§122函数的表示法(一).docx
1.2.2 函数的表示法 课件(第一课时 )(1)
5
x
例2、下表是某校高一（1）班三名同学在高一 学年六次数学测试的成绩及班级平均分表。
成绩 姓名 测试 序号
第1次
第2次
第3次 第4次 第5次 第6次
王伟 张成 赵磊
班级平均分
98 90 68 88.2
87 76 65 78.3
91 88 73 85.4
92 75 72 80.3
88 86 75
95 80 82
思考1：票价跟里程间的关系是不是函数关系？若 是，自变量是什么？定义域是什么？ 思考2：该函数用解 析法如何表示？ 设票价y元,里程x 公里，则
2, 3, y 4, 5,
0 < x 5, 5 < x 10, 10 < x 15, 15 < x 20,
思考3:该函数用列表法怎样表示？ (0,5] 里程x （公里） (5,10] (10, 15] (15,20]
图象 能形象直观地表示出函数的变化 法 情况
例3、画出函数y x的图像。
x ,x0 解： y x y x , x 0
1
0
1
x
例4：公共汽车的票价按下列规则制定: (1)在5公里以内(含5公里),票价2元; (2) 5公里以上,每增加5公里,票价增加1元（不足5公里按5公里计算). 若总里程为20公里,请回答以下几个 问题。
1、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的 图象如所示，那么水瓶的形状是( B )
2、等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则(
A．y＝10－x(0＜x≤10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D B．y＝10－x(0＜x＜10)
3.1.2 函数的表示法(一)课件- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x
122函数的表示法一课件
§1.2.1函数的概念
例2.下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年 度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
第一次 第二次 第三次
王伟
98
87
91
张城
90
76
88
赵磊
68
65
73
班级平均分 88.2 78.3 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
§1.2.1函数的概念
一、函数的表示方法
解析式
1.解析法:用数学表达式表示两个变量之 间的对应关系.
s 6t2
f (x) 5x 3
优点:函数关系清楚,容易根据自变量的值求出 其对应的函数值.便于用解析式来研究函数的性 质.
§1.2.1函数的概念
y = x －9.
y
x2 9, 9 x,
0 ≤ x 4, 4 ≤ x 9,
x 9,
9 ≤ x ≤ 12.
§1.2.1函数的概念
x 2, x ≤ 1,
已知函数
f
(
x)
x
2
Байду номын сангаас
,
1 x 2,
若
f(x)=3,
则x的值是……2…x,……x ≥(
2.
D
).
A. 1
B.
1,或
3 2
C.
1,
表格能否直观地分析出三位同学成绩高低? 如何才能更好的比较三个人的成绩高低?
§1.2.y1函数的概念
. 100
. 90 班 ♦▲ 平
80 均
1.2.2 函数的表示法 第一课时 课件(人教A版必修1)
图象法
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
典例剖析
题型一 函数的表示法
【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成 b 此项任务的人数 x 之间适合关系式 t＝ax＋ ，当 x＝ x 2 时，t＝100；当 x＝14 时，t＝28，且参加此项任务 的人数不能超过 20 人．
课前自主学习
课堂讲练互动
1 1 解析：令 ＝t，则 x＝ ，且 t≠0， x t 1 t ∴f(t)＝ ＝ (t＋1≠0)， 1 t＋1 1＋ t x ∴f(x)＝ (x≠0 且 x≠－1)． x＋1
x 答案： (x≠0 且 x≠－1) x＋1
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
4．如图，函数 f(x)的图象是曲 线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标 1 分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f f3 的值等于________．
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
正解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， ∴f(x)＝x2－4(x≥2)． 纠错心得：采用换元法求函数的解析式时，一 定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t ＝x2＋2后，则t≥2.
122函数的概念及其表示法
§1.2.2 函数的概念及其表示法1、写出下列函数的定义域和值域：（1）已知函数1=y ，则其定义域是_______值域是_______（2）已知函数121++-=x x y ，则其定义域是_______值域是_______ （3）已知函数342+-=x x y ，则其定义域是_______值域是_______（4）已知函数632---=x x x y ，则其定义域为__________； 2、已知f(2x+1)=x 2-2x ，则f(3)= __________.3、设集合A={1,2，3},集合B={1，2}，从A 到B 的函数的个数是_______.4、已知xx f 21=)(，x x g =)(，则)]([x f g =_______，)]([x g f =_______； 5、已知)(x f 的定义域为[)21,-，则)(12+-x f 的定义域是__________；6、已知)(12+-x f 的定义域为[)21,-，则)(x f 的定义域是__________；7、已知x x x f 212+=-)(，则)(x f =_______。
8、已知)()()(012≠=+x x x f xf ，则)(x f =_______9、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=22242x x x x x f ,,)(，则f(2)=________;若f(x 0)=12，则x 0=________。
10、已知函数12++=ax x x f )(的定义域是实数集R ，则a 的取值范围是_______。
11、将函数y=|x-1|+|2x|写成分段函数的形式，并画出其图象。
12、设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式13、求下列函数的值域：（1）x x x f 22-=)(，[)41,-∈x ； （2）x x x f --=1)(。
122函数的表示法(第1、2课时)
例4.已知函数
f
x
x x
2
则 f f 2 ?
x 0
, (x 0)
练习 若函数
x 1
f
(x)
f
(x
2)
(x 0) ,
(x 0)
则 f (3) ?
观察下列对应，并思考是不是函数：
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
观察下列对应，并思考是不是函数：
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
列表法表示： 笔记本数 x 1 2 3 4 5
钱数 y 5 10 15 20 25
图象法表示： 25
20 15
10 5
O
例2、画出函数 y | x | 的图象。
解：由绝对值的概念，我们有
x, x 0 y x, x 0 所以，函数 y | x | 的图象如下图所示
3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3
2, 0 x 5
y
3, 5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
2, 0 x 5
y
3, 5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
5
4
3
2
1
O
5 10 15 20
我们把像例2，例3这样的函数称为分段函数。
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同 部分，有不同的对应关系的函数，对它应有以下两 点基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 域是各段值域的并集。
2. 列表法：
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§1.2.2函数的表示法(一)
我们学习了函数的概念及其三耍素，它们初•指的各是什么呢？复习巩固，推陈出新
一、函数的基本概念及其三要素
1.函数的概念
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A屮的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数f (x)和它对应，那么称f： A T B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f (x), xwA・
2.函数的三要素是什么？
定义域、值域和对应法则是函数的三要素.
今天我们继续研究函数的表示方法.
二、函数的表示法
初屮函数的三种表示方法有哪些?各有什么优点？
函数的表示方法有三种
1.解析法：用数字表达式表示两个变量之I'可的对应关系.
优点：简明，给出自变量x可求出函数值.
2.图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系
优点：直观形象，反映变化趋势.
3.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系
优点：不需计算，就可看出函数值.注意：①区间是集合；
练习下列三个实例表示的函数各是运用了什么表示方法?
(1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目
标.炮弹的射高为845m,且炮弹距
• •
地血的高度h(单位：m)随吋间t(单位：s)变
化的规律是：h=130t-5t2. (*) 第一张幻灯片
第二张幻灯片
张幻灯片
(2)近几十年来，大气层中的臭氧迅
速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图
中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的
面积从1979〜2001年的变化情况.
19791981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
南极臭氧层空洞的面枳第三张
幻灯片
3026252015105 .UJ23US
解：这个函数的定义域是数集{1, 2, 3, 4, 5}. 用解析法可将函数y 二f(x)表示为：y=5x,xe
用图象法可将函数y=f(x)表示为
25 20 15 10
小结：函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点.
例1中的函数可用三种表示方法，但并不是每一个函数关系都能用三种表示方法, 我们要学会选择恰当方法表示问题中的惭数关系.
例2下表是某校髙一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及 班级平均分表.
第
四张幻灯片 第五张幻灯片
(3)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数 越
低，生活质量越高.表中是“八五”计划以來，我国城镇居民家庭恩格尔系 数随时间(年)变化的情况.
分析：⑴用解析法.(2)用图彖法.(3)用列表法.
典例分析，深化理解
例1某种笔记本的单价是5元，买x(xw {1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元.试用 函数的三种方法表示函数y=f(x).
班级平均分
8&2 7&3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对三位同学在高一学年度的数学学习情况作一个分析.
分析：表格是函数的一种表示方法，但对所研究问题的解决，不是很方便，如果将 "成绩”与“测试序号” Z 间的关系用函数图象表示出来，得出4个函数关系如图，那 么就能比较直观地
看到成绩变化的情况.这对我们的分析很有帮助.
100 90
级 平 均 分
赵磊
60
由图我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳 定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波 动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势, 表明他的数学成绩在稳步提高.
小结：恰当选择函数的表示方法，巧妙解决实际问题. 练习
1. 如图，把截而半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x,面
解：如图，矩形的对角线就是圆的直径，所以矩形高为：A /502 -X 2 ,Ay=x7502 -X 2
第六张幻灯片
80 70 积为y,把y 表示为x 的函数. 第
七
张
幻灯片
x > 0
注意到实际问题的限制有 ?
?
有Ovxv5O ・
50^-x 2 >0. ■
•I 所求函数为 y=x^502 -X 2 (0<x<50).
2. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一 件事. (1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学; (2) 我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次家通堵塞，耽搁了一些时间；
(3) 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
解：(1)与D 图，(2)与A 图，(3)与B 图吻合得最好.剩下与C 图相符的一件事可能 为：我出发后感到时间紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度.
三、分数函数
例3判断下面图象是否为函数？如杲是，则求出定义域、值域和解析式.
解：观察图象知函数定义域为卜1,2]值域为卜1,1]. 当一lWxWO 吋 设 f (x)二kx+b (kHO)
第八张幻灯片
第九张幻灯片
则Oi+方..."1
1 =b[/? = 1
当0<x^2时设f (x) =kx (kxO)
则-l=2k ・・.k二一丄
2 •：f (x)二x+1 ••f(x)=4x
x + l, -1 < x < 0
综上所求：f(x)=J 1
—x, 0 v x 5 2 2
象上面的函数f(x)称为分段数函数.
注意：分段函数是一个分段书写的函数，不是多个函数.
练习
3画出函数y=|x|的图象. 第十张幻灯片
解：由绝对值的概念，我们有
x, x>0, y=s
-x. x<0.
所以,函数y=|x|的图象如图所示. 练习
x+4, x<0,
4.已知函数y= F _2兀,o v x W 4,求f{f[f(5)J)的值.
-x+2.兀>4. 第卜一张幻灯
解：・・・5>4,・・・f(5) = —5+2=—3. ・・・一3v0,
・・・ f [f ⑸]=f (-3)= -3+4二1.・・・ 0<1 <4, ・•・f{flf(5)]}=f( 1)=12-2x 1=-1,B卩f{f[f(5)]}= -1.
例4某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1) 5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2) 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算). 如果某条线
路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程Z 间的函数解 析式，并画出函数图象.
解：设票价为y,里程为x,由题意可知，自变量x 的取值范围是(0,20]. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则， 可得到以下函数解析式：
2, 0 < x < 5, _ 3, 5 < x < 10,
y_
|4, 10<x<15, 5, 15 < x < 20.
根据这个函数解析式，诃画出函数图象，如图. 回顾反思，提炼升华
一、从知识技能上
解析法
1. 函数的表示法图像法
列表法
注意：恰当选择
2. 分段函数①图象、分段函数.
② 定义域，分段x 范围的并集.
③ 值域，分段y 范圉的并集. 注意：分段函数是一个函数.
二、从思想方法上 数形结合
演练平台，巩固提高
1. 第27页习题1.2A 组第7、8、9题.第49页B 组7题.
-X 2 + 2x, x > 0,
2.
己知函数 f (x)= 1, x = 0,
—
1, x < 0.
⑴求 f (-l),f[f(-l)],f{ fff(-i)]!的值； ⑵画出函数的图彖.
3. ______________________________________________________________ 若定义运算aOb=b a ~h :则函数f (x)=xO (2-x)的值域是 ____________________________________
a 、 a <b,
第十三张幻灯
第27页习题1.2A组第7题
(I)
8.例如，y二巴(x>0),/=2x+— (x>0),P2jd2+20 .
2
9.x二上定义域[0, 回1],值域[0, h],
nd-4v
第49页B组7题：设某人月工资、薪金所得为x元，应纳此项税款为y元, 0, 0<x< 800,
(x-800)x5%, 80() <x< 1300,
Hll
则y=<
25 + U-l300)xlO%, 1300 <x< 2800,
175 + (x - 2800) x 15%, 2800 <x< 5800.
由于某人一月份应纳税款为26. 78元，
故必有130(KxW2800,从而26. 78二25+(x-1300)x 10%,解得x=1317.8 元所以，某人一月份的工资、薪金为1317.8元.
2. (l)f(-l)=0；f[f(-l)] =f(O)=l;f{f [f(-1)] }=f(l)= -12+2X 1 = 1.
⑵函数图象如图所示
3.(—g,l]・。