初中数学特殊的平行四边形

特殊的平行四边形中考要求知识点睛1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点平行中点定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．6．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：① 边的性质：对边平行，四条边都相等．② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）正方形菱形矩形平行四边形7．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．例题精讲板块一、菱形【例1】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【解析】如图，过点A 作AE BC ⊥于E ，则12AC BD BC AE ⋅=⋅，又2AC BD AB ⋅=，得1302AE AB ABC =∠=︒，，150BAD ∠=︒ EDCBA【答案】150︒【例2】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ ∴18CEF ∠=︒在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．ABCDEF【答案】18︒【例3】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； ⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）． 图2AB CDEFG P【解析】省略【答案】⑴ 线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ⊥；PGPC． ⑵ 猜想：⑴中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． ∵P 是线段DF 的中点， ∴FP DP =．由题意可知AD FG ∥． ∴GFP HDP ∠=∠． 又∵GPF HPD ∠=∠，∴GFP HDP ∆∆≌，∴GP HP =，GF HD =．∵四边形ABCD 是菱形，∴CD CB =，60HDC ABC ∠=∠=︒．由60ABC BEF ∠=∠=︒，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得60GBC ∠=︒． ∴HDC GBC ∠=∠． ∵四边形BEFG 是菱形， ∴GF GB =，∴HD GB =．∴HDC GBC ∆∆≌，∴CH CG =，DCH BCG ∠=∠． ∴120DCH HCB BCG HCB ∠+∠=∠+∠=︒，即120HCG ∠=︒． ∵CH CG =，PH PG =，∴PG PC ⊥，60GCP HCP ∠=∠=︒．∴PGPC= ⑶PGPC=()tan 90α︒-．证明过程略． HP G FE D CB A【点评】 本题是一道探究性的几何综合题，本题的题干是以阅读材料的形式呈现，从而降低了题目的难度，本题应该是在05年大连中考压轴题的基础上改进而来的．【例4】 如图：菱形ABCD 由两个等边三角形组成，点P 是△ABD 内任一点，将△BPD 绕点B 旋转到△BQC的位置．则：（1）当四边形BPDQ 是平行四边形时，求∠BPD ； （2）当△PQD 是等腰直角三角形时，求∠BPD ； （3）若∠APB ＝100°，且△PQD 是等腰三角形时，求∠BPD ．【答案】（1）连接PQ∵△ABD、△BCD都是等边三角形∴∠ABD＝∠DBC＝60°∵△BQC是由△BPD绕点B旋转得到∴∠PBD＝∠QBC∴∠PBD＋∠DBQ＝∠QBC＋∠DBQ∴∠PBQ＝∠DBC＝60°∴∠BPD＝120°（2）分三种情况：①当∠DPQ＝90°，PD＝PQ时由题意，BP＝BQ，由（1），∠PBQ＝60°∴△BPQ为等边三角形，∴∠BPQ＝60°∴∠BPD＝∠BPQ＋∠DPQ＝60°＋90°＝150°②当∠PDQ＝90°，DP＝DQ时同理得△BPQ为等边三角形，∠BPQ＝60°∴∠BPD＝∠BPQ＋∠DPQ＝60°＋45°＝105°③当∠PQD＝90°，DQ＝PQ时同理得△BPQ为等边三角形，∠BPQ＝60°∴∠BPD＝∠BPQ＋∠DPQ＝60°＋45°＝105°（3）也分三种情况：①当PD＝PQ时∵∠ABD＝∠PBQ＝60°，∴∠ABP＝∠DBQ又AB＝DB，PB＝QB，∴△ABP≌△DBQ∴∠DQB＝∠APB＝100°∵∠PQB＝60°，∴∠PDQ＝∠PQD＝40°∴∠DPQ＝100°∴∠BPD＝∠BPQ＋∠DPQ＝60°＋100°＝160°②当DP＝DQ时则∠DPQ＝∠DQP＝40°∴∠BPD＝∠BPQ＋∠DPQ＝60°＋40°＝100°ADCPQABDCPQ③当DQ ＝PQ 时则∠DPQ ＝∠PDQ ＝70°∴∠BPD ＝∠BPQ ＋∠DPQ ＝60°＋70°＝130°板块二、正方形【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．【解析】省略【答案】解法一：如图，过F 作HG CD ∥交AD 、BC 于H 、G ，显然AHF ∆、CGF ∆均为等腰直角三角形． ∴AH HF BG ==． ∵HG CD ∥，∴FC HDAC AD=． 又2ED FC AD AC =，∴2ED HDAD AD=． 故2ED HD =．∴EH HD CG FG ===，∴Rt Rt BGF FHE ∆∆≌，∴BF FE =，EFH GBF ∠=∠． 而90BGF BFG ∠+∠=︒，∴90EFH BFG ∠+∠=︒，∵90BFE ∠=︒， ∴BEF ∆为等腰直角三角形．解法二：如图，连接DF ，作FH ED ⊥于H ． 显然由正方形对称性可知BF DF =，BFC DFC ∠=∠． ∵FH CD ∥，∴FC HDAC AD=． 又∵2FC EDAC AD=，∴2ED HD =，∴EH HD =， ∴EF DF =，EFH DFH ∠=∠．∴EF BF =．又DFH FDC ∠=∠，∴22BFD BFE DFH BFE FDC ∠=∠+∠=∠+∠． ∴902BFD FDC ∠=︒+∠，∴90BFE ∠=︒． ∴BEF ∆是等腰直角三角形．解法三：如图，过F 作FH DC ⊥于H ．延长EF 、DC 交于G ，连接BG ，则FH AD ∥， ∴FH FCAD AC =． 又∵2ED FCAD AC=， ∴2ED FH =，即FH 为GDE ∆的中位线． ∴EF FG =，DH HG =．又∵FH HC =，∴2AE AD ED DC HC DH HC HG HC =-=-=-=-，∴AE CG =． ∴BE BG =，ABE CBG ∠=∠． ∴90EBG ABC ∠=∠=︒．∴BF 是等腰直角三角形BGE 斜边上的中线， ∴BF EF ⊥，BF EF =． 故BEF ∆是等腰直角三角形．解法四：如图，过F 作FG AC ⊥交BC 于G ，过E 作EH CD ∥交AC 于H ，连接HG ．显然FGC ∆是等腰直角三角形，∴FC FG =，45FGC ∠=︒．∴135BGF ∠=︒． 又∵EH DC ∥， ∴135EHC BGF ∠=︒=∠，2ED HC FCAD AC AC==． ∴FH FC FG ==，∴HGC ∆是等腰直角三角形． ∴90HGC ∠=︒． ∴HG DC ∥． 又EH DC ∥， ∴E 、H 、G 共线． ∴BG AE EH ==． ∴BGF EHF ∆∆≌，有BF EF =，BFG EFH ∠=∠．又90BFG AFB ∠+∠=︒．∴90EFH AFB ∠+∠=︒， 即90BFE ∠=︒．∴BEF ∆是等腰直角三角形．GE H D FCBAE H D FCBAGH ABCFDEHGAB CFDE【例6】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【解析】1809060152AFB CFB FAB FCB ︒-︒-︒∆∆∠=∠==︒≌，，故451560AFD ∠=︒+︒=︒【解析】60︒【例7】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF【解析】省略【答案】连接CE ，作过B 、E 点的AC 垂线，垂足分别为H ,G ,则四边形BEGH 是矩形，1122GE BH AC AE ===， 所以30GAE ∠=︒,所以15EAB ∠=︒．AB CDEFG H【例8】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【解析】省略【答案】MN BM DN =+，延长CD 至'M ，使'M D BM =，证明''ADM ABM AM N AMN ∆∆∆∆≌，≌，测得1''452MAN M AN M AM ∠=∠=∠=︒【例9】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【解析】省略【答案】直接证明22EP AD CD +=不太可行，可转化成证明12EP AD CD +=，而12AD AM =，故进而考虑到将AM 、EP 集中到一条线段上，然后将CD 也平移过来.我们将视线集中在正方形ABFE 之中，通过ABG EHA ∆∆≌可以得证.过A 点作BC 的垂线，过P 作AG 的垂线，垂足分别为G 、H ，则有HGPN 为矩形，90BAG EAH AEH ∠=︒-∠=∠．90ABG BAG EAH ∠=∠︒-∠=∠．又因为AB AE =，所以ABG EHA ∆∆≌． 所以2222EP AD HR AG CD +===【例10】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【解析】AEF DHE AF DE ∆∆=≌，，则22123a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以得到b a -=【例11】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．MFENSRQPDCBA【解析】省略【答案】证法一：先证明ABF EDA ∆∆≌（如图阴影的两个三角形所示）．设平行四边形ABCD 的中心为O ，AB ，BC ，CD ，DA 边上的正方形的中心分别为P ，Q ，R ，S ．由平行四边形及正方形的性质知 AB CD DE ==， BF BC AD ==．因为FBM ∠与NDE ∠的两双对边反向平行，所以FBM NDE ∠=∠，ABF ADE ∠=∠（在上式两边各加90︒）， ABF EDA ∆∆≌，AF AE =．又由于ED AB ⊥及DEA BAF ∠=∠，所以AE AF ⊥（若等角的一组对边互相垂直，则另一组对边也互相垂直）． 因为OR AE ∥且12OR AE =， 所以OQ AF ∥且12OQ AF =， OR OQ =且OR OQ ⊥．用同样方法可以证明： OP OQ OR OS ===，且OR与OS，OS与OP，OP与OQ也两两垂直，从而P O Q，，，及Q，O，S三点共线，进而PR 与QS互相垂直平分于O点，且PR QS=，故四边形PQRS是正方形．如果我们从证明QCR SDR∆∆≌下手，可得到证明二：因为QC SD=，RC RD=，DCB EDN∠=∠，QCR SDR∠=∠，所以QCR SDR∆∆≌，从而QR RS=．同证法一一样，因QRC SRD∠=∠及CR DR⊥，所以QR RS⊥．用同样的方法可以证明QR RS SP PQ===，结合QR RS⊥，四边形PQRS为正方形．正方形除了具有平行四边形的一般性质外，要特别注意利用直角条件【例12】如图，已知四边形ABDE、ACFG都是△ABC外侧的正方形，连接DF，若M、N分别为DF、BC的中点，求证：MN⊥BC且MN＝12BC．【答案】分别过点D、A、F作直线BC的垂线，垂足分别为P、R、Q ∵四边形ABDE为正方形，∴AB＝BD，∠ABD＝90°∴∠DBP＝∠BAR，∴Rt△DPB≌Rt△BAR∴DP＝BR，PB＝AR，同理CQ＝AR，CR＝FQ∴PB＝CQ又N为BC的中点，∴BN＝NC∴PB＋BN＝CQ＋NC，即PN＝QN在直角梯形DPQF中，M为DF的中点，N为PQ的中点AFD EG M∴MN ∥DP ，MN ＝12(DP ＋FQ)＝12(BR ＋CR)＝12BC又DP ⊥BC ，∴MN ⊥BC 即：MN ⊥BC 且MN ＝12BC【例13】 如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）． （1）求证：h 1＝h 3；（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝(h 1＋h 2)2＋h 12；（3）若 32h 1＋h 2＝1，用1h 的代数式表示正方形ABCD 的面积为S ．【答案】（1）设AD 与l 2交于点E ，BC 与l 3交于点F由已知BF ∥ED ，BE ∥FD∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE ＝DF 又AB ＝CD ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF ，∴h 1＝h 3 （2）作BG ⊥l 4，DH ⊥l 4，垂足分别为G 、H 在Rt △BGC 和Rt △CHD 中∵∠BCG ＋∠DCH ＝180°－∠BCD ＝90°，∠CDH ＋∠DCH ＝90° ∴∠BCG ＝∠CDH又∠BGC ＝∠CHD ＝90°，BC ＝CD ∴Rt △BGC ≌Rt △CHD ，∴CG ＝DH ＝h 3又BG ＝h 2＋h 3，∴BC 2＝BG 2＋CG 2＝(h 2＋h 3)2＋h 32＝(h 1＋h 2)2＋h 12∴S ＝BC 2＝(h 1＋h 2)2＋h 12（3）∵32h 1＋h 2＝1，∴h 2＝1－32h 1∴S ＝(h 1＋1－ 3 2 h 1 )2＋h 12＝ 5 4h 12－h 1＋1【例14】 在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，如图1．（1）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；（2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；l l l ll l l l（3）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）EG ＝CG ，EG ⊥CG（2）EG ＝CG ，EG ⊥CG证明：如图3，延长FE 交DC 延长线于H ，连接GH ∵∠AEH ＝90°，∠EBC ＝90°，∠BCH ＝90° ∴四边形BEHC 是矩形，∴BE ＝CH ，∠EHC ＝90° 又∵BE ＝EF ，∴EF ＝CH∵∠EHC ＝90°，FG ＝DG ，∴HG ＝12DF ＝FG∵BC ＝EH ，BC ＝CD ，∴EH ＝CD ∵EF ＝CH ，∴FH ＝DH ，∴∠F ＝45° 又FG ＝DG ，∴∠CHG ＝ 12∠EHC ＝45°∴∠F ＝∠CHG ，∴△EFG ≌△CHG ∴EG ＝CG ，∠EGF ＝∠CGH∵∠FHC ＝90°，FH ＝DH ，FG ＝DG ，∴HG ⊥DF ∴∠EGF ＋∠EGH ＝90°∴∠CGH ＋∠EGH ＝90°，即∠EGC ＝90° ∴EG ⊥CG （3）EG ＝C G ，EG ⊥CGC ABDEGF 图4CAB DEG F图3C ADGF 图2C ADE F图1CD图2H CD图3证明：如图4，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF、HE、EC∵GF＝GD，∠HGF＝∠CGD，GH＝GC，∴△HFG≌△CDG∴HF＝CD，∠GHF＝∠GCD，∴HF∥CD∵正方形ABCD，∴HF＝BC，HF⊥BC∵△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE，EF⊥BE∴∠HFE＝∠CBE，∴△HFE≌△CBE∴EH＝EC，∠FEH＝∠BEC，∴∠HEC＝∠BEF＝90°∴△ECH为等腰直角三角形又∵GH＝GC∴EG＝CG，EG⊥CG【例15】如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上．（1）求∠EBC的度数；（2）求CE的长．【解析】（1）设O为正方形ABCD的中心，过E作E G⊥BD于G则CO⊥BD，∠DBC＝45°∵菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上∴CF∥BD，BE＝EF＝DF＝BD∴E G＝CO＝12BD＝12BE，∴∠DBE＝30°∴∠EBC＝15°（2）在BE上取点K，使BK＝CK，设CE＝x则∠KCB＝∠KBC＝15°，∴∠EKC＝30°∵CF∥BD，∴∠BEC＝∠DBE＝30°∴BK＝CK＝CE＝x，∴EK＝3x，∴BE＝(3＋1)x过E作E H⊥BC于H，则CH＝EH＝22x，BH＝2＋22x在Rt△BEH中，BE2＝BH2＋EH2∴[(3＋1)x]2＝(2＋22x)2＋(22x)2解得x＝6－2，即CE的长为6－ 2 ACDEFBCD图4ACDEF BOKH【例16】如图，将边长为a的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、DC上），使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，GH与DC交于点M，连接BG与EF交于点N．（1）求证：①BG＝EF；②△DGM的周长为定值；（2）当四边形AEFD的面积最大时，求AG的长．【答案】（1）①证明：过F作FK⊥AB于K，由题意知BG⊥EF于N∴∠GBA＝∠EFK又AB＝KF，∠A＝∠EKF＝90°，∴△ABG≌△KFE∴BG＝EF②设AG＝x，在Rt△AEG中，AE2＋AG2＝GE2∴AE2＋x2＝(a－AE)2，得AE＝a2－x2 2a∵∠MGE＝90°，∴Rt△DGM∽Rt△AEG设△DGM和△AEG的周长分别为C△DGM、C△AEG则C△DGMC△AEG＝DGAE，即C△DGMa＋x＝a－xa2－x22a∴C△DGM＝2a故△DGM的周长为定值（2）解：设AG＝x，在Rt△AEG中，GE2＝AE2＋AG2即(a－AE)2＝AE2＋x2，解得AE＝a2－x2 2a在正方形ABCD中，KF＝BC＝AB，EKF＝∠A＝90°∴△KFE≌△ABG，∴EK＝AG＝x，AK＝AE＋EK＝AE＋AG＝a2－x22a＋xS梯形AEFD＝12(AE＋DF)·AD＝12(AE＋AK)·AD＝12(a2－x22a＋a2－x22a＋x)·a＝－12(x－12a)2＋58a2（0＜x＜a）当x＝12a，即AG的长为12a时，四边形AEFD的面积最大，为58a2．A BEFC C D MCGCHCNKA BEFC CD MCGCHCNK。