矩量法作业DOC

矩量法是将连续方程离散为代数方程组的方法，此法对于求解微分方程和积分方程均适用。本文以直立的线天线为例，详细介绍了矩量法的基本思想及原理、基函数以及检验函数的选择，系统阐述了直立的天线的双位积分方程的建立过程，最后利用矩量法求解双位积分方程、使用matlab编程实现得到直立的天线上的电流分布。本文采用1.77λ的线天线的频率是0.3GHz，采用矩量法所选用的基函数是正弦函数，检验函数是 函数。

关键字：线天线；矩量法；双位积分方程

计算电磁学被广泛地定义为一门内在和常规地应用数字计算机来获得电磁问题的数值结果的科学。主要有两个类别：数值方法和高频或渐进方法，通常数值方法用于天线或散射体的尺寸在一个波长到几十个波长量级的场合；

矩量法数学本质是一种求解线性方程的方法，在电磁场数值计算方面得到了广泛的应用。上世纪60年代，哈林登（Harrington）首先将矩量法应用于电磁场领域。对于辐射问题，是将含有未知电流的积分方程化为矩阵方程，通过求解该矩阵方程得到天线上的电流分布。在现代电磁工程中对于边界不复杂的问题可用解析法得到精确解, 较复杂的边值问题,用解析法不能得到解答, 需用数值法, 如: MOM、FEM(有限元法)、FDTD（时域有限差分法）等。矩量法是一种误差最小的方法且相对其他的算法来说是一种相对简单高效的方法。对于天线问题可以建立描述天线表面感应电流的积分方程,求出该电流即可进一步得到天线的辐射特性。

在矩量法分析过程中，有多种不同的积分方程可供选择，如双位积分方程、Hallen积分方程、Pocklington积分方程、Schelkunoff积分方程、响应积分方程等，这些积分方程一般应用于细的线天线，即假设电流只沿天线轴线流动，忽略天线周向电流和端面径向电流。本文采用双位积分方程，应用矩量法直立的线天线进行深入的分析，并在计算过程中对积分奇异项进行处理，不但简化了数值分析的复杂性，而且大大地减小了计算量并提高其精度。

矩量法的基本原理

矩量法的基本思想

矩量法（Method of Moments, MoM）是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法，对求解微分方程和积分方程均适用。矩量法是基于频域方程的，它的基本思想是将一个泛函方程化为矩阵方程并求解该方程。由于求解过程中需要计算广义矩量，故得名。矩量法包括如下三个基本过程：

（1）离散化过程主要目的是将算子方程化为代数方程，具体步骤是：①在算子L定义域内适当的选择一组线性无关的基函数fn；②将待求函数f表示为该组基函数的线性组合；③利用算子的线性，将算子方程化为代数方程。

（2）取样检测过程 主要目的是将求解代数方程的问题转化为求解矩阵方程的问题。基本步骤是：①在算子L 的值域内适当的选择一组线性无关的权函数Wm ；②将Wm 与代数方程取内积进行N 次抽样检验；③利用算子的线性和内积的性质，将N 次抽样检验的内积方程化为矩阵方程。 （3）矩阵求逆过程。

R. F. Harrington 在《计算电磁场的矩量法》一书中对其原理及过程进行了详尽的介绍.它所做的工作是将积分方程化为差分方程,或将积分方程中积分化为有限求和,从而建立代数方程组,故它的主要工作量是用计算机求解代数方程组.所以,在矩量法求解代数方程组过程中,矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少,在很大程度上影响了计算的速度.如何尽可能的减少矩阵存储量,成为加速矩量法计算的关键.

矩量法原理

根据线性空间的理论，N 个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算子方程，这类算子可化为矩阵方程求解。

设有算子方程：

()L f g = （2-1）

式中L 为算子，可以是微分方程、差分方程或积分方程；g 是已知函数如激励源；f 为未知函数如电流。

假定上述方程的解存在且是唯一的，则有逆算子 的存在，使)

(1g L f -=

成立。 互为逆算子

令：

n n n

f a f =∑ （2-2）

式中n a 是系数。n f 被称为展开函数或基函数。用L 算子的线性便可以得到:

()n

n

n

a L f g =∑ （2-3）

规定了一个适当的内积，那么在L 的值域内定义一个权函数或检验函数

123,,ωωω…的集合，并对每个m ω取式(2-3)的内积，则

,,n

m n m n

a

Lf g ωω<>=<>∑ （2-4）

式中m ＝1，2，3…。此方程组可以写成如下的矩阵形式

[][][]m n

n m l a g = （2-5）

式中

[]111212122212,,,,,,,,,n mn n m m m n Lf Lf Lf l Lf Lf Lf Lf Lf Lf ωωωωωωωωω⎛

⎫

⎪

<><><> ⎪

⎪=<><>

<> ⎪

⎪

⎪<><>

<>⎝

⎭

（2-6）

[]12n n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

[]12,,,m m g g g g ωωω<>⎛⎫ ⎪

<> ⎪= ⎪ ⎪<>⎝⎭

（2-7） 如果矩阵[]l 是非奇异性的，于是f 可写成：

[][]1

T T n n n mn m f f a f l g -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2-8）

矩量法的求解步骤

依以上原理所述，矩量法的求解步骤可以分为以下四步： （1）将未知量f 展成由基函数n f 构成的级数 （2）选取与基函数内积的检验函数m w （3）由内积构成矩阵方程[][][]mn n n l a g = （4）解矩阵方程求得未知量[]n a

基函数和检验函数的选择

矩量法求解算子方程的关键问题是基函数和权函数的选择。当选择基函数等于检验函数时,称为伽略金法。在特定的问题中,主要任务是选择基函数和检验函数,它们必须是线性无关的。基函数可以分为整域基和分域基;权函数一般有点匹配法,伽略金法,最小二乘法等。应用矩量法需注意:①误差分析;②方程收敛性;③积分奇异点处理等。下面分别介绍基函数和检验函数的选择：