关系

设点P(x0，y0)，椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a＞b＞0).

(1)点P在椭圆上⇔x20

a2＋

y20

b2＝1；(2)点P在椭圆内⇔

x20

a2＋

y20

b2＜1；

(3)点P在椭圆外⇔x20

a2＋

y20

b2＞1.

课堂练习

已知点(2,3)在椭圆x2

m2＋

y2

n2＝1上，则下列说法正确的是________

①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上

③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④

教材整理2 直线与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆的位置关系及判定

直线y＝kx＋m与椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a＞b＞0)联立

⎩⎪

⎨

⎪⎧

y＝kx＋m，

x2

a2＋

y2

b2＝1，

消去y得一个

一元二次方程.

2.弦长公式

设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋1

k 2·|y 1－y 2|.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2

9＝1的内部.( )

(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2

＋y 2

2＝1相交.( )

(4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√

例题分析

(1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2

4＝1的交点个数为( )

A.2个

B.至多一个

C.1个

D.0个

(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？

【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝

4m 2

＋n

2

＞2，

∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n

24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直

线与椭圆有2个交点. 【答案】 A

(2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.

当Δ＝0时，得m ＝±5

2，直线与椭圆相切. 当Δ＞0时，得－52＜m ＜5

2，直线与椭圆相交. 小结

1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，Δ的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.

2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解. [再练一题]

1.已知椭圆的方程为x 2＋2y 2＝

2.

(1)判断直线y ＝x ＋3与椭圆的位置关系； (2)判断直线y ＝x ＋2与椭圆的位置关系；

(3)在椭圆上找一点P ，使P 到直线y ＝x ＋2的距离最小，并求出这个最小距离. 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋3，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋43x ＋4＝0，

∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0，∴直线y ＝x ＋3与椭圆相切. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋2，

x 2＋2y 2＝2，

得3x 2＋8x ＋6＝0.

∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，∴直线y ＝x ＋2与椭圆相离.

(3)由(1)、(2)知直线y ＝x ＋3与椭圆的切点P 满足条件，由(1)得P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33，最小距离d ＝|2－3|2

＝2－62.

已知椭圆x 236＋y 2

9＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.(1)当直线l 的斜率为1

2时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.

【精彩点拨】 (1)设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解； (2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.

【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝1

2(x －4)， 即y ＝1

2x .由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝12x ，x 2

36＋y 29＝1，

可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).

则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝

(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52

(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5

2×62＝310.

所以线段AB 的长度为310. (2)法一：设l 的斜率为k ，

则其方程为y －2＝k (x －4).联立⎩⎨

⎧

x 236＋y 2

9＝1，

y －2＝k (x －4)，

消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k

1＋4k 2

，

由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k

1＋4k 2

＝4， 解得k ＝－12，且满足Δ＞0.这时直线的方程为y －2＝－1

2(x －4)， 即y ＝－1

2x ＋4.

法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则有⎩⎪⎨⎪⎧

x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 2

29＝1，

两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 2

1

9＝0，