绝对值应用(绝对值的几何意义)(北师版)(含答案)

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阶段拔尖专训4 绝对值的常见应用

【解】当 x ≥3时，原式＝( x －1)＋( x －3)＝2 x －4；
当1＜ x ＜3时，原式＝( x －1)＋(3－ x )＝2；
当 x ≤1时，原式＝(1－ x )＋(3－ x )＝4－2 x .
【点拨】
要去掉两个绝对值的符号，就要同时确定两个绝对值
里的式子的正负号，可以使用零点分段法，用分类讨论的

a ， b 为正， c 为负.
｜｜
＋1＋(－1)＋(－1)＝0；
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＋

｜｜
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｜｜
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＋

｜｜
＝1
阶段拔尖专训
(3)当 a ， b ， c 中，有一个正数，两个负数时，不妨设 a
为正， b ， c 为负.

｜｜
＋

｜｜
＋

｜｜
＋

｜｜
＝1
＋(－1)＋(－1)＋1＝0；
－3
2 之间的距离；｜ x ＋3｜表示 x 与
之间的距离；
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阶段拔尖专训
(3)当｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5时， x 可取整数 2(答案不
不唯一) .(写出一个符合条件的整数 x 即可)
⁠
【点拨】
因为｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5表示数轴上有理数 x 所
对应的点到2和－3所对应的点的距离之和为5，所以 x 在－
思想方法来解.
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七年级数学上册难点突破04绝对值试题含解析新版北师大版

专题04 绝对值【专题说明】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【知识点总结】一、绝对值1.定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a |.要点诠释:（1）绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有:（2）绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大；离原点的距离越近,绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0．二、有理数的大小比较1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b ．2.法则比较法:两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号同为正号:绝对值大的数大同为负号:绝对值大的反而小两数异号正数大于负数 (0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩要点诠释:利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小:（3）判定两数的大小．3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a －b ＞0,则a ＞b ；若a －b ＝0,则a ＝b ；若a －b ＜0,a ＜b ；反之成立．4. 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >；若1a b =,则a b =；若1a b<,则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反．5. 倒数比较法:如果两个数都大于零,那么倒数大的反而小.【精典例题】一、绝对值的概念1、求下列各数的绝对值．112-,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】112,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】方法1:因为112-到原点距离是112个单位长度,所以111122-=．因为－0.3到原点距离是0.3个单位长度,所以|－0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|＝0．因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度,所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭．方法2:因为1102-<,所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭．因为－0.3＜0,所以|－0.3|＝－(－0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身,所以|0|＝0因为1302⎛⎫-->⎪⎝⎭,所以113322⎛⎫--=⎪⎝⎭【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．2、已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是________．【答案】2009或－2009【解析】根据绝对值的定义,到原点的距离是2009的点有两个,从原点向左侧移动2009个单位长度,得到表示数－2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度,得到表示数2009的点．【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.3、计算:（1）145--（2）|－4|+|3|+|0| （3）－|+(－8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,(2)|－4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7,(3)－|+(－8)|＝－[－(－8)]＝－8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解,一种是利用绝对值的代数意义求解,后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．4、如果|x|＝6,|y|＝4,且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和－6的绝对值都等于6,4和－4的绝对值都等于4,所以要注意分类讨论．【答案与解析】因为|x|＝6,所以x＝6或x＝－6；因为|y|＝4,所以y＝4或y＝－4；由于x＜y,故x只能是－6,因此x＝－6,y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.此外,此题x＝－6,y＝±4,就是x＝－6,y＝4或x＝－6,y＝－4.二、比较大小1、比较下列有理数大小:(1)－1和0； (2)－2和|－3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ；（4）1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数,即－1＜0；(2)先化简|－3|＝3,负数小于正数,所以－2＜3,即－2＜|－3|；(3)先化简1133⎛⎫--= ⎪⎝⎭,1122-=,1123>,即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭． (4)先化简11--=-,0.10.1--=-,这是两个负数比较大小:因为11-=,0.10.1-=,而10.1>, 所以10.1-<-,即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简,再运用有理数大小比较法则．【点评】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．2、比较下列每组数的大小:(1)－(－5)与－|－5|；(2)－(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号,去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”,然后比较．【答案与解析】 (1)化简得:－(－5)＝5,－|－5|＝－5．因为正数大于一切负数,所以－(－5)＞－|－5|．(2)化简得:－(+3)＝－3．因为负数小于零,所以－(+3)＜0．(3)化简得:3344--=-．这是两个负数比较大小,因为44165520-==,33154420-==,且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得:－|－3.14|＝－3.14,这是两个负数比较大小,因为 |－π|＝π,|－3.14|＝3.14,而π＞3.14,所以－π＜－|－3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．三、绝对值非负性的应用1、已知|2－m|+|n－3|＝0,试求m－2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知,｜2－m｜≥0,｜n－3｜≥0,而它们的和为0．所以｜2－m｜＝0,|n－3|＝0．因此,2－m＝0,n－3＝0,所以m＝2,n＝3．【答案与解析】因为|2－m|+|n－3|＝0且|2－m|≥0,|n－3|≥0所以|2－m|＝0,|n－3|＝0即2－m＝0,n－3＝0所以m＝2,n＝3故m－2n＝2－2×3＝－4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|＝0时,则a＝b＝…＝m＝0．2、已知a、b为有理数,且满足:12,则a=_______,b=________．【答案与解析】由,,,可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0,要使这两个数的和为0,需要这两个数都为0．几个非负数的和为0,则每一个数均为0．四、含有字母的绝对值的化简1、把下列各式去掉绝对值的符号．(1)|a－4|(a≥4)；(2)|5－b|(b＞5)．【答案与解析】(1)∵ a≥4,∴a－4≥0,∴ |a－4|＝a－4．(2)∵ b＞5,∴ 5－b＜0,∴ |5－b|＝－(5－b)＝b－5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况,再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.五、绝对值的实际应用1、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位:克):－25,+10,－20,+30,+15,－40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜+30｜＜｜－40｜,所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小,越接近标准.。

绝对值的几何意义课件北师大版七年级数学上册(1)

初数专一学题
---第2讲-绝对值
日期：
科目：数学
【专题】
知识点点屋
（1）（2）
第一节实数（含二次根式）
【分析和思考】思考一：解法一：∵
∴ ∴
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第一节实数（含二次根式）
思考二：零点分段讨论法解题
思考：
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6
第一节实数（含二次根式）课课清学后练
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第一节实数（含二次根式）课课清学后练
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第一节实数（含二次根式）
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【解题分析】本题何意义解题。第一步找点：
绝对值的几
第二步取x值：
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-3 -2 -1 0 1 2 3
“单数取中间点，双数取中间区域”
第一节实数（含二次根式）
解：
12
☻ ☻ ☻ ☻ ☻☻ ☻
解：
999≥ ≥998 x=999 999≥ ≥998
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1☻
2☻
☻☻☻ 3 998 999
☻ 1996
☻
第一节实数（含二次根式）课课清学后练
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第一节实数（含二次根式）
2、
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第一节实数（含二次根式）
返回目录
绝对值最值解题总结
①绝对值非负性： ②零点分段讨论法：（局限于项数少的情况下使用） ③绝对值几何意义解题法：
分析思考一：第一步：找点
绝对值的几何意义解题
第二步：取x值
思考？
-6
2
零点分段讨论法
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第一节实数（含二次根式）课课清学后练
返回目录
第一节实数（含二次根式）

七年级数学寒假专题-绝对值北师大版

七年级寒假专题：绝对值北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题一：绝对值二. 重点、难点：绝对值是中学数学的重要概念，有理数加减法是整式和其它运算的基础，它们是教学的重点，也是难点，如何突破这个难点，降低有理数的教学难度，提高有理数教学的效率，是我们面对的不得不深入思考的问题。

在教学有理数概念时，通过分析有理数的结构，明确有理数是由符号和绝对值组成的，从而引出绝对值概念，这样把有理数的绝对值与小学学习的数统一起来，以利于知识的迁移，也为突出符号教学开了头。

数轴通过分析把一个数用数轴上的点表示，明确一个数的符号决定表示该数的点在原点的哪一边，绝对值决定表示该数的点到原点的距离。

因此，我们说，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，有了绝对值概念，就可以用绝对值概念定义相反数即符号相反，绝对值相等的两个数（规定0的相反数为0），这比“只有符号不同的两个数互为相反数”更明确，清楚。

有理数的减法是转化为加法来计算的，实际上有理数的加法和减法本质上没有区别，都是代数和，因此，我们可以把加减法放在一起学习。

首先在学习相反数时，符号化简，“同号得正，异号得负”化简符号后，归纳出有理数加减法法则：两个有理数相加减，化简符号后，同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数的和为零。

一个数与零相加仍得这个数。

注意，无论加减，化简符号后看成是省略了加号只剩下符号和绝对值的式子。

如－3＋（＋2）化简为－3＋2看成是－3与＋2的和，省略了加号，读作－3加＋2或－3与＋2的和。

再如，－3－（＋2）化简为－3－2，看成是－3与－2的和，省略了加号，读作－3加－2或－3与－2的和。

这样，计算－3－2就是同号相加，取相同的符号“－”，并把绝对值（这里的绝对值直接认同小学学习过的数）相加即3＋2＝5，结果是－5。

计算－3＋2是异号相减，取绝对值（这里的绝对值直接认同小学学习过的数）大的符号“－”并用较大的绝对值减较小的绝对值即3－2＝1，结果是－1。

初中数学北师大七年级上册第二章有理数及其运算-用绝对值的几何意义求最值PPT

当n为奇数时，P可设在第
n
台和第
（
n
台1）机床
2
2
n 台1 机床处 2
求|x-2|+|x+1|的最小值
试一试2：当x取何值时，下列式子有最小值？（1）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2020| （2）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|
解：（1）当1010≤x≤1011时，原式取得最小值
（2）当x=1011时，原式取得最小值
数
形
结
分合
从特殊
类讨论
到
一
般
想解答：
当-1≤x≤2时，原式取得最小值，最小值为3
求|x-2|+|x+1|的最小值
变式1：求|x-2|+|x-1|+|x+1|的最小值
解答：
A
-4 -3 -2 -1
CB
0 12 3 4
当x=1时，原式取得最小值，最小值为3
试一试1：求|x+2|+|x|+|x-3|的最小值
-4 -3 -2 -1
求|x-2|+|x+1|的最小值
回顾
：
a
b
|a-b|的几何意义是：
数轴上表示数a与数b两点之间的距离
|x+1|=|x - (-1)|
P
A
PA=|x+1|
x
-1
数轴上表示数x与数-1的两点之间的距离
求|x-2|+|x+1|的最小值
问题分析：
数
形
找到一点P，使P到A、B的距离之和最小

绝对值几何意义的应用探究设计(一)1

绝对值几何意义的应用探究(一)成都石室冉云一、教学内容解析《绝对值》是七年级第二章《有理数及其运算》中第3节的内容，前面所学数轴是数学中数形结合的起点，绝对值概念的生成过程中更是在渗透数形结合的思想方法；同时，本节结合绝对值概念的几何意义，运用数形结合，将绝对值相关问题转化为绝对值几何意义来解决，从而还渗透了建模、化归的数学思想。

最值问题是阶段学生学习解决的一个难点问题，大多数学生理解起来都有难度。

于是很多教师在处理这节内容时候往往避难就易，很快带过。

而要解决以上问题，关键是要将绝对值的定义即几何意义理解吃透，利用“数形结合〞解决以上问题比拟方便！而本节内容对于最值问题的思考和探索，将为后面的有关学习打下根底。

二、学生学情分析x 的几何学生在新课阶段已经学习了绝对值的几何意义，知道了x，推广到a意义，以及两点间距离公式，多数学生能够解决含有一个绝对值的最小值问题，为这节课的学习奠定了知识根底。

但是涉及到绝对值的最值问题及动点问题时，都出现了“用字母表示数〞比拟抽象，局部学生理解起来有难度。

基于学生在阶段对线段有初步感知，本节课借助数轴将绝对值最值问题转化为线段问题解题直观形象，学生容易上手容易理解。

另一方面，我学生对于平板电脑的使用已经比拟熟练，所以整堂课借助平板、互动课堂、交互式白板等现代信息学技术手段辅助教学！三、教学目标设置1．能灵活的运用绝对值的几何意义解决绝对值的有关最值问题，初步体会转化和化归的数学思想；2．初步学会思考，逐步学会探究，训练学生思维的深度及有效性，体验数学活动的探究性和创造性；3. 借助数轴解决问题，开展学生图形思维，渗透“数形结合〞思想.4. 在教师的引导下学生层层深入探究，经历建立数学模型和提炼、归纳数学结论“建构知识〞的过程.教学重点：运用绝对值几何意义借助数轴解决绝对值和最小、差最大的问题。

教学难点:探究三个以上的绝对值和的最小及两个绝对值差最大问题四、教学方法〔1〕采用探究式为主的教学方法，通过问题引导，学生合作探究、小组交流，悟方法，得结论。

北师大数学七年级上册第二章绝对值

第02讲_绝对值知识图谱绝对值知识精讲一．非负性绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作绝对值的代数意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即：对于一个数a，例：若，则k需要满足什么条件？k-6与6-k互为相反数，故k-6是负数，k<6绝对值的非负性绝对值具有非负性．即对于任意实数a，总有．如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如：若，则，，．*非负性的应用：1、若多个非负数之和为0，则它们都为0（1）若，则a、b的值为多少？绝对值是非负数，故a-3=0，b+2=0，即a=3，b=-2（2）若，则m、n的值为多少？绝对值和平方数都是非负数，故m+7=0，n-9=0，即m=-7，n=9 2、若有最大值，则c的值为多少？越小，原式值越大，，故当=0，即c=-8时，原式有最大值2二．绝对值的几何意义三点剖析一．考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．绝对值的计算1、一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，2、乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，，3、绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：，绝对值的几何意义数轴上一个数所对应的点到原点的距离．即的几何意义就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．推而广之：代数式的几何意义就是数轴上数x 、数a 所对应的两点之间的距离．例：表示数m 到7的距离；表示数n 到-5的距离几何含义的应用1、在数轴上到3的距离为8的数字是？，故x=11或-52、已知，求的值，x -y 的值为6或2二．重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．三．易错点：1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a ，总有a a ≥，a a ≥-．2．一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，a a =-． 3．乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，ab a b =，a ab b =(0)b ≠．4．绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：22a a =，22a b a b =．非负性例题1、 ﹣2的绝对值是（）A.﹣2B.﹣12C.2D.12【答案】 C【解析】因为|﹣2|=2例题2、已知一个数的绝对值是4，则这个数是．【答案】 ±4【解析】绝对值是4的数有两个，4或﹣4．例题3、设a 是实数，则|a|﹣a 的值（） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数【答案】 B【解析】（1）a ≥0时，|a|﹣a=a ﹣a=0；（2）a ＜0时，|a|﹣a=﹣a ﹣a=﹣2a ＞0．故选B ．例题4、当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a|的值是（） A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 【答案】 B【解析】当1＜a ＜2时， |a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1．例题5、已知|a+2|+|b ﹣1|=0，则（a+b ）﹣（b ﹣a ）=______．【答案】 -4【解析】 ∵|a+2|+|b ﹣1|=0，∴a+2=0，b ﹣1=0，即a=﹣2，b=1，则原式=a+b ﹣b+a=2a=﹣4．例题6、已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【答案】 2a =，5b =-，13c =-．【解析】由绝对值的非负性知，245310a b c -=+=+=．随练1、若|a|=﹣a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧【答案】 B【解析】 ∵|a|=﹣a ， ∴a 一定是非正数，∴实数a 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．随练2、 12-的绝对值是（）A.12-B.12C.2D.2-【答案】 B【解析】 1122-=绝对值的几何意义例题1、如果a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，那么a d -=__________．【答案】 3【解析】可通过数轴画出得a d -=3例题2、（1）x 的几何意义是数轴上表示____的点与____之间的距离；x _____0x -（选填“>”，“=”或“<”）（2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________ （3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________ （4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________【答案】（1）x ；原点；=（2）x ；3；2或4（3）x ；2-；0或4-（4）1x + 【解析】 x a -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示a 的点之间的距离例题3、如果对于某一给定范围内的x 值，13p x x =++-为定值，则此定值为________，此时x 的取值范围是___________【答案】 4；13x -≤≤【解析】利用绝对值的几何意义，结合数轴解题．当13x -≤≤时，13x x ++-为定值：()314--= 随练1、若|a ﹣b|=b ﹣a ，且|a|=3，|b|=2，则（a+b ）3的值为（） A.1或125 B.﹣1 C.﹣125 D.﹣1或﹣125 【答案】 D【解析】 ∵|a ﹣b|=b ﹣a ， ∴a ＜b ，∴a=﹣3，b=±2．（1）a=﹣3，b=﹣2时，（a+b ）3=﹣125；（2）a=﹣3，b=2时，（a+b ）3=﹣1．随练2、探究题：（1）比较下列各式的大小：23-+______23-+，35-+-______()()35-+-，05+-______()05+-．（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳出当a 、b 为有理数时，a b +与a b +的大小关系．（3）根据（2）中你得出的结论，求当55x x +=-时，求x 的取值范围．【答案】（1）>；=；=．（2）a b a b +≥+（3）0x ≤ 【解析】（1）235-+=，231-+=，所以2323-+>-+；358-+-=，()()358-+-=，所以()()3535-+-=-+-；055+-=，()055+-=，所以()0505+-=+-．（2）通过比较（1）中的结论，不难发现a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取“=”）．（3）结合（2）中的结论，若55x x +=-，则应满足50x -≥，即0x ≤．随练3、如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若|a|+|b|=3，则原点是（）A.M 或NB.M 或RC.N 或PD.P 或R【答案】B【解析】∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；综上所述，此原点应是在M或R点．随练4、如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．（1）A、B两点的距离AB= ，A 、C两点的距离AC= ；（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= ；（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．【答案】（1）2，5；（2）|x+3|；（3）4【解析】（1）如图所示：AB=2，AC=5．故答案为：2，5；（2）根据题意可得：AE=|x+3|．故答案为：|x+3|；（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．故答案为：4．绝对值综合知识精讲一．绝对值的化简利用代数意义去绝对值号化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即0a>，0a<还是0a=）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号．如：计算1b-=_____________()1b<．由于1b<，所以10b-<，根据绝对值的代数意义，应有()111b b b-=--=-+．*注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化．当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来．例如，计算3x-：当3x≥时，33x x-=-；当3x<时，()333x x x-=--=-．利用零点分段法去绝对值号对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简．例如：化简12x x+--．第一个绝对值内部为1x+，当1x=-时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为2x-，当2x=时第二个绝对值为零．我们将1-、2称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论．1、当1x <-时，1x +、2x -均为负值，于是()()12123x x x x +--=-+---=-⎡⎤⎣⎦；2、当12x -≤<时，1x +为非负值、2x -为负值，于是()121221x x x x x +--=+---=-⎡⎤⎣⎦；3、当2x ≥时，1x +、2x -均为非负值，于是()()12123x x x x +--=+--=．零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负．零点分段法的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．二．绝对值的最值问题（一）和最小x a x b -+-的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）：0 2如计算的最小值．（1）将使两个绝对值分别为时的值标在数轴上（如图），数轴被分为个区域；（2）假设代表动点的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即．（3）在个区域中分别画出线段并比较，可以发现当时，两线段和最小，为定值． *若将题目改为计算的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．当为奇数时，在处取最小值，即在个点的中心点处；当为偶数时，在区域取最小值，即数轴被个点分成段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++-的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++．（二）差最大类比绝对值之和最小值问题，计算12x x ---的最大值求差的最大值，需要被减数越大1x -，减数2x -越小，从几何意义分析即x 与1距离远，与2距离近，当x 在1、2之间时，无论如何变化，距离之差始终不超过1；当x=2时，x 与2的距离最小，为0，此时原式结果恰好为1和2之间的距离，等于1；若x 继续增大，两距离之差依然为1。

绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案

绝对值的几何意义【考纲说明】1、理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值；2、能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。

【趣味链接】正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。

【知识梳理】1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

2、绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2）|a|=0 （a=0）（代数意义）-a (a ＜0) （3）若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6）|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；b a ||||b a （7）|a|=|a |=a ；222（8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|【经典例题】【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a =(-b)22【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A ．2a+3b-cB ．3b-cC ．b+cD ．c-b 【例4】（2009淮安）如果，下列成立的是（）a a -=|| A ． B ． C ． D ．0>a 0<a 0≥a 0≤a 【例5】（2008扬州）在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是【例6】（2010南京）数轴上分属于原点两侧且与原点的距离相等的两点间的距离为5，那么这两个点表示的数为________.【例7】（2010泰安）已知a 是有理数，| a －2007|+| a －2008|的最小值是________．【例8】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例9】（2012盐城）|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值.【例10】（2012宿迁）已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x 的最小值.【课堂练习】1、（2012镇江）若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞02、（2008合肥）|x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43、（2009常州）绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（）A. 8 B.7 C. 6 D.54、数轴上表示数和表示的两点之间的距离是__________.5-14-5、（2010曲阳）若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________ .6、（2009南通）若|a-2|＝2-a ，求a 的取值范围.【课后作业】1、下列代数式中，值一定是正数的是( )A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+12、若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．A ．|a|＞0B ．|a|＞a C. D. a a 1>01>+a 3、若 |x+1|+|2－x|＝3，则x 的取值范围是________．4、 |x －2|－| x －5| 的最大值是_______，最小值是_______．5、绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？6、设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？7、求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．8. 已知a＜-2＜0＜b＜2，去掉下列三式的绝对值符号：【参考答案】【经典例题】1、D2、D3、C4、D5、5或-16、7、18、0，±1，±2，±3，和为09、2或102.5±10、(1)当x ＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x ＝2时，6-x 得最小值6-2＝4【课堂练习】1、C2、B3、C4、95、x≤36、a≤2【课后作业】1、C2、D3、－1≤x≤24、3，-35、±3，±4，有4个6、有最小值97、x≤-1 8、，，2a -()ab -+2b a b+。

绝对值不等式

，n＝
，则 m，n 之间的大
|a－b|
|a＋b|
小关系是( ) A．m>n C．m＝n
B．m<n D．m≤n
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高考调研 ·北师大 ·数学选修4-5
【解析】
Hale Waihona Puke |a|－|b| |a－b|
(2)∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，∴m＝
≤ ＝1，
|a－b| |a－b|
|a|＋|b| |a|＋|b| n＝ |a＋b| ≥|a|＋|b|＝1.∴m≤1≤n. 【答案】 (2)D
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高考调研 ·北师大 ·数学选修4-5
探究 3 两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
1.对定理的两点说明 (1)由于定理与三角形边之间的联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． (2)定理 1 可推广到 n 个实数情况即： |a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
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高考调研 ·北师大 ·数学选修4-5
题型一绝对值三角不等式定理的应用例 1 (1)“|x－a|<m 且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a， m∈R)的________条件． (2)以下四个命题： ①若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1；
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北师大版初一上数学绝对值

绝对值【知识要点】1．绝对值的定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。

2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。

3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数对应的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。

a 的几何意义是：在数轴上，表示这个数的点离原点的距离；b -a 的几何意义是：在数轴上，表示数b a ,对应数轴上两点间的距离。

4．绝对值的性质（1）绝对值是非负数，即0≥a 。

（2）互为相反数的数绝对值相等，即a a -=。

（3）若两个数绝对值相等，那么这两个数相等或互相反数，即若b a =，则b a =或b a -=。

（4）绝对值最小的数是0。

5．根据已知条件化简含绝对值的式子：化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数的正负（即0,0,0=<>a a a 还是），然后再去掉绝对值符号。

化简多重绝对值时，要从里向外依次化简行绝对值的式子。

去绝对值符号的法则：()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0000a a a a a a 6．两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，若绝对值相等，则这两个数可能相等，也可能互为相反数。

7．常用公式：222a a a ==；b a ab •=；()0a a b b b =≠ 8．非负数的性质：当几个非负数的和等于0时，则这些非负数均为0．【典型例题】例1、化简并说出几何意义（1）a ；（2）1-x （3）12-x （4）21-+-x x例2、绝对值和相反数都等于它本身的数是。

例3、如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值那么（）A ．这个数必大于另一个数B ．这个数必小于另一个数C ．这两个数的符号必相反D ．以上说法都不对例4、已知209,73==b a ，且a b <，试求a 、b 的值。

七年级数学及其运算3绝对值素材2北师大版

利用绝对值的意义解题绝对值的概念：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.如：|-2|表示-2的点到原点的距离.那么|x|则是在数轴上表示x的点到原点的距离，那么|x-1|呢？在数轴上表示(x-1)的点到原点的距离，但x-1这个数相当于把x这个数减少了一个，在数轴上相当于左移了一个单位，若把点x不动，相当于把原点右移了一个单位，即|x-1|相当于在数轴上表示x的点到表示1的点的两点间的距离.如图所示：有了这个知识就可解决像|x-1|=2此类问题.解：到表示数1的点的距离为2的点.图上的A、B两点都满足等于∴x1=3，x2=-1又如|x+3|=1∵|x+3|的意义相当于数轴表示x的点到-3的距离（因为|x+3|相当于将x右移3个单位到原点距离或是把原点左移3个单位到x的距离）∴观察数轴即可得到解答：可见x1=-4，x2=-22019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示的正方体的展开图是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，已知射线OM ，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，那么∠AOB 的度数是（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．如图，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=o ，2OB OA =，点A 在反比例函数1y x =的图象上．若点B 在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为（）A ．2B ．-2C ．4D ．-44．图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n25．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如右图,⊿ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°则∠C的大小为（）A．62°B．56°C．60°D．28°7．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( )A．8 B．6 C．4 D．29．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为( )A．30°B．36°C．54°D．72°10．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣111．如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（）A．B．C．D．12．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为_______．15．已知m=444153，n=44053，那么2016m﹣n=_____．16．已知二次函数y=ax2+bx（a≠0）的最小值是﹣3，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，则c的最大值是_____．17．关于x的方程1101axx+-=-有增根，则a=______.18．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A （﹣6，0），C （0，23）．将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2＝1有两根α，β求m 的取值范围；若α+β+αβ＝1．求m 的值．20．（6分）观察下列等式：第1个等式：a 1=212=+-1，第2个等式：a 2=3223=-+，第3个等式：a 3=32+=2-3，第4个等式：a 4=525=+-2， …按上述规律,回答以下问题：请写出第n 个等式：a n =__________.a 1+a 2+a 3+…+a n =_________.21．（6分）已知2410x x --=，求代数式22(23)()()x x y x y y --+--的值．22．（8分）2019年1月，温州轨道交通1S 线正式运营，1S 线有以下4种购票方式：A ．二维码过闸B ．现金购票C ．市名卡过闸D ．银联闪付某兴趣小组为了解最受欢迎的购票方式，随机调查了某区的若干居民，得到如图所示的统计图，已知选择方式D 的有200人，求选择方式A 的人数.小博和小雅对A ，B ，C 三种购票方式的喜爱程度相同，随机选取一种方式购票，求他们选择同一种购票方式的概率.（要求列表或画树状图）.23．（8分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．求每张门票原定的票价；根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．24．（10分）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示﹣，设点B 所表示的数为m ．求m 的值；求|m ﹣1|+（m+6）0的值．25．（10分）如图，已知反比例函数y=k x （x ＞0）的图象与一次函数y=﹣12x+4的图象交于A 和B （6，n ）两点．求k 和n 的值；若点C （x ，y ）也在反比例函数y=k x （x ＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y 的取值范围．26．（12分）有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．设x 天后每千克苹果的价格为p 元，写出p 与x 的函数关系式；若存放x 天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y 元，求出y 与x 的函数关系式；该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？27．（12分）小明遇到这样一个问题：已知：1b c a -=. 求证：240b ac -≥. 经过思考，小明的证明过程如下：∵1b c a-=，∴b c a -=.∴0a b c -+=.接下来，小明想：若把1x =-带入一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），恰好得到0a b c -+=.这说明一元二次方程20ax bx c ++=有根，且一个根是1x =-.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：240b ac -≥. 根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：42a c b+=-. 求证：24b ac ≥.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当的剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.根据立体图形表面的图形相对位置可以判断.【详解】把各个展开图折回立方体，根据三个特殊图案的相对位置关系，可知只有选项A 正确. 故选A【点睛】本题考核知识点：长方体表面展开图.解题关键点：把展开图折回立方体再观察.2．B【解析】【分析】首先连接AB ，由题意易证得△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB 的度数．【详解】连接AB ，根据题意得：OB=OA=AB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB=60°.故答案选：B.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质.3．D【解析】【分析】要求函数的解析式只要求出B 点的坐标就可以，过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，根据条件得到ACO ODB ~V V ，得到：2BD OD OB OC AC OA===，然后用待定系数法即可.【详解】过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，设点A 的坐标是(),m n ，则AC n =，OC m =，Q 90AOB ∠=︒，∴90AOC BOD ∠+∠=︒，Q90DBO BOD∠+∠=︒，∴DBO AOC∠=∠，Q90BDO ACO∠=∠=︒，∴BDO OCA~V V，∴BD OD OB OC AC OA==，Q2OB OA=，∴2BD m=，2OD n=，因为点A在反比例函数1yx=的图象上，则1mn=，Q点B在反比例函数kyx=的图象上，B点的坐标是()2,2n m-，∴2244k n m mn=-⋅=-=-.故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.4．C【解析】【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）1．又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）1-4mn=（m-n）1．故选C．5．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．A【解析】【详解】连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°-2×28°=124°；而∠C=12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=62°；故选A7．B【解析】分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．解答：解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体．故选B．8．A【解析】试题解析：由于点A 、B 在反比例函数图象上关于原点对称，则△ABC 的面积=2|k|=2×4=1．故选A ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．9．B【解析】【分析】在等腰三角形△ABE 中，求出∠A 的度数即可解决问题．【详解】解：在正五边形ABCDE 中，∠A=15×（5-2）×180=108°又知△ABE 是等腰三角形，∴AB=AE，∴∠ABE=12（180°-108°）=36°．故选B ．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．10．B【解析】【详解】0.056用科学记数法表示为：0.056=-25.610 ，故选B.11．D【解析】【分析】根据勾股定理求出四边形第四条边的长度，进而求出四边形四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．【详解】解：作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，∴EC=AD=1，AE=CD=3，∴BE=4，由勾股定理得，22AE BE+=5，∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，∴1+m=3、1﹣n=2，解得：m=2、n=﹣1，所以m+n=2﹣1=1，故选D．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2π3【解析】根据弧长公式可得：602180π⨯⨯=23π，故答案为23π.14．215【解析】【分析】如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH=15，即CD=2CH=215．【详解】解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，22OC OH15-=故答案为【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可15．1【解析】【分析】根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的幂的积，然后化简从而得到m=n，再根据任何非零数的零次幂等于1解答.【详解】解：∵m=444153=4?444353=44053，∴m=n，∴2016m-n=20160=1．故答案为：1【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m的分母并得到m=n. 16．3【解析】【分析】由一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，可得y=ax2+bx（a≠0）和y=-c有交点，由此即可解答.【详解】∵一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，∴抛物线y=ax2+bx（a≠0）和直线y=-c有交点，∴-c≥-3，即c≤3，∴c的最大值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数，根据一元二次方程有实数根得到抛物线y=ax2+bx （a≠0）和直线y=-c有交点是解决问题的关键.17．-1【解析】根据分式方程11axx+-－1＝0有增根，可知x-1=0，解得x=1，然后把分式方程化为整式方程为：ax+1-（x-1）=0，代入x=1可求得a=-1.故答案为-1.点睛：此题主要考查了分式方程的增根问题，解题关键是明确增根出现的原因，把增根代入最简公分母即可求得增根，然后把它代入所化为的整式方程即可求出未知系数. 18．（-23，6）【解析】分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案．详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，3，则tan∠BOA=3 ABOA=，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOB≌△HB 1O ，∴B 1H=OA=6，OH=AB=23，∴点B 1的坐标为（-23，6），故答案为（-23，6）．点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19． (1)m≥﹣；(2)m 的值为2．【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞1，求出m 的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．【详解】(1)由题意知，(2m+2)2﹣4×1×m 2≥1，解得：m≥﹣；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+2)，αβ＝m 2，∵α+β+αβ＝1，∴﹣(2m+2)+m 2＝1，解得：m 1＝﹣1，m 1＝2，由(1)知m≥﹣，所以m 1＝﹣1应舍去，m 的值为2．【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝1（a≠1）的两根时，x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝是解答此题的关键． 20．（1）1n a n n =++1n n + （211n +．【解析】【分析】（1）根据题意可知，12112a ==+，23223a ==+32332a ==+， 45225a ==+，…由此得出第n 个等式：a n 11n n n n =+++ （2）将每一个等式化简即可求得答案．【详解】解：（1）∵第1个等式：12112a ==+，第2个等式：23223a ==+ 第3个等式：3 2332a ==-+ 第4个等式：4 5225a ==+， ∴第n 个等式：a n 11n n n n =+++ （2）a 1+a 2+a 3+…+a n=（()(()2-1+3-2+2-3+5-2++n+1n L =11n +．=1．【点睛】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．21．12【解析】解：∵2410x x --=，∴241x x -=．∴()22222222(23)()()4129312934931912x x y x y y x x x y y x x x x --+--=-+-+-=-+=-+=⨯+=．将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将241x x -=整体代入求值．22． (1)600人（2）13 【解析】【分析】（1）计算方式A 的扇形圆心角占D 的圆心角的分率，然后用方式D 的人数乘这个分数即为方式A 的人数；（2）列出表格或树状图分别求出所有情况以及两名同学恰好选中同一种购票方式的情况后，利用概率公式即可求出两名同学恰好选中同一种购票方式的概率．【详解】（1）120200600(36090110)⨯=--（人），∴最喜欢方式A 的有600人（2）列表法：树状法：∴P （同一种购票方式）13=【点睛】本题考查扇形统计图的运用和列表法或画树状图求概率的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（1）1（2）10%．【解析】试题分析：（1）设每张门票的原定票价为x 元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y ，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．试题解析：（1）设每张门票的原定票价为x 元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据题意得6000480080x x =-，解得x=1．经检验，x=1是原方程的根．答：每张门票的原定票价为1元；（2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得1（1-y ）2=324，解得：y 1=0.1，y 2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价10%．考点：1.一元二次方程的应用；2.分式方程的应用．24．（1）；（2【解析】试题分析：()1 点A 表示向右直爬2个单位到达点B ，点B 表示的数为2m =，()2把m 的值代入，对式子进行化简即可．试题解析：()1 由题意A 点和B 点的距离为2，其A 点的坐标为因此B 点坐标2.m =()2把m 的值代入得：()()00162126m m -++=-+， (018=+，11=+，=25．（1）n=1，k=1．（2）当2≤x≤1时，1≤y≤2．【解析】【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n 值，进而可得出点B 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值；（2）由k=1＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤1时，1≤y≤2．【详解】（1）当x=1时，n=﹣12×1+4=1， ∴点B 的坐标为（1，1）．∵反比例函数y=k x 过点B （1，1）， ∴k=1×1=1；（2）∵k=1＞0，∴当x ＞0时，y 随x 值增大而减小，∴当2≤x≤1时，1≤y≤2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，用到了点在函数图象上，则点的坐标就适合所在函数图象的函数解析式，待定系数法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.26．()1?0.14p x =+；()22580040000y x x =-++；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．【解析】【分析】（1）根据按每千克4元的市场价收购了这种苹果10000千克，此后每天每千克苹果价格会上涨0.1元，进而得出x 天后每千克苹果的价格为p 元与x 的函数关系；（2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；（3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.【详解】()1根据题意知，0.14p x =+；()()()220.141000050580040000y x x x x =+-=-++．()3300410000w y x =--⨯Q25500x x =-+25(50)12500x =--+∴当50x =时，最大利润12500元，答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出w 与x 的函数关系是解题关键.27．证明见解析【解析】解：∵42a c b+=-，∴42a c b +=-.∴420a b c ++=. ∴2x =是一元二次方程20ax bx c ++=的根.∴240b ac -≥，∴24b ac ≥.。

北师大数学初一上绝对值问题专题分类整理

含绝对值的一次方程1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a --=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．直接求解1、方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.2、解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-43、解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.4、方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.4、±107、2或05、已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.5、0或-16、已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.6、.57、若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)7、D8、解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.8、(1)x=3或x=13; (2)x=9或x=-37; (3)x=-43或x=2; (4)提示:分x<-1、-1≤x<12 、 •12≤x ≤2、x ≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x ≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x ≤2的x 值都是方程的解. 9、方程5665-=+x x 的解是．(重庆市竞赛题)思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．讨论解的个数情况1、适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a 的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a 表示-7到1之间的偶数.注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．2、方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)2、B讨论解是否存在的情况1、已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.2、使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在2、D3、已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)3、A4、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.4、当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).5、当a 满足什么条件时,关于x 的方程│x-2│-│x-5│=a 有一解?有无数多个解?无解?5、提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.6、已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．创新拓展题1、已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)1、提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.2、(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.2、(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

北师大版七年级上册第二章有理数9.绝对值的复习

（2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________（3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________（4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________二、绝对值的化简10、（2012初一上期中北京四中）有理数a 、b 、c 表示的点在数轴上的位置如下图所示，则2a c c b b a +---+=（）A ．3a b -B ．a b --C ．32a b c +-D ．2a b c --11、（2014初一上期中北京四中）如果0y x <<，则化简x xy x xy +的结果为（）A ．0B ．2-C ．2D ．312、如果3121231t t t t t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（） A ．1- B ．1 C ．1± D ．不确定13、（2013初一上期中北师大附属实验中学）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示 .（1）用”<“连接：0，a ，b ，c ；（2）化简：3a b a b c a -++--14、已知a b c abc S a b c abc =+++，且a 、b 、c 都不等于0，求S 的所有可能值．15、化简：（1）()331x x -≤（2）()1313a a a ---<<不妨设点A 在原点,如图甲，AB OB b a b ===-;当A 、B 两点都不在原点时，① 如图乙,点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；② 如图丙,点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-③ 如图丁,点A 、B 在原点的两边()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上, 数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-（1）当x 在何范围，12x x ---有最大值，并求出最大值；（2）当x 在何范围，1234x x x x ---+---有最大值，并求出它的最大值；（3）123499100x x x x x x ---+---++---的最大值为________（直接写出结果）．21、（2013初一上期末顺义区）已知2426y x x x =-+---且28x ≤≤，求y 最小值与最大值．随堂检测+-1112b，则3b________ 3(1)0，求a、b、c的值.。

北师大版绝对值说课

2.3 绝对值一.教材分析1.教材的地位和作用：《绝对值》是学生在学习了有理数和数轴等基本概念之后学习的又一重要内容，在教材的编排中起到承上启下的作用，是学习有理数加减法、乘除法的基础，是今后学习二次根式化简时必不可少的工具.绝对值是学生所认识的第一个非负数.本节课要求从代数与几何两个角度初步理解相反数、绝对值的概念，会求一个数的相反数，会求一个数的绝对值.通过应用绝对值解决实际问题，使学生体会绝对值的意义，感受数学在生活中的价值.这对于初学者来说，接受起来有点难和慢，但七年级学生思维活跃，富有激情，我在教学时充分把握和利用了这一特点.2.教学目标根据新课程标准、教学大纲的要求及学生的认知规律，确定本节课的教学目标如下：A.知识目标借助数轴，掌握相反数、绝对值的概念，会求一个数的相反数、绝对值.B.能力目标通过应用绝对值解决实际问题，初步认识绝对值的意义和作用及数学在生活中的作用.进一步培养学生借助几何直观解决数学问题的能力，渗透数形结合思想、分类讨论思想.C.情感态度和价值观在知识的探究与学习中，激发学生学习数学的兴趣和积极性，使全体学生积极参与，体验成功的喜悦；对学生进行“实践-认识-实践”的辩证唯物主义教育.3.教学重点(1)正确理解相反数、绝对值的概念；（2）会求一个数的相反数和绝对值；（3）会比较两个负数的大小.4.教学难点求一个数的绝对值是本节课的难点.由于学生的年龄特点，解决实际问题的能力相对较弱，对分类讨论思想的理解有一定难度.5.教学关键借助数轴理解绝对值的概念.二.教法、学法为了讲清本课的重、难点，使学生能够达到预定的教学目标，特从教法和学法两方面谈谈我的几点看法：教法：数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，对学生不仅要“授之以鱼”，更要“授之于渔”；不仅要“知其然”，更要“知其所以然”.基于本节课的特点，我主要采用情景教学与问题教学相结合的教学方法，充分发挥七年级学生思维活跃、富有激情的特点，组织学生独立探究、合作交流，让学生在活动中增长知识、锻炼思维.学法：基于“把学生的主动权还给学生”的思想，教学过程是师生互相交流的过程，教师起引导作用，学生在教师的启发下充分发挥主体性作用.结合七年级学生的特点，让学生自己通过观察、类比、猜想、归纳，共同探讨交流，利用课件和图片自主探索等方式，激发学习兴趣，培养应用意识和发散思维,采用“思考—发现—探究—练习”的学习方法.三.学情分析通过前一阶段的教学，学生对数轴和有理数的认识有了一定的认知：学生已初步掌握了数轴，能够用数轴的点表示有理数；学生已初步具备了数形结合思想.学生对数学新知识的学习有较高的兴趣和积极性，但探究问题的能力和合作交流等方面发展不够均衡.四.教学流程教学流程安排活动流程图活动内容目的时间安排1.情境引入, 趣味感知激发兴趣，初步感知 5分钟2.合作交流，探索新知掌握相反数和绝对值的概念 20分钟会求一个数的相反数和绝对值会比较两个负数的大小3.学以致用拓展延伸探索简化符号的规律，会求较复杂数的相反数和绝对值 10分钟4.大家都来说一说课堂小结 3分钟5.当堂检测，巩固新知考查、纠错、提高 7分钟教学过程设计一. 情境引入趣味感知每年的3月15日为“国际消费者权益日”，旨在推动保护消费者的活动，保护消费者的合法权益，即有权获得安全保障；有权获得正确资料；有权自由决定选择；有权提出消费意见.2013年3月，国家质检部门对某铸造厂生产的一批零件进行了抽查.根据该零件的质量要求：零件的长度可以有cm 2.0的误差.现抽查5个零件，检查数据如下（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数）：据抽查结果，你能说出哪件零件的质量最好吗？此次抽查的合格率是多少？我们不难发现：与标准质量的距离越小，零件的质量越好.本节课我们学习的新内容就与“距离”有关，一起走进今天的数学课堂，相信你一定会有意想不到的收获！（导入新课）【设置意图】 1.情景采自于大家身边比较关注的事件，可充分调动学生学习的积极性，激发学生观察、思考，从而提高学生对本节课学习的兴趣；2.在本环节中,由关键词“距离” 引出本节课的两个重要概念“相反数”和“绝对值”，突出了本节课的关键点，为新知识的学习做下铺垫.二.合作交流探究新知问题1 与“距离”相关的——相反数想一想：（1）数轴上，与原点距离是2的点表示的数分别是_____和_____.（2）数轴上，与原点距离是21的点表示的数分别是_____和_____. (3)数轴上，与原点距离是3.5的点表示的数分别是_____和_____.议一议：（1）从数字本身来看，各个数对分别具备哪些特征？（2）从数轴的位置来看，各个数对又具备哪些共同特征呢？教师讲解：像这样，只有符号不同的两个数，互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数；特别地，0的相反数是_______.谁来说一说：1.下列说法中正确的是﹙ ﹚A.－3是相反数B.-7和7是相反数C.-5的相反数是5D.0没有相反数教师强调：只有符号不同的“两个”数，我们说它们“互为”相反数，或者说其中“一个”是“另一个”的相反数.2．﹙1﹚7的相反数是_______,23的相反数是_______,0.2与_____互为相反数. ﹙2﹚－9与_____互为相反数，－6.9的相反数是_____,－100.01的相反数是_____.﹙3﹚一个正数的相反数是一个____数，一个负数的相反数是一个____数，____的相反数是它本身.【设置意图】本环节通过学生独立思考、合作交流、教师点拨，让学生经历了发现问题—分析问题—解决问题的过程.在引导学生学习了相反数的概念、会求一个数的相反数的同时，注重培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.问题2 与“距离”相关的绝对值教师讲解：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离．．叫做该数的绝对值．．．.例如：数轴上表示＋3的点到原点的距离．．为3，因此我们称＋3的绝对值．．．为3,记作33=+；数轴上表示－8的点到原点的距离．．为8,因此我们称－8的绝对值．．．为8，记作88=-；填一填：（1）___4=+，___5.6=+，___10=+，___12=+；（2）___4=-，___5.6=-，___10=-，___12=-，___0=；议一议：观察上面的结果，你能发现一个数的绝对值与这个数有什么关系呢？ (1)当a 是正数(a>0)时，｜a ｜＝____；(2)当a 是负数(a<0)时，｜a ｜＝＿＿； (3)当a=0时，(a=0)时｜a ｜＝＿＿.想一想：(1)绝对值是4的数有几个？各是什么？绝对值是6.5,10,12的数呢？你还能举出两个数的绝对值相等的例子来吗？(2)绝对值是0的数有几个？是什么？(3)绝对值是－2的数是否存在？若不存在，请说出理由.算一算：⑴)32(+-＝_____； ⑵5.6--＝_____；⑶2.63⨯＝___3⨯＝____；⑷ 49.25-+-＝___＋___＝_____；⑸172313+--+-＝____＋____－____＝____；⑹____81224=-⨯-. 强调运算顺序：计算时，我们一般先算绝对值，再算乘除与加减.【设置意图】本环节是本节课的重、难点之一.通过“填一填”这一环节，练习并考查了学生对绝对值概念的理解；通过观察所填结果，引导学生发现一个数的绝对值与这个数的关系，以及“互为相反数的两个数的绝对值相等”这一重要结论；在此基础上能进行有关绝对值的简单计算.整个环节的过程的设计旨在引导学生学习新知识的同时，培养学生自主探究的能力.问题3 有理数大小的比较忆一忆：⑴数轴上，___边的数总比____边的数大；（填“左”或“右”）⑵原点的右边是___数，原点的左边是___数，因此正数___0,负数____0,正数____负数；比一比：观察并比较数轴上的各个负数及其绝对值的大小.（填“＞”“＜”）我发现：几个负数相比较，绝对值大的反而．．____；要比较负数的大小，可以先比较它们的_____.试一试：比较下列各对数的大小.(1)73218--和解：两个负数相比较，先算他们的绝对值得,218218=- ,2197373==-, 因为219218＜,所以___________； (2) 25.25.2---和解：先化简，25.2--＝________,接着比较5.2-和____的大小. _________________________________________________. (3)31-)3.0(和-- 解：先化简，)3.0(--＝_____，31-＝____，因为____＜____,所以____＜ ____；师强调：比较两个数的大小时，能化简的先化简，然后再将结果进行比较.【设置意图】本环节通过引导学生观察数轴，借助几何直观找到比较两个负数大小的有一方法：比较它们的绝对值.另外，针对学生容易将各种比较方法相混淆的情况，相对设计了需要先化简再比较的例题.三.学以致用拓展延伸问题1想一想：（1）只有_____不同的两个数互为相反数.（2）一般地，数a 的相反数是_____,0的相反数是____.师强调：在一个非零的数前面填上一个“－”号，就表示这个数的相反数；在一个非零的数前面填上一个“＋”号，还等于这个数本身.思一思:（1）∵()4+-是的相反数，∴()4+- ＝_________；（2）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-51是的相反数，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-51 ＝_________；（3）∵()1.7--是的相反数，∴()1.7--＝_________；（4）∵()100--是的相反数，∴()100--＝________.填一填：﹙1﹚()5+- ＝_____ ；)20(+- ＝_____ ；)21(-+＝_____；)5.2(-+＝_____； ﹙2﹚()7--＝_____ ；)32(--＝_____ ；)8.2(++＝_____ ；)30(++＝_____；你发现了吗？简化符号时，如果数字前有两个不同的符号，结果为_____数；如果数字前有两个相同的符号，结果为_____数；即同号得____,异号得_____.试一试：分别写出下列各数的相反数和绝对值.﹙1﹚2.8 ﹙2﹚52- ﹙3﹚ )34(-- ﹙4﹚)25(+-师点拨：求一个数的相反数时，要注意用语言正确地进行表述，如“某数与某数互为相反数”或“某数的相反数是某数”，不能简单地用等号连接，如“2＝－2”；像﹙3﹚、﹙4﹚最好先简化符号，以免在符号上犯错误.【设置意图】在该环节中，根据相反数的表示方法，引导学生发现简化符号的规律.利用这个规律可求较复杂数的相反数和绝对值，该规律也是今后计算的重要基础.问题2问题回解：怎样用绝对值的知识解决引例中的问题？适时引领：本题各个检查结果的绝对值代表了各个零件与标准质量的差距，因此，绝对值越小的球其质量越接近标准质量，质量相对来说较好一些.【设置意图】问题回解的设计，使整堂课“首尾呼应”，在结构上相对完整，并且让学生进一步体会到绝对值的实际意义，感受到数学来源于生活，服务于生活.六．大家都来说一说通过本节课的学习，你有哪些收获？〔学生自由发言，师生互相补充，共同归纳〕【设计意图】在归纳总结的环节中，引导学生从知识点、数学思想方法，学法等各方面进行总结，训练学生概括、归纳知识的能力，使知识系统化、条理化，培养学生的归纳、反思意识，同时又发展了有条理的思考及语言表达能力.七.当堂检测巩固新知＋15 －10 ＋30 －20 －40问题：(1)指出哪个排球的质量好一些(即重量最接近规定质量)？(2)如果对两个排球作上述检查，检查的结果分别为p和q，请利用学过的绝对的知识指出这两个排球中哪个质量好一些？【设计意图】必做题考查了学生对本节课重点内容的掌握情况，选做题既可以拓宽学生的知识视野，又让学生进一步体会分类讨论的思想在解题中的应用和绝对值知识在实际生活中的应用；练习的分层设计，考虑到不同层次学生的发展需要.五.教学反思本节课的教学设计在结构上做到了首尾呼应，从生活中来回到生活中去，符合学生的认知发展，让学生进一步体会到“数学来源于生活，服务于生活”，激发了学生学习数学的兴趣.在深入浅出的教学过程中引导学生发现问题—分析问题—解决问题，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.在教学的过程中注重引导学生借助几何直观来解题，使学生体会数形结合思想在解题中的重要作用.由于本节课授课内容相对较多，“当堂检测巩固新知”这一环节可根据时间情况进行调整，如果课堂检测时间不够，可留课后进行.山东省文登市豹山路67—3号6单元412室于华虎电话(小灵通) 0631—8099165邮编264400邮箱。

专题01 绝对值考法全攻略(解析版)2021-2022学年七年级数学上册(北师大版,成都专用)

专题01 绝对值考法全攻略【知识点梳理】1.绝对值的定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |2.绝对值的意义①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。

3.绝对值的化简：类型一、多个绝对值的化简例.已知12x -≤≤，则化简代数式|3|2|1|x x --+的结果是（）A ．13x -B ．13x +C ．13x --D ．13x -+【答案】A【解析】∵﹣1≤x ≤2，∴x ﹣3＜0，x +1≥0，∴|3|2|1|x x --+=（3﹣x ）﹣2（x +1）＝﹣3x +1；故选：A ．【变式训练1】若12x <<，则化简12x x ---的结果为() A ．1-B ．21x +C ．23x -D ．32x - 【答案】C【解析】12x <<，10x ∴->，20x -<，121223x x x x x ∴---=--+=-．故选：C ．【变式训练2】当x<1时，化简13x x ---的结果是（） A ．-2B ．4C ．2x -2D ．2x -4【答案】A (0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩【解析】1x <，10,30x x ∴-<-<，()1313x x x x ---=---∴13x x =--+2=-，故选：A ．【变式训练3】当1<x <3时，化简|x －3|＋|x －1|的结果是？【答案】2【解析】∵13x <<，∴30x -<，10x ->， ∴31(3)(1)312x x x x x x -+-=--+-=-++-=；故答案为2类型二、含字母的绝对值的化简例.化简11a a -+-=（）A ．22a -B ．0C ．22a -或0D ．22a - 【答案】C【解析】当1a ≥时，11a a -+-=1122a a a -+-=-当1a <时，11a a -+-=110a a -+-=故选C ．【变式训练】若3a >，则|2|5a -+=________．【答案】a+3．【解析】∵a ＞3，∴2﹣a ＜0，∴|2﹣a|+5＝﹣（2﹣a ）+5＝a ﹣2+5＝a+3．故答案为：a+3．类型三、求绝对值中字母的取值范围例.若()m n m n +=-+，则（）A ．0m n +=B ．0m n +>C ．0m n +<D ．0m n +≤ 【答案】D 【解析】()m n m n +=-+，即m n +的绝对值等于它的相反数，0m n ∴+≤，故选：D ．【变式训练1】若|2|2a a -=-，则a 的范围（）A ．2a ≤B ．2a >C ．2a <D ．2a ≥【解析】∵22a a -=-，∴20a -≤，∴2a ≤．故选：A ．【变式训练2】若22a a +=-，则a 的取值范围是___________．【答案】0a ≤【解析】当0a ≤时，22a a +=-+，22a a -=-，22a a -+=-，∴22a a +=-，成立，当02a <<，22a a +=+，22a a -=-，22a a +=-，0a =，当2a ≥时，22a a +=+，|2|2a a -=-，∵22a a +≠-，∴不成立．综上所述，a 的取值范围为0a ≤．故答案为：0a ≤．【变式训练3】若||=x x ，则x 的取值范围是（）A ．0x >B ．0xC ．0xD ．0x <【答案】C 【解析】||=x x ，∴x 的取值范围是：0x ≥．故选择：C ．类型四、利用数轴化简绝对值例.已知实数a ，b ，c 在数箱正的位置如图所示，则代数式a a b c a b c -++-++=（）A ．2-c aB ．22a b -C ．a -D ．a【答案】C【解析】由数轴可得：b ＜a ＜0＜c ，∴a +b ＜0，c -a ＞0，b +c ＜0， ∴a a b c a b c +-+-++=()()()-+++--+a a b c a b c=-+++---a a b c a b c =a -【变式训练1】数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：（1）用“＞”或“＜”填空：a 0，b 0，c 0，a +c 0，b ﹣c 0，b +c 0．（2）化简：|a +c |+|b ﹣c |﹣|c +b |．【答案】（1）,,,,,><<<>>；（2）﹣a +2b ﹣c【解析】（1）从数轴可知：c ＜b ＜0＜a ，|c |＞|b |＞|a |，所以a ＞0，b ＜0，c ＜0，a +c ＜0，b ﹣c ＞0，b +c ＜0，故答案为：＞，＜，＜，＜，＞，＜；（2）由（1）知：a +c ＜0，b ﹣c ＞0，c +b ＜0，所以|a +c |+|b ﹣c |﹣|c +b |＝﹣a ﹣c +b ﹣c +c +b ＝﹣a +2b ﹣c ．故答案为：（1）,,,,,><<<>>；（2）﹣a+2b ﹣c【变式训练2】已知，,,a b c 为ABC 的三边，化简2a b c b c a a b c -----++-．【答案】-2a +4b -2c【解析】|a -b -c |-2|b -c -a |+|a +b -c |=-（a -b -c ）+2（b -c -a ）+（a +b -c ）=-a +b +c +2b -2c -2a +a +b -c =-2a +4b -2c ．故答案为：-2a +4b -2c【变式训练3】有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．（1）-a b _____0，a c +______0，b c -______0．（用“<”或“>”或“=”号填空）（2）化简：|||2||||2|a b b a c c +--+---【答案】（1）>；<；>；（2）4-．【解析】（1）由图可知，01a <<，1b <-，1c b <<-，0a b ∴->，0a c +<，0b c ->；（2）01a <<，1b <-，0a b ∴+<．||=-a b a b +-，1b <-，20b ∴-<，|2|=2-b b -，0c <，0a >，0a c ∴->，||=a c a c --，1c <-，20c ∴->|2|=2-c c -，故原式()(2)(2)a b b a c c =-++-+---22a b b a c c =--+-+--+4=-．故答案为：（1）>；<；>；（2）4-．类型五、双重绝对值的化简例.已知3x <-，化简：|3|2|1|||x +-+【答案】x -.【解析】原式|3|2(1)|||3|3|||33|||x x x x x =+++=++=--==-.故答案为：x -【变式训练】如果20a b +=，则||12||a a b b -+-的值是__________. 【答案】3.【解析】由20a b +=，得12a b =-.若0a >，则0b <，原式111212322a ab b -+-=-+--=-，若0a <，则0b >，原式111212322a ab b --+-=--+-=，综上得其值为3. 类型六、绝对值的非负性例.已知有理数a 、b 满足2|3|(1)0a b -++=，则a b +=________．【答案】2【解析】2|3|(1)0a b -++=3,1a b ∴==-，3(1)2a b ∴+=+-=故答案为：2．【变式训练1】若2(1)|3|0a b ++-=，则()b ab =________．【答案】-27【解析】∵2(1)|3|0a b ++-=，∴a +1=0，b -3=0，∴a =-1，b =3，∴37()(13)2b ab -=-=⨯，故答案为：-27．【变式训练2】若a ，b ，c 均为整数，且20212020||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为（）A ．2B ．3C ．2020D ．2021【答案】A【解析】∵a ，b ，c 均为整数，且|a -b |2021+|c -a |2020=1，∴|a -b |=1，|c -a |=0或者|a -b |=0，|c -a |=1，当|a -b |=1，|c -a |=0时，c =a ，1a b -=±，所以|a -c |+|c -b |+|b -a |=|a -c |+|a -b |+|b -a |=0+1+1=2；当|a -b |=0，|c -a |=1，a =b ，1,c a -=±所以|a -c |+|c -b |+|b -a |=|a -c |+|c -a |+|b -a |=1+1+0=2；综合可知：|a -c |+|c -b |+|b -a |的值为2．故选：A ．【变式训练3】如果2150x y x y -+++-=，则x 、y 的值分别是（） A ．10x y =-⎧⎨=⎩B ．14x y =⎧⎨=⎩C ．32x y =⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=⎩【答案】C 【解析】∵2150x y x y -+++-=，∴21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ ，解此方程组得：32x y =⎧⎨=⎩．故选：C ．类型七、利用绝对值的性质求值例.若|x |＝6，|y |＝7，且xy ＞0，那么x ﹣y 的值是（）A ．13或﹣13B ．﹣13或1C ．﹣1或1D ．﹣1或﹣13【答案】C【解析】∵|x |=6，|y |=7，∴x =±6，y =±7．又∵xy ＞0，∴x =6，y =7或x =-6，y =-7．当x =6，y =7时，x -y =6-7=-1．当x =-6，y =-7时，x -y =-6-（-7）=1．故选：C ．【变式训练1】已知7x =，5y =，且0x y +>，那么x y -的值是（）A ．2或12B ．2或12-C ．2-或12D ．2-或1-【答案】A 【解析】57,x y ==，7,5x y ∴=±=±，又0x y +>，75x y =⎧∴⎨=⎩或75x y =⎧⎨=-⎩，则752x y -=-=或()757512x y -=--=+=，故选：A ．【变式训练2】已知|x |＝1，|y |＝3，若||x y x y +=+，则x －y ＝____【答案】-2或-4【解析】∵|x |＝1，|y |＝3，∴x =±1，y =±3，∵x y x y +=+，∴x +y ＞0，又∵|x |＜|y |，∴x =1，y =3或x =-1，y =3，当x =1，y =3时，x －y ＝1-3=-2；当x =-1，y =3时，x －y ＝-1-3=-4．综上，当|x |＝1，|y |＝3，而且x y x y +=+时， x －y ＝-2或-4．故答案为：-2或-4．【变式训练3】已知3a =，2=b ，且a b b a -=-，则a -b=________．【答案】1-或5-【解析】因为||a b b a -=-，所以b a ≥，因为||3a =，||2b ，所以3a=-，2b =±，当3a=-，2b =时，325a b -=--=-，当3a =-，2b =-时，()321a b +=---=-．综上所述：1a b -=-或5-．故答案为：1-或5-．类型八、绝对值的几何意义应用例1.在学习有理数时时我们清楚，3(1)--表示3与－1的差的绝对值，实际上也可以理解为3与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x 一5|也可以理解为x 与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索并完成以下题目．（1）分别计算8(3)--，35--的值．（2）如图，x 是1到2之间的数(包括1，2)，求123x x x -+-+-的最大值．【答案】（1）11；8；（2）3．【解析】（1）8(3)8311--=+=；3588--=-=（2）当12x ≤≤时，10,20,3x x x ∴-≥-≤-＜0,∴ 123x x x -+-+-1234x x x x =-+-+-=-当x =1时，原式的最大值为3．故答案为：（1）11；8；（2）3．例2.已知点M ，N 在数轴上分别表示m ，n ，动点P 表示的数为x ．（1）填写表格：（2）由表可知，点M ，N 之间的距离可以表示为m n -，则2x -可以看成是表示为x 的数到2的距离，若数轴上表示数x 的点位于2与6-之间（包含2和6-），那么①()26x x -+--=_______．②126x x x -++++的最小值=_______．（3）12399100x x x x x -+++-++-++的最小值=________．【答案】（1）见解析；（2）①8；②7；（3）5050【解析】（1）2-（-3）=5，（-2）-（-5）=3，填表如下：（2）①()26x x -+--表示数轴上x 到2和x 到-6的距离之和，∴()()26268x x -+--=--=；②126x x x -++++表示数轴上x 到1和x 到-2以及x 到-6的距离之和，∵表示数x 的点位于2与-6之间（包含2和-6），∴当x 与-2重合时，126x x x -++++最小，即为1-（-6）=7；（3）12399100x x x x x -+++-++-++表示数轴上x 分别到1，-2，3，-4，...，99，-100的距离之和，∴当x =()991002+-=12-时，取最小值，最小值为111111239910022222--+-++--++--+-+ =()1.5 3.5 5.5...99.52++++⨯=5050．故答案为：（1）见解析；（2）①8；②7；（3）5050【变式训练1】32x x -++的最小值是______；326x x -++=，则x=_________【答案】5 3.5或-2.5【解析】当x≥3，|x －3|＋|x ＋2|＝x －3＋x ＋2＝2x －1，当x=3时取得最小值5；当－2＜x ＜3，|x －3|＋|x ＋2|＝3－x ＋x ＋2＝5，当x≤－2，|x －3|＋|x ＋2|＝3－x －x －2＝1-2x ，当x=-2时取得最小值5.∴32x x -++的最小值是5.当x≥3时，∵326x x -++=，∴2x -1=6，解得x=3.5.当x≤－2，∵326x x -++=，∴1-2x=6，解得x=-2.5.所以第一个空填：5，第二个空填：3.5或-2.5.【变式训练2】当x=_____时，|x -1|+|x+2017|+|x -2019|有最小值为___________．【答案】1 4036【解析】根据题意，∵|x -a|表示x 到a 的距离，∴|x -1|+|x+2017|+|x -2019|有最小值，则最小数为：2017-，最大数为：2019，∴当2017201912x -+==时，式子|x -1|+|x+2017|+|x -2019|有最小值，最小值为：111201712019=020182018=4036-+++-++；故答案为：1；4036.【变式训练3】若015p <<，则代数式()1515x p x x p -+-+-+在15p x ≤≤的最小值是( ) A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与p 有关的整式【答案】C【解析】∵15p x ≤≤，∴x -p≥0，x -15≤0，x -p -15≤0， ∴()1515=151530x p x x p x p x p x x -+-+-+-+-++-=-故当x=15时，()1515x p x x p -+-+-+的最小值为30-15=15，故答案为C.。

七年级数学上册第二章 3绝对值例题与讲解北师大版

3 绝对值1．相反数(1)相反数的定义像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0. 辨误区相反数的理解 ①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数．②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数．③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分．【例1－1】关于相反数下列说法正确的是( )．A ．－14和0.25不互为相反数 B ．－3是相反数 C ．任何一个数都有相反数 D ．正数与负数互为相反数解析：A × 只有符号不同，互为相反数B × 相反数是成对出现的C √ 正数、0、负数都有相反数D × 正数与负数中的数字不一定相同，不一定是互为相反数答案：C(2)相反数的求法求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数．一个有理数a ，它的相反数是多少呢?有理数a 的相反数是－a .这里a 可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a ＝2时，－a ＝－2,2与－2是互为相反数；当a ＝－1时，－a ＝－(－1)，因为－1的相反数是1，所以－(－1)＝1；当a ＝m ＋n 时，－a ＝－(m ＋n )，所以m ＋n 的相反数是－(m ＋n )．【例1－2】填空：(1)－8的相反数是__________；－(－2.8)的相反数是__________；__________的相反数是14；100和__________是互为相反数． (2)如果m ＝－9，则－m ＝__________.解析：(1)根据相反数的定义和求法直接写出相反数即可．其中应注意－(－2.8)表示－2.8的相反数，等于2.8，所以－(－2.8)的相反数也就是2.8的相反数，应该填－2.8.(2)－m 表示m 的相反数，也就是求－9的相反数．答案：(1)8 －2.8 －14－100 (2)9 (3)相反数的几何意义一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．【例1－3】如图，数轴上的点A ，B ，C ，D ，E 表示的数中哪些互为相反数？分析：解：(方法1)由图可知A ，B ，C ，D ，E 各点分别表示－4，－2.5,0.5,2.5,4.因为－4与4互为相反数，－2.5与2.5互为相反数，所以A 与E ，B 与D 表示的数互为相反数．(方法2)由图可知，点A ，B 在原点的左侧，且到原点的距离分别是4个单位长度和2.5个单位长度．C ，D ，E 在原点的右侧，且到原点的距离分别是0.5个单位长度，2.5个单位长度和4个单位长度．根据互为相反数的几何意义可得A 与E ，B 与D 表示的数互为相反数．2．绝对值(1)绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度，如图中，点－4距离原点4个单位长度，则－4的绝对值就是4.②绝对值是一个距离．(2)绝对值的表示方法一个数a 的绝对值记作|a |，读作a 的绝对值．如，＋4的绝对值记作|＋4|，－8的绝对值记作|－8|.(3)绝对值的代数意义①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.用式子表示为：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0.【例2】下列说法正确的是( )．A ．|－5|表示－5的绝对值，等于－5B ．负数的绝对值等于它本身C ．－10距离原点10个单位长度，所以－10的绝对值是10D ．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1 A × 绝对值是一个距离，不能为负数B × 负数的绝对值等于它的相反数C √ 一个数的绝对值是它在数轴上对应点与原点的距离D × 正数和0的绝对值都等于它本身3．绝对值的性质(1)数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它的绝对值就越大．(2)任何一个有理数的绝对值一定是非负数，即|a |≥0.0是绝对值最小的有理数．(3)互为相反数的两个数的绝对值相等．反过来，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数．(4)任何一个有理数都有唯一的绝对值．但绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数．例如，如果|a |＝2，那么a ＝±2.(5)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a |≥a .【例3】下列说法：①若|x |＝2 013，则x ＝2 013；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋32；③绝对值最小的有理数是1；④0没有绝对值；⑤一个有理数的绝对值一定是非负数．正确的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：绝对值是2 013的数是±2 013；⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝23，⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋32＝32；绝对值最小的有理数是0；0的绝对值是0；正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，也是正数，0的绝对值是0.所以⑤正确．答案：A4．多重符号的化简化简规律：化简一个含有多重括号的非零有理数，结果与这个有理数前面的负号的个数有关．①当“－”号的个数是奇数时，结果为负；②当“－”号的个数是偶数时，结果为正．由于正号可以省略，所以化简符号时，主要看这个数前面“－”号的个数．【例4】化简下列各数的符号：(1)－{－[＋(－10)]}；(2)－[－(＋5)]．分析：题号负号的个数答案(1) 3 －10(2) 2 5解：(1)－{－[＋(－(2)－[－(＋5)]＝5.点评：化简一个含有多重括号的非零有理数，可以逐步地由内向外层层化简，也可以根据“奇负偶正”的规律进行化简．5.绝对值的求法绝对值的求法有两种方式：一是给出数字，直接按要求求这个数的绝对值；二是给出含有绝对值符号的式子，求式子的值．求绝对值的方法：(1)先判断这个数是正数、负数，还是0.(2)根据绝对值的代数意义确定它的绝对值是它本身，还是它的相反数，从而求得它的绝对值．绝对值的代数意义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.弄清绝对值与相反数符号的意义及相反数和绝对值的求法，是求含有绝对值符号式子的关键．【例5－1】求下列各数的绝对值：＋11，－3.4,0，－32. 分析：可根据绝对值的意义，即根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”进行求解．解：|＋11|＝11，|－3.4|＝3.4，|0|＝0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32＝32. 【例5－2】求下列各式的值：|＋2 013|，|－3.9|，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－56，－|＋18|. 分析：|＋2 013| 求＋2 013的绝对值 |－3.9| 求－3.9的绝对值－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－56 求－56的绝对值的相反数－|＋18| 求＋18的绝对值的相反数解：|＋2 013|＝2 013，|－3.9|＝3.9，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－56＝－56，－|＋18|＝－18. 6.利用绝对值比较大小(1)利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小．比较的具体步骤：①先求两个负数的绝对值；②比较绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．(2)几个有理数的大小比较①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．【例6－1】比较下列每组数的大小：(1)－3和－2.9；(2)－23和－0.6. 分析：可先求出它们的绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较大小．解：(1)因为|－3|＝3，|－2.9|＝2.9,3＞2.9，所以－3＜－2.9；(2)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23，|－0.6|＝0.6，23＞0.6，所以－23＜－0.6. 【例6－2】求下列各数的绝对值，并用“>”将各数排列起来：－32，＋1,0，－2.3. 分析：根据绝对值的意义来求各数的绝对值；根据“正数大于0”“0大于负数”“两个负数，绝对值大的反而小”来比较它们的大小．解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32＝32，|＋1|＝1，|0|＝0，|－2.3|＝2.3，所以＋1＞0＞－32＞－2.3. 7．绝对值的非负性的应用绝对值的非负性(1)绝对值具有非负性，即对于任意有理数，都有|a |≥0.绝对值的最小值为0.(2)若几个数的绝对值相加和为0，则这几个数的值都为0.用式子表示为：若|a |＋|b |＋|c |＝0，则a ＝0，且b ＝0，且c ＝0.可以利用上面的知识求字母的值．【例7－1】当m ＝__________时，5＋|m －1|有最小值，最小值是__________．解析：根据“任意一个有理数的绝对值都是非负数”来解答．因为|m －1|≥0，所以当m ＝1时，|m －1|有最小值为0，则5＋|m －1|的最小值是5＋0＝5.答案：1 5【例7－2】已知|a －2|＋|7－b |＋|c －3|＝0，求a ，b ，c 的值．分析：当3个绝对值相加等于0时，说明每个绝对值都等于0.解：因为|a－2|≥0，|7－b|≥0，|c－3|≥0，且|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，所以|a－2|＝0，|7－b|＝0，|c－3|＝0，所以a＝2，b＝7，c＝3.8.相反数与数轴的综合应用比较一组数的大小时，若需要比较相反数的大小，可按以下方法进行：(1)表示数：根据相反数的几何意义，将各数或字母的相反数在数轴上表示出来；(2)排顺序：按照数轴上“右边的数总是大于左边的数”，排列这组数的大小关系．【例8】如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，－a,1的大小关系表示正确的是( )．A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1解析：观察数轴可知，a＜0，且|a|＞1.因为－a是a的相反数，所以－a＞0，且－a＞1.先在数轴上标出有理数a的相反数－a的对应点，再排列大小可以得到a，－a,1的大小关系是a＜1＜－a，故选A.答案：A9.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：(1)判断物体或产品质量的好坏可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．方法：①求每个数的绝对值；②比较所求绝对值的大小；③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．(2)利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．方法：①求每个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．【例9－1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是( )．解析：因为|－0.8|＜|＋0.9|＜|＋2.5|＜|－3.6|，所以从轻重的角度看，最接近标准的是C.答案：C【例9－2】一天上午，出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”号和“－”号在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在运营中所行驶的路程，因此求总共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．答：小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了87千米．。

北师大版七年级数学上册绝对值的应用专题训练题及答案

北师大版七年级数学上册绝对值的应用专题训练题及答案专题训练(一)绝对值的应用类型1利用绝对值比较大小1．比较下面各对数的大小：(1)－0.1与－0.2；(2)－45与－5 6 .2．比较下面各对数的大小：(1)－821与－|－1 7 |；(2)－20142015与－2015 2016.类型2巧用绝对值的性质求字母的值3．已知|x－3|＋|y－5|＝0，求x＋y的值．4．已知|x－2|和|y－3|互为相反数，求x＋y的值．类型3绝对值在生活中的应用5．司机小李某天下午的营运全是在南北走向的鼓楼大街进行的．假定向南为正，向北为负，他这天下午行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋14，－11，＋10，＋4，－26.若汽车耗油量为0.1L/km，这天下午汽车共耗油多少升？6．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表：做乒乓李明张兵王敏余佳赵平蔡伟球的同学检测结果＋0.031－0.017＋0.023－0.021＋0.022－0.011(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？(2)指出哪个同学做的乒乓球质量最好，哪个同学做的乒乓球质量较差？(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；(4)用学过的绝对值知识来说明以上问题．参考答案1．(1)因为|－0.1|＝0.1，|－0.2|＝0.2，且0.1＜0.2，所以－0.1＞－0.2.(2)因为|－45|＝45＝2430，|－56|＝56＝2530，且2430<2530，所以－45>－56.2.(1)化简－|－17|＝－17，这是两个负数比较大小．因为|－821|＝821，|－17|＝17＝321，且821＞17，所以－821＜－|－17|.(2)因为|－20142015|＝20142015，|－20152016|＝20152016，且20142015＜20152016，所以－20142015＞－20152016.3.由|x －3|＋|y －5|＝0，得x －3＝0，y －5＝0.解得x ＝3，y ＝5.所以x ＋y ＝3＋5＝8.4.根据题意，得|x －2|＋|y －3|＝0.所以x ＝2，y ＝3.所以x ＋y ＝5.5.总耗油量为：0.1×(|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＋|＋4|＋|－26|)＝8.3(L)．6.(1)张兵、蔡伟．(2)蔡伟，李明．(3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明．(4)这是绝对值在实际生活中的应用，对误差来说绝对值越小越好．。

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学生做题前请先回答以下问题
问题1：绝对值的几何意义：
①表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离．
②表示在数轴上____________________________对应点之间的距离．
③表示____________________________对应点之间的距离．
绝对值应用（绝对值的几何意义）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知，则a，b的值分别为( )
A.a=3，b=5
B.a=-3，b=5
C.a=3，b=-5
D.a=-3，b=-5
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性
2.若，则ab=( )
A.0
B.3
C.-3
D.±3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性
3.若与互为相反数，则a+b=( )
A.-1
B.1
C.5
D.-5
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性
4.若x为有理数，则的最小值为( )
C.3
D.5
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义
5.若x为有理数，则的最小值为( )
A.1
B.3
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义
6.若x为有理数，则的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义
7.若x为有理数，则的最小值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义
8.当x=____时，有最_____值，是_____．( )
A.0，小，6
B.0，大，6
C.0，小，0
D.0，大，0
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值
9.当x=____时，有最_____值，是_____．( )
A.4，小，3
B.4，大，-3
C.4，小，-3
D.0，大，3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值
10.当x=____时，有最_____值是_____．( )
A.0，小，0
B.0，小，3
C.0，大，0
D.0，大，3
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值。