复合函数极限条件
复合函数洛必达法则
复合函数洛必达法则复合函数洛必达法则是微积分中的一种重要工具，用于求解一些特殊类型的极限。
在本文中，我们将深入探讨复合函数洛必达法则的原理和应用，并从简单的例子开始逐步展开，帮助读者全面理解这一概念。
一、复合函数洛必达法则的原理复合函数是由多个函数组合而成的新函数，而极限是在一个趋近某一点的过程中，函数值的趋近情况。
当我们遇到计算复合函数的极限时，常常会遇到无穷大除无穷大、零除零等形式，此时可以运用洛必达法则解决这些难题。
洛必达法则基于导数的性质，特别是导函数的极限性质。
其原理可以概括为以下几点：1. 当两个函数的极限都存在或都趋于无穷大（包括正无穷大和负无穷大）时，如果两个函数的导函数的极限存在或趋于无穷大，那么原函数的极限也存在或趋于相同的值。
2. 当两个函数的极限都是无穷小时，如果两个函数的导函数的极限存在或趋于一个非零常数，那么原函数的极限也存在或趋于相同的值。
3. 当两个函数的极限都是无穷小时，如果两个函数的导函数的极限不存在或趋于零，那么原函数的极限可能不存在或无法确定。
二、复合函数洛必达法则的应用举例为了更好地理解复合函数洛必达法则，我们将从简单的例子开始逐步展开。
例1：计算极限lim(x->0) [(sinx)/x]这是一个非常经典的极限问题，可以利用洛必达法则来解决。
我们对函数f(x) = sinx和g(x) = x分别求导得到f'(x) = cosx和g'(x) = 1。
然后计算f'(x)/g'(x)即可得到原函数的极限：lim(x->0) [(sinx)/x] = lim(x->0) [cosx/1] = cos0 = 1例2：计算极限lim(x->∞) [x^2/e^x]对于这个例子，我们同样可以利用洛必达法则来解决。
对函数f(x) = x^2和g(x) = e^x分别求导得到f'(x) = 2x和g'(x) = e^x。
复合函数极限的运算法则探究
［５］ 许新斋，马军英．关于复合函数的极限运算法则［Ｊ］．山东师范大 学学报（自然科学版），２００２，１７（２）．
90
学，１９９７（１）：２３～２５． ［５］ 李京诚等．中小学生体育课成就动机、取向及其与动机气氛感
的相关研究［Ｊ］．天津体育学院学报，１９９９（３）：３４～３７．
（上接第９３页） 说明：以上四个定理是复合函数极限存
在的充分条件而非必要条件，即使
、 有一个或两
个都不存在，但复合函数
的极限仍可能存在。
例５．若函数
目标定向对学生在体育学习过程中的认知、情感和学 习行为都会产生非常重要的影响，而在体育教学中创设任 务掌握定向的学习气氛，有利于学生形成良好的目标定 向——任务目标定向，对学生的学习兴趣和学习动机都会 起到积极的促进作用。因此，体育教师在教学中应该努力 采取各种教学措施，积极地创设任务定向的学习气氛，以 充分调动学生体育学习的兴趣，进一步提高体育教学效 果。
which the formula
can be used in the computing the composite function limits.
Key words:Composite function;Limit;Algorithm
极限是高等数学中最基本、最重要的概念，导数、积
分等都是通过极限来定义的，而在求函数的极限时，常会
。
定理４．设函数
由函数ｙ＝ｆ（ｕ）与
复合而
成，若满足条件在ｘ０的某一邻域内（ｘ０可除外）
存
在，则
一定存在，且
。
证明：
内， ，
恒有
。
为什么复合函数极限中g(x)≠uo反例
复合函数极限是微积分中的重要概念，它在解决一些复杂的函数极限问题中起着关键作用。
在研究复合函数极限时，我们经常遇到一个重要定理：若函数f(x)和g(x)在某点a的邻域内有定义，且limx→a g(x) = uo，limx→uo f(x)=L存在，则有limx→a f(g(x))=L。
然而，在对复合函数极限进行探究时，有时我们会遇到g(x)≠uo时的反例。
即使在g(x)的极限值为uo时，f(g(x))的极限值也不一定存在，这种情况通常发生在某些特殊性质的函数中。
下面我们来具体分析一下为什么会出现g(x)≠uo的情况。
1. 函数间断点的影响对于复合函数f(g(x))，如果g(x)在某点a处不连续，那么f(g(x))的极限也可能不存在。
考虑函数g(x)=1/x和f(x)=sin(1/x)，当x→0时，g(x)的极限为0，但f(g(x))并没有极限，因为sin(1/x)在x=0处震荡不定。
2. 非线性变换的影响在一些非线性变换中，即使g(x)的极限为uo，f(g(x))的极限也可能不存在。
考虑函数g(x)=x^2和f(x)=1/x，在x→0时，g(x)的极限为0，但f(g(x))并没有极限，因为1/x在x=0处趋于无穷大。
3. 函数间的相互作用有些函数具有复杂的性质，当它们进行复合运算时，极限的存在性就很难确定。
考虑函数g(x)=sin(1/x)和f(x)=x，虽然g(x)在x=0处极限存在，但f(g(x))在x→0时的极限并没有定义。
复合函数极限中g(x)≠uo的反例可能出现在函数间断点、非线性变换以及函数间的相互作用等情况下。
在实际问题中，我们需要对复合函数的性质有一个清晰的认识，充分考虑函数间的关系和变换规律，才能准确求出复合函数的极限值。
读者也应该充分理解这些反例的存在，不仅能够加深对复合函数极限的理解，还能够为解决类似问题提供更多的思路和方法。
在实际问题中，对于复合函数的极限问题，我们需要更深入地探讨函数间的相互作用与性质。
关于复合函数极限运算法则及泰勒公式的一个注记
收稿日期：2020-01-02作者简介：吴世玕，江西吉水人，江西理工大学理学院副教授（江西赣州341000）.2021年第6期第42卷总第315期学报关于复合函数极限运算法则及泰勒公式的一个注记吴世玕摘要：用极限定义及实例解释了复合函数极限运算法则中，为什么要有g (x )≠u 0这个限制性条件.用极限运算推导出泰勒公式的系数，给出了用极限方法计算泰勒公式系数的公式.关键词：复合函数；泰勒公式；极限；误差；高阶无穷小中图分类号：O17文献标志码：A文章编号：1008-7974（2021）06-0032-04DOI ：10.13877/22-1284.2021.06.006无论是数学分析还是高等数学，都介绍了复合函数极限运算法则及泰勒公式.复合函数极限运算法则一般陈述如下：设函数y =f [g (x )]是由函数u =g (x )与函数y =f (u )复合而成，f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义，若lim x →xg (x )=u 0，lim u →uf (u )=A ，且存在δ0>0，当x ∈U O(x 0,δ0)时，有g (x )≠u 0，则lim x →x 0f [g (x )]=lim u →uf (u )=A .［1-2］法则中提出限制性条件：“存在δ0>0，当x ∈U O(x 0,δ0)时，有g (x )≠u 0”，为何要有这个限制性条件，文献［3-5］用具体实例说明，如果没有上述条件，法则的结论就有可能不成立，或者说，没有这个条件，法则就更不容易证明.但这些文献，并没有从理论上分析，为什么要在法则中提出这个限制性条件.文献［2］中，提出用n 次多项式p n (x )近似一般的复杂函数f (x )，类似于微分概念，要求误差为O ()()x -x 0n，(x →x 0).紧接着又提出要求，f (k )(x 0)=p (k )n (x 0),k =0,1,2,⋯,n .从而推导出f (x )的n 阶泰勒公式.初学者会有这样的疑惑：教材上提的要求有点太多，或者说，这两个要求是否矛盾.当然，教材上证明了它们不会产生矛盾，这两个要求是相容的.作为教师，要站在学生的角度，从探求的角度去发现结论，而不是先给出结论，再来证明结论.可以从第一个要求出发，去发现f (x )的n 阶泰勒公式的系数，这样更贴近初学者的认识规律.吴世玕：关于复合函数极限运算法则及泰勒公式的一个注记1复合函数极限运算法则中限制性条件g (x )≠u 0的理解1.1用极限定义解释函数极限运算法则中的限制性条件g (x )≠u 0由函数极限定义，lim u →uf (u )=A 时，函数y =f (u )可能在u =u 0点处无定义，即使y =f (u )在u =u 0点处有定义，也可能f (u 0)≠A .若函数y =f (u )在u =u 0点处无定义，而在讨论极限lim x →xf [g (x )]时，极限定义中要求f [g (x )]在x 0点的某个去心邻域U O(x 0,δ0)内有定义，因此，就要求在U O(x 0,δ0)内，g (x )≠u 0.若函数y =f (u )在u =u 0点处有定义，但f (u 0)≠A .且要求结论lim x →x 0f [g (x )]=lim u →uf (u )=A 成立，则对任何ε∈()0,||f (u 0)-A ，存在δ>0，当x ∈U O(x 0,δ0)时，||f (g (x ))-A <ε<||f ()u 0-A ，因此，对任何x ∈U O(x 0,δ0)，都有g (x )≠u 0.那么，何时可以去掉限制性条件“存在δ0>0，当x ∈U O(x 0,δ0)时，有g (x )≠u 0”？由以上分析可知，若函数y =f (u )在u =u 0点处有定义，且lim u →uf (u )=A =f (u 0)，则可以去掉这个条件.也就是说，当函数y =f (u )在点u 0处连续时，可以去掉这个限制性条件.1.2用实例解释复合函数极限运算法则中的限制性条件例1设u =g (x )={x ,x 为有理数0,x 为无理数，y =f (u )={1,u ≠00,u =0，试问：lim x →0f (g (x ))=lim u →0f ()u 是否成立？解虽然lim x →0g (x )=0，lim u →0f (u )=1.但是，f ()g (x )={1,x 为有理数,且x ≠00,x 为无理数,或x =0，lim x →0f (g (x ))不存在，lim x →0f (g (x ))=lim u →0f ()u 不成立.究其原因，就在于，在x =0的任何去心邻域内，都有使得g (x )=0的点.不满足复合函数极限定理的限制性条件.任取一列使得g (x n )=0的点{}x n ，都有f (g (x n ))=f (0)=0，从而lim n →∞f ()g ()x n =0≠1.从理论上讲，lim x →0f ()g (x )=1要成立，要求在x =0的去心邻域内，u =g (x )要属于u =0的去心邻域.但这是不可能的.因为x =0的任何去心邻域内，都有无穷多无理数，使得u =g (x )=0.在利用无穷小等价替换求极限时，复合函数极限运算法则起到很重要的作用，比如x →0时，sin x~x ,tan x~x ,ln(1+x )~x ,arcsin x~x ,⋯.利用复合函数极限运算法则，只要在x 的某无限变化过程中，φ()x →0,φ()x ≠0，就有sin φ(x )~φ(x ),tan φ(x )~φ(x ),ln(1+φ(x ))~φ(x ),arcsin φ(x )~φ(x ),⋯,其中要求φ()x ≠0，就是复合函数极限法则中的限制性条件［6］.2泰勒公式的系数泰勒公式的系数是用导数计算的，但有时，高阶导数比较难求，或高阶导数公式很麻烦，可以通过其他方法求泰勒公式的系数.特别是求复合函数的泰勒公式的系数，可以尝试通过极限方法求出.2021年第6期学报2.1用极限方法推导泰勒公式的系数设f (x )在x 0处具有n 阶导数，且f (x )=a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n (x -x 0)n+R n (x )，其中：R n (x )=o ()()x -x 0n，()x →x 0.则lim x →x 0f (x )=lim x →x[]a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n (x -x 0)n +R n (x ),∴a 0=lim x →xf (x 0)=f (x 0).lim x →xf (x )-a 0x -x 0=lim x →x 0a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n (x -x 0)n +R n (x )x -x 0,∴a 1=lim x →xf (x )-a 0x -x 0=f '(x 0).lim x →xf (x )-a 0-a 1(x -x 0)(x -x 0)2=limx →x 0a 2(x -x 0)2+⋯+a n (x -x 0)n +R n (x )(x -x 0)2,∴a 2=lim x →xf (x )-a 0-a 1(x -x 0)(x -x 0)2=12f ″(x 0).⋯⋯lim x →xf (x )-éëùûa 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n -1()x -x 0n -1(x -x 0)n =lim x →xa n (x -x 0)n +R n (x )(x -x 0)n，∴a n =lim x →xf (x )-éëùûa 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+⋯+a n -1()x -x 0n -1(x -x 0)n =f (n )(x 0)n !.反之，记p n (x )=f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)+12!f ″(x 0)(x -x 0)2+⋯+1n !f (n )(x 0)(x -x 0)n ，则可证明，f (x )=p n (x )+R n (x ),其中R n (x )=O ()()x -x 0n，()x →x 0.且f (k )(x 0)=p (k )n (x 0),k =0,1,2,⋯,n .（文献［2］有证明过程）.这里提供了求泰勒公式系数的一种新方法，通过极限求泰勒公式的系数.a 0=lim x →xf (x )，a 1=lim x →xf (x )-a 0x -x 0，a 2=lim x →xf (x )-a 0-a 1(x -x 0)(x -x 0)2，⋯⋯a k =lim x →xf (x )-a 0-a 1(x -x 0)-a 2(x -x 0)2-⋯-a k -1(x -x 0)k -1(x -x 0)k,k =1,2,⋯,n .求极限过程中，除了用洛必达法则外，无穷小等价替换、极限四则运算方法、复合函数极限运算换元法［7-10］，都是常用方法.求a k 时，不一定要求出f (k )()x .当f (k )(x )表达式较难求出时，用极限方法，有时也能求出系数a k .2.2用极限方法求泰勒公式的系数举例例2求e 2x -x 2包含x 3项的带有佩亚诺余项的Taylor 公式.解a 0=lim x →0e 2x -x 2=1，a 1=lim x →0e 2x -x 2-a 0x =lim x →0e 2x -x 2-1x=lim x →0(2x -x 2)x=2，a 2=lim x →0e 2x -x 2-a 0-a 1x x 2=lim x →0e 2x -x 2-1-2xx 2=lim x →0e 2x -x 2(2-2x )-22x=lim x →0-2xe 2x -x 22x +2lim x →0e 2x -x 2-12x=-1+2=1，吴世玕：关于复合函数极限运算法则及泰勒公式的一个注记a 3=lim x →0e 2x -x 2-a 0-a 1x -a 2x 2x 3=limx →0e 2x -x 2-1-2x -x 2x 3=lim x →0e 2x -x 2(2-2x )-2-2x3x 2=lim x →0e2x -x 2(2-8x +4x 2)-26x=lim x →02()e2x -x 2-16x+lim x →0e 2x -x2()4x 2-8x 6x=23-43=-23，所以，e 2x -x2=1+2x +x 2-23x 3+o ()x 3.3结语学习高等数学，不仅要知晓各概念、定理、公式的定义、使用条件、使用方法，更要知晓定理中为何会有一些限制性条件.作为高等数学教师，在讲解比较难的定理时，不妨先从实例出发，引出要讲解的定理结论.更重要的是，不仅要教学生如何证明定理结论，更要从理论上，让学生多想一想，定理中为什么要有这些条件.最好是从理论及实例两方面加以解释，这样，可让学生对定理有个更加清晰的认识.教学，不能强迫学生接受教师讲的结论，要从多方面讲清楚知识要点.要培养学生创新意识，不要拘泥于教材上的知识，要大胆地创新探索，要有自己的想法.参考文献：［1］毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析学习指导书（上册）［M ］.第4版.北京：高等教育出版社，2011：40-47.［2］同济大学数学系.高等数学（上册）［M ］.第7版.北京：高等教育出版社，2014：20-40.［3］李卫峰.复合函数极限法则的一个注记［J ］.大学数学，2014，30（6）：87-88.［4］王海蒙.关于数学分析教学的几点注记［J ］.江苏第二师范学院学报，2015，31（6）：21-23.［5］马知恩，王绵森.高等数学疑难问题选讲［M ］.北京：高等教育出版社，2014：62-69.［6］何少芳，周丽.复合函数在一元函数微积分教学中的妙用［J 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1-5极限运算法则
x + ax + b 例5. 已知 lim 2 = 2 , 求 a,b x →1 x + x − 2
2
解: Q lim ( x 2 + x − 2) = 0
x →1
∴ lim( x + ax + b) = 1 + a + b = 0 x →1
2
x2 + ax − 1 − a 原式 = lim x→1 ( x + 2)( x − 1)
定理7. 定理 设
且 x 满足 则有
时,
φ(x) ≠ a, 又
x→x0
lim f [φ(x) ] =
说明: 1.若定理中 limφ(x) =∞, 则类似可得 说明 若定理中
x→x0
lim f [φ(x) ] = lim f (u) = A
u→∞
x→x0
2.此定理是用变量替换求极限的理论基础， 此定理是用变量替换求极限的理论基础， 此定理是用变量替换求极限的理论基础 是不能省去的。 其中条件 φ( x) ≠ a 是不能省去的。
0
0 型 , 约去公因子 0 4) x →∞ 时 , 分子分母同除最高次幂
5)利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 6)利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限 (2) 复合函数极限求法 设中间变量
x +1+ a ( x − 1)( x + 1 + a) = lim = lim x →1 x →1 ( x + 2)( x − 1) x+2
2+a = 2 ∴ a = 4 , b = −5 = 3
极限的定义与极限运算法则
极限的定义与极限运算法则极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点或无穷远处趋向于某个特定值的行为。
极限与连续性、导数等概念密切相关，对于数学分析和实际问题求解都具有重要意义。
本文将围绕极限的定义和极限运算法则展开讨论，以便更深入地理解这一概念。
一、极限的定义从数学的角度来看，极限可以用更加精确的定义来描述。
假设函数f(x)在某一点a的某一邻域内定义，并且对于任意给定的ε > 0，存在相应的δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，其中L为实数。
如果这一性质成立，我们就说函数f(x)在x趋向于a的过程中极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
这个定义表明，极限L是函数f(x)在x趋向于a时f(x)的“极限”，即函数在逼近某一数值时的稳定性。
二、极限运算法则运用极限来分析函数的性质和求解问题时，需要借助一些基本的极限运算法则。
以下列举了几个常用的极限运算法则：1. 基本极限法则- 常数极限法则：lim(x→a) c = c，其中c为常数。
- 自变量极限法则：lim(x→a) x = a。
- 乘积极限法则：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)，即两个函数的极限的乘积等于各自极限的乘积。
- 商极限法则：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = [lim(x→a) f(x)] / [lim(x→a)g(x)]，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。
2. 复合函数的极限法则- 复合函数极限法则：lim(x→a) f[g(x)] = lim(y→L) f(y)，其中lim(x→a) g(x) = L。
3. 无穷极限法则- 无穷极限法则：lim(x→∞) f(x) = L，其中L为实数。
通过运用极限运算法则，我们可以更加方便地求解复杂函数的极限。
复合函数在一点的极限与连续性的解析
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２８复合函数在一点的极限与连续性的解析复合函数在一点的极限与连续性的解析Һ吕胜利１㊀李静铂２∗㊀（１．燕山大学理学院，河北㊀秦皇岛㊀０６６００４；２．河北科技师范学院数信学院，河北㊀秦皇岛㊀０６６００４）㊀㊀ʌ摘要ɔ复合函数在一点的极限与连续性与构成复合函数的内层函数及外层函数在同一点的属性有直接的关系，本文举例分析由两个函数所构成的复合函数在一点的极限与连续性与这两个函数各自在同一点的极限与连续性的关系．ʌ关键词ɔ复合函数；函数的连续性；函数在一点的极限ʌ基金项目ɔ河北省省级专业学位教学案例立项建设项目（编号：ＫＣＪＳＺ２０１９０２１）；燕山大学概率论与数理统计课程线上线下混合式教学改革项目（编号：６１０００４１３２）．１㊀引言函数极限与连续性是高等数学的基本概念，函数的极限运算也是中学数学要求掌握的一种基本的运算能力，而连续性的意义对于中学生也是直观显见的．本文从高等数学的基本理论出发，分析复合函数在一点的极限与连续性的不同情况．根据函数在一点连续的定义，一个函数在一点有极限是函数在该点连续的必要但非充分条件，而如果一个函数在一点连续，则这个函数在这一点的极限等于该点的函数值．对于复合函数，根据内层函数与外层函数连续性的不同情况，复合函数在一点是否有极限㊁极限的计算以及是否连续也有各种不同的情况．本文对这些情况给出具体的举例分析，希望对中学数学及大学数学的教学提供一些直观的素材．下面给出函数在一点的极限及函数的连续性的基本概念与相关定理．２㊀基本概念与定理定义１［１－３］㊀函数在一点极限的定义：设点ｘ０的某一去心邻域在函数ｆ（ｘ）的定义域内，若有常数Ａ，对于任意的ε＞０，总有δ＞０，使得０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ成立时，必有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，则Ａ称为ｆ（ｘ）当ｘңｘ０时的极限，记作ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ．定义２［２－４］㊀函数在一点连续的定义：设函数ｆ（ｘ）在点ｘ０的某一去心邻域内有定义，如果ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），那么就称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连续．定义３［２－４］㊀复合函数的定义：设Ｄｆ为函数ｙ＝ｆ（ｕ）的定义域，Ｄｇ为函数ｕ＝ｇ（ｘ）的定义域，且ｇ（ｘ）的值域Ｒｇ⊂Ｄｆ，则函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］，ｘɪＤｇ叫做ｙ＝ｆ（ｕ）与ｕ＝ｇ（ｘ）的复合函数，定义域为Ｄｇ，ｕ是中间变量，函数ｇ为内层函数，函数ｆ为外层函数．定理１［１，３，４］㊀设ｆ［ｇ（ｘ）］是函数ｕ＝ｇ（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｕ）的复合函数，点ｘ０的某去心邻域在ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域内，若ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）＝ｕ０，ｌｉｍｕңｕ０ｆ（ｕ）＝Ａ，且存在δ０＞０，当ｘɪＵʎ（ｘ０，δ０）时，有ｇ（ｘ）ʂｕ０，则ｌｉｍｘңｘ０ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｕңｕ０ｆ（ｕ）＝Ａ．定理２［３－５］㊀设函数ｆ［ｇ（ｘ）］由函数ｕ＝ｇ（ｘ）与函数ｙ＝ｆ（ｕ）复合而成，Ｕʎ（ｘ０）⊂Ｄｆ㊂ｇ，若ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）＝ｕ０，而函数ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ＝ｕ０处连续，则ｌｉｍｘңｘ０ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）］＝ｆ（ｕ０）．㊀定理３［３－５］㊀设函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］由函数ｕ＝ｇ（ｘ）与函数ｙ＝ｆ（ｕ）复合而成，Ｕ（ｘ０）⊂Ｄｆ㊂ｇ，若函数ｕ＝ｇ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处连续，且ｇ（ｘ０）＝ｕ０，而函数ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ＝ｕ０处连续，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ＝ｘ０处也连续，即㊀㊀㊀㊀ｌｉｍｘңｘ０ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｌｉｍｘңｘ０ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｘ０）］＝ｆ（ｕ０）．以上三个定理的条件逐一增强，因此，定理１具有一般性，定理２是定理１的特殊情形，定理３是定理２的特殊情形．３㊀复合函数在一点的极限不同情形的举例分析３．１㊀外层函数不连续且内层函数不连续例１㊀设函数ｆ（ｕ）及ｇ（ｘ）在实数集Ｒ上有定义且ｆ（ｕ）＝ｕ，ｕʂ１，２，ｕ＝１，{㊀㊀㊀㊀ｕ＝ｇ（ｘ）＝ｘ，ｘʂ１，３，ｘ＝１，{可以看出函数ｆ（ｕ）在ｕ０＝１处不连续，函数ｇ（ｘ）在ｘ０＝１处不连续，将ｆ（ｕ）与ｇ（ｘ）复合得：ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ，ｘʂ１，３，ｘ＝１，{. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２８则函数ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续，属于定理１的情形，不同形式的极限有以下关系：ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝２，ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝３，即ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］ʂｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］ʂｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］，而ｆ（１）＝２，ｇ（１）＝３，ｆ［ｇ（１）］＝３，ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｕң１ｆ（ｕ）＝１ʂｆ［ｇ（１）］，故ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续．３．２㊀外层函数不连续而内层函数连续例２㊀设函数ｆ（ｕ）及ｇ（ｘ）在实数集Ｒ上有定义且ｆ（ｕ）＝ｕ，ｕʂ１，２，ｕ＝１，{ｕ＝ｇ（ｘ）＝ｘ，ｘɪＲ，可以看出函数ｆ（ｕ）在ｕ０＝１处不连续，函数ｇ（ｘ）在ｘ０＝１处连续，将ｆ（ｕ）与ｇ（ｘ）复合得：ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ，ｘʂ１，２，ｘ＝１，{则函数ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续，属于定理１的情形，不同形式的极限有以下关系：ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝２，ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝２，即ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］ʂｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］，而ｆ（１）＝２，ｇ（１）＝１，ｆ［ｇ（１）］＝２，ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｕң１ｆ（ｕ）＝１ʂｆ［ｇ（１）］，故ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续．３．３㊀外层函数连续而内层函数不连续例３㊀设函数ｆ（ｕ）及ｇ（ｘ）在实数集Ｒ上有定义且ｆ（ｕ）＝ｕ，ｕɪＲ，ｕ＝ｇ（ｘ）＝ｘ，ｘʂ１，２，ｘ＝１，{可以看出函数ｆ（ｕ）在ｕ０＝１处连续，函数ｇ（ｘ）在ｘ０＝１处不连续，将ｆ（ｕ）与ｇ（ｘ）复合得：ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ，ｘʂ１，２，ｘ＝１，{则函数ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续，属于定理２的情形，不同形式的极限有以下关系：ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝２，即ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］ʂｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］，而ｆ（１）＝１，ｇ（１）＝２，ｆ［ｇ（１）］＝２，ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝１＝ｆ（１）ʂｆ［ｇ（１）］，故ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处不连续．３．４㊀外层函数连续且内层函数连续例４㊀设函数ｆ（ｕ）及ｇ（ｘ）在实数集Ｒ上有定义且ｆ（ｕ）＝ｕ，ｕɪＲ，ｕ＝ｇ（ｘ）＝ｘ，ｘɪＲ，可以看出函数ｆ（ｕ）在ｕ０＝１处连续，函数ｇ（ｘ）在ｘ０＝１处连续，将ｆ（ｕ）与ｇ（ｘ）复合得：ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ，ｘɪＲ，则函数ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处连续，属于定理３的情形，不同形式的极限有以下关系：ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝１，ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝１，即ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝１，而ｆ（１）＝１，ｇ（１）＝１，ｆ［ｇ（１）］＝１，㊀㊀㊀ｌｉｍｘң１ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｌｉｍｘң１ｇ（ｘ）］＝ｆ［ｇ（ｌｉｍｘң１ｘ）］＝１＝ｆ（１）＝ｆ［ｇ（１）］，故ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ０＝１处连续．４㊀结语根据以上分析可以看到，复合函数在一点的极限值与内层函数及外层函数的连续性有直接关系．我们可以给出以下结论：对于复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］，有Ｕʎ（ｘ０）⊂Ｄｆ㊂ｇ，且ｇ（ｘ０）＝ｕ０，若复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］在ｘ＝ｘ０处不连续，则函数ｕ＝ｇ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处不连续或函数ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ＝ｕ０处不连续．这一结论可以看作定理３的逆否命题．另外，从不同情况的分析可以看到，若函数在一点连续，在求函数在该点的极限时，极限符号与函数符号可以交换．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第四版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］同济大学数学系．高等数学（上册）：第七版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［３］杨传翔．如何理解极限的定义［Ｊ］．中国科教创新导刊，２０１０（２）：１０２－１０３．［４］李卫峰．复合函数极限法则的一个注记［Ｊ］．大学数学，２０１４（６）：８７－８８．［５］马建清，向彩容，喻敏．关于求极限的几种方法［Ｊ］．高等函授学报（自然科学版），２００６（６）：３５－３６．. All Rights Reserved.。
复合函数的连续性和极限公式(老黄学高数第124讲)
证：f(g(x))=
∴f(g(x))=-sinx在x=0连续. 又 g(x)= -π， g(x)=π，∴g在x=0不连续.
当|x-x0|<δ时，有|f(x)-a|<δ1；从而有|g(f(x))-g(a)|<ε 即 g(f(x))=g(a)=g( f(x)).
注：这个推论适用于其余所有极限类型.
.
1、求极限：(1)
；(2)
.
解：(1)
(2)
.
2、设f(x)=sinx, g(x)=
证明：复合函数f(g(x))在x=0连续，但g在x=0不连续.∴x=0是g(f(x))的可去断点，其余点处处连续..
1、讨论复合函数f(g(x))与g(f(x))的连续性，设
(1)f(x)=sgn x, g(x)=1+x2;(2)f(x)=sgn x，g(x)=(1-x2)x.
解：(1)f(g(x))=sgn [(1-x2)x]=
f(g(x))=-1≠1= f(g(x)) ，
.
2求 sin(1-x2).
解： sin(1-x2)=sin( (1-x2))=sin 0=0.
若 f(x)=a，且g(u)在u=a连续，则
.
g(f(x))=g( f(x)). 证：∵g在a连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使 当|u-a|<δ1时，有|g(u)-g(a)|<ε； 又 f(x)=a，∴对δ1，有δ>0 ，使
老黄学高数
第124讲 复合函数的 连续性和极限公式
若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则 . 复合函数g(f(x))在点x0连续.
证：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使 当|u-u0|<δ1时，有|g(u)-g(u0)|<ε； 又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0 ，使 当|x-x0|<δ时，有|f(x)-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；从而有 |g(f(x))-g(f(x0))| <ε；
复合函数的极限运算法则探讨
�
在教学的过程中，我发现许多同学对于定理中“当 x ∈ U ( x 0 , δ 0 ) 时有 g ( x) ≠ u0 ， ”这 一条件理解的不好：或者是没有注意，或者并不知道它的作用，认为是可有可无. 其实这是 很重要的一个条件，如果没有这一条件，定理结论未必成立，现举例说明： 例1 的极限. 解 由复合函数的定义，有 f [ g ( x)] = 0 x ∈ R . 且 lim g ( x) = 0 ， lim f (u ) = 2 .
本例说明， 当 “ x ∈ U ( x0 , δ 0 ) 时， 有 g ( x) ≠ u0 ， ”
�
不满足时，复合函数的极限存在，但是未必等于外层函数的极限. 例2 设 f (u ) = ⎨
⎧u , u ≠ 0 , 1 u = g ( x ) = x sin ， x ≠ 0 ，讨论复合函数 y = f [ g ( x)] x ⎩1 , u = 0 , 1 = 0 ， lim f (u) = 0 . 由 复 合 函 数 的 定 义 ， 有 u →0 x
x→x0 u →∞ x → x0
的某个去心邻域内有定义，若满足 lim g ( x) = ∞ ， lim f (u ) = A ，则 lim f [ g ( x )] = A 证明 由 lim f (u ) = A ，知 ∀ε > 0 ， ∃M > 0 ，使得当 u > M 时，有 f (u ) − A < ε 成立.
u →∞
成立. 又由 lim g (x ) = ∞ ，根据无穷大的定义，对于上述的 M > 0 ， ∃N > 0 ，当 x > N 时，
x →∞
有 g ( x) > M 或 u > M ，从而有 f [ g ( x )] − A < ε . 故 lim f [ g ( x)] = A .
极限运算法则与存在准则
2
1)
x 0
x( 1 x
x 1 x 1
2
1 求 解: 方法 1 令 u
x 1 x 1
2
x , 则 lim u 1 ,
x1
u 1 u 1
u 1
∴ 原式 lim ( u 1) 2
u 1
方法 2
lim
2
( x 1)(
f (x) A , g (x) B
(其中 , 为无穷小)
于是
f (x) g (x) ( A ) (B ) ( A B ) ( )
由定理 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 说明: 定理 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
n
cos
n
说明: 计算中注意利用
2. 证: 当 x 0 时, 设 n x n 1 , 则
(1
1 n ) n 1
(1 1 ) (1 1 ) x
n
x
n 1
n 1 1 ) n 1
1 n 1
n
lim (1
1 n ) n 1 n 1
lim
x 1)
x1
x 1
lim (
x1
x 1)
三、夹逼准则
如果数列{ xn }、{ yn }及{ zn }满足下列条件 (1) yn xn zn (n1 2 3 ) (2) lim y n a lim z n a
n
n
那么数列{ xn }的极限存在 且 lim x n a n
设 因此 为无穷小,
极限运算法则-V1
极限运算法则-V1极限运算法则是微积分中至关重要的基础概念，它可以用来求解函数在特定点处的极限值，而这又是求导、积分等微积分相关概念的基础。
下面我们将对极限运算法则进行重新整理，以帮助大家更好地理解这一概念。
一、四则运算法则对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在某个点x0处的极限存在，那么它们的和、差、积和商也会在这个点处存在极限。
具体来说，我们可以将四则运算法则表述如下：1.和差法则f(x) + g(x)在x0处的极限等于f(x)在x0处的极限加上g(x)在x0处的极限f(x) - g(x)在x0处的极限等于f(x)在x0处的极限减去g(x)在x0处的极限2.积法则f(x)×g(x)在x0处的极限等于f(x)在x0处的极限乘以g(x)在x0处的极限3.商法则f(x)/g(x)在x0处的极限等于f(x)在x0处的极限除以g(x)在x0处的极限（当g(x0)≠0时）二、复合函数法则复合函数是由两个或更多函数组成的函数。
例如，如果f(x)和g(x)都是函数，那么f(g(x))就是一个复合函数。
复合函数法则可以用来求解这种情况下的极限值。
具体来说，我们可以将复合函数法则表述如下：设f(x)和g(x)是两个函数，且f在g(x)的极限存在，那么当x趋近于x0时，f(g(x))的极限等于f(g(x0))的极限。
三、单调有界性法则单调有界性法则指出，在一个区间内，如果一个函数单调递增或单调递减并且有界，那么它有极限。
这可以用于处理部分函数的极限问题。
具体来说，我们可以将单调有界性法则表述如下：如果一个函数f(x)在一个区间上单调递增或单调递减，并且在这个区间上有界，那么它在这个区间上一定有极限。
以上就是关于极限运算法则的重新整理。
通过详细的介绍和解释，我们希望读者能够更好地理解这些概念，并能够在微积分学习中灵活应用。
高等数学1-5极限运算法则(包含几种技巧)
f ( u) A .
o x x0
又 u ( x ), lim ( x ) a，且x U ( x0 ) 时， ( x ) a，
对于 0, 0, 当 0 x x0 时, 恒有 0 ( x) a u a . 综合上述两步: 0, 0, 当 0 x x0 时,
P( x) , 其中 P ( x ), Q( x ) 例3. 设有分式函数 R( x ) Q( x )
为多项式 , 若Q( x0 ) 0, 试证: lim R( x ) R( x0 ) . x x
0
证:
P ( x0 ) R( x0 ) lim R( x ) x x0 lim Q ( x ) Q ( x0 )
例2. 设 n 次多项式 Pn ( x ) a0 a1 x an x n ,
lim 试证 x x Pn ( x ) Pn ( x0 ).
0
证:
x x0
an lim x n lim Pn ( x ) a0 a1 lim x x x
x x0
0
a0 a1 x0 an x0 n Pn ( x0 )
无穷小因子分出法 ( 适用于 型 )
分子分母同除以最高次幂，分出无穷小，然后再求 极限。
例8
2x3 3x2 5 求 lim 3 x 7 x 4 x 2 1 3x2 5 求 lim 3 x 7 x 4 x 2 1 2x3 3x2 5 求 lim x 4x2 1
第五节
极限的运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
一、 无穷小运算法则
极限的运算法则与复合函数的极限
复合函数求极限条件 -回复
复合函数求极限条件 -回复
要求一个复合函数的极限，需要考虑两个方面：
1. 内部函数的极限
首先要确定内部函数的极限存在，否则整个复合函数的极限是不存在的。
如果内部函数的极限不存在，可以考虑把函数重新表示为另一个函数的复合形式，或者引入新的函数，使得内部函数的极限可以存在，从而判断整个复合函数的极限是否存在。
2. 外部函数的性质
其次要考虑外部函数的性质，例如连续性、单调性、界性等。
根据外部函数的性质，可以得到复合函数的极限的上下界或者调整函数的形式，使得复合函数的极限存在。
综上所述，求一个复合函数的极限需要注意内部函数的极限和外部函数的性质，通过合理的分析和调整使得复合函数的极限存在。
复合函数求极限
复合函数求极限复合函数求极限是在数学分析中常见的问题之一，它是通过将两个或多个函数组合在一起来研究整体函数的性质。
这种求解方法在实际问题中具有重要的应用，因此对于复合函数求极限的研究具有重要的理论和实际意义。
在解决复合函数求极限的问题时，我们需要掌握一些基本的思路和技巧。
下面我们将详细介绍复合函数求极限的基本方法和常见的应用。
首先，我们来讨论一下复合函数的定义。
假设有两个函数f(x)和g(x)，那么复合函数f(g(x))可以表示为f与g的复合。
它的定义为：f(g(x))=f[g(x)]。
接下来，我们来介绍求解复合函数求极限的基本思路和方法。
一、复合函数求极限的基本思路复合函数求极限的基本思路是通过将复合函数化简为简单函数的极限问题来求解。
具体来说，我们可以先计算内层函数的极限，然后再计算外层函数的极限，最后得到复合函数的极限。
二、复合函数求极限的基本方法在复合函数求极限时，我们可以使用一些常见的方法来计算复合函数的极限。
下面是一些常用的方法：1. 代数方法：通过代数化简的方法，将复合函数化简为简单函数的极限问题。
在化简过程中，我们可以利用一些常用的代数运算规则，如加法、减法、乘法和除法，来简化计算。
2. 替换法：通过替换内层函数的变量，将复合函数变换为简单函数的极限问题。
替换方法的关键在于选择合适的替换变量，使得计算过程更加简便。
3. 形式不变性：对于一些特殊的复合函数，我们可以利用其形式不变性来求解极限。
形式不变性是指当内层函数的极限存在时，外层函数的极限与内层函数的极限相同。
4. 夹逼定理：夹逼定理是应用极限的一个重要工具。
对于复合函数的极限求解，我们可以利用夹逼定理将复合函数夹在两个已知函数之间，通过比较已知函数的极限来求解复合函数的极限。
5. 单调性：对于满足单调性的函数，我们可以利用其单调性来求解复合函数的极限。
如果复合函数的内层函数具有单调性，并且外层函数满足单调函数的性质，那么我们可以通过单调性来求解复合函数的极限。
关于复合函数极限运算法则的一点说明
关于复合函数极限运算法则的一点说明
张晓凤
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)015
【摘要】当x∈■（x_0,δ_0）时,要求g（x）≠u_0是复合函数的极限运算法则中的一个重要的条件,更是运算法则中难以理解的一个条件,本文对此定理给予了证明,并通过实例说明缺少这个条件定理结论未必成立,最后进一步讨论了缺少这个条件复合函数极限存在性问题.
【总页数】1页(P138-138)
【作者】张晓凤
【作者单位】昆明理工大学津桥学院,云南昆明650000
【正文语种】中文
【中图分类】O159
【相关文献】
1.复合函数极限的运算法则探究 [J], 江庆华
2.浅析复合函数的极限运算法则 [J], 刘永莉;李曼生;宋雪梅;张艳红
3.谈复合函数极限运算法则中的附加条件 [J], 赵克健
4.关于高等数学中复合函数极限运算法则的探讨 [J], 赵志[1]
5.关于复合函数极限运算法则及泰勒公式的一个注记 [J], 吴世玕
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极限法则和几类重要极限
极限法则和几类重要极限极限法则是数学分析中的重要概念，它描述了函数在无穷接近其中一点时的行为。
通过研究和应用极限法则，我们能够理解函数的变化情况，并在实际问题中应用数学方法进行分析和求解。
在这篇文章中，我将介绍几类重要的极限以及它们的应用。
主要包括以下几个方面：基本极限、复合函数极限、一元函数的导数和微分、无穷小与无穷大和级数。
1.基本极限基本极限是研究和应用极限过程中的基础。
它们包括以下几个极限：- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$，这个极限是在三角函数与代数函数的转换中经常使用的。
- $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$，这个极限定义了数学中的自然对数底e，它在很多问题中起到关键作用。
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$，这个极限定义了指数函数的导数，它是研究变化率和增长率时的重要工具。
2.复合函数极限复合函数极限是研究多个函数组合时的极限过程，它可以通过链式法则来求解。
例如，如果有两个函数$f(x)$和$g(x)$，当$x$趋向于其中一点时，我们可以通过以下公式求出复合函数的极限：$\lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{u \to b} f(u) = f(b)$其中$u=g(x)$，当$x$趋向于$a$时，$u$趋向于$b$。
3.一元函数的导数和微分导数是极限的一种特殊情况，它表示了函数在其中一点的瞬时变化率。
一元函数的导数可以通过以下公式来表示：$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$其中$h$表示自变量的增量。
导数在研究曲线的切线、极值和凹凸性等问题时起到关键作用。
微分是导数的一个应用，它用于近似函数的变化。
微分可以通过以下公式来求解：$df = f'(x)dx$其中$df$表示函数的微分，$dx$表示自变量的微小增量。
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书中这样定义：
设函数y = f[g(x)]是由函数u = g(x)与函数y = f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若lim(x->x0)g(x) = u0, lim(u->u0)f(u) = A，且存在δ > 0,当x属于x0的去心δ邻域时，有g(x)不等于u0，则lim(x->x0)f[g(x)] = A
u 与u0的接近程度是用0 < |u - u0| < δ描述的，u -> u0的过程中不等于u0
函数在某点的极限值是自变量逼近这一点时函数值无限接近的一个值，这个值与函数在这一点的函数值无关
如果能进一步针对这条举出反例就更好了，
g(x)=xsin(1/x)
若u≠0，f(u)=0
若u=0，f(u)=1
在0的去心邻域中，f(g(x))有定义
(*) 对任意的正数δ，在0的去心δ邻域中，都有无数个点使得g(x)=0, 而f(g(x))=f(0)=1
lim{x→0}g(x)=0
lim{u→0}f(u)=0
而根据(*)，lim{x→0}f(g(x))不存在。
可见这个条件确实不能去掉。
如果f(u)在u0处连续，那么这个复合函数的极限运算法则仍然是成立的，g(x)是否在其他点取值u0并无影响，因而很多时候在实际应用这条法则时并不去验证这条，因为我们通常面对的是连续函数。
确实是这样的，因为g(x)在0的任意去心邻域内总是存在使得g(x)为0的点，而f(0) = 1 =/= lim(u->0)f(u)。
所以就不存在0的某个去心邻域使得|f(g(x))-0|能够小于任意ε>0，自然极限也就不存在了。
另一种情况：设lim(u->u0)f(u) = A，且f(u)在u0的某个去心邻域是连续函数，那么就有f(u0) = lim(u->u0)f(u) = A，再设lim(x->x0)g(x) = u0，那这时候就不用考虑在x0的某个去心邻域中，g(x) =/= u0这个条件了，因为g(x) =u0时，|f(g(x)) - A| = 0 < 任意ε>0 。