矩形、正方形和菱形的判定方法

,、考点分析:

矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重 要的考点。

二、教学目标：

1.掌握矩形、正方形和菱形的判定方法

三、教学内容 正方形巩固练习

例题1如图,正方形ABCD 勺边长为12,点E 是BC 上的一点，BE=5,点F 是BD 上一动点•（ 1） AF 与FC 相等吗？试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ,试求 y 的最小值，并说明点F 此时的位置.

【解】（1） AF 与FC 相等,其理由如下： 可证：△ ABF ^△ CBF 二 AF=CF

（2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,最小值为.122 52 =13.

例题2 如图，正方形ABCD 中, P 是对角线AC 上一动点，PEIAB PF ⊥ BC 垂 足分别为 E 、F 小红同学发现：PD ⊥ EF ,且PD=EF 且矩形 PEBF 的周长不 变•不知小红的发现是否正确，请说说你的看法. 【解】小红的发现是正确，其理由如下：

D

第28题图

连接BP,延长DP交EF于Q.

（1）：四边形ABCD是正方形

∙∙∙ CB=CD∠ BCP∠ DCP=45

•••△ BCP^△DCP ∙∙∙ PD=PB

又∙∙∙PEIAB PF⊥ BC，

∙∙∙∠ BEP=/ BFP=Z EBF=90 ,二四边形BEPF是矩形

∙∙∙PB=EF,∙∙∙ PD=EF

(2)：PEIAB PF⊥ BC •••△ AEP^n△ CFP^均为等腰直角三角形

∙∙∙ AE=PE,CF=PF

•••矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB为定值)

(3)：PF// CD ∙∙∙∠ FPQ∠ PDC

•••△ BCP^△ DCP ∙∠PDC∠ PBF

•••四边形PEBF是矩形,∙∠PBF=/ PEF

∙∠PEF=Z FPQ

又τ∠ PEF+∠ PFE=90 , ∙∠ FPQ∠ PFE=90

∙∠PQF=90 ,∙∙∙ PDL EF.

【另证】延长EP交CD于点R,则CFPF为正方形

∙可证△ PEF^△ RDF

∙∠PEF=Z PDR

又τ∠ DPR∠ EPQ

而∠ PDR∠ DPR=90 ,∙∠ PEF+∠ EPQ=90

∙∠EQP=90°,∙∙∙ PD L EF.

课堂练习1如图1,在边长为5的正方形

ABCD

中，点E、F分别是

BC

、

DC

边上的点，且AE — EF, BE =2

(1)如图2 ,延长EF交正方形外角平分线CP于点P ,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；

(2)在图2的AB边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP是平行四边形? 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由•

梯形

图1 图2

回顾梯形性质及判断定理

梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

(1) 一些基本概念(如图)：底、腰、高.

底：平行的一组对边叫做梯形的底•(较短的底叫做上底，较长的底叫做下

底)

腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰•

高：两底间的距离叫做梯形的高•

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形• 等腰梯形：两腰相

等的梯形叫做等腰梯形•

(2)等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

3)直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

结论：

①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴.

②等腰梯形同一底上的两个角相等.

③等腰梯形的两条对角线相等.

解决梯形问题常用的方法：

(1)“平移腰;:把梯形分成一个平行四边形和一个三角形;

(2)“作高”：使两腰在两个直角三角形中

(3)“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中

(4)“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形

(5)“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形(图5).

图3 图4 图5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线,

把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决•

例 1 •如图，梯形ABC D 中，AD // BC,∠ B=70° ,∠ C=40°, AD=6cm , BC=15cm .求CD 的长.

分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题•其方法是：平移一腰，过点A作AE // DC交BC于E,因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ ABE是等腰三角形（EA=EB ）,因此

CD=EA=EB=BC —EC=BC—AD=9cm .

解（略）.

例2 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC,∠ D = 90°,∠ CAB =∠ ABC , BE ⊥AC 于E.求证：BE = CD .

分析：要证BE=CD需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF// AB交BC于F,因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB由已知可导出∠ DFC∠ BAE因此Rt△ ABE^Rt△ FDC（ AAS ,故可得出BE=CD 证明（略）

另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD证明△ ABE^△ FDC即可.

A D

例 3:如图 4.9-4 ,梯形 ABCD 中，AD// BC, ∠ B=70°,∠ C=40° , AD=6cr p

BC=15cm 求 CD 的长.

练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm 和49Cm 求它的

腰长.

练习2

已知：如图4.9-5 ,梯形ABCD 中 AD// BC E 是AB 的中点，DEL CE

,求证：AD+BC=DC.

练习3:

1、填空

(1) 在梯形 ABCD 中，已知 AD // BC ,∠ B=50 °,∠ C=80° , AD=a , BC=b ,,则

8cm ,则 AD= 2、如图4.9-6,等腰梯形 ABCD 中，AB=2CD , AC 平分∠ DAB , A B = 4 3 , ( 1)求梯形 的各角•( 2)求梯形的面积.

3、 ( 1)在梯形 ABCD 中，已知 AD // BC ,∠ B=50 °,∠ C=80 ° , AD=a , BC=b ,,则 DC= _.

(2) 直角 梯形的高为6cm ,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是 _和_.

DC=

(2) 直角梯形的高为 6cm ,有一个角

(3) 等腰梯形 ABCD 中，AB // DC , 是30°,则这个梯形的两腰分别是

A C 平分∠ DA

B , / DAB=60 °

札 D

fl