矩形、正方形和菱形的判定方法

,、考点分析:矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重 要的考点。

二、教学目标：1.掌握矩形、正方形和菱形的判定方法三、教学内容 正方形巩固练习例题1如图,正方形ABCD 勺边长为12,点E 是BC 上的一点，BE=5,点F 是BD 上一动点•（ 1） AF 与FC 相等吗？试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ,试求 y 的最小值，并说明点F 此时的位置.【解】（1） AF 与FC 相等,其理由如下： 可证：△ ABF ^△ CBF 二 AF=CF（2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,最小值为.122 52 =13.例题2 如图，正方形ABCD 中, P 是对角线AC 上一动点，PEIAB PF ⊥ BC 垂 足分别为 E 、F 小红同学发现：PD ⊥ EF ,且PD=EF 且矩形 PEBF 的周长不 变•不知小红的发现是否正确，请说说你的看法. 【解】小红的发现是正确，其理由如下：D第28题图连接BP,延长DP交EF于Q.（1）：四边形ABCD是正方形∙∙∙ CB=CD∠ BCP∠ DCP=45•••△ BCP^△DCP ∙∙∙ PD=PB又∙∙∙PEIAB PF⊥ BC，∙∙∙∠ BEP=/ BFP=Z EBF=90 ,二四边形BEPF是矩形∙∙∙PB=EF,∙∙∙ PD=EF(2)：PEIAB PF⊥ BC •••△ AEP^n△ CFP^均为等腰直角三角形∙∙∙ AE=PE,CF=PF•••矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB为定值)(3)：PF// CD ∙∙∙∠ FPQ∠ PDC•••△ BCP^△ DCP ∙∠PDC∠ PBF•••四边形PEBF是矩形,∙∠PBF=/ PEF∙∠PEF=Z FPQ又τ∠ PEF+∠ PFE=90 , ∙∠ FPQ∠ PFE=90∙∠PQF=90 ,∙∙∙ PDL EF.【另证】延长EP交CD于点R,则CFPF为正方形∙可证△ PEF^△ RDF∙∠PEF=Z PDR又τ∠ DPR∠ EPQ而∠ PDR∠ DPR=90 ,∙∠ PEF+∠ EPQ=90∙∠EQP=90°,∙∙∙ PD L EF.课堂练习1如图1,在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE — EF, BE =2(1)如图2 ,延长EF交正方形外角平分线CP于点P ,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；(2)在图2的AB边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP是平行四边形? 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由•梯形图1 图2回顾梯形性质及判断定理梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1) 一些基本概念(如图)：底、腰、高.底：平行的一组对边叫做梯形的底•(较短的底叫做上底，较长的底叫做下底)腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰•高：两底间的距离叫做梯形的高•直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形• 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形•(2)等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.3)直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.结论：①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴.②等腰梯形同一底上的两个角相等.③等腰梯形的两条对角线相等.解决梯形问题常用的方法：(1)“平移腰;:把梯形分成一个平行四边形和一个三角形;(2)“作高”：使两腰在两个直角三角形中(3)“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中(4)“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形(5)“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形(图5).图3 图4 图5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决•例 1 •如图，梯形ABC D 中，AD // BC,∠ B=70° ,∠ C=40°, AD=6cm , BC=15cm .求CD 的长.分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题•其方法是：平移一腰，过点A作AE // DC交BC于E,因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ ABE是等腰三角形（EA=EB ）,因此CD=EA=EB=BC —EC=BC—AD=9cm .解（略）.例2 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC,∠ D = 90°,∠ CAB =∠ ABC , BE ⊥AC 于E.求证：BE = CD .分析：要证BE=CD需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF// AB交BC于F,因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB由已知可导出∠ DFC∠ BAE因此Rt△ ABE^Rt△ FDC（ AAS ,故可得出BE=CD 证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD证明△ ABE^△ FDC即可.A D例 3:如图 4.9-4 ,梯形 ABCD 中，AD// BC, ∠ B=70°,∠ C=40° , AD=6cr pBC=15cm 求 CD 的长.练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm 和49Cm 求它的腰长.练习2已知：如图4.9-5 ,梯形ABCD 中 AD// BC E 是AB 的中点，DEL CE,求证：AD+BC=DC.练习3:1、填空(1) 在梯形 ABCD 中，已知 AD // BC ,∠ B=50 °,∠ C=80° , AD=a , BC=b ,,则8cm ,则 AD= 2、如图4.9-6,等腰梯形 ABCD 中，AB=2CD , AC 平分∠ DAB , A B = 4 3 , ( 1)求梯形 的各角•( 2)求梯形的面积.3、 ( 1)在梯形 ABCD 中，已知 AD // BC ,∠ B=50 °,∠ C=80 ° , AD=a , BC=b ,,则 DC= _.(2) 直角 梯形的高为6cm ,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是 _和_.DC=(2) 直角梯形的高为 6cm ,有一个角(3) 等腰梯形 ABCD 中，AB // DC , 是30°,则这个梯形的两腰分别是A C 平分∠ DAB , / DAB=60 °札 Dfl(3)等腰梯形ABCD中，AB // DC , A C平分∠ DAB , ∠ DAB=6 0°,若梯形周长为8cm ,贝U AD= __ .4. 已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB // CD , AB > CD , AD=BC , BD平分∠ ABC ,∠ A=60°,梯形周长是20cm ,求梯形的各边的长. (AD=DC=BC=4 , AB=8 )课堂小结1、梯形的定义及分类2、等腰梯形的性质：(1)具有一般梯形的性质：AD// BC.(2)两腰相等:AB=CD.(3)两底角相等：∠ B=∠ C,∠ A=∠ D.(4)是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线.(5)两条对角线相等：AC=BD.两条对角线的交点在对称轴上.两腰延长线的交点在对称轴上.等腰梯形的判断例2 (补充)证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.已知：如图，梯形ABCD中 ,对角线AC=BD求证：梯形ABCt是等腰梯形.V AC=BD ， ∙∙∙ DE=BD 二 ∠ 1=∠ E V ∠ 2=∠ E ,∙∙∙ ∠ 仁∠ 2又 AC=DB BC=CE 二 Δ ABC^ Δ DCB 二 AB=CD•••梯形ABCD 是等腰梯形.说明：如果AC BD 交于点0,那么由∠ 1 = ∠ 2可得OB=OCoA=OD 即等腰 梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽 不能直接引用，但可以为以后解题提供思路.问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AEI Bq DF ⊥ Bq可证Rt Δ ABC^Rt Δ CAE 得∠ 1=∠ 2.例3 （补充） 已知：如图，点 E 在正方形ABCD 勺对角线 AC 上，CF ⊥BE 交BD 于G, F 是垂足.求证：四边形 ABGE 是等腰梯形.分析：先证明Om OG 从而说明∠ OEGF 45° ,得出EG// AB,由AE BG 延 长交于O,显然EG≠AB 得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底 上的两角相等 得出它为等腰梯形.DE=AC.又DV ,例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm 12Cm高为3cm并计算这个等腰梯形的周长和面积•分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形.如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE然后完成口AECD勺画图.画法：①画Δ ABE使BE=I —4=8Cm屈"二』4币二曲.②延长BE到C使EC=4cm.③分别过A C作AD// BC，CD// AE AD CD交于点D.四边形ABCDt是所求的等腰梯形.解：梯形ABCD周长F 4+ 12+ 5×2 = 26cm .1 2（4 3 =24C m.S梯形ABCD ■22答：梯形周长为26Cm面积为24cm.例5：.如图4.9-4 ,已知等腰梯形ABCD勺腰长为5cm上、下底长分别是6cm 和12Cm求梯形的面积.(方法一，过点C作CEl AD,再作等腰三角形BCE的高CF,可知CF=4cm然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C和D分AG = B^ = - (A£ -Cn) = 3别作高CF DG可知二•,从而在Rt△ AGD中求出高DG=4cm.)图4,9-4课后练习1、填空(1)在梯形ABCD 中，已知AD // BC, ∠ B=50 ° , ∠ C=80 ° , AD=a , BC=b ,,则DC= ___(2)直角梯形的高为6cm ,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是 _和_.(3)等腰梯形ABCD中，AB // DC , A C平分∠ DAB , ∠ DAB=60 ° ,若梯形周长为8cm ,贝U AD= —I2、如图4.9-6 ,等腰梯形ABCD 中，AB=2CD , AC 平分∠ DAB , A B = 4-3, ( 1)求梯形的各角.(2)求梯形的面积.3、(1)在梯形ABCD 中，已知AD // BC , ∠ B=50 ° , ∠ C=80 ° , AD=a , BC=b ,,则DC= ___(2)直角梯形的高为6cm ,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是—和—.(3)等腰梯形ABCD中，AB // DC, A C平分∠ DAB , ∠ DAB=6 0 °,若梯形周长为8cm ,贝U AD= ___4. 已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB // CD , AB > CD , AD=BC , BD平分∠ ABC ,∠ A=60°,梯形周长是20cm ,求梯形的各边的长. (AD=DC=BC=4 , AB=8 )。