2021年高考数学 圆锥曲线复习课
【金版教程】2021届高考数学总复习第8章第9讲圆锥曲线的综合问题课件理新人教A版
课前自主导学
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C________；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C________； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C________. (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆 锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线 l与双曲线的渐近线的位置关系是________；若C为抛物线，则 直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________．
No.2 角度关键词：方法突破 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑 ： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核 心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的 取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲 线相切？
2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个 交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意 两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
核心要点研究
涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两 个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲 线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进 行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和 二次曲线相交问题的最基本的方法．
经典演练提能
答案：A
答案：B
答案：D
答案：B
ห้องสมุดไป่ตู้
奇思妙想：本例条件不变，若直线y＝kx＋1与椭圆相交于 不同的两点M、N，且|MN|＝2，求直线的斜率k.
2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修2_1
第3章 圆锥曲线与方程1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线 抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程(以焦点在x轴为例) x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px(p >0) 关系式 a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展， 有渐近线无限延展， 无渐近线 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2决定形 状的因素 e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定 开口大小统一定义圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e2.椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，那么△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2；(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c ． 3．待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位〞和“定量〞两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．①可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，其中当1A >1B 时，焦点在x 轴上，当1A <1B时，焦点在y 轴上．②双曲线方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，当1A <0时，焦点在y 轴上，当1B<0时，焦点在x轴上．(2)抛物线的标准方程对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝ay (a ≠0)． 4．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．(2)如果双曲线的渐近线为x a ±y b ＝0时，它的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．5．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论． (1)y 2＝2px (p >0)中，|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (2)y 2＝－2px (p >0)中，|AB |＝－x 1－x 2＋p ； (3)x 2＝2py (p >0)中，|AB |＝y 1＋y 2＋p ； (4)x 2＝－2py (p >0)中，|AB |＝－y 1－y 2＋p . 6．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，那么有：①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．提醒：直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝〔1＋k 2〕〔x 1－x 2〕2或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2〔y 1－y 2〕2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．圆锥曲线的定义及应用【例1】 (1)F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，那么点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[思路探究] (1)借助角平分线的性质及相关曲线的定义求解；(2)要求|PF 1||PF 2|的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF 1F 2为直角三角形的条件，求出|PF 1|和|PF 2|的值，但Rt △PF 1F 2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．(1)A [延长垂线F 2Q 交F 1P 的延长线于点A ，如图． 那么△APF 2是等腰三角形，∴|PF 2|＝|AP |， 从而|AF 1|＝|AP |＋|PF 1|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a . ∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 2的中点， ∴|OQ |＝12|AF 1|＝a .∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．] (2)解：由题意知，a ＝3，b ＝2，那么c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝5，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5.①假设∠PF 2F 1为直角，那么|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2，|PF 1|2－|PF 2|2＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.所以|PF 1||PF 2|＝72.②假设∠F 1PF 2为直角，那么|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去．)所以|PF 1||PF 2|＝2.运用定义解题主要表达在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，那么可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决．1．(1)点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过点M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，那么P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2，3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．(1)A [设PM ，PN 与⊙C 分别切于点E ，F ，如图，那么|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB | ＝4－2＝2＜|MN |，∴P 点的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)．∴所求轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．](2)解：抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如下图，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PFP 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3.圆锥曲线简单性质的应用【例2】 (1)椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152yB ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x (2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .[思路探究] (1)由椭圆和双曲线有公共的焦点可得m ，n 的等量关系，从而求出双曲线的渐近线方程；(2)写出AB 的直线方程，由F 1到直线AB 的距离为b7得出a ，c 的关系，求椭圆的离心率e .(1)D [由题意，3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2，令x 22m 2－y 23n 2＝0，y 2＝3n 22m 2x 2＝316x 2，∴y ＝±34x ，即双曲线的渐近线方程是y ＝±34x .] (2)由A (－a ，0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2， 整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8×⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14×c a ＋5＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e＝54(舍去)． 综上可知，椭圆的离心率e ＝12.1.(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求该椭圆的离心率． [解] 题意可知，该椭圆的焦点在x 轴上，故 椭圆的离心率e ＝1－5n 23m2＝1－5n 224n 2＝11412.2.(变条件)在本例(2)条件换为“F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，〞求椭圆离心率的取值范围．[解] ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝c 2. 由题意知椭圆上的点在该圆的外部， 设椭圆上任意一点P (x ，y )，到|OP |min ＝b ， ∴c ＜b ，即c 2＜a 2－c 2.解得e ＝c a ＜22. ∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜22.1．本类问题主要有两种考察类型：(1)圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考察重点； (2)圆锥曲线的性质求其方程．2．对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： (1)代入法就是代入公式e ＝c a求离心率；(2)列方程法就是根据条件列出关于a ，b ，c 的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e 的方程，解方程即可求出e 的值．直线与圆锥曲线的位置关系2程是________．(2)向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1，0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． ①求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；②设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．8x －y －15＝0 [(1)设所求直线与y 2＝16x 相交于点A 、B ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，得k AB ＝8. 设直线方程为y ＝8x ＋b ，代入点(2，1)得b ＝－15； 故所求直线方程为y ＝8x －15.](2)①由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0， 化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，那么x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .那么－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ⅱ)当k ＝0时，|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1. 即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1，1)．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．2．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．[解] (1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，那么b 2＝3c 2.②将②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可设AB 的斜率为k ， 那么直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． ③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得 (4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4〔k 2－3〕4k 2＋3. ④在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4，3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.注意到A ，F ，B 三点共线，那么有k ＝k AF ＝k BF ， 即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－〔x 1＋x 2〕＋1.⑤将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24〔k 2－3〕4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意.函数与方程的思想【例4】 椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m ，0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． [解] (1)由得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32.此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －m 〕，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2＝〔1＋k 2〕[〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2]＝〔1＋k 2〕⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2〔1＋4k 2〕2－4〔4k 2m 2－4〕1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.1．函数思想是解决最值问题最有利的武器．通常用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．2．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．3．如下图，过抛物线y 2＝2px 的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、B 两点．(1)证明直线AB 过定点； (2)求△AOB 面积的最小值．[解] (1)证明：当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，又OA ⊥OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，设A (x 0，y 0)，那么y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ，直线AB 过点(2p ，0)．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k 〔x －a 〕，消去x 得ky 2－2py －2pak ＝0，那么y 1y 2＝－2pa .又OA ⊥OB .∴y 1y 2＝－x 1x 2.由方程组消去y ，得k 2x 2－(2k 2a ＋2p )x ＋k 2a 2＝0， 那么x 1·x 2＝a 2.因此，a 2＝2pa .∴a ＝2p ..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
第三高考数学一轮复习 圆锥曲线复习教案
诚西郊市崇武区沿街学校第三中学2021届高考数学一轮复习圆锥曲线复习〔2〕教案 教学目的：〔1〕通过对例题讲解，使学生掌握解有关圆锥曲线简单综合运用问题的处理方法；(2)通过一题多解、一题多变，培养学生的归纳意识，进步学生分析问题和解决问题的才能，以及小结归纳才能。
教学重点：引导学生研讨探究，充分挖掘和利用图形的几何特征解决求解有关圆锥曲线简单综合运用问题。
教学难点：激发学生的思维潜能，进步学生分析问题和解决问题的才能。
教学方法：自主探究，变式训练教学过程一、根底训练：1.直线1+=kx y 与椭圆1522=+my x 总有公一一共点，那么m 的取值范围是。
2.双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，那么mn 的值是。
3.1F 和2F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，A 和B 是以O 为圆心，1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，那么双曲线的离心率为。
4.抛物线x y 42=的弦AB 垂直于x 轴，假设AB 长为,34那么焦点到AB 的间隔为。
5.经过椭圆13422=+y x 的右焦点任意作弦AB,过A 作椭圆右准线的垂线AM,垂足为M,假设直线BM 必经过x 轴上的定点P,那么点P 的坐标为。
二、典型样题例1点P在直线x+2y=0上运动，过点P⊙C:22(1)(2)2x y -+-=的切线，切点为A,B.PACB 面积的最小值。
变式：〔1〕：求CA CB ⋅的最大值。
〔2〕：求PA PB ⋅的最小值。
〔3〕：点P 在直线x+2y=0上运动，S,T 是⊙C:22(1)(2)2x y -+-=上任意两动点，存在点P 使得60,SPT ∠=求点P 的横坐标的取值范围。
例2椭圆191622=+y x 中，左右焦点分别为P F F ,,21为椭圆上一点，假设P F F ,,21为直角三角形的三个顶点，求P 到x 轴的间隔。
2021版高三数学一轮精品复习学案：圆锥曲线
2021版高三数学一轮精品复习学案：圆锥曲线【高考目标定位】一、曲线和方程式1。
测试大纲点击了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
2．热点提示（1）本节重点介绍曲线与方程的关系以及曲线方程的探索方法；（2）这一部分主要以高考解题和答题的形式出现，属于中高级试题。
2、椭圆1。
测试大纲点击（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；（2）了解圆锥曲线的简单应用。
2．热点提示（1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的核心内容；直线与椭圆的位置关系是高考的重点。
（2）各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题目。
三、双曲线1。
测试大纲点击（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。
（2）了解圆锥曲线的简单应用。
2．热点提示（1）双曲线、标准方程、偏心率和渐近线的定义是高考的重点；有时会检查直线和双曲线之间的位置关系，但这不是重点。
（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。
四、抛物线1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何学、标准方程和简单性质。
（2）了解二次曲线的简单应用。
2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程和性质是高考的重点。
直线和抛物线之间的位置关系是检查的重点。
（2）考题以选择、填空题为主，多为中低档题。
[大纲知识排序]一、曲线与方程一.通常，在平面直角坐标系中，如果曲线C上的点与二元方程f（x，y）=0的实解建立以下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
（2）以该方程的解为坐标的点是曲线上的所有点。
这个方程叫做曲线方程，这个曲线叫做方程曲线。
注：如果中满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。
2.寻找移动点轨迹方程的一般步骤（1）建立系统-建立适当的坐标系（2）设定点-设定轨道上的任意点P（x，y）（3）行列式-调度点P满足的关系(4)代换――依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。
高中数学《圆锥曲线-复习课》课堂实录
圆锥曲线复习课（一）课堂实录一、创设情境、引入课题1．圆锥曲线的实际背景.[师]我们知道用平面截圆锥，通过改变平面与圆锥轴线的夹角，可得到不同的截口曲线.如用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是什么？[生] 圆[师] 改变平面与圆锥轴线的夹角，截口曲线又是什么？（播放动画）[生]椭圆、双曲线、抛物线[师]用不同的平面去截圆锥，可得到的截口曲线分别是：圆、椭圆、双曲线、抛物线，我们把它们统称为圆锥曲线.圆锥曲线与科研、生产及人类生活有着紧密的关系，它在刻画现实世界和解决实际问题中有重要作用.2．圆锥曲线在高考中的地位[师]在近几年的高考中圆锥曲线试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题，分值约为30分左右， 占总分值的20%，是高考重点考查内容.今天我们就一起来复习这部分的内容.（板书课题）3．展示本章知识框架.［师]首先我们来看看本章的知识框架（出示幻灯片5）本章我们学习了三大圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质，本节课我们重点复习三大圆锥曲线的定义.二、复习建构[师]请同学们快速完成问题1并通过问题1回顾三大圆锥曲线的定义.（出示幻灯片7）问题1[生]第（1）小问的轨迹是椭圆，第（2）小问的轨迹是双曲线，第（3）小问的轨迹是抛物线.[师]很好！请说明理由.[生] 根据三大圆锥曲线的定义而得到的.[师]若将第（1）小问的6改为4，第（2）小问的2改为4，它们的轨迹又是什么？（出示幻灯片8、9）[生]线段和射线（学生回顾归纳，教师补充特殊情况）（出示幻灯片10）1、P 为动点，F 1、F 2为定点,L 为定直线椭圆:| PF 1 |+ | PF 2 |=2a(2a>|F 1F 2| )当2a=|F 1F 2|时,轨迹是线段F 1F 2双曲线: | | PF 1 |-| PF 2 | | =2a(2a<|F 1F 2| )当2a=|F 1F 2|时,轨迹是两条射线;212122(2,0),(2,0)6,2,2F F P PF PF P PF PF P PF P x P -+===-1已知：，为平面内一动点（1）若则的轨迹是?（2）若－则的轨迹是?（3）若等于点到直线的距离,则的轨迹是?抛物线：| PF2 |＝d(P到定直线L的距离）F2不在L上当F2在L上时,轨迹是直线三、探索研究、归纳猜想[师]通过对问题１的交流及对定义的回顾，椭圆、双曲线的定义是用动点与两定点的距离的和（或差）的形式给出的，而抛物线的定义则用动点与定直线距离的比的形式给出的，椭圆和双曲线的定义能否也用动点与定直线距离的比的形式给出呢？[生]可以、不可以（大部分同学说可以，少部分同学说不可以）[师]好，到底可不可以呢？请同学们完成问题2（出示幻灯片11）问题2：点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹.（46P例6）[师]请罗婷给大家展示一下.[生][师] 罗婷讲得很有条理，请你告诉大家你求的椭圆方程中的?,?,?a b c=== [生]5,3,4a b c===[师]大家观察这个定点(4,0)F恰好是什么？定直线是什么？常数45又是什么？[生]焦点、准线、离心率[师]现在把这个常数45换成54，改变相应的定点和定直线，动点的轨迹又是什么？[生]双曲线[师]好，请大家快速的检证一下，完成变式（出示幻灯片13）（学生快速检证，果然是双曲线）变式：点(,)M x y与定点(5,0)F的距离和它到直线16:5l x=的距离的比是常数54，求点M的轨迹.（59P例5）22224,545925225125910M lMFdx yx yM→==+=+=∴解：由题意知：即将上式两边平方化简得：即是长轴为，短轴为6的椭圆[师] 对比问题2和变式，你有什么发现？（出示幻灯片15）[生] 椭圆和双曲线的定义也能用动点与定直线距离的比的形式给出.[师]请大家结合这两个特殊问题以及抛物线的定义猜想一般圆锥曲线的另外一种定义.（学生归纳，教师补充）（出示幻灯片16、教师板书） 归纳猜想2．M 为动点，F 为定点，l 为定直线()M l MFe F l d →=∉（1） 0<e<1轨迹为椭圆；（2） e=1轨迹为抛物线；（3） e>1轨迹为双曲线[师]三大圆锥曲线还有其它的生成方式吗？请同学们完成问题3（出示幻灯片17）问题3：设点A ，B 的坐标分别是(5,0),(5,0)-.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹的方程.（41P 例3） [师]请宋阳给大家展示一下.[生][师] 宋阳同学讲得很好，很有条理，大家有没有补充的？[生]因为两直线的斜率存在，所以5x ≠±[师]很好，若将问题3中的“49-”改为“59-或69-”，动点的轨迹又是什么？ [生]依然是椭圆[师] 很好，若将问题3中的的“49-”改为“49”；或将“斜率之积” 改为“斜率的差”动点的轨迹又是什么？请大家完成变式一、二（出示幻灯片18）变式一：点A ，B 的坐标分别是(5,0),(5,0)-.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程.（55P 探究） 变式二：点A ，B 的坐标分别是(1,0),(1,0)-.直线AM ，BM 相交于点M ，且直2244,95591100259AM BM y y k k x x x y =-=-+-+=解:设点M 的坐标为(x,y),由题意知即化简,得点M 的轨迹方程为线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，求点M 的轨迹方程.（74P B 组第3题）[师]请周月同学给大家展示一下[生] 变式一 变式二[师] 周月同学讲得非常清晰，同时也考虑了5x ≠±，1x ≠±的情况，很不错.[师]对比问题3和变式，你有什么发现？（出示幻灯片19）[生]当动点与两定点所确定的直线的斜率之积为负数时，动点的轨迹是椭圆，为正数时，轨迹是双曲线，当动点与两定点所确定的直线的斜率之差为常数时，动点的轨迹是抛物线.（学生自主归纳，教师补充）归纳猜想（出示幻灯片20、教师板书）3．M 为动点，A 、B 为定点若(0,1)AM BM k k a a a ⋅=<≠-且，轨迹是椭圆若(0)AM BM k k a a ⋅=>，轨迹是双曲线若(0)AM BM k k a a -=≠，轨迹是抛物线思考：若AM BM k k a ÷=轨迹是什么？若AM BM k k a +=轨迹是什么？（出示幻灯片21）四、反思小结、优化认知1．本节课你有哪些收获？2．圆锥曲线的生成方式是否是唯一的，还可以用什么来刻画圆锥曲线？3．本节课我们用到了哪些数学思想和方法？[师] 本节课我们练习的题目，全部来自教材中的例题和习题，通过对它们的研究和对比，我们又对圆椎曲线的定义进行了再认识，我们发现生成圆椎曲线的方式并不是唯一的，可用动点和两定点距离的差与和的形式给出，也可用动点和两定点所确定直线斜率的形式呈现，也可以用动点和定点及定直线距离的比值给出，课后希望大家阅读教材相关内容，加强对圆锥曲线的认识.五、作业回馈，落实目标（出示幻灯片22）2244,(5)95591(5)100259AM BM y y k k x x x x y x ==≠±+--=≠±解:设点M 的坐标为(x,y),由题意知即化简,得点M 的轨迹方程为22,2(1)111(1)AM BM y y k k x x x y x x -=-=≠±+-=-+≠±解:设点M 的坐标为(x,y),由题意知即化简,得点M 的轨迹方程为1.阅读教材，回归定义.（1）阅读教材5051P ，“用几何画板探究点的轨迹：椭圆”（2）阅读教材76P ，“圆锥曲线的离心率与统一方程” 2.80P A 组第10题，B 组第5题，62P B 组第3题 42P 第4题。
2021高考数学专题复习：圆锥曲线(2)
2021高考数学专题复习:椭圆1.定义:122.PF PF a+=()()()()()()()()2222 12122222122222222212,,,0,,022,0,0211.00,2P x y F c F c a PF PF a x c y x c y a cx y y x a A a A A ax ya a ca b x y b B b B B bb a c-⇒=+⇒=+++-+>⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧+=⎪⎪-⇒⇒+=⎨⎨=⇒=±⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x yF xa by xF ya b⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩在轴在轴222222222222242222112x yc y y a ca ba b b ax cb b by y MNa a a⎧+=-⎪⇒+=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.长轴长:2a短轴长:2b焦距:2c通径:22bMNa=4.勾股关系: 222a b c=+,1BF=a5.离心率:cea=取值范围: ()0,16.椭圆上点P到焦点1F的距离最大值为a c+ ,最小值为a c-7.椭圆22221+=x ya b的左右焦点为,,21FF过点1F的弦,AB则2ABF∆的周长为4a，直线mx=与椭圆交于DC,两点,当m时CDF1,∆的周长最大值为4a2021高考数学专题复习:双曲线1.定义:()()()121221222PF PF a PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⇒-=⎨⎪-=⎩右支双曲线左支()()()()()()()()22221212222212222222222212,,,0,,022,0,021 1.0........0,2P x y F c F c a PF PF a x c y x c y a c x y y x a A a A A a x y a c a a b x y b B b B B b b c aφ-⇒=-⇒=++--+<⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧-=⎪⎪-⇒⇒-=⎨⎨=⇒=-⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x yF x a b y x F y a b⎧-=⎪⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩在轴在轴 222222222222242222112x y cy y c a a b a b b a x c b b b y y MN a a a⎧-=-⎪⇒-=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.实轴长:2a 虚轴长:2b 焦距:2c 通径:22b a4.勾股关系: 222c b a =+,5.离心率: ce a=取值范围: ()1,+∞ 6.渐近线()()..b y x F x aa y x F yb ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩在轴在轴 ()()22222222222222222222222211x y x y b x b y y x F x a b a b a a y x y x a x a y y x F y a b a b b b ⎧-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎪⎨⎪-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎩在轴在轴7.双曲线右支上点P 到左焦点1F 的距离最小值为,a c +P 到右焦点2F 的距离最小值为 c a - 双曲线上点P 到焦点距离最小值为 c a -2021高考数学专题复习:抛物线一.定义:()222222,,,0,:2.222222p p p p p p M x y F l x x y x x y x y px ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-+=--⇒-+=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭开口 抛物线方程焦点坐标准线方程 焦点所在轴焦点坐标准线方程右px y 22=⎪⎭⎫⎝⎛0,2p 2px -= x 轴ax y =2:⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4a 4a x -= 左px y 22-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p 2p x =上py x 22= ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2p y -= y 轴by x =2:⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0b 4b y -=下py x 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2p y =二．抛物线px y 22=一点()A A y x A ,焦半径2p x d AF A +== 抛物线px y 22-=一点()A A y x A ,焦半径22p x p x AF A A +-=+= 三．过焦点的直线l 与抛物线px y 22=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B +=焦点弦()p x p x x BF AF AB B A +=++=+=02过焦点的直线l 与抛物线px y 22-=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B += 焦点弦()p x p x p x x BF AF AB B A +-=+=++=+=00222021高考数学专题复习:椭圆(1)A.2214x y += B.2214y x +=C.22134x y +=D.22143x y +=2.椭圆221925x y +=的长轴长是 ( ) A.5 B.6 C.10 D.503.椭圆2212516x y +=上有一点P 到左焦点的距离是4，则点P 到右焦点的距离是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.64.已知椭圆的焦点为()()()0,3,1,0,1,0P-在椭圆上,则椭圆的方程为 ( )A.13422=+y xB.1422=+y x C.14322=+y x D.1422=+x y5.椭圆63222=+y x 的焦距是 ( )A.2B.()232- C.52D.()232+6.椭圆长轴长为,33该椭圆的方程为 ( ) A.221128x y += B.221128x y +=或221128y x +=C.22132x y +=D.22132x y +=或22132y x +=7.椭圆141622=+y x 上的两个焦点是,,21F F 弦AB 过焦点,1F 则2ABF ∆的周长为 ( ) A ．8 B ．16 C ．24 D ．328.21,F F 是椭圆191622=+y x 两焦点,过2F 的直线交椭圆于点B A ,,若5=AB ,则=+11BF AF ( ) A.9 B.10 C.11 D.169.椭圆的焦距等于2，则=m ( ) A.5或3 B.8C.5D.1610.椭圆2214x y +=的左焦点为,F P 为椭圆上一点，其横坐标为,3则=PF ( ) A.12 B.32 C.52 D.7211.()()22223310x y x y +++-=表示的曲线的标准方程为12.椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(),2,0则=m ( )A.2B.3C.5D.613.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是(),1,0那么=k14.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 ( )A.116922=+y x B.1162522=+y x C.1162522=+y x 或1251622=+y xD.以上都不对15.椭圆的焦点坐标为()(),0,1,0,121F F -过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于Q P ,两点,且3=PQ ,求椭圆的方程16.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( ) A.22 B.2 C.21D.2317.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(),0,1F离心率等于21,则C 的方程是 ( )A.14322=+y xB.13422=+y xC.12422=+y xD.13422=+y x18.焦点在x 轴的椭圆过,21,3,22,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B A 则椭圆的离心率为 ( ) A.23 B.21C.26D.3319.若椭圆的两焦点为()(),0,2,0,2-且椭圆过点,23,25⎪⎭⎫⎝⎛-则椭圆方程是20.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则=m ( )A.41B.21C.2D.421.椭圆121022=-+-m y m x 焦点在y 轴上，若焦距为4，则=m ( )A.4B.5C.8D.1422.21,F F 是椭圆125922=+y x 的焦点,直线AB 是过点(),4,0-若8=AB ,则=+B F A F 22 ( )A.12B.16C.4D.823.已知椭圆离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为24.已知椭圆焦点在x 轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短 距离为3,这个椭圆方程为25.已知椭圆的离心率32=e ,短轴顶点坐标为()54,0±,椭圆的方程26.已知椭圆C: ()222210x y a b a b+=>>的左顶点和下顶点分别为,,A B AB =弦的长为2求椭圆C 的方程27.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()2,1A --,且2a b =．求椭圆C 的方程28.圆()()(),.164:22+∈=-+-N m m y x C 直线43160x y --=过椭圆()0,1:2222>>=+b a by a x E的右焦点,交圆C 所得弦长为()32,3,15A 在椭圆E 上.=m ，椭圆E 方程()()()()()()()()()()()222221122221242,13.2255210.35410.41,2.511.32612.74416.84416,511.91,4/4.110.2115,3162a a c b D a a a C a PF D c b a C x y c A a c b D a l a B a l a AB AF BF C c a b A P D x y a c =⇒==⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒+=⇒===⇒+=⇒=⇒==⇒=⇒=⇒==⇒=⇒===⇒+=⇒===⇒⎫⇒⎪⎭==⇒+()()()()()()()()2222222222222 1.51212645.6255131115294141.539221315323202143116::.1171,2.212181x y m m C my x k k k a b b a b C a c a b b a x y a a a b aa c abc A c e a b D m mx ny =+=⇒=+⇒=⇒+=⇒=+⇒=+==⎧⎧⇒-=⇒⇒⎨⎨==⇒-=⎩⎩⎧-=⎪⇒=⇒--=⇒=⇒=⇒+=⎨⎪=⎩=⇒==⇒=⇒=++=⇒()()()()()()()()2222122222222222112141421314192110612014.112124108.22420812:113632236,2323:3632n m x y e n m n x y a PF PF A C x y A mmm m m C F A F B AB a F A F B Ax y x a e c b y x y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩=+===+=+=⇒=⇒-=+-⇒=⇒++=⇒+=-=⇒+===⇒=⇒=⇒+=1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()()()()()()2222222222222222122::2:243 1.1292::232512 1.144802026 1.16412712148242823,12a b c a x y b a c c e a b c x y a b a b x y bax y x y b b b c a a AF AF A E b ⎧⎧==⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩⎧=⇒=⎪⇒=⇒+=⎨⎪=⎩⎧+=⎪⇒+=⎨=⎪⎩+=⇒=⇒+=⎧=⎧=⎪⇒=+=⇒⎨⎨∈=⎪⎩224: 1.1618251631612455r x y E l m d m =⎧⎪⎪⇒+=⇒⎨=⎪⎪⎩⎩--===⇒=2021高考数学专题复习:双曲线(2)1.双曲线22145x y -=的离心率为 ( ) A.23 B.43 C.32D.22.以双曲线2213x y -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程可以是 ( ) A.()2224x y -+= B.()2222x y +-= C.()2222x y -+= D.()2224x y +-=3.双曲线221412x y -=的离心率等于 ；渐近线方程为 .4.双曲线2291x y -=-的渐近线方程为 .5.双曲线方程为2221x y -=,则它的右焦点坐标为 ( )A.,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭D.)6.双曲线8222=-y x 的实轴长是 ( ) A.2 B.22 C.4 D.247.已知双曲线15222=-y ax 的右焦点为()0,3,则该双曲线的离心率等于 ( )A.14 C.32 D.438.双曲线122=-x my 与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y =B.3y x =±C.13y x =± D.3y x =±9.双曲线12222=-bx a y 的两条渐近线互相垂直，则离心率=e ( )A.2B.3C.2D.2310.与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为 ( )A.221312x y -= B.18222=-x y C.18222=-y x D.221312y x -=11.双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则=m ( )A.41- B.4- C.4 D.4112.以15422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为13.双曲线116922=-y x 上的点M 到点()0,5-的距离为,7则M 到点()0,5的距离为 ( ) A.1或13 B.15 C.13 D.114.双曲线122=-my x 的一个焦点坐标为(),0,5-则双曲线的渐近线方程为 ( ) A. x y 41±= B. xy 21±=C. x y 2±=D. x y 4±=15.双曲线1322=-y m x 的离心率为,2则=m .16.经过点()62,62-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为 ( ) A.22186y x -= B.22168x y -=C.22186x y -=D.22168y x -=17.已知双道曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为 ( )A ．y x =±B ．y x =C ．y =D ．y x =18.焦点在y 轴上的双曲线的离心率为,3则它的渐近线方程为 ( )A.2y x =±B.y x =C.x y 2±=D.x y 22±=19.已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的离心率为3,2实轴长为4,则双曲线的方程为 .20.已知双曲线1822=-y m x 的离心率为,3则实数=m ．21.以椭圆192522=+y x 的焦点为焦点，离心率2=e 的双曲线方程是 ( )A.112622=-y x B.114622=-y x C.114422=-y x D.112422=-y x22.双曲线122=-y mx 的焦点到它的渐近线的距离为23.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为 ( )A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -=24.双曲线过点()(),6,3,3,2B A -则该双曲线的方程为25.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x 21,,F F 分别是 双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则=2PF( )A.2B.18C.2或18D.16双曲线的标准方程27.已知双曲线13222=-by x 的右焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.332 D. 22328.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 和椭圆191622=+y x 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求双曲线的方程29.若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为,8则点P 到它的左焦点的距离是 ( ) A ．4B ．12C ．4或12D ．630.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线112y x =+平行，则它的离心率为( )2 D.232.F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为33.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为,,21F F 过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于 Q P ,两点，且点P 的横坐标为,2则Q PF 1∆的周长为 ( )A ．3B ．C ．3D ．34.0241022=+-+x y x 的圆心是()0.19222>=-a y ax 的一个焦点,此双曲线渐近线方程为 ( ) A.x y 34±= B.x y 43±= C.x y 53±= D.x y 54±=35.双曲线223x y m m -1=的一个焦点是()2,0,椭圆221y x n m-=的焦距等于,4则=n36.与双曲线12422=-y x 共焦点，且过点()2,3的椭圆方程37.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为,x y -=双曲线方程38.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点()1,2Q 的双曲线方程39.已知12,F F 为双曲线22:1916x y C -=的左右焦点,点P 在C 的渐近线上12,0,PF PF P ⋅<横坐标取值 范围40.已知椭圆()()102222=++++-y c x y c x 的短轴长为2,b 那么直线:30l bx cy ++=截圆122=+y x 所得的弦长为41.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为42青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰A ．3B ．62C ．213D ．7243.(多选)12,F F 为双曲线()2222:1,,0x y C a b a b-=>的左右焦点,点P 在C 上,若渐进线方程为30,x y ±=焦距为42,下列说法正确的是 A.实轴长2 B.离心率2C.双曲线焦点到渐近线距离6D.存在点P ，使得21F P =44.（单选）双曲线221:14x C y -=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双曲线12,C C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是 ( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222212.32,.43.351.11226 1.9579542.841.319.10.11.12.13.14.151.16.17.18.19 1.45204.2122123.49112413613C D e y y x x y c e C x y a a C y x c A C A A C C C D C D x y D D m n m mx ny x m n n ===±-=⇒=⇒=⇒+==-=⇒=⇒=⇒-=⇒-=+==⎧⎧+=⇒⇒⇒⎨⎨+==-⎩⎩()()()()()()2222221 2.325.26 1.327.2814329.130::2:1:2y e C y x C x y C b a b c e D a -=⇒=-=-==⇒==⇒()()()()()()()()()2222222222231310,211344421442232216,42121628.233242345,04.353411,253236166Py x y x F t t t t t t t t t t m b l a m b x c PQ x PQ l a PQ A a F a B y m m m x c n nx y c t t t t ±⇒-=⇒-=⇒+-=-+⇒=⇒=⇒-=--===+=+===⇒⊥⇒==⇒=+=⇒⇒=⇒-+=⇒=-⇒+==⇒==⇒+=⇒+=++()()()()()()()())222222222221213122612031.93::1:1:37 1.2424483812 1.323953,43,3.338405.5541,:t t t t t t t x y a b a b c y x a b c c x y x F t y t t PF PF OP c P a d l a PO PFF l ⇒++=+⇒+-=⇒=⇒+=⎧=⇒=⎪==-=⎨=⇒=⎪⎩⇒-=⇒=⇒-=-⊥⇒==⇒⇒-=⇒===⇒===()()()()()222222222122224214424143::22,20::1:243.2.2181632442:2:12P S y x x y a a b a b c e a bb P a a y a bc BC a b e PF c a c c a S ab ab b a b a b⎧⎛⎪⇒⇒== ⎨ =⎝⎭⎪⎩⎧-=⎪⇒-=⇒=⇒=⇒=⎨⎪⎩±=⇒=⇒===≥-==⇒=⎪⎩⎧===⇒=⎪⇒⎨⎪=⇒=⎩.4B ⎧⇒⎨=⎩1.抛物线24y x =的准线方程是 ( ) A.1y = B.1y =- C.116y = D.116y =-2.已知抛物线22y px =的准线方程是2,x =-则=p ( ) A.2 B.4 C.2- D.4-3.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.44.已知抛物线x y 42=的焦点,F 该抛物线上的一点A 到y 轴的距离为3，则=AF( )A.4B.5C.6D.75.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于点,A 若3,AF =则点A 的坐标为 ( )A.()22,2B.()22,2-C.()22,2± D.()2,1±6.抛物线x y 12=上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到y 轴的距离是 ( )7.O 为坐标原点,直线x =2与抛物线()2:2,0C y px p =>交于D ,E 两点,若,OD OE ⊥则C 的焦点坐标为8.抛物线x y 82-=的准线与双曲线12822=-y x 的两条渐近线所围成的三角形的面积为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.29.已知点P 在抛物线y x 42=上，且点P 到x 轴的距离与点P 到此抛物线的焦点的距离之比为1:3, 则点P 到x 轴的距离是 ( ) A.41 B.12 C.1 D.210.若抛物线212y x m=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则m =11.点P 是抛物线x y 42=上一点P ,到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 ( ) A ．2 B. 3 C. 4 D.512.抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为10,则P 的坐标为 ( ) A.()9,6± B.()6,9 C.()6,9± D.()9,613.双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为F P ,为抛物线的焦点，若,5=PF 则 双曲线的渐近线方程为 ( ) A.02=±y x B.02=±y x C.03=±y x D.03=±y x14.过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()2211,,,y x B y x A 两点,若==+AB x x ,821( )A.10B.8C.6D.415.过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线与B A ,两点，若中点的横坐标为3，则=AB ( ) A.10 B.8 C.6 D.416.过24y x =的焦点直线l 交抛物线于()()2211,,,y x Q y x P 两点，如果,621=+x x 则=PQ17.()0.22>=p px y 上一点M 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,该点横坐标为 ( )A.10或 1B.9或 1C.10或2D.9或218.已知双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为19.抛物线y x 22=上有一点,P 它到()3,1A 的距离与到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.()1,2-B.11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()2,1-20.双曲线2221x y a-=()0>a 的一个焦点与抛物线218x y =的焦点重合,则此双曲线的离心率为( )A 333234321.已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-= 的距离是,2d 则12d d +的最小值是 ( ) A.3B.23C.62D.322. 点()2,1A -x y 4,2-=的焦点是P F ,是24y x =-上的动点，为使PA PF +取得最小值，则P 点坐标为 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 B.()22,2- C.⎪⎭⎫⎝⎛--1,41 D.()22,2--23.双曲线22214x y b-=右焦点与抛物线x y 122=焦点重合,双曲线的焦点到其渐近线距离等于 ( ) A.5 B.24 C.3 D.524.440kx y k --=与x y =2交B A ,两点,若,4=AB 弦AB 的中点到直线102x +=的距离 ( ) A ．74 B.2 C ．94D.425.抛物线焦点在x 轴，经过点()O y M ,,20为坐标原点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ( )A ．．．4 D ．26.24x y =焦点为,F 上有两点()()1122,,,A x y B x y 满足2AF BF -=,则221122y x y x +--=( )A.4 B ．6 C.8 D ．1027.双曲线()2222 1.0,0-=>>x y a b a b与抛物线28y x =有一个共同焦点F ,两曲线的一个交点为P ，若5,=PF 则点F 到双曲线的渐进线的距离为 ( )B.2D.328.抛物线mx y =2的焦点为,F 点()22,2P 在此抛物线上M ,为线段PF 的中点，则点M 到该 抛物线准线的距离为 ( ) A.1 B.23 C.2 D. 2529.()0,22>=p px y 焦点为()()()333222111,,,,,,y x P y x P y x P F 在抛物线上,2132x x x =+,则有( )A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+D.3122FP FP FP ⋅=30.双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程是,3x y =它的一个焦点在抛物线x y 682=的准线上,求双曲线的方程31.抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在第一象限,l PA ⊥,垂足为A ,4PF =, 则直线AF 的倾斜角等于 （ ） A ．712π B ．23π C ．34π D ．56π32.等轴双曲线C 的焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,34,=AB 则C 的 方程为33.双曲线C 的焦点在x 轴上,离心率为,25C 与抛物线x y 82=的准线交于,A B 两点,2,=AB 则C 的 方程为34.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变12米，此时 桥洞顶部距水面高度约为 米35.已知抛物线2:12C y x =的焦点为,F A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于,B D 两点，且,,A F B 三点共线，则FA =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．836.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ,准线为l ,P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线 （ ）A. 经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP37.F 为24y x =的焦点,C B A ,,为该抛物线上三点,若0=++FC FB FA ,FA FB FC ++=（ ） A ．9B ．6C ．4D ．338.(2020青岛模拟15)已知直线():1l y k x =-与抛物线()2:2,0C y px p =>在第一象限交点为,A l 过C的焦点,3,F AF =则抛物线的准线方程为 ，k =39.圆058:22=-+++ay x y x C 经过抛物线:E y x 42=焦点E ,的准线与圆C 相交所得弦长为40.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点()2,0A 的距离与P 到该抛物线准线的距离d 之 和的最小值为 （ ）A ．2B ．3 CD ．9241.抛物线()0.2:2>=p px y C 的准线为l ，过()0,1M l 相交于点A ，与C 的一个 交点为B ,若,=则p = ．()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()201.2.3.4.5.6.172,22,0.28.9.110.1611.12.133,3.148210.152********181,61710,6362101820.2229,6118D B C A C D D y x D B B C P m y D AB A AB x p B PQ p M p p M p p p B p M c ⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭⇒=⇒=⇒=+=⇒=+=+=⇒=+==⇒±⎧⎪⎛⎫⎛⎫-±⇒=-⇒--=⇒⇒⎨⎪ ⎪=⇒±⎝⎭⎝⎭⎪⎩=()()()()22255 1.4::1:2:1191.22082.212,0,y a b x a b c x y B y x c a C F d C⎧⎪==⇒-=⎨=⎪⎩=⇒=⇒=⇒=⇒=-==⇒()()()()(()()()()0022212121212121221.4233,2.1792442.2442532242,.2261122,4448.y x A c a b d A x x d C pp y x M OM A y y y y x x y y y y D =⇒=-⇒==⇒===+⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒±⇒=+-+=⇒-=⇒-=-=-=⇒()(()()()()()()((1221313222213213222273,,2,0221.352841,0.22292222230 1.618::2313,1,AF P F a PF PF a b A y x F M d D FP FP x x pp FP x FP x p FP FP FP Cx x x c x y a b a b c P A k ±⇒=-=⇒=⇒=⎛=⇒⇒⇒=⇒⎝+=++⎧⎪⎪=+⇒=+⇒+=⇒⎨⎪+=⎪⎩⎧=⎪⇒==-=⎨=⎪⎩⇒-⇒=()(()()()()()()()2222222.1612321,4,1422411331,2,11141222228,64181834,14146,.776,2362359,9312.36B x y A t a a t t tx y x y A t t m am x ay a x y d y m am AF FB A y AF PQ --=-⇒=⇒=⇒=⇒=⎛-=-⇒-=⇒=⇒-= ⎝⎭⇒=⎧⎪⎛⎫=⇒=-⇒=-⇒⇒-⇒==⎨⎪+⇒=+⎝⎭⎪⎩=⇒⇒=+==()()()()()()()(()()()()()()()123123123222min.371110336.381,0:4, 1.32,54225390,1421:140.241,2PF B x x x x x x FA FB FC x x x B F C y xx AFA k r x yF a AB l d l y PA d PA PF PA PFAF A p A ⇒⇒-+-+-=⇒++=⇒++=+++=⇒⇒==-=⇒⇒=⎧=⎧+++=⎪⇒=⇒⇒⇒==⎨⎨==-⎩⎪⎩+=+⇒+==⇒-())22222222,1,0,1241202B A p p p x B y M AM MB y x y pxp p p ⎧⎛⎫⎧⎫=+++⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪=⇒⇒⇒⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎝⎭⎪⎪=-=⎩⎩+-=⇒=2021高考数学专题复习:面积方程问题1.点P 在椭圆1222=+y x 上21,,F F 两焦点012,90,F PF ∠=则21PF F ∆的面积是2.21,F F 为双曲线141622=-y x 两焦点，双曲线上点P 满足021120=∠PF F ,21PF F ∆的面积为( )A ．334B ．25C.2D.53.21,F F 为椭圆22214x y b+=两个焦点,,221=F F 点P 在双曲线上且,90021=∠PF F 21PF F ∆的面积是4.P 为椭圆13422=+y x 上的一点,21,F F 为该椭圆的两个焦点，若,60021=∠PF F 则21PF F ∆的 面积等于 ( ) A.3 B.3 C.32 D.25.椭圆C 两焦点()()0,4,0,421F F -P ,在C 上，若21F PF ∆面积的最大值为C ,12方程为6.已知21,F F 为双曲线1:22=-y x C 左右焦点,点P 在C 上,=⋅=∠21021,60PF PF PF F ( )A ．2 B.4 C.6 D.87.21,F F 是14922=+y x 的两焦点,P 是椭圆上的点，且,1:2:21=PF PF 21F PF ∆面积为 ( ) A.4 B.6 C.22 D.248.2218y x -=两个焦点为12,F F P ,是双曲线上的一点，,4:3:21=PF PF 则=∆21F PF S ( ) A.310 B.38 C.58 D.5169.设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上,0,21=⋅PF PF =21PF PF10.1422=+y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点，当021120=∠PF F 时,=∆21PF F S . 当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标取值范围11.椭圆22221x y a b+=两焦点为()(),0,1,0,1-满足P b a ,4322=在椭圆上,1,21=-PF PF 椭圆方程 =∠21cos PF F12.已知点P 是椭圆22184x y +=上一点,21,F F 分别为左右焦点,若12PF F ∆的面积为,312cos F PF ∠=13.双曲线15422=-y x 与椭圆1162522=+y x 交于点,P 左右焦点分别为12,,F F =21PF PF14.已知()(),0,5,0,5BA -动点C 到B A ,两点的距离之和为6,设P 为C 上一点,0,=⋅PB PA=⋅21PF PF15.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =16.21,F F 是椭圆12222=+by a x 的左右焦点,()4,3P 是椭圆上一点,,21PF PF ⊥椭圆方程()()()()()()()()()000022220121211tan 45142.tan 6033tan 45 3.43tan 30.1512835 1.22592414286cos 604.222274,2,4.6:3:486,2S S A S S B x y b b a m n mn c mn mn B mn mnm nm n F F PF PF S A m n m n m n m =⋅===⇒=⋅==⋅=⇒=⋅⋅⇒=⇒=⇒+=-+-+-=⇒=⇒=⇒=⎧⇒===⊥⇒=⇒⎨+=⎩=⎧⇒=⎨-=⎩()()()122200221221121218,68.249 2.121101tan 6012.22::211 1.431534,2212A A A n F F S C m n mn m n S S c y y x x a x y a b c c b PF PF PF PF PF PF F F c ==⇒=⋅⋅=+=⎧⇒=⎨+=⎩⎛=⋅===⋅⋅⇒=⇒=⇒∈ ⎝⎭=⎧⎧=⎪⎪⇒+=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩⎧⇒+===⎪⇒⎨-=⎪⎩==()()()()2222121122122222203cos .252347124tan3tancos cos 2cos 1.2242522510134100168421.4146321208.94tan 454215::1:PF PF F F F PF PF PF m n mn mn m n x y m n a b m n mn S b b e a b c θθθθθ⎧+-⎪⇒∠==⎨⋅⎪⎩⋅=⇒=⇒=⇒=-=+=⎧⇒=-=⇒=⎨-=⎩+=⇒=⇒=⇒+=⇒+=⇒===⇒===()222221219161624415 1.2444520a x y S cb bc c c c c ⎧⎪⇒=⎨⎪⎩=⋅=⇒=⇒+=⇒=⇒+=+2021高考数学专题复习:离心率1.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.41B.21C.22D.232.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则该椭圆的离心率为 ( ) A.51 B.43 C.33 D.213.直线:220l x y -+=与坐标轴的交点分别是一个椭圆的焦点和顶点，椭圆的离心率为 ( )A.55B.255C.55或255D.254.椭圆()5.15222>=+a y ax 的的左焦点为,F 直线x m =与椭圆相交于点,,B A FAB ∆的周长的最大值 是12,则该椭圆的离心率=e5.已知点12,F F 分别是椭圆()2222:1,0x y C a b a b+=>>的左右焦点,O 为坐标原点,点P 在椭圆上,且满足1221 2,3,F F OP tan PF F =∠=则C 的离心率为6.已知P 是以21,F F 为焦点的双曲线()0,,12222>=-b a b y a x 上一点,若21tan ,2121=∠⊥F PF PF PF ,则双曲线的离心率为7.设21,F F 分别是双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使()O P F OF OP ,022=⋅+为坐标原点,且,321PF PF=则该双曲线的离心率为 （ ）A.31+B.312+ C.62+ D.622+8.设双曲线()0,0.1:2222>>=-b a b y a x C 的左右焦点分别为21,F F P ,是C 上的点,,212F F PF ⊥,45021=∠F PF 则C 的离心率为9.已知21,F F 是双曲线22221-=x y a b的左右焦点,点P 是以21,F F 为直径的圆与双曲线的一个交点，且12215,PF F PF F ∠=∠则双曲线离心率为10.已知双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线截圆()11:22=+-y x M 所得弦长为3，则该双曲线的离心率为 ( ) A.43 B.233 C.63 D.5311.已知21,F F 是双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左支交于B A ,两点．若5:4:3::22=AF BF AB ,则双曲线的离心率为 .12.已知抛物线x y 82=的准线与双曲线1:222=-y ax C 相切，则双曲线C 的离心率为 ( )A.25B.23C.552D.33213.设点P 是双曲线(a by a x 12222=-)0,0>>b 与圆2222b a y x +=+在第一象限的交点，其中21,F F分别是双曲线的左右焦点，且212PF PF =,则该双曲线的离心率为14.21,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于B A ,两点2,ABF ∆是直角三角形,则该双曲线的离心率为15.已知21,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线分别交于B A ,两点2,ABF ∆是直角三角形,则该双曲线的离心率是16.过双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作垂直于x 轴的直线,交双曲线的渐近线于,A B 两点，若OAB ∆(O 为坐标原点)是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )A.33B.233C.3D.2 17.21,F F 是双曲线12222=-by a x 左右焦点,过2F 作与x 轴垂直的弦,PQ 且==∠e Q PF ,6001 ( ) A.3 B.2 C.2 D.2618.过双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF 的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ( )A ．332B ．3C ．233D ．219.椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别是B A ,,左右焦点分别是21,F F 若B F F F AF 1211,,成等比数列， 则此椭圆的离心率为20.椭圆2222+=1x y a b的左右焦点分别是,,21F F 过2F 作倾斜角为0120的直线与椭圆的一个交点为,M 若1MF 垂直于x 轴,则椭圆的离心率为21.双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的渐近线与抛物线21y x =+相切,该双曲线的离心率为 ( ) A.3 B.2 C.5 D.622.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 焦距为1161,1022+=x y 与其渐近线相切,双曲线方程为（ ） A.22182x y -= B.22128x y -= C.2214x y -= D.2214y x -=23.点P 在椭圆12222=+by a x 上21,,F F 是椭圆的两个焦点,90,021=∠PF F 且21PF F ∆的三条边长成等差数列， 则此椭圆的离心率是24.已知双曲线一个焦点为(),0,51-F 点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为()2,0，则此双曲线 的离心率是 .25.双曲线的中心为原点O ,实轴在x 轴上,虚轴顶点为A ，左右焦点分别为,,21F F 线段12,OF OF 的中点 分别为12,B B ,且21B AB ∆是直角三角形,该双曲线的离心率为26.设12,F F 是双曲线1:2222=-by a x C 的两个焦点.若在C 上存在一点,P 使,30,02121=∠⊥F PF PF PF 则C 的离心率为 .27.椭圆22221+=x y a b上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为28.点A 是抛物线()0,2:21>=p px y C 与双曲线:2C 22221x y a b -=的一条渐近线的交点，若点A 到 抛物线1C 的准线的距离为,p 则双曲线2C 的离心率等于 ( )A.2B.3C.5D.629.设双曲线的一个焦点为,F 虚轴的一个端点为,B 如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此 双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.312+ D. 512+30.椭圆的两个焦点和短轴两顶点是一个含060角的菱形的四个顶点，则椭圆离心率为31.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 离心率[],2,2∈e 则两条渐近线夹角θ的取值范围是32.12,F F 是双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b的两个焦点,过2F 作x 轴的垂线交双曲线于,A B 两点，若 1,3AF B π∠<则双曲线离心率取值范围为33.已知双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b的左顶点为,A 右焦点为(),0,c F 直线c x =与双曲线C 在第 一象限的交点为,P 过F 的直线l 与双曲线C 过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP 交于点,B 若ABF ∆ 与PBF ∆的面积的比值为2，则双曲线C 的离心率为34.已知1,F 2F 是双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，若直线2y x =与双曲线C 交于,P Q 两点，且四边形12PF QF 是矩形，则双曲线的离心率为 （ ）A ．55-B ．525+C 5+25D 525-35.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为,,21F F 线段21F F 被抛物线22y bx =的焦点 分成5:7的两段,则此双曲线的离心率为36.已知抛物线()0,22>=p px y 与双曲线12222=-b y a x 有相同的焦点,F 点A 是两曲线的交点， 且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 ( )A.512+ B.21+ C.31+ D.2212+37.双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 左右焦点分别为A F F ,,21是双曲线上一点122,,⊥F F AF 若直线1AF 与圆22229++=a b x y 相切,切点为,M 则双曲线离心率为38.椭圆22221+=x y a b的左焦点1,F 该椭圆上一点A 满足1OAF ∆是等边三角形,则椭圆离心率为39.双曲线()22221,,0x y a b a b-=>的左、右焦点分别为为12,,F F 过2F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲 线的左支分别交于点,,A B 若()21,2OA OB OF =+则该双曲线的离心率为40.已知双曲线()22221,,0x y a b a b-=>的左右焦点分别为12,,F F 圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为,M 若123,MF MF =则该双曲线的离心率为41.设双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1,F 直线:43200l x y -+=过点1F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点1,,OP OF =则双曲线C 的右焦点的坐标为 ，离心率为 ．42.已知F 为双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点,,A B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为 ( )1B.1- 1+ 143.已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF//OA ，若0AB OB ⋅=,则双曲线C 的离心率为 ( )A.3 D.244.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线分别为1l ,2l ,点A 是x 轴上与坐标原点O 不重合的一点,以OA 为直径的圆交直线1l 于点O ,B ,交直线2l 于点O ,C ,若2BC OA =,则该双曲线的离心率是45.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A , 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为 ( )A B C D ．46.已知,,A B C 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>>上的三个点,AB 经过坐标原点,O AC 经过双曲线的右焦点2,F 若22,2,BF AC AF CF ⊥=则该双曲线的离心率是 ( )A.53 D.9447.设双曲线()222210x y C a b a b-=>0,>：的左、右焦点分别为12122,,2,F F FF c F =过作x 轴的垂线，与双曲线 在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.48.双曲线()222210x y a b a b-=>0,>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为,A 交另一条渐近线于点,B 且221,3AF F B =则双曲线的离心率为 ( ) A.53 17 17 D.9449.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且123PF F π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为12,,e e 则221213e e +的值为 ( ) A.1 B.2512C.4D.16。
2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：2.5.3 圆锥曲线中的证明、定点及定值问题
所以直线 AB 的方程为 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.易知直线 AB
过定点(1，－2)．
当直线 AB 的斜率不存在时，设其方程为 x＝m，A(m，y3)，B(m， y4)，
则y3－ m 2＋y4－ m 2＝y3＋my4－4＝－4， 易知 y3，y4 互为相反数，所以 y3＋y4＝0， 所以 m＝1，可知直线 x＝1 也过定点(1，－2)．
6ktx＋3t2－12＝0， 则 Δ＝(6kt)2－4(3k2＋2)(3t2－12)>0，即 6k2－t2＋4>0， x1＋x2＝－3k62k＋t 2，x1x2＝33tk22－＋122.
由 l1 与 l2 的斜率之和为－4，可得y1x－1 2＋y2x－2 2＝－4，
又 y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， 所以y1x－1 2＋y2x－2 2＝kx1＋x1t－2＋kx2＋x2t－2＝2k＋t－2x1xx12＋x2 ＝2k＋t－32t2－·3－k1226＋kt2＝－4，化简得 t＝－k－2(t＝2 舍去)．
以 xD＝52，
因为 MG 中点的横坐标为52，所以 D 为线段 MG 的中点，
所以|MD|＝|DG|.
考点二 定点问题
解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆 (其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其 实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这 些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：
(2)若 AC⊥l1，垂足为 C，直线 BC 交 x 轴于点 D，证明：|MD| ＝|DG|.
解析：(1)因为椭圆 E 的焦距为 2 3，所以 c＝ 3， 所以 a2－b2＝3，①
当 l2 垂直于 x 轴时．|MG|＝3，因为△ABG 的面积为32 3，
2021年新课标新高考数学复习课件：§9.6 圆锥曲线的综合问题
知识拓展 1.圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法 求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题:一是注意题目中的几何特征, 充分考虑图形的性质;二是运用函数思想,建立目标函数,求解最值.在利用 代数法解决最值和范围问题时常从以下五个方面考虑: (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是两个参数 之间建立等量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 2.求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点: (1)圆锥曲线上本身存在最值问题,如(i)椭圆上两点间的最大距离为2a(长
1 4
=k
x
1 2
,y-
9 4
=-
1 k
x-
3 2
.
联立直线AP与BQ的方程
kx-y
1 2
k
1 4
0,
x
ky-
9 4
k-
3 2
0,
解得点Q的横坐标是xQ=
-k 2 4k 2(k 2
1)
3
.
因为|PA|=
1
k2
x
1 2
=
1 k2 (k+1),
|PQ|= 1 k 2 (xQ-x)=- (k-1)(k 1)2 ,
故所求椭圆方程为 x2 +y2=1.
2
(2)由题意知,直线l的斜率存在,
设l:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2).
x2
由 2
y2
1,
y kx m,
得(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-1)=0,
选修21人教版圆锥曲线复习课共15张PPT
x轴、y轴、 原点对称
(+a,0)
(0,+a)
e c a
e c a
e 1
ybx a
yax b
图像 标准方程
抛物线
ly
ox
yl
ox
y
o lx
y
o
l
x
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
范围 焦点 准线 对称性 离心率
A
11
22
o
P
x B
联立方程
y
x2 4
kx 1 k + y2 =1
2
消去y, 得 (1 2k 2 )x2
4k(k
1)x
2(k
2
2k
1)
0
令 0,即16k2(k 1)2 8(1 2k2) k2 2k 1 0, 恒成立。
由韦达定理得x1
x2
4k(k 1) 1 2k 2
.
又P平分AB， x1 x2 2
4k(k 1) 2,解得k 1 , 又直线过P点，直线方程为y-1=- 1 (x 1),
1 2k 2
2
2
即x+2y-3=0
注2： (1)联立方程组
例3 P(1,1)为椭圆 x2 + y2 =1内一定点，经过P引一弦，使此弦
42
在P点被平分，求此弦所在的直线方程。
解：法2：点差法 设弦的两个端点 A(x1, y1), B(x2, y2 )
（
）
A2
B3
C6
D9
A (2)直线y kx k 1与椭圆 x2 y2 1恒有（ ）个交点。 94
圆锥曲线——中点弦点差法课件-2021届高三数学复习
将A、B两点带入椭圆方程得
33xx1222
4 y12 4 y22
12 12
两式相减可得，3 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0
即
k AB
kOM
b2 a2
3 4
k 3 4m
点M (1, m)在椭圆内，即 1 m2 1, (m 0)，解得 0 m 3
即有
x1
x2
2 m ，截得弦的中点为 3
1 3
m,
1 2
m
由
x
y
1 2
1m 3 m
,消去m,可得
y3x 2
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线 y 3 x 上。 2
课本 P49 习题2.2 A组第8题
已知椭圆 x2 y2 1, 49
3
一组平行直线的斜率是 2
运用：点差法
(1)这组直线何时与椭圆相交?
a2 b2
3、再拓展
x 椭圆焦点在 轴，A、B是关于原点对称的两点，P是异于A、B的一个点，
如图：
kPA
kPB
b2 a2
双曲线也有类kPA k似PB 的 ba22性质
4、点差法做题步骤：
1.设点 2.作差 3.求斜率
点差法的优点： 1.运算简单，做题信心足 2.解决中点弦问题形成方法，塑造思路极易 总结：中点弦问题—点差法设点作差求斜率
课本 P49 习题2.2 A组第8题
已知椭圆
x2 4
y2 9
1,
一组平行直线的斜率是
3 2
(1)这组直线何时与椭圆相交?
运用：韦达定理
(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上。
2021届江西省高考理科数学总复习第65讲：圆锥曲线
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于 ⊥ ，【关键点5：圆的几何性质向量化】
故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
[解](1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．【关键点1：圆的几何性质】
由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，【关键点2：圆的几何性质】
所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G，
(ⅰ)△PQG是直角三角形；
(ⅱ)求△PQG面积的最大值．
……
(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|＝2u ，|PG|＝ ，
所以△PQG的面积S＝ |PQ‖PG|＝ ＝ .【关键点1：分子分母同除以k2】
设t＝k＋ ，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．【关键点2：整体代换，指明范围】
因为S＝ 在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为 .【关键点3：用活“对勾”函数及复合函数的单调性】
因此，△PQG面积的最大值为 .
【点评】基本不等式求最值的5种典型情况分析
(1)s＝ (先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)．
2021高中数学复习：圆锥曲线
2021高中数学复习：圆锥曲线一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一，则其离心率的值是________． 【答案】2分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a=±即0bx ay ±=的距离为,bcb c ==所以2b c =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．【答案】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P，则Q，1(F，2F，则S == （1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y b y x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．3．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.4．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是____________.【答案】试题分析：222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=故答案应填：双曲线性质本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22221(0,0)x y a b a b-=>>揭示焦点在x 轴，实轴长为2a ，虚轴长为2b，焦距为2c =by x a =±，离心率为22c a b a a+=．6．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为【答案】22设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点到直线的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，因此c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，为2.22= 考点：双曲线渐近线，恒成立转化 二、解答题7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --.(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. （1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠. ∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵准线方程为4x = ∴()4,Q Q y∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d . ∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅ ∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB 的面积为26，求直线l 的方程． 【答案】（1）2214x y +=，223x y +=；（2）532y x =-+ 分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C 的焦点为()123,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()0000,(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以()()()()22222200024443644820x x y y y x∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB的面积为26 7，所以12627AB OP⋅=，从而427AB=．设()()1122,,,A x yB x y，由（*）得()()220001,2002448224x y xxx y±-=+，所以()()2221212AB x x y y=-+-()()22200222200048214y xxy x y-⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭+．因为22003x y+=，所以()()222216232491xABx-==+，即42002451000x x-+=，解得22005(202x x==舍去），则212y=，因此P的坐标为102,⎛⎫⎪⎪⎝⎭．综上，直线l的方程为532y x=-+．：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.10．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yE a ba b＞＞+=的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=；（2）77(77.（1）由条件可得12c a =，228a c=，解方程组可得2,1a c ==，则223b a c =-=（2）设00(,)P x y ，根据点斜式写出直线1PF 及2PF 的方程，解方程组得交点坐标20001(,)x Q x y --，代入椭圆方程化简得22001x y -=或22001x y +=，与2200143x y +=联立，求解可得点P 的坐标． （1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是223b a c =-=因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.（2）由（1）知，()11,0F -，()21,0F . 设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程：()0011x y x y +=-+， ①直线2l 的方程：()0011x y x y -=--. ② 由①②，解得2001,x x x y y -=-=，所以20001,x Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737,x y ==；220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解. 因此点P 的坐标为4737,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.:直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3直线与抛物线位置关系在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．12．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）（2）或．试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为，二是右焦点F到左准线l的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.试题解析：（1）由题意，得且，解得，，则，所以椭圆的标准方程为．（2）当轴时，，又，不合题意．当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，将的方程代入椭圆方程，得，则，的坐标为，且．若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．从而，故直线的方程为，则点的坐标为，从而．因为，所以，解得．此时直线方程为或．考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系13．已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）x-y-1=0或x+y-1=0. 试题分析：（1）由已知条件，先求Q 点的坐标，再由54QF PQ =及抛物线的焦半径公式列方程可求得p 的值，从而可得抛物线C 的方程；（2）由已知条件可知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的点参式方程：()10x my m =+≠，代入24y x =消元得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理及弦长公式表示AB 的中点D的坐标及AB 长，同理可得MN 的中点E 的坐标及MN 的长．由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，由此列方程可求得m 的值，进而可得直线l 的方程．试题解析：（1）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p =∴==+=+．由题设得85824p p p+=⨯，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（2）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l的方程为()10x my m =+≠，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()2221221,2,141D m m AB m y y m +=+-=+．又l '的斜率为,m l -∴'的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN 的中点为()22234222412122123,,1m m E m MN y y mm m m ++⎛⎫++-=+-= ⎪⎝⎭． 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m mm m m m m++⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得210m-=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．考点：1．抛物线的几何性质；2．抛物线方程的求法；3．直线与抛物线的位置关系． 14．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME =2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式.）【答案】（1）；（2）；（3（1）由题意，可设抛物线C 的标准方程为因为点在抛物线C 上，所以因此，抛物线C 的标准方程为（2）由（1）可得焦点F 的坐标是又直线OA 的斜率为故与直线OA垂直的直线的斜率为-1因此，所求直线的方程为（3）设点D和E 的坐标分别为和，直线的方程式，将代入，有解得，知由因此。
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2021年高考数学 圆锥曲线复习课
1． 一定要重视椭圆、双曲线、抛物线（注：抛物线只有一个定义）第一定义，有很多题可以转化为定义去做。
例如：
（1） 求与圆和圆相切的点的轨迹方程
（2） 求与圆相切且过点（5，0）的点的轨迹方程
（3） 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，M ，N 是左、右顶点，P 是双曲线上的一点，且的内切
圆与切于点T.求T 的坐标
（4） 试在抛物线上找一点P ，使其到焦点F 的距离与到A
（2，1）的距离之和最小。
求该点坐标
2． 一定要重视椭圆、双曲线、抛物线（注：抛物线只有一个定义）第二定义：
（1）已知椭圆内有一点A （1，1），分别是椭圆的左、右焦点，点P
是椭圆上一点.（1）求的最大值、最小值及对应的点P 坐标（2）
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求的最小值及对应的点P 的坐标
（2）推导椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式非常方便
（3）特别重视抛物线的定义：①（1）AB 为抛物线上的动弦，且|AB|=a
（a 为常数，且），求弦AB 中点M 离准线最近的距离（2）在（1）中如把改成0<a<1，问问题有如何解答？
② 一条直线l 经过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点，过P 、Q 点分别向准线引垂线PR 、QS ，垂足为R 、S ，如果|PF|=a ，|QF|=b ，M 为RS 的中点．求||MF|的值
3． 圆锥曲线的标准方程及其性质：
（1） 圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质一定要非常的熟
悉．一般方程、椭圆系方程、（，（0,0,022>->->>k b k a b a ）焦点相同）共轭双曲线（）、以直线为渐近线的双曲线系方程（）
（2） 要会描述非标准位置的圆锥曲线：①给你一个非标准位置的
圆锥曲线，你能说出它的焦点、顶点坐标，准线方程，以及能进一步地求出它的离心率（曲线
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013683422=+---y x y x
的焦点、顶点坐标、准线方程）
②能写出平移后的非标准位置圆锥曲线方程（把抛物线按向量平移，使其焦点与椭圆的右焦点重合，求向量）
（3） 圆锥曲线的参数方程在解决最值方面有独特的应用
（4） 求圆锥曲线方程是经常考查的一个很重要的方面（推广一下
就是求点的轨迹方程问题），方法：选形式、定系数
4． 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）
1． 首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 ①直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比
②直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离
③直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
2． ①求弦所在的直线方程
②根据其它条件求圆锥曲线方程
3． 已知一点A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，且中点
实用文档 为A ，求P 、Q 所在的直线方程
4． 已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求
某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）
椭圆、双曲线、抛物线着三种曲线有许多共性，也有许多不同之处，既要记住它们的共同指出也要分清它们各自的特点
抛物线独有的性质：
例1：过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点，且A 、B 在准线
上的射影分别为C 、D ，则2212
214p y y p x x -=⋅=⋅，
p DF CF CFD 21||190=+=∠ 例2：过抛物线的顶点，任意作两条相互垂直的弦0A 、0B （1）求
证：AB 交抛物线对称轴上一定点（2）求A 、B 中点轨迹方程 求椭圆、双曲线的离心率是经常考查的知识点
注重基础知识、基本方法、基本技能，看书本把笔记、质量监测弄懂、弄透即可。