第二章 解线性方程组的直接法 第五节 追赶法课件ppt课件

§ 2.6
对角占优矩阵:
追赶法(Thomas算法) 补充
i 1 , 2 , , n
若矩阵A (aij )nn 满足
|aii | |aij |
j 1 j i
n
则称A为严格对角占优矩阵 . 若矩阵A (a ) 满足 ij nn
|aii | |aij |
j 1 j i
得

y1 f 1
yi fi li yi 1 i 2 ,3, , n
--------(7)
8
(2) 解Ux y
u1

c1 u2
c2
un 1
x1 x2 cn 1 un xn
zhuiganfa.m
10
(1) 作A的LU分解
u1 b1 3
2 a2 l2 3 u1 6 a3 l3 7 u2 7 a4 l4 15 u3
2 7 u2 b2 l2c1 3 3 3 6 15 u3 b3 l3c2 3 7 7 7 38 u4 b4 l4c3 3 15 15
--------(1)
x1 f1 x2 f2 x f x f n n
A称为三对角线矩阵 ,并且满足
(1) |b1 | |c1 | 0
3
(2) |bi | |ai ||ci | , ai ci 0 (3) |bn | |an | 0
ui bi li ci 1
i 2 , , n
将系数矩阵 A分解成两对角阵 LU的乘积后
解三对角线方程组 Ax f可化为求解两个三角形 方程组
Ly f Ux y
--------(5)
--------(6)
7
(1) 解Ly f
1 l2 1 ( L, f ) l3 1 ln f1 f2 f3 1 fn
u1 U 1
c1 u2
c2
un 1
---(2) cn 1 un
6
二对角阵
A LU 由 可得L和U的元素的计算公式
--------(3)

u1 b1 ai li ui 1
--------(4)
4
以下以Doolittle分解导出三对角线方程组的解法
以Crout分解的三对角线方程组的解法请参考教材
设
A LU
用紧凑格式的 Doolittle分解
r 1 cn 1 bn
li 1 ai 1 u11
5
b1 c1 a2 b2 c2 A an 1 bn 1 an
3 1 x1 1 2 3 1 x2 0 2 3 1 x3 1 x 0 1 3 4
u1 b1 ai li ui 1 ui bi li ci 1
y1 f 1
k 1 r 1
cn 1 bn
u1 l2 r n 1
lir air lik ukr
k 1 r 1
c1 u2 c2 l3 un 1 ln
cn 1 un
urr
1 l2 1 因此 L l3 1 ln
n
i 1 , 2 , , n
2
则称A为弱对角占优矩阵 .
有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组,其形式为:
Ax f
其中
b1 c1 a2 b2 c2 A an 1 bn 1 an cn 1 bn
b1 c1 l2 b2 c2 an 1
bn 1 an
cn 1 bn
u1 j a1 j
b1 r 2 l2
c1 u2 c2 l3 bn 1 an
urj arj lrk ukj
A称为对角占优的三对角 线矩阵. 显然, A非奇异,即det A 0
i 2 , , n 1
因此A的任意k阶顺序主子式非零 ,即det Ak 0
所以, 可以将A进行LU分解 L为单位下三角阵 ,U为上三角阵时 ,为Doolittle 分解 L为下三角阵,U为单位上三角阵时 , 为Crout分解
Ax b a a1 n j 1 a 11 12 xi lii a21 a22 a2 n A 第二章 解线性方程组的直接法 an 1 an 2 ann § 2.6 追赶法
bi lij x j
i 1
i 2 ,3 , , n
y1 y 2 y n
得
yn xn un yi ci xi 1 xi ui
--------(8) i n 1, ,2 ,1
称由 (3) ~ (8)式为解Ax f的追赶法 也称Thomas法
9
例1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用追赶法解三对角线方程组
解: 设 a (a2 , a3 , a4 )T (2,2,1)T
b (b1 , b2 , b3 , b4 )T (3,3,3,3)T
yi fi li yi 1
c (c1 , c2 , c3 )T (1,1,1)T
f ( f1 , f 2 , f 3 , f 4 )T (1,0,1,0)T