14 微分近似计算
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o
1 3 0.4924. 2 2 360
大学数学
应 用 推 广
常用近似公式：当 x 很小时
1 (1) 1 x 1 x; n (2)sin x x; （ x为弧度）
n
(3) tan x x ; （x 为弧度）
(4)ex 1 x;
(5) ln(1 x) x.
f ( x0 x) f ( x0 )+f ( x0 )x
方法： 1、找准函数 f ( x )
2、找准 x0 和 x
大学数学
例
题
例1：求 1.01 的近似值。
解：令
f ( x) x
x0 1 x 0.01
f ( x0 x) f ( x0 )+f ( x0 )x
大学数学
微分的定义
2 A 2 x0 x y 3 x0 x
若 y f ( x0 x) f ( x0 )
A x o(x )
x 0， x 的高阶无穷小量
不依赖于 x 的常数，称 y f ( x ) 在 x0 可微，
记 dy
x x0
A x
A= f ( x0 )
大学数学
几何解释
以直代曲
y y f (x)
dy
y
d y f ( x 0 ) x tan x
y 切线纵坐标的增量
当 x 很小时, y d y
x0
x0 x
大学数学
近似计算
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
大学数学
证明
(1) 设 f ( x ) n 1 x ,
1 1 n f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n x f ( x ) f (0) f (0) x 1 . n 1
大学数学
小
结
大学数学
1 1.01 1+ 0.05 1.005 2
大学数学
例
o
题Hale Waihona Puke Baidu
例2：求 cos 60 30 的近似值。
解：令 f ( x ) cos x
x0
3
x
360
f ( x0 x) f ( x0 )+f ( x0 )x
cos 60 30 cos( ) cos sin 3 360 3 3 360
1 3 0.4924. 2 2 360
大学数学
应 用 推 广
常用近似公式：当 x 很小时
1 (1) 1 x 1 x; n (2)sin x x; （ x为弧度）
n
(3) tan x x ; （x 为弧度）
(4)ex 1 x;
(5) ln(1 x) x.
f ( x0 x) f ( x0 )+f ( x0 )x
方法： 1、找准函数 f ( x )
2、找准 x0 和 x
大学数学
例
题
例1：求 1.01 的近似值。
解：令
f ( x) x
x0 1 x 0.01
f ( x0 x) f ( x0 )+f ( x0 )x
大学数学
微分的定义
2 A 2 x0 x y 3 x0 x
若 y f ( x0 x) f ( x0 )
A x o(x )
x 0， x 的高阶无穷小量
不依赖于 x 的常数，称 y f ( x ) 在 x0 可微，
记 dy
x x0
A x
A= f ( x0 )
大学数学
几何解释
以直代曲
y y f (x)
dy
y
d y f ( x 0 ) x tan x
y 切线纵坐标的增量
当 x 很小时, y d y
x0
x0 x
大学数学
近似计算
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
大学数学
证明
(1) 设 f ( x ) n 1 x ,
1 1 n f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n x f ( x ) f (0) f (0) x 1 . n 1
大学数学
小
结
大学数学
1 1.01 1+ 0.05 1.005 2
大学数学
例
o
题Hale Waihona Puke Baidu
例2：求 cos 60 30 的近似值。
解：令 f ( x ) cos x
x0
3
x
360
f ( x0 x) f ( x0 )+f ( x0 )x
cos 60 30 cos( ) cos sin 3 360 3 3 360