14 微分近似计算
有理数的整数次方根近似值的计算方法
因此可取a3或a4为结果，保留至6位小数可得≈ 1.414214，误差不超过10− 6。
【例1.2】计算的近似值，精确到10− 6。
解：这里a= 3，ε0= 10− 6，根据迭代公式（1.7）可得
an=(2an− 1+)（n∈N+），
因为4.913 = 1.73< 5 < 1.83= 5.832，取初值a0= 1.7，代入迭代公式，为精确到10− 6，计算结果均保留至7位小数：
这就是（1.6）式，同理（1.7）式也可以用微分法导出。
【例2.1】计算的近似值，精确到10− 3。
解：根据（2.9）式，≈ 1 +（x→ 0），如果取x= 1，则有
=≈ 1 + 1/2 = 1.5，
这显然是不准确的，因为x取的过大，近似公式不再适用了。
正确的做法是，可取x0= 1.42= 1.96，则Δx= 2 −x0= 0.04，可得
【例2.4】计算e1.02的近似值，精确到0.001。
解：根据（2.13）式，设f(x) =ex，则f'(x) =ex，可得
ex+h≈ex+ ex∙h= ex∙(1 +h)（h→ 0）；
令x= 1，h= 0.02，取e≈2.7183，则有
e1.02= e1 + 0.02≈e1∙(1 + 0.02) = 1.02e≈1.02×2.7183≈2.7727≈2.773。
为了应用方便，有时也把（2.3）式或（2.4）式写成另一种简单形式，把x0简写为x，把自变量的增量记为Δx=h，于是上述公式可以简写为
f(x+h) ≈f(x) +f'(x)∙h（h→ 0）（2.13）
3.3 微分及其在近似计算中的应用
即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、 求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)
微分求近似值
微分求近似值
微分求近似值是数学中的一个常见问题,旨在找到一个函数的近似值,使其与原函数的误差达到最小。
在数学、物理、工程等领域中,近似值非常重要,可以帮助我们进行各种分析和计算。
本文将探讨微分求近似值的方法和应用。
微分求近似值的方法可以分为两类:基于函数的导数和基于函数的极值。
其中,基于函数的导数的求近似值方法是最常用的方法。
在这种方法中,我们首先求出函数的导数,然后利用导数的正负性来近似原函数。
具体来说,设我们要计算的函数为$f(x)$,则我们可以对其求导数,得到$f'(x)$。
然后,我们利用导数的正负性来决定如何近似$f(x)$。
如果$f'(x)>0$,则我们通常可以沿$x$轴正方向求近似值;如果$f'(x)<0$,则我们通常可以沿$x$轴负方向求近似值。
这种方法可以有效地将原函数近似为$f(x)+k$,其中$k$是一个常数。
基于函数的极值的求近似值方法相对较为复杂。
在这种方法中,我们首先需要找到函数的极值点,然后利用这些极值点来近似$f(x)$。
这种方法比较适用于一些比较复杂的函数,比如$e^x$函数。
微分求近似值的应用非常广泛。
在数学领域中,微分求近似值可以用来计算各种数值,比如微积分、微分方程等。
在物理领域中,微分求近似值可以用来计算物理量的大小,比如速度、加速度等。
在工程领域中,微分求近似值可以用来计算各种实际问题,比如机械效率、电路中的电流等。
微分求近似值的方法可以有效地求解很多实际问题,实现重要的近似计算。
不仅如此,还可以为其他数值求解提供一个重要的数学工具。
06 第六节 函数的微分
第五节 函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量)()(x f x x f y -∆+=∆. 这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值)()(x f x x f -∆+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是：我们设法将y ∆表示成x ∆的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.分布图示★ 引言★ 问题的提出 ★ 微分的定义 ★ 可微的条件 ★ 例1-2 ★ 基本微分公式 ★ 微分四则运算法则 ★ 例3★ 例4 ★ 微分的几何意义★ 复合函数的微分法★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 例10★ 微分近似计算公式 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 常用函数的近似计算公式★ 例15 ★ 例16★ 误差计算 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 6内容要点：一、 微分的定义：定义1 设函数)(x f y =在某区间内有定义, 0x 及x x ∆+0在这区间内, 如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆ (5.1)其中A 是与x ∆无关的常数, 则称函数)(x f y =在点0x 可微, 并且称x A ∆⋅为函数)(x f y =在点0x 处相应于自变量改变量x ∆的微分, 记作dy , 即x A dy ∆⋅= (5.2)二、函数可微的条件dx x f dy )('= (5.8))(x f dxdy '= (5.9)即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”.三、 微分的几何意义四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 五、 微分形式不变性：无论u 是自变量还是复合函数的中间变量, 函数)(u f y =的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有du u f dy )('=这一性质称为微分形式的不变性. 利用这一特性，可以简化微分的有关运算. 六、利用微分进行近似计算： 近似值的计算 误差计算dy y ≈∆. (5.10)例题选讲：微分的定义例1（E01）求函数2x y =当x 由1改变到1.01的微分.解 因为,2xdx dy =由题设条件知 ,1=x 01.0101.1=-=∆=x dx 所以 .02.001.012=⨯⨯=dy例2（E02）求函数3x y =在2=x 处的微分. 解 函数3x y =在2=x 处的微分为 dx x dy x 2'3)(==.12dx =基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用例3（E03）求函数x e x y 23=的微分. 解 因为'23')(xex y =xxex ex 232223+=)23(22x ex x+=所以 dx x e x dx y dy x )23(22'+== 或利用微分形式不变性)()(2332xxed x x d edy +=dx ex dx x e xx232223⋅+⋅=.)23(22dx x ex x+=例4（E04）求函数xx y sin =的微分.解因为''sin ⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 2sin cos x x x x -=所以 dx y dy '=.s i n c o s 2dx xxx x -=微分形式的不变性例5（E05）设),12sin(+=x y 求dy . 解 设,sin u y =,12+=x u 则)(sin u d dy =udu cos =)12()12cos(++=x d x dx x 2)12cos(⋅+=.)12cos(2dx x +=注: 与复合函数求导类似, 求复合函数的微分也可不写出中间变量, 这样更加直接和方便.例6 设),1ln(2x e y += 求.dy解 )1l n (2xe d dy +=)1(1122xxed e++=)(11222x d eexx+=x d x eexx2122+=.1222dx exe xx+=例7（E06）设,2sinxe y =求.dy解 应用微分形式不变性, 有 .2sin cos sin 2sin sin 2sin2222sin sinsin2sindx xexdxx ex xd ex d edy xxxx=⋅=⋅==例8（E07）已知,22xey x = 求dy .解 222222)()()(x x d eed x dy xx-=422222xxdxedx ex xx⋅-⋅=.)1(232dx xx ex-=例9（E08）在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) ;cos )(tdt d ω= (2) ).()()(sin 2x d x d = 解 ,cos )(sin tdt t d ωωω= ∴)(s i n 1c o s td t d t ωωω=);sin 1(t d ωω=一般地，有.cos sin 1tdt C t d ωωω=⎪⎭⎫⎝⎛+例10（E09）求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分dy . 利用微分进行近似计算解 对方程两边求微分, 得 ),2()(3y x d e d xy +=),()2()(3y d x d xy d exy+= ,32)(2dy y dx xdy ydx e xy +=+于是 .322dx yxeye dy xyxy --=例11(E09) 求x )x (f +=1在0=x 与3=x 处的线性化.解 首先不难求得xx f +='121)( ，则413(21)0(23(1)0(='='==），，），f f f f ，于是，根据上面线性化定义知)(x f 在0=x 处的线性化121)0)(0()0()(+=-'+=x x f f x L ，在3=x 处的线性化为4541)3)(3()3()(+=-'+=x x f f x L))(()()(000x x x f x f x L -'+=示意图见右,故x x 2111+≈+（在x=0处）， 45411+≈+x x （在x=3处）．例12(E11) 求)x ln()x (f +=1在0=x 的线性化． 解 首先求得)(x f 'x+=11，得1)0(='f ，又0)0(=f ，于是)(x f 在x=0处的线性化x x f f x L =-'+=)0)(0()0()(例13（E12）半径10厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少?解 设,2r A π=10=r (厘米), 05.0=∆r (厘米).∴dA A ≈∆r r ∆⋅=π205.0102⨯⨯=ππ=（厘米2）.例14（E13）计算0360cos ' 的近似值.解 设x x f cos )(=⇒,sin )('x x f -=x (为弧度),取,30π=x 360π=∆x⇒,21)3(=πf .23)3('-=πf所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+=3603cos 3060cos 'ππ 3603s i n 3c o s πππ⋅-=3602321π⋅-=.4924.0≈例15计算下列各数的近似值.(1) (E14)35.998的近似值. (2) .03.0-e解 (1)335.110005.998-=310005.111000⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30015.0110-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=0015.031110.995.9=(2) 03.0103.0-≈-e .97.0=例16(E15) 最后我们来看一个线性近似在质能转换关系中的应用. 我们知道，牛顿的第二运动定律αm F =（α为加速度）中的质量m 是被假定为常数的，但严格说来这是不对的，因为物体的质量随其速度的增长而增长. 在爱因斯坦修正后的公式中，质量为2201c/v m m -=,当v 和c 相比很小时，22c /v 接近于零，从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈-=22002202201212111c v m m c v m c/v m m 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈2200121c v m m m , 注意到上式中K v m =2021是物体的动能，整理得)K (m v m v m c )m m (∆=-=≈-202020200212121,或 )K (c )m (∆∆≈2. （1）换言之，物体从速度0到速度v 的动能的变化)K (∆近似等于2c )m (∆. 因为8103⨯=c 米/秒，代入式（1）中，得≈)K (∆90 000 000 000 000 000m ∆焦耳,由此可知，小的质量变化可以创造出大的能量变化．例如，1克质量转换成的能量就相当于爆炸一颗2万吨级的原子弹释放的能量．例17 正方形边长为005.041.2±米, 求出它的面积, 并估计绝对误差与相对误差. 解 设正方形的边长为x ,面积为y ,则.2x y = 当41.2=x 时,).(8081.5)41.2(22m y ==.82.4241.241.2'====x x xy边长的绝对误差为,005.0=x δ ∴面积的绝对误差为).(0241.0005.082.42m x =⨯=δ ∴面积的相对误差为%.4.08081.50241.0≈=yy δ课堂练习1.求函数x x y -=的微分dy .2.因为一元函数)(x f y =在0x 的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”，判断这种说法对吗?3.设,0>A 且n A B <||, 证明1-+≈+n n n nAB A B A (A , B 为常数), 并计算101000的近似值.。
微分计算及练习题
5. y ln(1 ex2 ), 求 dy
复合函数的微分
解
dy
1
1 e
x2
d (1 ex2 )
1 1 ex2
ex2 d(x2 )
2 xe x2 1 ex2
dx
6.
求椭圆
x2 y2 16 9
1在点
2,
3
3 2
处的切线方程。
解 将方程两边同时微分，得
1 2xdx 1 2ydy 0
16
dy x1 2dx, dy x0 0
例3. 求
的近似值 .
解: 设 f (x) sin x ,
取
则 dx
180
sin 29 sin 29 sin cos ( )
180
6
6 180
1 3 (0.0175) 22
例4. 计算
的近似值 .
1
解:
(243 2)5
35 243
(1) y f (2x 1)
解： dy d f (2x 1) f (2x 1)d(2x 1)
2 f (2x 1)dx
(2) y f (x2 1) 解： dy d f (x2 1) f (x2 1)d (x2 1)
2xf (x2 1)dx
(3) y f (sin x)
解： dy d f (sin x) f (sin x)d sin x
当x
0时y
0 , 由上式得
d
y
x0
1 2dx Nhomakorabea4. y e13x cos x, 求 dy 解 dy d (e13x cos x)
d(uv) vdu udv
cos xd (e13x ) e13xd (cos x)
完整版高数一知识点
完整版高数一知识点一、导数与微分高等数学中，导数是一种表示函数变化率的工具。
它是研究函数在某一点上的局部性质和变化趋势的基本概念。
导数可以通过极限的概念进行定义，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
导函数的计算方法包括：1. 基本函数的导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
2. 四则运算法则：求导的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
3. 复合函数的求导：使用链式法则求解复合函数的导数。
微分是导数的应用之一，用于研究函数的近似变化。
微分的计算方法包括：1. 微分的定义：微分可以通过导数来进行计算，表示函数在某一点上的变化量。
2. 微分的近似计算：使用微分近似计算可以帮助我们在没有具体数值的情况下估计函数的变化。
二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。
不定积分可以表示函数的面积、函数的平均值等。
计算不定积分的方法包括：1. 基本积分公式：根据一些基本函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式。
2. 积分的线性性质：积分具有线性性质，即函数的线性组合的积分等于各组成函数的积分之和。
3. 特殊函数的积分：对于一些特殊的函数，可以通过一些特殊的方法进行积分。
定积分是求解函数在某一区间上的面积的过程，也被称为积分。
定积分可以表示弧长、质量、体积等物理量。
计算定积分的方法包括：1. 定积分的定义：定积分可以通过分割区间，计算分割点上函数值与区间长度的乘积之和来进行计算。
2. 积分的性质：定积分具有一些性质，例如积分的线性性质、积分的区间可加性等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式给出了定积分与不定积分之间的关系。
三、常微分方程常微分方程是研究函数的导数与自变量之间关系的方程。
它是高等数学中一个重要的分支，应用广泛。
常微分方程的求解方法包括：1. 可分离变量法：对于可分离变量的常微分方程，可以通过分离变量并积分的方法进行求解。
微积分微分及其计算
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x), (∆x → 0).
其中A与∆x无关,则称y = f (x)在点x0可微,且称A∆x为f (x)在点x0处的微分,
记为dy = df (x) = A∆x.
x= x0
x= x0
因此当A ≠ 0时,微分dy 是函数值改变量∆y 的主部.
例: 求5 0.99的近似值. 解 : 设y = f (x) = 5 x. 由于f (x)在x = 1点可导,故f (x)在x = 1点可微且f ′(1) = 1 .
5 那么有5 0.99 = f (1− 0.01) ≈ f (1) + f ′(1)(−0.01) = 1+ 1 (−0.01) = 0.998.
即dy = f ′(u)du = df (u) du = df (u) du dx ⇒ dy = df (u) du .
du
du dx
dx du dx
因此复合函数求导的链式法则 : dy = df (u) du 不仅具有(3 − 6)式中的含义, dx du dx
而且还具有导数可以作为微分的商进行运算.
令x = x0 + ∆x,则x → x0时, ∆x → 0. 故∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′(x0 )∆x + o(∆x), (∆x → 0). ⇒ f (x)在点x0可微.
"⇒"若f (x)在点x0可微,则∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x), (∆x → 0).
dt,
故 dy = 6at − 3at4 = 2t − t4 .
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
函数的微分及其在近似计算中的应用
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？ 可微, 则有(1)成立 成立， 设函数 y = f (x) 在点 x0 可微 则有 成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是 当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微， 因此, 因此 如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导 且 也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 函数在任意点的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df ( x ), 即 称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然， 显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。 有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02
第十四讲微分的近似计算
第十四讲微分的近似计算微分是数学分析中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，我们常常需要对函数进行近似计算。
本文将介绍微分的近似计算方法，包括线性逼近、泰勒展开和拉格朗日中值定理等。
首先，我们来看线性逼近方法。
线性逼近是一种简单且直观的计算方法，它基于线性近似的原理。
对于一个在$x=a$处可导的函数$f(x)$，我们可以使用线性逼近来近似计算$f(x)$在$x=a+h$处的值。
根据导数的定义，我们有$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
将$h$取得很小，我们可以将$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$近似为$f'(a)$，得到$f(a+h) \approx f(a)+hf'(a)$。
这个近似值称为函数$f(x)$在$x=a+h$处的线性逼近值。
接下来是泰勒展开方法。
泰勒展开是一种比线性逼近更精确的近似计算方法，它基于多项式的原理。
对于一个在$x=a$处可导的函数$f(x)$，泰勒展开可以将函数$f(x)$在$x=a$处的值展开为无穷级数的形式。
具体而言，泰勒展开可以近似表示为$f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+..+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+..$，其中$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的$n$阶导数。
这种展开形式可以近似计算$f(x)$在$x=a+h$处的值。
最后是拉格朗日中值定理方法。
拉格朗日中值定理是微积分中的一种重要定理，它给出了函数在其中一区间内的平均变化率与极值点处的变化率之间的关系。
对于一个在$x=a$和$x=b$之间连续且可导的函数$f(x)$，拉格朗日中值定理可以得到$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，其中$c\in (a,b)$。
培训学习资料-微分的概念_2022年学习资料
依次下去，可由n-1阶微分求n阶微分：-d”y=dd”-1y=dfn-xdx”-=fmxdx".-对n≥2 n阶微分均称为高阶微分.高阶微分不-具有形式不变性.当x是自变量时，y=∫x的二-阶微分是-d-y=f"x x2;-6-当x是中间变量y=fx,x=pt时，二阶微分-ppt课件-15
d2y =df'xdx=f"xdxdx+f'xddx-=f"xdx2+f'xd2x.-7-它比（⑥式多了一 ∫'xdx,当x=pt时，-dx=p"tdt2不一定为0，而当x为自变量时，-d2x=0.-例4设y=fx sinx,x=pt=t2,求d2y.-解法一先将x=pt代入y=fx,得y=sint2,-于是y'=2 t cost2,y”=2cost2-4t2sint2.由6得-ppt课件-16
更通俗地说，dy是△y的线性近似.-定理1函数f在点x。可微的充要条件是∫-点o可导，且dfxx=n=f' oAr.-证（必要性）如果f在点xo可微，据1式有-△y=A+01.-△X-于是-f'xo=lim-Ay1imA+o1=A,-△x-→0△X-△x→0-ppt课件-5
即f在点x,可导，且f'xo=A.-充分性设∫在点xo处可导，则由∫的有限增量-公式△y=∫'xoAx+o x,说明函数增量△y可-表示为△x的线性部分f'xo△x,与关于△x的高-阶无穷小量部分0（公x之和.所以 在点xo可微，-且dyx=,=f'xoA.-微分概念的几何解释，示于下图：-ppt课件-6
d2y =2cost2-4t2sint2dt2.-解法二依7式得-d2y=f"xdx2+f'xd2x-=inxdx2+cosxd2x-=-sint2.2t dt2+cost2.2dt2-如果将f'xdx漏掉就会 生错误-ppt课件-17
微分
dydf ( x) Ax.
若函数 y f ( x) 在区间 I 上 每一点可微，则称 y f ( x) 在区间 I 上 可微。
由微分的定义可知，当A0 时，dy Ax 是 x 的 线性函数，且当x0 时，y与dy 是等价 无穷小，而 ydy 是比 x 高阶的无穷小。
y y b2
x2 a2
y2 b2
,
∴切线方程为
x x a2
y y b2
1
。
类似可证：
★
过椭圆
x2 a2
y2 b2
1
上一点P
(
x
,
y
)
的切线方程为
x x a2
y y b2
1
★ 过圆 x2 y2 a2 上一点P( x, y ) 的切线方程为
x x y ya2.
例 1．一边长为 x 的正方形金属
x x x
薄片受热均匀膨胀，当边长增 x
加 x 时，面积 A 增加了多少？
解： A A( x) x2 ，
A(xx)2 x2 2xx(x)2 (1)
x0 时， 2xxO(x) ，(x)2 o(x).
A ＝ 2 xx ＋
(15)
d (arctan
x)
1 1 x2
dx
(12) d(cscx)cscxcotxdx.
(16)
d
( arccot
x
)
1 1 x
2
dx
2．微分的四则运算法则
设函数 uu( x) ， v v( x) 可微，则 （1） d[u( x)v( x)]d[u( x)]d[v( x)] ；
微分在近似计算中的应用
A
为测量A的相对误差限。
注：1、在实际工作中，精确值往往无法知道，但可以 确定其测量的精度等因素引起的误差的范围，即误差限。 2、今后，有时，绝对误差限也常叫做绝对误差；
相对误差限也常叫做相对误差。
6
误差举例
例1 设测得园钢截面的直径D=60.03mm， 测量D的 绝对误差限， D 0.05mm, 试估计面积误差。 解：误差可看作增量， 由 A
4
D 2 A dA AD D D
A dA A D
即 A 的绝对误差限约为
2
A
2
D D
2
60.03 0.05 4.715 mm 2
7
A 的相对误差限约为
A
A
2
D D 4 D2
0.17%
即可微函数 f x 可近似表示为 x 的线性形式。（线性化的 一种方法）
2
由 y dy 得：
f x f x0 f x0 x x0 f x f x0 f x0 x x0
f x f 0 f 0x f x f 0 f 0x
2-8 微分在近似计算中的应用
近似计算的原理 近似计算的举例
误差的类型
误差的例
1
近似计算原理
设 y f x 可微，且在 x0 有 f x0 0, 在 x 很小时, 这时
dy 近似于 y 的相对误差也很小， 即 y dy
由 y dy 得：
f x f x0 f x0 x x0 f x f x0 f x0 x x0
值为 , 那么 3、相对误差：如果 的绝对误差为 A , 那么，
函数的微分
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x0 取 得增量 x 时, 面积的增量为 2 x x ( x ) 0 x
关于△x 的线性 时为 主部 高阶无穷小
x 0
x0
2 A x0
所以
dy 2 1 0.01 0.02.
例 2 求函数 y x 3 在 x 2 处的微分; 解 函数 y x 3 在 x 2 处的微分为
dy ( x 3 )' x 2 dx 12dx.
基本初等函数的微分公式 (见 P60表)
完
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
即 d y f ( x0 ) x
可微的条件
定理 : 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是
处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
3.004938
(1 x) 1 x
2. 求函数 y 解
x x 的微分 dy .
dy
1 d(x x) 2 x x
1 (dx d x ) 2 x x 1 (dx 1 dx ) 2 x 2 x x
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x 1 1 . dx 2 x x 2 x 2 x 1 dx . 4 x x x
然而, 对于较复杂的函数 f ( x ), 差值
f ( x x ) f ( x )
导数与微分题型与做题方法总结
导数与微分题型与做题方法总结目录1. 导数与微分题型概述 (3)1.1 导数的概念 (4)1.2 微分的概念 (4)1.3 导数与微分的联系 (4)2. 导数题型分类及解题方法 (5)2.1 一阶导数求法 (6)2.1.1 利用导数定义求导 (6)2.1.2 利用导数公式求导 (7)2.1.3 利用求导法则求导 (7)2.2 高阶导数求法 (7)2.2.1 利用高阶导数公式求导 (8)2.2.2 利用求导法则求高阶导数 (9)2.3 复合函数求导 (9)2.3.2 分部积分求导 (10)2.4 隐函数求导 (11)2.4.1 直接求导法 (12)2.4.2 对数求导法 (13)2.5 参数方程求导 (13)3. 微分题型分类及解题方法 (14)3.1 微分公式及运算 (15)3.1.1 微分的基本公式 (15)3.1.2 微分的运算规则 (16)3.2 微分在近似计算中的应用 (16)3.2.1 微分近似计算公式 (17)3.2.2 微分近似计算的步骤 (17)3.3 微分在经济学中的应用 (18)3.3.1 边际分析 (19)4. 导数与微分综合题型及解题技巧 (21)4.1 导数与微分的综合应用 (22)4.1.1 导数与微分在几何中的应用 (23)4.1.2 导数与微分在物理中的应用 (24)4.2 解题步骤及注意事项 (25)4.2.1 分析题意，确定题型 (26)4.2.2 选择合适的求导方法 (27)4.2.3 注意细节，避免错误 (28)5. 案例分析及解题思路 (29)5.1 一阶导数求法案例分析 (29)5.2 高阶导数求法案例分析 (30)5.3 复合函数求导案例分析 (30)5.4 隐函数求导案例分析 (31)5.5 参数方程求导案例分析 (32)5.6 微分公式及运算案例分析 (32)5.7 微分在近似计算中的应用案例分析 (33)5.8 微分在经济学中的应用案例分析 (33)6. 常见错误及注意事项 (34)6.1 求导过程中的常见错误 (34)6.2 微分运算中的常见错误 (36)6.3 注意事项总结 (37)7. 总结与展望 (38)7.1 导数与微分的重要性 (39)7.2 学习建议及展望 (40)1. 导数与微分题型概述导数和微分是数学中的重要概念，用于描述函数的变化率和通过微小变化对函数值的影响。
高等数学：第四讲 微分的近似计算
时，有
y dy
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
近似计算公式
03.近似计算举例
例1 计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
解
设 f (x) sin x, 则 f (x) cos x,
x0 30
多少克（铜的密度为8.9g/cm3）.
解
球的体积公式
V
4 πr3, 3
则
V 4πr2 ,
r 1cm, r 0.01cm
V dV V r 4π 12 0.01 0.13
因此每只球需要铜大约：
m 8.9g / cm3 0.13cm3 1.16g.
04.常用的近似计算公式
由近似公式 f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x , 特别地， 取 x0 0, x x ( x 很小), 得到一些工程上常用的近似 计算公式:
即：sin x x.
谢谢
微分的近似 计算
目录
01
引例
02 近似计算的原理
03
近似计算举例
04 常用的近似计算公式
01.引例
计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
sin 30 0.5 sin 31 0.5??
02.近似计算的原理
设函数 y f (x)可微，且在x0 有 f (x0) 0 ，当改变量 | x |很小
π, 6
Hale Waihona Puke x 1 π , 180f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
sin 31 sin π cos π π 6 6 180
0.5 3 3.1416 2 180
第十四讲微分的近似计算
3V , 4π
V = 972 π ( cm 3 ), ∆ V = 973 π − 972 π = π ( cm 3 ),
3
所以 ∆ r ≈ dr =
= 1 36 π × 972
1 ⋅π 2 36 π (972 π )
3
2
≈ 0.003(cm).
练习
P57 3题
作业
P57 4题
arctan 1.01 = arctan(1 + 0.01)
1 ≈ arctan 1 + ⋅ 0 . 01 2 1+1
≈ 0 . 790
如
1 (1) 1.0034 ≈ 1 + × 0.0034 = 1 ⋅ 0017 2 1 3 (2) 1.00012 ≈ 1 + × 0.00012 = 1 ⋅ 00004 3
f ( x0 + ∆ x ) = arctan( x0 + ∆ x )
由 f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x 得
取 x 0 = 1, ∆ x = 0 . 01 , 得
1 ⋅ ∆x arctan( x 0 + ∆ x ) ≈ arctan x 0 + 2 1 + x0
(3) e 0.0213 ≈ 1 + 0.0213 = 1.0213
(4) ln 1.00415 ≈ 0.00415
(5 ) s in 0 .0 2 1 ≈ 0 .0 2 1
例2 计算 解
3
3
997
的近似值。 的近似值。
997 = 3 1000 − 3
3
3 = 10 1 − 1000
1 3 ≈ 10 × 1 − ⋅ 3 1000
微分近似计算中值定理
微分近似计算中值定理一、微分近似计算微分近似计算是通过使用微分来近似计算一个函数在一些点的值。
在微积分中，函数的微分可以看作是函数在特定点处的瞬时变化率。
给定一个函数$f(x)$，我们希望在$x=a$处的附近计算出$f(x)$的值，但是直接计算可能会很困难或者不精确。
微分近似计算的核心思想是使用函数的局部线性逼近来近似计算函数的值。
1.线性逼近：线性逼近是指用一条直线来代替曲线的一部分，从而近似曲线的形态。
在微分近似计算中，我们使用一阶导数来得到函数在特定点的切线方程，从而得到一个线性逼近函数。
设函数$f(x)$在$x=a$处可导，那么该函数在$a$点的切线方程为：$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的导数。
通过使用该切线方程，我们可以用直线来近似曲线，从而得到$x=a$处的近似值。
2.微分近似公式：微分近似公式是微分近似计算中常用的公式，它可以通过函数的导数来近似计算函数的值。
给定函数$f(x)$在$x=a$处的导数$f'(a)$，我们可以使用微分近似公式来计算$f(x)$在$x=a+h$处的近似值，其中$h$是一个非常小的正数：$$f(a+h) \approx f(a)+hf'(a)$$这个公式的推导可以通过使用线性逼近的方法来得到。
当$h$很小时，该公式给出的近似值比较精确。
3.例题：现在考虑一个具体的例题来说明微分近似计算的具体过程。
对于函数$f(x)=\sin(x)$，我们希望计算出$f(0.1)$的值。
首先计算函数在$x=0$处的导数$f'(0)$。
由于$f(x)=\sin(x)$的导数是$f'(x)=\cos(x)$，所以$f'(0)=\cos(0)=1$。
然后使用微分近似公式来计算$f(0.1)$的近似值：$$f(0.1) \approxf(0)+0.1f'(0)=\sin(0)+0.1\cos(0)=0+0.1=0.1$$因此，$f(0.1)$的近似值为0.11.一维中值定理：一维中值定理是最基本的中值定理，它阐述了如果函数在一个闭区间上连续且可导，那么在该区间内至少存在一点，该点的导数等于函数的平均变化率。
微分近似公式
微分近似公式
微分近似公式是：dy=dx/（1+x²）。
近似值是接近标准、接近完全正确的一个数字，通常取近似数的方法有四舍五入法、退一法和收尾法（进一法）等。
而微分在数学中的定义是由函数B=f（A），得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。
微分近似原理：大学微分近似公式原理就是Δy=dy+o（dy），所有的函数都可以写成这种形式，然后可以近似算函数的大小，f（x+Δx）≈f（x）+f'（x），一般要看具体题型来确定计算方法，就像当x趋近于0时，ln（1+x）≈x，e^x≈x+1之类的。