高二数学上学期试卷(附详细解释)
福建省高二上学期期末联考数学试题(解析版)
高中二年数学科试卷第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知空间向量，，且，则x =（ ）(2,1,3)a =- (2,,3)b x =-- a b ⊥A. 1B. -13C. 13D. -5【答案】B 【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为，，且，()2,1,3a =- ()2,,3b x =-- a b ⊥所以， 490x ---=解得， 13x =-故选：B.2. 若直线l 的方向向量是，则直线l 的倾斜角为（ ）(e =A.B.C.D.π6π32π35π6【答案】B 【解析】【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l 的方向向量是得直线(e =l设直线的倾斜角是， ()π0πtan 3αααα≤<=⇒=，故选：B.3. 已知椭圆的左右焦点分别为2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F 1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若的周长为8，则C 的方程为（ ）l 2AF B A A.B.C.D.221164x y +=2211612x y +=22143x y += 2214x y +=【答案】D【解析】【分析】由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，2AF B A 4a a c 进而求出，从而得出答案.b 【详解】由椭圆定义可得，， 122AF AF a +=122BF BF a +=又，11AF BF AB +=所以的周长， 2AF B A 224AB AF BF a ++=所以，故， 48a =2a =又 c e a ==c =所以1b ==所以椭圆C 的方程为.2214x y +=故选：D.4. 若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线的距离为50x y -+=（ ）A.B.C. 5D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据题意可设圆的方程为，且，代入点到直线的距222()()x a y a a -+-=0a >离公式即可求解.【详解】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为，，(,)a a 0a >，r a =所以设圆的方程为且， 222()()x a y a a -+-=0a >则圆心到直线的距离为. d 故选：A5. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为1，E 为PC 的中点，则线段PA 上的P ABCD -动点M 到直线BE 的距离的最小值为（ ）A.B.C.D.1312【答案】D 【解析】【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量在上的投影的大小，再求点M 到BM BE直线BE 的距离，由此可求其最小值.方法二：证明为异面直线的公垂线段，由此可求动点M 到直线BE 的距离的PE ,PA BE 最小值.【详解】连接，记直线的交点为，,AC BD ,AC BD O 由已知平面，，PO ⊥ABCD AC BD ⊥以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， O ,,OA OB OP,,x y z 由已知， 1,1AB BC CD DA PA PB PC PD ========所以，12OA OC AC OB OP ======则，,,,,A B P C E ⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝所以，，，BE ⎛= ⎝BA ⎫=⎪⎪⎭AP ⎛= ⎝ 设，则AM AP λ=()01λ≤≤，(1BM BA AM BA AP ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭ λλ所以在上的投影向量的模为，BM BEBM BE BE⋅==又BM ==所以动点M 到直线BE 的距离， d ==所以， d =所以当时，动点M 到直线BE 的距离最小，最小值为， 1λ=12故选：D.方法二：因为为等边三角形，为的中点，所以， PBC A E PC PE BE ⊥由已知，所以，1,1,PA PC AC ===222PA PC AC +=所以，PA PC ⊥所以为异面直线，的公垂线段， PE PA BE 所以的长为动点M 到直线BE 的距离最小值， PE 所以动点M 到直线BE 的距离最小值为， 12故选：D.6. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点，点()2222:10y x C a b a b+=>>()220x py p =>F A是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是（ ） AF y ⊥A.B.C.D.1211-【答案】C 【解析】【分析】分析可得，求得，设设椭圆的下焦点为，利用勾股定理可求2p c =2AF c =F '得，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值. AF '【详解】易知点或，所以，，即， (),0F c 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭2pc =2p c =将代入抛物线方程可得，则， 2py =x p =±2AF p c ==设椭圆的下焦点为，因为轴，则，F 'AF y ⊥AF由椭圆的定义可得， (2221a AF AF c c '=+=+=所以，椭圆的离心率为. 1c e a ===故选：C.7. 初中时通常把反比例函数的图像叫做双曲线，它的图像就是在圆锥曲线定(0)ky k x=≠义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当K >0时只需把反比例函数的图像绕着原点顺时针旋转，便得到焦点在x 轴的双曲线的图形.所以也可以45 理解反比例函数的图像是以x 轴，y 轴为渐近线，以直线y =x 为实轴的等轴双曲线，那么当k =4时，双曲线的焦距为（ ）A. 8B. 4C. D.【答案】A 【解析】【分析】结合所给信息，可得旋转后，双曲线变为等轴双曲线，再由绕原点顺时针()2,2旋转所得坐标在等轴双曲线上可得等轴双曲线方程.【详解】由所给信息，可知旋转后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等轴双曲线，设为.又注意到在函数图像上，其与原点连()222210x y a a a-=>()2,24y x =线与x 正半轴夹角为，则将点绕原点顺时针旋转后，该点落在x 正半轴，设o 45()2,2o 45为，因旋转前后到原点距离不变，则.()0m ,28m m =⇒=即将点绕原点顺时针旋转后，可得，则满足.()2,2o45()()22221x y a a-=可得双曲线方程为，则，则焦距为.22188x y -=4c ==28c =故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）8. 正四面体ABCD 中，棱长为a ，高为h ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，AB 与平面BCD 所成角为，二面角A -BD -C 的大小为，则（ ）αβA. B. C.D.h =2R r=sin α=1cos 2β=【答案】AC 【解析】【分析】根据正四面体的性质结合外接球、内切球的性质以及线面、面面夹角逐项分析运算.【详解】取的中点，的中心，连接，BD M BCD △H ,,AH BH CM 对A ：∵为正四面体，则平面，故外接球的球心（也为内切球的球ABCD AH ⊥BCD O 心）在上， AH则21,,,33AM CM BH CH CM DM CM h AH ==========，A 正确；对B ：,OA OB R OH r R ====-∵平面，平面， AH ⊥BCD ,BH CM ⊂BCD ∴，,AH BH AH CM ⊥⊥故，即，解得， 222OB BH OH =+222R R ⎫⎫=+-⎪⎪⎪⎪⎭⎭R =故，则，B 错误；r ==3R r =对C ：由平面，可得AB 与平面BCD 所成角为， AH ⊥BCD ABH α=Ð故C 正确； sin sin AH ABH AB α=Ð==对D ：∵为的中点，且，则，M BD AB AD BC BD ===,AM BD CM BD ⊥⊥故二面角A -BD -C 的大小为，AMC β=∠在中，则，D 错误. Rt AHMA 1cos cos 3MH AMC AM β=∠===故选：AC.9. 已知等差数列的前n 项和为，且满足，公差，则（ ）{}n a n S 410a a =0d <A.B.C. 有最大值D.70a =130S >n S13(112,)n n S S n n N *-=≤≤∈【答案】ACD 【解析】【分析】首先根据已知条件得到，，，再依次判断选项即可得到40a >100a <4100a a +=答案.【详解】因为满足，公差，410a a =0d <所以，，且，即.40a >100a <410a a =-4100a a +=对选项A ，，即，故A 正确.410720a a a +==70a =对选项B ，，故B 错误.()()111133401313202S a a a a ++===对选项C ，因为，，所以，， 70a =0d <60a >80a <所以当或时，有最大值.故C 正确. 6n =7n =n S 对选项D ，因为当或时，取得最大值， 6n =7n =n S 所以，故D 正确. 13(112,)n n S S n n N *-=≤≤∈故选：ACD10. 已知抛物线的焦点F 到准线的距离为4，直线过点F 且与抛物线交22(0)y px p =>l 于A 、B 两点，若是线段AB 的中点，则（ ）(),2M mA. m =1B. p =4C. 直线的方程为D.l 24y x =-5AB =【答案】BC 【解析】【分析】根据抛物线的几何性质可判断B ；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C ；由点在直线上可求得m ，可判断A ；利用弦长公式可判断D. (),2M m l 【详解】由题知，，故B 正确； 4p =故抛物线方程为，28y x =设，易知，则1122(,),(,)A x y B x y 12x x ≠，由点差法可得 21122288y x y x ⎧=⎨=⎩1212128y y x x y y =-+-又是线段AB 的中点，所以，所以直线l 的斜率(),2M m 124y y +=12122y y x x --=因为直线l 过焦点，所以l 的方程为，即，C 正确； (2,0)F 02(2)y x -=-24y x =-将代入可得，A 错误；(),2M m 24y x =-3m =将代入得，所以，所以24y x =-28y x =2640x x -+=126x x +=，故D 错误.126410AB x x p =++=+=故选：BC11. 在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.{}n a 221(2,,n n a a p n n p *--=≥∈N {}n a 下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ） A. 是平方等差数列{}(2)n-B. 若是平方等差数列，则是等差数列{}n a {}2n a C. 若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列{}n a {}(,,,n ka b k b k b *+∈N D. 若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列{}n a {}(,,,kn b a k b k b *+∈N 【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A ，当为奇数时，则为偶数，所以n ()1n -，()()()11122223·2n n n n n ------=-+=-当为偶数时，则为奇数，所以，n ()1n -()()()11122223·2n n n n n ------=+=即不符合平方等差数列的定义，故错误；{}(2)n-对于B ，若是平方等差数列，则为常数），即是首{}n a 221(2,,n n a a p n n p *--=≥∈N {}2n a 项为，公差为的等差数列，故正确；21a p 对于C ，若是平方等差数列，则为常数），{}n a 221(2,,n n a a p n n p *--=≥∈N 则，()()()()222221112n n nn n n ka b ka b kaa kb a a ---+-+=-+-即，()()()222112n n n n ka b ka b k p kb a a --+-+=+-当为等差数列时，，则为平方等差数列， {}n a 1n n a a d --={}n ka b +当不为等差数列时，则不为平方等差数列，故错误； {}n a {}n ka b +对于D ，因为是平方等差数列，所以{}n a ，()()222222121111+++++--=-==-= kn kn kn kn k n k n a a a a a a p 把以上的等式相加，得，()()()()()222222121111+++++--+-+⋯+-=kn kn kn kn k n k n a a a a a a kp ，则，即数列是平方等差数列，故正确； 22(1)k n kn a a kp +∴-=()221kn b k n ba a kp +++-={}knb a +故选:BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．12. 在等差数列中，若，，则______{}n a 11a =2462a a =5a =【解析】【分析】根据已知先求公差，然后由通项公式可得.【详解】记等差数列的公差为，则有{}n a d 211(3)2(5)a d a d +=+又，所以，解得 11a =2(13)2(15)d d +=+d =所以 514a =+=13. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为2y x =±()4________【答案】221416x y -=【解析】【分析】由双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，代入点的2y x =±22(0)4y x λλ-=≠坐标即可求得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线方程为2y x =±22(0)4y x λλ-=≠，因为双曲线过点，代入解得，所以双曲线的方程为.()44λ=-221416x y -=故答案为：221416x y -=14. 将全体正奇数排成一个蛇形三角形数阵：按照以上排列的规律，记第行第个数为，如，若，则i j ,i j a 4,215a =,2023i j a =i j +=_____. 【答案】69 【解析】【分析】观察数阵的排列规律，先确定在数阵中的行的值，再确定在该行的2023i 2023项数，由此可求.j i j +【详解】观察可得数阵的第行排个数，m m 从第3行起，奇数行的数从左至右排列为公差为-2的等差数列， 偶数行的数从左至右排列为公差为2的等差数列，将数阵中的所有数从小到大排列记为数列，则， {}n b 21n b n =-令，可得， 2023n b =1012n =因为2023在数阵的第行，i 所以，， ()12311012i +++⋅⋅⋅+-<()12311012i i +++⋅⋅⋅+-+≥所以，，2220240,20240i i i i --<+->N i *∈所以，所以2023排在第45行，45i =前45行共排了个数，即1035个数， 12345+++⋅⋅⋅+所以第45 的最大数为，10352069b =将第45行的数从左至右排列记为，则， {}n c 12069c =所以，即， ()206921n c n =--20712n c n =-因为2023为数列的第项，故， {}n c j 207122023j -=所以，故. 24j =69i j +=故答案为：69.15. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个22(0)x py p =>半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A 点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A 点，则p 的取值范围为______.【答案】 [)1,2【解析】【分析】根据题意分析可得：圆与只有一个交点，()2211x y +-=22(0)x py p =>()O A 圆与只有两个交点，分别联立方程分析运算.()()2242x y a a +-=>22(0)x py p =>【详解】如图，由题意可得：圆与只有一个交点，()2211x y +-=22(0)x py p =>()O A 联立方程，消去x 得，解得或，()222112x y x py⎧+-=⎪⎨=⎪⎩()2210y p y +-=0y =()21y p =-故，则，()210p -≤1p ≥圆与只有两个交点，()()2242x y a a +-=>22(0)x py p =>联立方程，消去x 得，()22242x y a x py⎧+-=⎪⎨=⎪⎩()22240y p a y a +-+-=∵，可得若有根，则两根同号，240a ->()22240y p a y a +-+-=根据题意可知：有且仅有一个正根，()22240y p a y a +-+-=故，则可得，解得，()()22Δ4440p a a a p ⎧=---=⎪⎨->⎪⎩422p a p p +=>02p <<综上所述：的取值范围为. p [)1,2故答案为：.[)1,2【点睛】方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）16. 在数列中，，点在直线x -y +3=0上.{}n a 515a =()()1,N n n a a n *+∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）为等比数列，且，记为数列的前n 项和，求. {}n b 1123,b a b a ==n T {}n b n T 【答案】（1）*3(N )n a n n =∈（2）. 3(31)2nn T =-【解析】【分析】(1)由条件根据等差数列定义证明数列为等差数列，结合等差数列通项公式求{}n a 其通项；(2)由条件求数列的首项和公比，根据等比数列求和公式求. {}n b n T 【小问1详解】 因为点在直线上，()()1,Nn n a a n *+∈30x y -+=所以，即， 130n n a a +-+=13n n a a +-=所以数列是以为公差的等差数列， {}n a 3d =因为，所以， 515a =14315a +⨯=故，13a =所以； *13(1)3(N )n a a n n n =+-=∈【小问2详解】设数列的公比为， {}n b q 由(1)知，11233,9b a b a ====所以，所以， 213b q b ==3n n b =所以. , 1(1)3(13)3(31)1132n n nn b q T q --===---17. 已知平行四边形的三个顶点坐标为、、.ABCD ()2,1A --()4,1B ()2,3C （1）求所在的直线方程； AD （2）求平行四边形的面积. ABCD 【答案】（1）30x y ++=（2） 16【解析】【分析】（1）分析可知，则，可求得直线的斜率，再利用点斜式//AD BC AD BC k k =AD 可得出直线的方程；AD （2）求出直线的方程，可计算得出点到直线的距离，并求出，再利用平BC A BC BC 行四边形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】解：因为四边形为平行四边形，则，则， ABCD //AD BC 13142AD BC k k -===--所以，直线的方程为，即. AD ()12y x +=-+30x y ++=【小问2详解】解：直线的方程为，即，且BC ()14y x -=--50x y +-=，BC ==点到直线的距离为，A BC d所以，平行四边形的面积为.ABCD 16ABCD S BC d =⋅==A 18. 如图，点A （-2，1），B ，C 三点都在抛物线上，抛物线的焦点为F ，22(0)x py p =>且F 是的重心.ABC A（1）求抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求BC 中点M 的坐标及线段BC 的长.【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；24x y =()0,1F（2），. ()1,1M BC =【解析】【分析】（1）由点A 在抛物线上可得抛物线方程，后可得焦点坐标；（2）设BC 直线方程为，将其与抛物线联立，结合韦达定理及重心坐标公式可y kx b =+得答案. 【小问1详解】因在抛物线上，则. ()2,1A -422p p =⇒=则抛物线方程为，焦点坐标为； 24x y =()0,1F 【小问2详解】设BC 线段所在直线方程为，将其与抛物线方程联立y kx b =+，由题. 224440x yx kx b y kx b⎧=⇒--=⎨=+⎩216160k b ∆=+>设，则由韦达定理.()()1122,，,B x y C x y 121244x x k x x b +==-，因F 是的重心，则，则BC 中点M 的坐标为ABC A 1212121220232113x x x x y y y y -++⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=++⎩⎪=⎪⎩，.又M 在直线上，则()12121122,,x x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭1422k k =⇒=y kx b =+，故.则 112k b b =+⇒=121222，x x x x +==-BC ==⋅=⋅=⋅=19.如图，等腰梯形中，，ABCD //,1,3,====⊥AB CD AB CD AD BC AE CD 沿AE 把折起成四棱锥，使得.DEA △D ABCE '-2D B '=（1）求证：平面平面； D BE '⊥D AC '（2）求点到平面的距离. A D BC '【答案】（1）证明见解析；（2）点到平面. A D BC '【解析】【分析】（1）先证明平面，由此证明，再证明，根据线D E '⊥ABCE D E AC '⊥BE AC ⊥面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面AC ⊥D BE 'D BE '⊥；D AC '（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量和，再由距离公式求解.D BC 'AB【小问1详解】因为，//,1,3,====⊥AB CD AB CD AD BC AE CD所以311,2DE AE -====所以，又，1D E '=2D B '=BE ==所以，故，222D B BE D E ''=+D E BE '⊥又，平面，， D E AE '⊥,AE BE ⊂ABCE AE BE E =I 所以平面，因为平面， D E '⊥ABCE AC ⊂ABCE 所以，D EAC '⊥在等腰梯形ABCD 中，，3AD AC DC ====所以， 222=AD AC CD +所以，又， AD AC ⊥//AD BE 所以，AC BE ⊥因为平面，， ,D E BE '⊂D BE 'D E BE E '= 所以平面，因为平面，AC ⊥D BE 'AC ⊂D AC '所以平面平面；D BE '⊥D AC '【小问2详解】由(1) 平面，，D E '⊥ABCE AE EC ⊥以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，E ,,EA EC ED ',,x y z 则，))()(),,0,0,1,0,2,0ABD C '所以，()()()0,1,0,,0,2,1AB BC D C '===-设平面的法向量为，则D BC '(),,n x y z =，所以， 00n BC nD C '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩令，则，x =2,4y z ==所以为平面的一个法向量，)2,4n =D BC '所以点到平面的距离为，A D BC'AB n d n⋅===20. 已知数列满足： {}n a 111,31nn n a a a a +==+（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）若，求数列的前n 项和.2nn nb a ={}n b n T 【答案】（1）证明见解析，；132n a n =-（2） 1(35)210n n T n ++=-【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，并通过数列的通1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭项公式得到数列的通项公式；{}n a (2)因为，根据错位相减法即可求出数列的前项和．()322nn b n =-⋅{}n b n n T 【小问1详解】 因为， 131nn n a a a +=+所以， 又， 1311111133n n n n n n na a a a a a a ++-=-=+-=11a =所以数列是首项为1，公差为3的等差数列 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以， 11(1)332nn n a =+-⨯=-所以；132n a n =-【小问2详解】由(1)可知：， 2(32)2nn n nb n a ==-⋅， 231124272...(352(322n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅-+⋅）），23121242352322n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅-⋅（）+（）上面两式相减可得， 234123222...2322n n n T n +-=+⨯++++--⋅（（）），111=(35)134(12)23222102n n n n n -++⨯-=+---+--（）化简可得，1(35)210n n T n ++=-21. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴OO '，短轴长，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦4AB A B ''==12,F F 2F '点，，P 为的中点，MN 为过点的下底面的一条动弦（不与AB 重合）.4AA '=BB '2F（1）求证：平面PMN12F F //'（2）求三棱锥的体积的最大值. 1P F MN -【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】【分析】（1）由线线平行证线面平行；（2）由解析法，建立平面直角坐标系如图所示，，转为求O xy -1113P F MN F MN V S PB A -=⋅的最大值， 112F MN S MN d A =其中为弦长公式结合韦达定理求得，为到直线MN 的距离由点线距离公式求得. MN d 1F 最后讨论最值即可. 【小问1详解】由长轴，短轴长4AB A B ''==，∴分别OB 、的中点，12121OF OF OF OF ¢¢=====22F F ¢、OB '在柱体中，纵切面为矩形，连接，则，又，∴ABB A ''OB '21B F OF ¢¢A 211B F OF ¢¢==四边形为平行四边形，∴， 12FOB F ¢¢12OB F F ¢¢A ∵P 为的中点，，∴，BB '2F P OB ¢A 212F P F F ¢A ∵平面PMN ，平面PMN ，∴平面PMN ；2F P Ì12F F ¢Ë12F F //'【小问2详解】，1111233P F MN F MN F MN V S PB S A A -=⋅=建立平面直角坐标系如图所示，则底面椭圆为，，O xy -22143x y +=()21,0F 由题意知，直线MN 的斜率不为0，设为，，联立椭圆1x my =+()()1122,,,M x y N x y 方程可得， ()2234690m y my ++-=则，∴12122269,3434m y y y y mm +=-×=-++()22212134m MN y m +=-==+.又点到直线MN 的距离.()11,0F -d∴. 112F MNS MN d A ==∴.1123P F MNF MN V S A -===设，对，由，∴在上单调[)1,t +¥13y t t=+2130y t '=->13y t t=+[)1,+∞递增， ∴，此时.188211331P F MN V t t-=≤=++10t m =Þ=故三棱锥的体积的最大值为2.1P F MN -【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，从而表示出面积，作进一步讨论.。
高二数学上学期期末考试试题 理含解析 试题 10(共18页)
2021～2021学年度第一(dìyī)学期期末考试试题高二数学〔选修物理〕一、填空题．请把答案填写上在答题纸相应位置上．的渐近线方程是〔用一般式表示〕【答案】【解析】由题意得在双曲线中，，所以双曲线的准线方程为。
答案：的抛物线HY方程是_____.【答案】【解析】【分析】设抛物线HY方程为x2＝﹣2py，由焦点坐标公式可得p值，将p值代入抛物线方程即可得答案．【详解】抛物线的焦点为〔0，-5〕在y轴上，设抛物线的HY方程为x2＝﹣2py，那么有＝5，解可得p＝10，故抛物线HY方程为x2＝﹣20y；故答案为：x2＝﹣20y．【点睛】此题考察抛物线的HY方程，注意分析抛物线焦点的位置，进而设出抛物线的HY 方程．3.命题(mìng tí)“假设，那么〞的逆否命题为____.【答案】假设，那么【解析】【分析】根据逆否命题的定义进展求解即可．【详解】命题假设p那么q的逆否命题为假设￢q那么￢p，那么命题“假设，那么〞的逆否命题为：假设x2≤0，那么x≥0，故答案为：假设x2≤0，那么x≥0．【点睛】此题考察四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决此题的关键．，，且，那么的最大值是_____.【答案】1【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，当直线z=x-y过点A〔1，0〕时，z最大值，最大值是1，考点：简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．有公一共焦点且离心率为，那么其HY方程为_____.【答案】【解析(jiě xī)】【分析】求出椭圆的焦点坐标得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，c，得到b，即可求出双曲线方程．【详解】双曲线与椭圆有公一共焦点，可得c＝5，双曲线的离心率为，可得a＝3，那么b＝4，那么该双曲线方程为：．故答案为：．【点睛】此题考察椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考察计算才能．，那么_____.【答案】3【解析】【分析】对函数求导，将x=代入即可得到答案.【详解】f’(x)=2cos2x+，那么故答案为：3【点睛】此题考察导数公式的应用，考察计算才能.的极小值是______.【答案】【解析】【分析(fēnxī)】求函数的导数，由f’(x)＞0，得增区间，由f’(x)＜0，得减区间，从而可确定极值．【详解】函数，定义域为,那么f’(x)＝x-，由f’(x)＞0得x＞1，f〔x〕单调递增；当x＜0或者0＜x＜1时，f’(x)＜0，f〔x〕单调递减，故x＝1时，f〔x〕取极小值故答案为：【点睛】此题考察导数的运用：求单调区间和求极值，注意判断极值点的条件，考察运算才能，属于根底题．8.，，假设是的必要不充分条件，那么实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进展求解即可．【详解】x2﹣〔a+1〕x+a≤0即〔x﹣1〕〔x﹣a〕≤0，p是q的必要不充分条件，当a＝1时，由〔x﹣1〕〔x﹣1〕≤0得x＝1，此时不满足条件，当a＜1时，由〔x﹣1〕〔x﹣a〕≤0得a≤x≤1，此时不满足条件．当a＞1时，由〔x﹣1〕〔x﹣a〕≤0得1≤x≤a，假设p是q的必要不充分条件，那么a＞3，即实数a的取值范围是〔3，+∞〕，故答案(dá àn)为：〔3，+∞〕【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为不等式的包含关系是解决此题的关键.是曲线的一条切线，那么实数的值是_____.【答案】1【解析】【分析】设出切点坐标P〔x0，e x0〕，利用导数的几何意义写出在点P处的切线方程，由直线y＝x+b 是曲线y＝e x的切线，根据对应项系数相等可求出实数b的值．【详解】∵y＝e x，∴y′＝e x，设切点为P〔x0，e x0〕，那么在点P处的切线方程为y﹣e x0＝e x0〔x﹣x0〕，整理得y＝e x0x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y＝x+b是曲线y＝e x的切线，∴e x0＝1，x0＝0，∴b＝1．故答案为：1．【点睛】此题考察导数的几何意义，考察曲线在某点处的切线方程的求法，属于根底题.10.是椭圆上一点，，为椭圆的两个焦点，那么的最大值与最小值的差是_____.【答案】1【解析】试题(shìtí)分析：设P〔x0，y0〕，|PF1| =2+x0，|PF2| =2-x0，∴|PF1|•|PF2|=4-x02，，∴|PF1|•|PF2|的最大值是4，最大值是3，的最大值与最小值之差1。
高二数学上学期期末考试试题含解析_1 2(共15页)
HY 疏勒县八一(b ā y ī)中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一．选择题〔答案请写在答题框内〕 1.集合，，那么A.B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：集合，所以，应选择C考点：集合的运算 2.函数y =+的定义域为〔 〕A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 函数有意义，要求【详解】函数()1233f x x x =-+-有意义，要求故答案(dá àn)为：C.【点睛】这个题目考察了详细函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可. 3.函数的单调递增区间为( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减〞的结论求解即可． 【详解】由可得或者， ∴函数的定义域为． 设，那么在上单调递减，又函数为减函数，∴函数在(),2-∞-上单调递增，∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-． 应选D ．【点睛】〔1〕复合函数单调性满足“同增异减〞的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性一样时，那么函数()()y f g x =为增函数；否那么函数()()y f g x =为减函数．〔2〕解答此题容易出现的错误(cuòwù)是无视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞． 4.，那么的值是( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 先化简得，再求cos α的值.【详解】由题得1sin =2α-，所以在第三、四象限，所以.应选：D【点睛】此题主要考察诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.的图象，只需要将函数的图象〔 〕A. 向左平移个单位B. 向右平移12π个单位C. 向左平移(pínɡ yí)3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】 因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。
高二数学上学期期末考试试题含解析(共19页)
镇海中学(zhōngxué)2021学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷〔选择题〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.或者【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或者，即或者那么此题正确选项：【点睛】此题主要考察集合运算中的交集运算，属于根底题.，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据(gēnjù)单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又此题正确选项：【点睛】此题考察与对数函数有关的比拟大小类问题，属于根底题.在点〔1，0〕处切线的倾斜角为，那么〔〕A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得此题正确选项：【点睛】此题考察导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于根底题.R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在以下区间中，函数不一定存在零点的是〔〕x 1 2 3 53 -1 2 0A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。
又为的子集，那么区间有零点，那么区间也必有零点；上有零点，那么上必有零点；由此可得结果.【详解】由题意可得：在上必有零点又，在上必有零点在上必有零点又，在上必有零点在上不一定存在零点此题正确选项：【点睛】此题主要考察零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.，假设，那么〔〕A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】判断的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得：即定义域为，关于原点对称又可得：为奇函数此题正确选项：【点睛】此题考察通过函数奇偶性求函数值。
河南省高二上学期期末考试理科数学试题(解析版)
高二数学试卷（理）本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若直线经过点和，则直线l 的倾斜角为（） l (0,A.B.C.D.2π33π4π3π4【答案】D 【解析】【分析】由斜率公式求出直线的斜率，利用倾斜角与斜率的关系求解. l【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，l k α1k ==则，而，故， tan 1α=[)0,πα∈π4α=故选：D.2. ，则6是这个数列的（） A. 第6项 B. 第12项C. 第18项D. 第36项 【答案】C 【解析】【分析】利用数列的通项公式求解.的通项公式为，n a =令解得，6n a ==18n =故选:C.3. 若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方2y x =±程为（）A. 或B.C.2214y x -=221164y x -=221164y x -=D.2214y x -=2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得解得，224ba b ⎧=⎪⎨⎪=⎩12a b =⎧⎨=⎩所以双曲线的标准方程为.2214y x -=故选:C. 4.如图，线段AB ，BD 在平面内，，，且αBD AB ⊥AC α⊥，则C ，D 两点间的距离为（）4312AB BD AC ===，，A19 B. 17 C. 15 D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接，因为，所以,AD BD AB⊥5AD ==又因为，,所以， AC α⊥AD α⊂AC AD ⊥所以,13CD ==故选:D.5. “”是“曲线表示椭圆”的（）01t <<2211x y t t+=-A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线为椭圆，2211x y t t+=-所以，解得且，101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩01t <<12t ≠所以“”是“且”的必要而不充分条件. 01t <<01t <<12t ≠故选：B6. 设，向量，且，则,,x y z ∈R (,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥∥（）||a b c ++=A.B.C. 3D. 9【答案】A 【解析】【分析】由向量的关系列方程求解的值，结合向量的模的公式计算得出结果.,,x y z 【详解】向量，且，(,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥∥∴，解得， 24201242a c x y z⋅=-+=⎧⎪⎨==⎪-⎩1,2,1x y z ==-=∴ (1,1,1),(1,2,1),(2,4,2)a b c ==-=-∴，(4,5,4)a b c ++=-∴.||a b c ++==故选：A ．7. 如果实数x ，y 满足，则的取值范围是（） 22(1)(1)2x y -+-=11y x -+A.B.C.D.[1,1]-(1,1)-,1(),)1(-∞-⋃+∞(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】A 【解析】 【分析】表示上的点与点连线的斜率,画出图形11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -即可求解.【详解】表示圆心为的圆，22(1)(1)2x y -+-=()1,1C 表示上的点与点连线的斜率. 11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -易知直线平行轴，且 AC x 2,AC =当直线为圆的切线时，，,AP C PC =AP =故，此时直线的斜率为1， 45PAC ∠=︒AP 由对称性及图形可得. []11,11y x -∈-+故选:A.8. 设抛物线，点为上一点，过点作轴于点，若点，则2:4C x y =P C P PQ x ⊥Q (4,2)A 的最小值为（）PQ PA +A.B.C. 4D. 51-1【答案】B 【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，由抛物线的定义可知，1PQ PF =-则，即可得解.11PQ PA PF PA AF +=+-≥-【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可知2:4C x y =()0,1F 1y =-，1PQ PF =-所以，1111PQ PA PF PA AF +=+-≥-=-=-当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.A P F P AF故选：B9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年10%年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，{}n c 11200c =则大约为（）10c （参考数据：） 8910111.1 2.144,1.1 2.358,1.1 2.594,1.1 2.853≈≈≈≈A. 1429 B. 1472C. 1519D. 1571【答案】B 【解析】【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立与10%1n c +的关系，利用待定系数法证得是等比数列，从而求得，进而求得．n c {}1000n c -n c 10c 【详解】由题意，得，并且， 11200c =1 1.1100n n c c +=-令，化成， 1()n n c r k c k +=--1n n c rc rk k +=-+所以，解得，1.1100r k rk =⎧⎨-=-⎩ 1.11000r k =⎧⎨=⎩所以，()11000 1.11000n n c c +-=-所以是以为首项，为公比的等比数列， {}1000n c -200 1.1则，11000200 1.1n n c --=⨯1200 1.11000n n c -=⨯+所以. 910200 1.110001472c =⨯+≈故选：B.10. 过定点M 的直线与过定点N 的直线交于点A （A 与20tx y ++=240x ty t -+-=M ，N 不重合），则面积的最大值为（） AMN A A. B.C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得点A 在以为直径的圆上，结合圆的性质求面积的MN AMN A最大值.【详解】对于直线，即， 20tx y ++=()20tx y ++=可得直线过定点，20tx y ++=()0,2M -对于直线，即， 240x ty t -+-=()()420x t y ---=可得直线过定点，240x ty t -+-=()4,2N ∵，则直线与直线垂直，即， ()110t t ⨯+⨯-=20tx y ++=240x ty t -+-=AM AN ⊥∴点A 在以为直径的圆上，且，MNMN ==由圆的性质可知：面积的最大值为.AMN A 218224MN MN MN ⨯⨯==故选：C.11. 已知数列满足，且{}na ()*11,(02,a m m m =--=≥∈N，则数列的前18项和为（） ()*2πsin3n n n a b n =∈N {}n b A.B.C.D.3-54---【答案】D 【解析】【分析】利用数列的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计{}n a 算，求得数列的周期，整理数列的通项公式，利用分组求和，可得答案. 2sin3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n b【详解】由，则， (10m --=()2211m m m aa m --=即， ()()()2223212222121213111123n n n n aa a a a a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 显然，满足公式，即， 12111a ==21n a n =当时，时，；当时，； 1n =2sin3π=2n =4sin 3π=3n =sin 20π=当时，，当时，时，； 4n =8sin3π=5n =10sin 3π=6n =sin 40π=则数列是以为周期的数列，由，则， 2sin3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭32sin 3n n n a b π=22sin 3nn b n π=设数列的前项和为，{}n b n n S 1812318Sb b b b =++++22222212304560⎛⎛=+⨯+⨯++⨯+⨯+⎝⎝ 2221617180⎛++⨯+⨯ ⎝)22222212451617=-+-++- ()()()()()()1212454516171617=-++-+++-+⎤⎦)391533=++++ ()33362+⨯==-故选：D.12. 已知是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1FO 为直径的圆与双曲线C 的一个交点为A ，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为B ，12F F 若，A ，B恰好共线，则双曲线C 的离心率为（） 1F A.B.C. D. 3【答案】B 【解析】【分析】设，在中，根据余弦定理可得，根12F BF α∠=12BF F △21221cos b BF BF α=-据三角形面积公式可得，设,,则122tan2BF F b S α=△1AF AB m ==22BF n =，从而可得，，代入，结合()()122222222122tan 45222BF F m n a b S m n m n m a ⎧-=⎪⎪==⨯⨯⎨︒⎪⎪+=+⎩A 2n a =3m a =22mn b =及离心率公式即可求解.222b c a =-【详解】设，因为在双曲线上，故.12F BF α∠=B 122BF BF a -=由余弦定理可得2221212122cos F F BF BF BF BF α=+-，()()2121221cos BF BF BF BF α=-+-所以. ()()()2221222221cos 1cos c a b BF BF αα-==--所以 122221222sincos1sin 22sin 21cos tan112sin 22BF F b b bS BF BF ααααααα====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△由题意可得与为直角三角形，所以. 1AOF △12BF F △1290F BF ∠=︒因为是的中点，所以是的中点. O 12F F A 1BF 设,,则.1AF AB m ==22BF n =22AF m a =+所以. ()()122222222122tan 45222BF F m n ab S m n m n m a ⎧-=⎪⎪==⨯⨯⎨︒⎪⎪+=+⎩A 2222444m n a mn b n a am -=⎧⎪⇒=⎨⎪=+⎩故()()22444n m n m n m =-+-⇒22222n m mn n m mn =-++-. ⇒2230m mn -=⇒32m n =所以,解得，. 32n n a -=2n a =3m a =所以,可得，故. 222232a ab c a ⨯⨯==-2213c a =ce a==故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 直线与直线之间的距离为_____________． 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=【解析】【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案. 【详解】直线可化为， 2:2410l x y +-=21202l x y +-=：则直线与直线平行1:220l x y ++=2:2410l x y +-=故直线与直线之间的距离为， 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=d ==. 14. 设、分别在正方体的棱、上，且，E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =，则直线与所成角的余弦值为_____________． 13DF FC =1B E 1D F 【答案】1517【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成D 1B E 1D F 角的余弦值．【详解】、分别在正方体的棱、上，且，E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =， 13DF FC =如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，D设，则，，，，4AB =()14,4,4B ()4,3,0E ()10,0,4D ()0,1,0F，，()10,1,4B E =-- ()10,1,4D F =-设直线与所成角为， 1B E 1D F θ则直线与所成角的余弦值1B E 1D F ．11111115cos cos ,17B E D F B E D F B E D Fθ⋅====⋅ 故答案为：． 151715. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A 是椭圆的左1F 2F C 22221x y a b+=0a b >>C 顶点，点在过A 的直线上，为等腰三角形，，则P 12PF F △12120F F P ∠=︒椭圆的离心率为______. C 【答案】##0.5 12【解析】【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，22PF c =2Rt PF QA PQ =2F Q c =从而得到，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率. ()2P c AP 2a c =C 【详解】由题意知，直线的方程为：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --AP ()y x a =+，由为等腰三角形，，得，12PF F △12120F F P ∠=︒2122PF F F c ==过作垂直于轴，如图，则在中，， P PQ x 2Rt PF Q A 218012060PF Q∠=︒-︒=︒故，， 22sin 2PQ PF PF c Q =∠==2221cos 22F Q PF P c Q F c =∠=⨯=所以，即，()P c c+()2P c 代入直线，即， ):AP y x a =+()2a c =+2a c =所以所求的椭圆离心率为. 12c e a ==故答案为：.12.16. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n 项和为，现有下列4个命题： {}n a n S ①也是等差数列；23,,,n n n S S S ②数列也是等差数列； n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭③若，则时，最大；15160,0S S ><8n =n S ④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列{}n a 的项数是19．其中所有真命题的序号是_____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①，由等差中项性质判断；对②，求出数列的通项公式即可判断； n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭对③，由结合解析式化简得，由定义即可判断； 15160,0S S ><890,0a a ><n S 对④，设项数为，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断.*21,k k +ÎN 【详解】设数列的公差为d ，，首项为，则，{}n a 0d ≠10a >()11n a a n d +-=， ()12121222n S n a n d n d d n a ⎡⎤+-⎛⎫⎣⎦==+- ⎪⎝⎭对①，23222111942322222222n n n S d d d d d d S n S a n n a n n a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦，∴不是等差数列，①错； 20dn =≠23,,,n n n S S S 对②，，则数列为首项，公差为的等差数列，②对； ()112n S d a n n =+-⋅n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 对③，∵，，∴，10a >15160,0S S ><0d <，()151881015750S d a a a =+=>⇒>， 9169115161602022S d a d d a a ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎭<⇒<⎪⎭⎝<⎝∴由定义可知，时，最大，③对；n S 8n =n S 对④，由题意可设的项数为，{}n a *21,k k +ÎN 则所有奇数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有奇数项的1a 2d 1k +和为，[]()()()1122112902a k d k a kd k +⋅+=++=所有偶数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有偶数项的和1a d +2d k 为.()()()112122612a d k d ka kd k ⎡⎤++-⋅⎣⎦=+=两式相除得，∴数列的项数是19，④对. 12909261k k k +=Þ=故答案为：②③④.三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知是数列的前项和，且，，设． n S {}n a n 24S =416S =n n S b n =（1）若是等比数列，求；{}n b 10b （2）若是等差数列，求的前项和，{}n a {}n b n n T 【答案】（1）1032b =（2） (1)2n n n T +=【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式的求法求解即可；（2）由等差数列的通项公式的求法，结合公式法求数列的前项和即可．n 【小问1详解】解：已知是数列的前项和，且，，， n S {}n a n 24S =416S =n n S b n=则， 4242b b =⎧⎨=⎩又是等比数列，设公比为,则，即； {}n b q 2422b q b ==841022232b b q ==⨯=【小问2详解】解：已知是等差数列，设公差为,{}n a d 又，，则， 24S =416S =11244616a d a d +=⎧⎨+=⎩则，即， 112a d =⎧⎨=⎩21n a n =-则， 2(121)2n n n S n +-==则， n n S b n n==则， (1)123...2n n n T n +=++++=即的前项和． {}n b n (1)2n n n T +=18. 在平面直角坐标系中，已知圆M 的圆心在直线上，且圆M 与直线Oxy 2y x =-相切于点．10x y +-=(2,1)P -（1）求圆M 的方程；（2）过的直线l 被圆M，求直线l 的方程．(0,2)-【答案】（1）()()22122x y -+=+（2）或2y x =-2y x =--【解析】【分析】（1）根据已知得出点与直线垂直的直线方程，根据圆切线的性质P 10x y +-=得出该直线过圆心，与已知过圆心方程联立即可得出圆心坐标，根据圆心到切线的距离得出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）根据弦长得出点到直线l 的距离，分类讨论直线l 的斜率，设出方程，利用点到直M 线的距离列式，即可得出答案.【小问1详解】过点与直线垂直的直线方程为：，即 (2,1)P -10x y +-=12y x +=-3y x =-则直线过圆心， 3y x =-解得，即圆心为， 32y x y x =-⎧⎨=-⎩12x y =⎧⎨=-⎩()1,2M -则半径为r 则圆M 的方程为：；()()22122x y -+=+【小问2详解】过的直线l 被圆M ，(0,2)-则点到直线l的距离 M d ==若直线l 的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线l 的距离为1，不符合题意； 0x =若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：，2y kx =-则，解得，d ==1k =±则直线l 的方程为：或.2y x =-2y x =--19. 如图，和所在平面垂直，且．ABC ADBC △AB BC BD CBA DBC θ==∠=∠=，（1）求证：；AD BC ⊥（2）若，求平面和平面的夹角的余弦值． 2π3θ=ABD ABC【答案】（1）见解析；（2. 【解析】【分析】（1）取的中点，可得，根据可得，AD E BE AD ⊥ABC DBC △≌△CE AD ⊥由线面垂直的判定定理及性质定理可证明；（2）作于点,以点为原点，所在直线分别为轴建立空AO BC ⊥O O ,,OD OC OA ,,x y z 间坐标系，求出两个平面的法向量即可求解.【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,BE CE因为，所以.AB BD =BE AD ⊥因为为公共边，,,AB BD CBA DBC BC =∠=∠所以，所以,所以.ABC DBC △≌△CA CD =CE AD ⊥因为平面，所以平面，,,BE CE E BE CE =⊂ BCE AD ⊥BCE 因为平面,所以.BC ⊂BCE AD BC ⊥【小问2详解】当,可设, 2π3θ=1AB =作于点,连接，易证两两垂直，AO BC ⊥O DO ,,AO OC OD 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，O ,,OD OC OA ,,x y z则, ()130,0,0,,0,,0,0,,0,22O D B C A ⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝设平面的法向量为，ABD (),,n x y z = ,10,,,2AB AD ⎛== ⎝ 所以，1020n AB y z n AD x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令,可得. 1z =1,x y ==()n =r易知平面，所以平面的法向量为，OD ⊥ABC ABC ()1,0,0m =设平面和平面的夹角为，ABD ABC α则cos ,m n m n m n ⋅===⋅ 故平面和平面. ABD ABC 20. 已知直线与抛物线交于A ，B 两点．l 2:2(0)C x py p =>（1）若，直线的斜率为1，且过抛物线C 的焦点，求线段AB 的长；2p =l （2）若交AB 于，求p 的值．OA OB OD AB ⊥⊥，(2,2)D -【答案】（1）8；（2）. 47【解析】【分析】（1）焦点为，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据()0,1F l 1y x =+弦长公式即可求解；（2）设直线的方程为，根据题意可得，且在直线l y kx m =+1OD AB k k ⋅=-(2,2)D -l 上，从而可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得l 4y x =+，代入即可求解.12122,8x x p x x p +==-0OA OB ⋅=【小问1详解】若，则抛物线，焦点为，2p =2:4C x y =()0,1F 故直线的方程为.l 1y x =+设， ()()1122,,,A x y B x y 联立，消去，可得，241x y y x ⎧=⎨=+⎩y 2440x x --=，故. ()()24414320∆=--⨯⨯-=>12124,4x xx x +==-故.8AB ===【小问2详解】 设直线的方程为，，l y kx m =+()()1122,,,A x y B x y 因为交AB 于，所以，且，OD AB ⊥(2,2)D -1OD AB k k ⋅=-1OD k =-所以，直线的方程为.1AB k =l y x m =+又在直线上，所以,解得.(2,2)D -l 22m =-+4m =所以直线的方程为.l 4y x =+由，消去，可得， 224x py y x ⎧=⎨=+⎩y 2280x px p --=则.12122,8x x p x x p +==-因为，OA OB ⊥所以， ()()12121212121244280OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=++++=+++= 即，解得. ()28280p p ⨯-++=47p =21. 已知等比数列的前n 项和为，且． {}n a n S ()*122n n a S n +=+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前n 项和． 21n nn b a -={}n b n T 【答案】（1）；123n n a -=⋅（2）. 131223n n n T -+=-⨯【解析】 【分析】（1）根据与的关系可得公比，由可求，再根n a n S 211122223a S a a =+=+=1a 据等比数列的通项公式即可求解；（2），由错位相减法即可求解. 1212123n n n n n b a ---==⋅【小问1详解】因为，()*122n n a S n +=+∈N 所以当时，，2n ≥122n n a S -=+两式相减得，即.12n n n a a a +=-13n n a a +=故等比数列的公比为3.{}n a 故，解得.211122223a S a a =+=+=12a =所以. 123n n a -=⋅【小问2详解】， 1212123n n n n n b a ---==⋅故①， 120121113232123333n n n n n n T b b b ----⎛⎫=+++=++++ ⎪⎝⎭②， 12111132321323333n n n n n T ---⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭①-②，得 0121211222213233333n n n n T --⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 121111121233323n n n --⎛⎫=++++- ⎪⋅⎝⎭ 111133121122313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦=+-⋅- 111121222323n nn --=+--⋅⋅， 112112323n n n --=--⋅⋅113nn +=-所以. 131223n n n T -+=-⨯22. 已知椭圆，点在椭圆C 上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>P ⎛⎝（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记A 是椭圆的左顶点，若直线l 过点且与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N⎫⎪⎪⎭与A 均不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别是．试问是否为定值？若是，求12k k ，12k k ⋅出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1） 2212x y +=（2）是，定值为，理由见解析 16-【解析】【分析】（1）由待定系数法列方程组求解；（2）直线l 的斜率不为0，设为，结合韦达定理表示即可化简判断. x my =+12k k ⋅【小问1详解】由题意得，，∴椭圆C的标准方程为； 2222222112121a ba c ab a bc ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎧==⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎪⎪⎩2212x y +=【小问2详解】由题意得，直线l 的斜率不为0，设为，，x my =()()1122,,,M x y N x y ，()A 联立直线与椭圆消x 得，，则()222230m y ++-=， ()12122322y y y y m +==-+∴12k k ⋅=== ()2322m -+=()22232393222m m m -=--++. 16=-故是定值，为. 12k k ⋅16-。
黑龙江省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（ ） 26y x =+(1,7)(1,7)x y +∆+∆yx∆∆A ． B ． 2x +∆12x x ∆--∆C ． D ． 12x x∆++∆12x x+∆-∆【答案】A【分析】根据平均变化率，代入计算． ()()00+∆-∆=∆∆f x x f x y x x【详解】()26172x x x x y ⎡⎤+-∆⎣⎦==+∆+∆∆∆故选：A2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） l 66cos 130x y β-+=l αA ． B ．[0,]πππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率cos 0β=π2cos 0β≠1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， cos 0β=6130+=x π2当时，由直线方程可得斜率， cos 0β≠1tan cos αβ==k 且，[]cos 1,1β∈- cos 0β≠，即，][(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞][()tan ,11,α∈-∞-⋃+∞又，，[)0,πα∈πππ3π,,4224α⎡⎫⎛⎤∴∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦由上知，倾斜角的范围是．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C ．3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 0n a >7448S Sa a-=+A ．2B ．C ．1D ．3212【答案】B【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】由题意得.745676486633222S S a a a a a a a a -++===+故选：B4．已知双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）22221(0,0)y x a b a b -=>>A． B ．0y ±=0x ±=C ． D ．30x y ±=30x y ±=【答案】B【分析】设，由题有，据此可得，即可得双曲线的渐近线方程.222+=a b c 3c a =228b a =【详解】设，由题有，则222+=a b c 3ce a ==222222298c a b b a b a a a +==⇒=⇒=±故双曲线渐近线方程为，即.y =0x ±=故选：B5．函数过点的切线方程为（ ）()2e xf x x =()0,0A ． B ． C ．或 D ．或0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=【答案】C【分析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求2(,e )m m m ()0,0参数m ，即可得切线方程.【详解】由题设，若切点为，则， 2()(2)e x f x x x '=+2(,e )m m m 2()(2)e m f m m m '=+所以切线方程为，又切线过， 22(2))e e (m m y m m m x m +-=-()0,0则，可得或，22(2e )e m m m m m +=0m =1m =-当时，切线为；当时，切线为，整理得. 0m =0y =1m =-e 1(1)y x --=+e 0x y +=故选：C6．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂24y x =足分别为两点，以线段为直径的圆C 过点，则圆C 的方程为（ ）11,A B 11A B (2,3)-A ．B ． 22(1)(2)2x y ++-=22(1)(1)5x y ++-=C ．D ．22(1)(1)17x y +++=22(1)(2)26x y +++=【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB 的中点24y x =(1,0)F 11A B =1x -1122(,),(,)A x y B x y 为E ，而圆心C 是线段的中点，又，即有，，11A B 111111,AA A B BB A B ⊥⊥11////EC AA BB 11EC A B ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线，由消去x 得：，:1AB x ty =+214x ty y x =+⎧⎨=⎩2440y ty --=则，E 的纵坐标为， 12124,4y y t y y +==-12||y y -==1222y y t +=于是得圆C 的半径，而圆C 过点， 111211||||22r A B y y ==-=(1,2)C t -(2,3)M -则有，解得， ||MC r ==12t =因此圆C 的圆心，半径C 的方程为. (1,1)C -r =22(1)(1)5x y ++-=故选：B7．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） x R ∈20x ax a +->a A ． B ． (]ln 2,0e -[)0,ln 2e C ． D ．(]2ln 2,0e -[)0,2ln 2e 【答案】C【分析】由不等式在上恒成立，问题转化为图象恒在上方，分类讨论参数x R ∈2x y =()1y a x =--，结合函数图象、导数，即可求在何范围时图象符合要求.a a 【详解】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立，x ∀∈R 20x ax a +->()21xa x >--问题可转化为：曲线恒处于直线的上方， 2x y =()1y a x =--当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.0a >当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件.0a =2x y =()1y a x =--当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点a<0(),2mm 22ln 2()mm y x m -=-，代入方程得，此时切线斜率为， ()1,0211log 2ln 2m e =+=2ln 2e由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方， 02ln 2a e <-<2ln 20e a -<<2x y =()1y a x =--综上，. 2ln 20e a -<≤故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围.8．已知，设，则（ ）ln 20.69≈3ln 8 3.527 3.536,,132a b c e ===A ． B ． a c b >>b c a >>C ． D ．a b c >>b a c >>【答案】D【分析】将化为，和b 比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即a 33323()2x x f x =可比较大小，再比较，即可得答案.,a b ,a c 【详解】由于，33ln83 3.527273 3.5,822a b e ====故设函数 ， 32322322ln 2(3ln 2)(),()2(2)2x x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅⋅-⋅'=∴==当时，，即在上单调递增， 3ln 2x <()0f x '>()f x 3(,ln 2-∞由于， 33 4.35ln 20.69≈≈故，即， (3)(3.5)f f <333 3.53 3.522a b =<=又，故， ln82727363813a c e ==>>=b a c >>故选：D【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，,a b 这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.二、多选题 9．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．函数在上单调递减B ．函数在上单调递增 ()f x (0,e)()f x (e,)+∞C ．函数没有最小值D ．函数的最小值为()f x ()f x e 【答案】BC【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案. 【详解】由，定义域为，且，则，()ln xf x x={|0x x >1}x ≠2ln 1()(ln )x f x x -'=当和时，，01x <<1e x <<()0f x '<故函数在上单调递减，故A 错误；()f x (0,1),(1,e)当时，，故函数在上单调递增，故B 正确； e x >()0f x '>()f x (e,+)∞当时，，当时，， 01x <<()0f x <1x >()0f x >作出其大致图像如图：由图像可知函数没有最小值，故C 正确，D 错误， ()f x 故选：BC10．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） (0,)+∞()f x ()f x '2()()()0f x x x f x '++<A ． B ． 4(2)3(1)f f <8(2)9(3)f f >C ． D ．3(3)2(1)f f >15(3)16(4)f f <【答案】AB【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可. ()()()01xf x g x x x =>+【详解】令，()()()01xf x g x x x =>+则， ()()()()()()()()()()222111f x xf x x xf x x g f x x x x x f x '++-⎡⎤⎣⎦'++'==++因为恒成立， 2()()()0f x x x f x '++<所以恒成立， ()0g x '<所以在上递减， ()g x (0,)+∞所以， ()()()()1234g g g g >>>即， ()()()()12233442345f f f f >>>所以，故A 正确； 4(2)3(1)f f <，故B 正确；8(2)9(3)f f >，故C 错误； 3(3)2(1)f f <故D 错误.15(3)16(4)f f >故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解()()()01xf x g x x x =>+决本题的关键.11．已知，令，则取到的值可以112(,6),(A x x B x -L =L 有（ ）A ．BCD ． 【答案】BCD【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从L =A B 而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错. 【详解】由，得点为直线上的点，11(,6)A x x -A 6y x =-由得点为曲线,(2B x B y则可以看作点到点的距离，L =A B由，y 221(0)2y x y +=≥所以点为椭圆且在轴上方的点，B 221(0)2y x y +=≥x如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为6y x =-221(0)2y x y +=≥y x C =-+联立，消得， 2212y x y x C ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩y 223220x Cx C -+-=则，解得（舍去()2241220C C ∆=--=C =则=-+y x所以直线与直线6y x =-=-+yxd==所以L≥对于A ，，A 错误；=<对于B B 正确；>=对于C C 正确；>=对于D ，D 正确. =>故选：BCD12．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者n )(n ϕn n )(n ϕ欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，3与4互质），则（ ） (4)2ϕ=A ．B ．如果为偶数，则数列单调递增(13)12ϕ=n {}()n ϕC ．数列的前6项和等于63D ．数列前项和为(){}2nϕ()54nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 1514n --【答案】AC【分析】根据欧拉函数的定义，即可求解AC,根据反例即可排除BD.【详解】对于A,13与1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12均互质，所以，故A 正(13)12ϕ=确，对于B,当时，6与1，5互质，所以，故B 错误，6n =(6)(4)2ϕϕ==对于C,由于2为质数，所以小于等于的正整数中,所有的偶数的个数为个，所以剩下的均与2n 12n -互质，故，所以前6项和等于，故C 正确，2n ()112=222n n n n ϕ---=(){}2nϕ251222=63++++ 对于D ，当时，5与1，2，3，4均互质，所以，而，，显然不成1n =()54ϕ=()514ϕ=051=04-立，故D 错误，（与不互质的数有，共有个，所以与不互质的数有5n 51055n n ，，-5，15n -5n ，因此，则前项和为，故错误） 115545n n n ---=⨯()(){}1155=45,54n nn n ϕϕ--⎧⎫⎪⎪⨯∴=⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 514n -故选：AC三、填空题13．圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆的圆心为，半径为，221:130O x y +-=(0,0)1r =圆的圆心为，半径为，222:650O x y x +-+=(3,0)22r =则，则两圆相交，121212||3r r O O r r -<=<+故将两圆方程相减可得：，即，6180x -=30x -=即圆与圆的公共弦所在直线方程为，221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=30x -=故答案为：30x -=14．已知，数列的前项和的通项公式为___________.21nn a =-12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n S 【答案】 112221n n n S ++-=-【分析】先化简为，再利用裂项相消法可求解. 112112121n n n n n a a ++=-⋅--【详解】因为，()()111212122211121n n n n n n n n a a +++----==-⋅所以 12231111111212121212121n n n S +-+--=++------ . 11111122212121n n n +++=--=---故答案为：. 112221n n n S ++-=-四、双空题15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，6m =共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数）， {}n a 1a m =m 1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当时，试确定使得至少需要________步雹程；若，则所有可能的取值集合34m =1n a =91a =m M 为________.【答案】 13{4,5,6,32,40,42,256}【分析】第一空，根据运算法则，写出每一个步骤，即可得答案；第二空，根据运算法则一步步逆推，分类求解，可得答案.【详解】当时，则按运算法则得到：34m =，34175226134020105168421→→→→→→→→→→→→→即使得需要13步雷程． 1n a =若，则或， 91a =8762,4,8a a a ===1当 时，则或， 68a =5416,32a a ==5若，则或；432a =3264,128a a ==21若，则，若，则； 2128a =1256a =221a =142a =当时，或，45a =3210,20a a ==3若时，则，若时，则； 220a =140a =23a =16a =当时，则或，61a =5432,4,8a a a ===1若，则或；38a =2116,32a a ==5若，则，31a =212,4a a ==故所有可能的取值集合为，m M {4,5,6,32,40,42,256}故答案为：13；{4,5,6,32,40,42,256}五、填空题16．已知分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，,A B 2213x y t -=,P Q x设直线的斜率分别为，若点A 到直线,AP BQ ,m n 2y mnx =________.【分析】确定的坐标，设点，表示出的表达式，结合化简可得,A B (,)P u v ,m n 2213u v t -=2y mnx =即，根据点A 到直线t 的值，即可求得答案.60x ty +=2y mnx =【详解】由题意可得双曲线中，，故， 2213x y t -=0t >(A B 设点,则,则，则， (,)P u v (,)Q u v -2213u v t -=223v t u t =--所以 AP m k ==BQ n k ==故即，即，即， 2y mnx =2(y x =2226v y x x t u t==--60x ty +=由于点A 到直线，2y mnx =解得， 6t =故双曲线离心率为 c e a ====【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设点，从而表示出，结合化简可得(,)P u v ,m n 2213u v t -=，从而可得即，这是关键的环节，然后再结合题意求解即可. 223v t u t=--2y mnx =60x ty +=六、解答题17．过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为 (0,1)P 22:20E x y kx k ++-=AB 、(1)求实数的取值范围.k (2)当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.10k =-AB 【答案】(1) 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭(2)存在，5200x y --=【分析】（1）根据点在圆外和圆方程的条件即可求解；P （2）易知四点共圆且以为直径，求其方程，利用两圆方程相减即可得到相交弦所P A B E 、、、PE 在直线方程，从而求解.【详解】（1）由题意可知，点在圆外，即，解得. P 120k ->12k <又因为圆，即， 22:20E x y kx k ++-=222824k k k x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以，即或，280k k +>8k <-0k >综上，实数的取值范围是. k 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭（2）当时，，10k =-22:10200E x y x +-+=即，所以圆心，22(5)5x y -+=()5,0E 因为与圆相切，所以四点共圆且以为直径.,PA PB P A B E 、、、PE 设过四点的圆上一点，P A B E 、、、(),M x y 则，即，即0PM EM ⋅= (5)(1)0x x y y -+-=2250x y x y +--=所以过过四点的圆的方程为，P A B E 、、、2250x y x y +--=两圆方程相减得，5200x y --=于是直线的方程为.AB 5200x y --=18．设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的2:2(0)E x py p =>0l T 0TT l '⊥T 'K 坐标为，则有最小值(6,0)KT TT '+(1)求抛物线的方程；(2)已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的(2,1)H -E E ,M N ，斜率分别为，求的值. HM HN 12,k k 1212k k k k +【答案】(1)24x y =(2) 12-【分析】（1）结合抛物线定义确定的最小值，即可求得p 的值，可得答案.KT TT '+（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将化简，即可求得答案. 1212k k k k +【详解】（1）设抛物线焦点为，则，则有， F (0,)2p F ||||||||KT TT KT TF KF '+=+≥即三点共线时取得最小值，,,F T K KT TT '+而有最小值KT TT '+=得，则抛物线的方程为 12p =E 24x y =（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设为k ，则其方程为，(0,1)F MN 1y kx =+设，()()1122,,,M x y N x y 由，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx --=216(1)0k ∆=+>，，124x x k ∴+=124x x =-，，111y kx =+221y kx =+ 121212221111x x k k y y --∴+=+++ 1212221111x x kx kx --=+++++ ()()()()()()122112222222x kx x kx kx kx -++-+=++ ()()12122121222(1)824kx x k x x k x x k x x --+-=+++， 222288(1)888248444k k k k k k k ------===--+++所以的值为. 1212k k k k +12-【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.19．设为数列的前项和，已知.n S {}n a n ()2*0,484n n n n a a a S n >+=-∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和. 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)()*42n a n n =-∈N (2) 11(1)224(2)n n T n n =-+-++【分析】（1）利用与的关系式即可求出；n S n a n a （2）结合的奇偶，利用分组求和法、裂项相消法求和.n 【详解】（1）由，①，得：0n a >2484n n n a a S +=-当时，，解得.1n =2111148484a a S a +=-=-12a =当时，②，2n ≥2111484n n n a a S ---+=-①-②得：，2211144888n n n n n n n a a a a S S a ---+--=-=即()()()1114n n n n n n a a a a a a ---+-=+所以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列.14n n a a --={}n a 所以.()*42n a n n =-∈N （2） ()()()()()()188111424242n n n n n n n n a n a a n n +⎛⎫-⋅+=-+-⋅- ⎪-+⎝⎭, ()()()()()()()()2111114211222212122121n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=-+-⋅-=-⨯++-⋅-+ ⎪-+-+⎝⎭设数列的前项和为， (1)21211112⎧⎫⎛⎫⨯+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭--+n n n n n C ； (1)1(1)(1)33557212111212111111111122214⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++⋅⋅⋅++=+=-+ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-----+⎭⎣⎦++n n n n C n n n n 设数列的前项和为，(){}(1)222-⋅-+n n n n n D .()()()()()()02244668(1)222(1)2+++-++++-⋅==--+-⋅n n n n n n D所以数列的前项和 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n 11(1))224(2=-+-+++=n n n n T C D n n 利用分组，列项和并项求和即可获得. 11(1)224(2)n n T n n =-+-++20．已知等差数列的前项和为，首项为，.数列是等比数列，公比小于0，{}n a n n T 38-63T T ={}n b q 且，，数列的前项和为，121b a =39b a ={}n b n n S (1)记点，证明：在直线上； ()*,,N n n n L b S n ∈n L :330l x y -+=(2)对任意奇数恒成立，对任意偶数恒成立，求的最小值.,n n M S ≥,n n N S ≤M N -【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据题意求得等常数列的通项公式，即可求得等比数列的通项公式，继而求得,n n b S 的表达式，即可证明结论；（2）结合（1）可判断当为奇数和偶数时的单调性，从而求得的最值，即可得答案.n n S ,M N 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d ， {}n a 则由首项为，可得，则， 38-63T T =365332638282d d ⨯⨯-⨯+⋅=-⨯+⋅332d =故， 33315(1)8323232n a n n =-+-⨯=-由，，得，， 0q <121b a =39b a =131532132322b ⨯-==2131519,32322q q b ⨯-∴=-=故，， 131()22n n b -=⋅-311()1221(121()2n n n S ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----则，即， 1311(22233(3n n n n S b -=-=-=--330n n S b -+=则点在直线上；(),n n n L b S :330l x y -+=（2）由（1）可知， n S =111()1(12()2n n n --=--当为奇数时，在奇数集上单调递减，； n (112n n S =+31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦当为偶数时，在偶数集上单调递增，， n 11()2n n S =-3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以. min max min 333,,()244M N M N ==∴-=21．已知函数.()ln (2)1(R)f x x m x m m =+-+-∈(1)当时，求函数的最小值；1m =()e ()x h x x f x =-(2)是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.m ()0f x ≤m 【答案】(1)1(2)存在,最小正整数3m =【分析】（1）根据题意可得，构造函数，利用导数说明其单调ln ()e (ln )x x h x x x +=-+()e x m x x =-性，结合设，判断其取值情况，即可求得答案.()ln ,(0)g x x x x =+>（2）求出函数的导数，根据其表达式，讨论时，说明不合题意，当时，将问题转化为2m ≤m 2>函数的最值问题，即可求得答案.【详解】（1）当时，，1m =()ln ,(0)f x x x x =+>，ln ()e ()e (ln )e (ln )x x x x h x x f x x x x x x +=-=-+=-+令，则，()e x m x x =-()e 1x m x '=-当时，，当时，，0x <()0m x '<0x >()0m x '>即在上单调递减，在上单调递增，()m x (,0)-∞(0,)+∞故，仅当时取等号，1())(0m m x ≥=0x =故对于，此时，ln ()e (ln )x x h x x x +=-+ln 0x x +=令，则， ()ln ,(0)g x x x x =+>11()10x g x x x+'=+=>即在在上单调递增，()ln g x x x =+(0,)+∞，，故，使得， 1110e e g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭(1)10g =>01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x =函数的最小值为.()e ()x h x x f x =-00ln 000()e (ln )1x x h x x x +=-+=（2）由题意的定义域为，()ln (2)1f x x m x m =+-+-(0,)+∞， 1(2)1()2m x f x m x x-+'=+-=当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合题意；2m ≤()0f x '>()f x (0,)+∞当时，时，，时，， m 2>102x m <<-()0f x '>12x m >-()0f x '<函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x 10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,2m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭当时，函数取得最大值，且， 12x m =-()f x max 11()ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭要使恒成立，即，()0f x ≤max ()0f x ≤所以，即， 1ln 02m m -≤-ln(2)0m m -+≥令，， ()ln(2),(2)m m m m ϕ=-+>11'()10,(2)22m m m m m ϕ-=+=>>--所以在上单调递增， ()m ϕ(2,)+∞，， 6120e ϕ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(3)ln130ϕ=+>所以存在最小正整数，使得，即使得恒成立.3m =()ln(2)0m m m ϕ=-+≥()0f x ≤【点睛】方法点睛：（1）第一问中要能根据的表达式的结构特征进行变形为()h x ，从而构造函数，利用导数判断单调性，解决问题；ln ()e (ln )x x h x x x +=-+（2）第二问中，根据函数不等式恒成立问题，求出函数导数，分类讨论参数范围，进而转化为函数最值问题解决.22过点，点分别为椭圆的左、2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F C 右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭2F x 0l T 1l OT O 圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.C ,M N 0l P P ,M N (1)当面积最大时，求的方程；TMN △1l (2)求证：.||||||||TM PN TN PM ⋅=⋅【答案】(1) 2y x =-(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点联立方程即可解，进而可得椭圆方2a b c ===程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，进而由弦长公式求解弦长，利用面积公式表达面积，结合基本不等式即可求解最值，（2）根据比例关系可将问题转化成斜率之和为0，代入斜率公式即可化简求解.【详解】（1）由题意可知，解得,22222231c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c ===所求椭圆的方程为. C 22184x y +=当时，，所以 2x =211422y æöç÷=-´=ç÷èø(2T 由于的方程为，设，，OT k =1l y t =+()11,M x y ()22,Nx y 由，消去整理得， 22184y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2240xt +-=由韦达定理可得：，()12212224Δ2808x x x x t t t ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-->⇒<⎪⎩则||MN===又点到的距离 T 1ld ==所以. 11|22TMN S MN d t ===V≤=当且仅当，即时，等号成立.228t t -=24t =又介于两点之间， P ,MN 2P y t t ++所以，故.0t t --<<2t =-故直线的方程为：. 1l 2y =-（2）要证结论成立，只须证明， ||||||||TM TN PM PN =由角平分线性质即证：直线为的平分线，2x =MTN ∠转化成证明：.0TM TN k k +=由于TM TN k k+= ()()()()122112222222t x t x x x ⎡⎡⎫⎫+-++--⎢⎢⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=--===0=因此结论成立.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用。
高二数学考试卷(附解答)
高二数学考试卷(附解答)高二数学考试卷（附解答）一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x + 1是单调递增函数，则实数a的取值范围是：A. a > -1B. a ≤ -1C. a > 1D. a ≤ 1解答：A. a > -12. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为：A. 5B. 10C. 15D. 20解答：B. 103. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上对应的点位于：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限解答：B. 虚轴4. 设函数g(x) = x^3 - 3x，下列说法正确的是：A. g(x)在(-∞, 0)上单调递增B. g(x)在(0, +∞)上单调递减C. g(x)的极小值点为x = 0D. g(x)的极大值点为x = 0解答：C. g(x)的极小值点为x = 05. 若平面α与平面β的交线为直线l，且直线l与直线a平行，则直线a与平面α的关系为：A. 在平面α内B. 平行于平面αC. 与平面α相交D. 在平面α的延长线上解答：B. 平行于平面α二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列的前3项分别为2，4，__，则该数列的公比为______。
解答：8，22. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图象与坐标轴的交点个数为______。
解答：33. 若矩阵A的行列式为2，则矩阵A的逆矩阵的元素满足______。
解答：元素乘以-1/2后与原矩阵对应元素相等4. 设平面α与平面β的夹角为θ，则sinθ等于______。
解答：平面α与平面β的法向量夹角的余弦值5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且cosA = 1/2，则三角形ABC的形状为______。
解答：等腰三角形或直角三角形三、解答题（每题10分，共30分）1. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值及取得最小值的x值。
高二数学上学期期末考试试题理含解析_1(共16页)
永昌县第四中学2021-2021学年高二数学(sh ùxu é)上学期期末考试试题 理〔含解析〕第一卷一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.〕 1.，那么以下不等式：①；②；③.其中不成立的个数是〔 〕 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质，可举一正一负的例子对三个不等式进展判断. 【详解】由题意可令a ＝1，b ＝﹣1，此时①不对，②不对， ③ab ＝﹣1，此时有，故③不对． 应选：D ．【点睛】此题考察不等关系与不等式，解题的关键是找到适宜的反例说明问题不成立，假如成立那么需证明. 2.假设“，那么〞逆否命题是〔 〕A. 假设，那么B. 假设x y >，那么C. 假设22x y ≤，那么x y ≤D. 假设，那么22x y <【答案】C 【解析】 【分析】互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否认作为(zuòwéi)结论，原命题的结论的否认作为条件即可得逆否命题【详解】由题意，原命题的结论的否认：假设x 2≤y 2，原命题的条件的否认为x ≤y ，所以逆否命题是假设x 2≤y 2，那么x ≤y ， 应选：C ．【点睛】此题考察四种命题的关系判断，考察根本知识的应用． 3.“〞是“〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件互相推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】当“x a >〞时，如，，故不能推出“〞 .当“x a >〞时，必然有“x a >〞.故“x a >〞是“x a >〞的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考察充分、必要条件的判断，考察含有绝对值的不等式，属于根底题. 4.不等式的解集为〔 〕A.B.C.D.【答案】B 【解析(jiě xī)】 【分析】将不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集． 【详解】由102xx-≥+得，即，解得，所以不等式的解集是(]2,1-，应选B ．【点睛】此题主要考察分式不等式的转化，一元二次不等式的解法，注意分母不为零，属于根底题．，假设命题是假命题，那么实数的取值范围是〔 〕A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<的否认为命题：，∵命题为假命题，∴命题p ⌝为真命题，即恒成立，∴，解得，故答案为A.考点：命题的真假判断与应用.【方法点睛】此题考察含量词的命题的否认形式、考察命题与命题p ⌝真假相反、考察二次不等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑．特称命题的否认为全称命题，将变为，结论否认写出命题的否认；利用命题与命题p ⌝真假相反得到p ⌝为真命题；令判别式小于等于求出即可． 6.且，那么(nà me)的最大值等于A. B.C.D.【答案】B 【解析】∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝时等号成立．选B. 7.椭圆上一点P 到一个焦点的间隔 为2，那么点P 到另一个焦点的间隔 为〔 〕 A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的间隔 之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的间隔 为2，可得点P 到另一个焦点的间隔 ．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的间隔 为2，那么点P 到另一个焦点的间隔 为8， 应选(yīnɡ xuǎn)：D ．【点睛】此题主要考察椭圆的定义和HY方程的应用，属于中档题．，焦点是，，那么双曲线方程为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以双曲线的方程为．故答案为22x y1 412-=．故答案选A.9.正数满足，假设不等式对任意实数恒成立，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先用根本不等式求的最小值，再根据配方法求二次函数的最大值.【详解(xiánɡ jiě)】，当且仅当，即时，“=〞成立，假设不等式2418+≥-++-对任意实数x恒成立，a b x x m那么，即对任意实数x恒成立，+∞.实数m的取值范围是[6,)应选D.【点睛】此题考察根本不等式与二次不等式恒成立.10.不等式组所表示的平面区域的面积等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在坐标平面中画出可行域，求出直线与直线的交点后可求面积.【详解】不等式组对应的可行域如下图：由得到(dé dào)，两条直线的纵截距分别为43和，故不等式组对应的可行域的面积为，应选C.【点睛】平面区域面积的计算，关键是确定区域是由什么图形确定的，假如是标准图形，那么利用面积公式计算，假如不是标准图形，那么需要把其分割成标准图形分别计算．11.在上定义运算：，那么满足的实数x的取值范围为〔〕A B.C. 或者D.【答案】B【解析】【分析】按照定义，先写出常规不等式形式，再解一元二次不等式即可求出．【详解】∵，∴，∴.应选(yīnɡ xuǎn)B．【点睛】此题主要考察新定义应用以及一元二次不等式的解法．12.设双曲的一个焦点为，虚轴的一个端点为,假如直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设该双曲线方程为得点B〔0，b〕，焦点为F〔c，0〕，直线FB的斜率为,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.【详解】设该双曲线方程为2222100x ya ba b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为，焦点为F〔c，0〕，点B〔0，b〕是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，∵直线(zhíxiàn)FB与直线互相垂直，, ,,, ,双曲线的离心率e ＞1， ∴e=512+,应选D.考点：双曲线的简单性质第二卷二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.〕 13.命题“〞的否认是______. 【答案】【解析】 【分析】根据全称命题的否认是特称命题，写出结论.【详解】原命题是全称命题，故其否认是特称命题，所以原命题的否认是“[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<〞.【点睛】本小题主要考察全称命题的否认是特称命题，除了形式上的否认外，还要注意否认结论，属于根底题. 14.假设(jiǎshè)不等式的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】分析：不等式的解集不是空集，只需相应方程有两个不同的根即可．详解：∵240++的解集不是空集，有两个不同的实数根，x ax＜那么需，或者.即答案为.点睛：此题是考察二次函数，二次不等式，二次方程间的互相转化和互相应用，这是函数中综合性较强的问题，需纯熟掌握，y满足条件，那么目的函数的最大值为 . 【答案】【解析】【详解】试题分析：画出可行域，如以下图所示，将目的函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目的函数取到最大值，，得，故．考点(kǎo diǎn)：线性规划．16.假设过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，那么AB中点M的轨迹方程为________．【答案】x＋y－1＝0【解析】设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，那么直线l2的方程是y－1＝－(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－1k，0)，l2与y轴的交点为B(0,1＋1k)，设AB的中点为M(x，y)，那么有，两式相加消去k得x＋y＝1，即x＋y－1＝0，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0．三、解答题〔此题一共6小题，一共70分.〕17.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【答案(dá àn)】顶点坐标(－3，0)，(3，0)；焦点坐标为F 1(－，0)，F 2(13，0)；实轴长6，虚轴长是4，离心率，渐近线方程：.【解析】 【分析】 将双曲线，化为HY 方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，将双曲线229436y x -=-，化为HY 方程22194x y -=，可得，那么，所以双曲线的顶点为A 1(－3，0)，A 2(3，0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率，渐近线方程：.【点睛】此题主要考察了双曲线的HY 方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确求解是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题. 18.在平面直角坐标系中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且右顶点为．设点的坐标是.(1)求该椭圆的HY 方程； (2)假设是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．【答案(dá àn)】〔1〕 〔2〕【解析】 【分析】〔1〕根据条件求得的值，结合求得的值，由此求得椭圆方程.〔2〕设出的坐标，根据中点坐标公式表示M 点坐标，由此用M 的坐标表示P 点坐标，将此坐标代入椭圆方程，由此求得M 点的轨迹方程. 【详解】(1)因为,所以所以椭圆的HY 方程为2214x y ＋＝. (2)设，由中点坐标公式，得，所以.又因为，所以()222112142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即为中点M 的轨迹方程．【点睛】本小题主要考察椭圆方程的求法，考察相关点法求轨迹方程，属于中档题.19.假设不等式的解集是，(1) 求a 的值； (2) 求不等式的解集.【答案】〔1〕〔2〕{x|}【解析】【分析(fēnxī)】〔1〕由不等式的解集得到=0的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a的值；〔2〕直接利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】解：〔1〕依题意可得：252ax x+-=0的两个实数根为12和2，由韦达定理得：，解得：2a=-；.〔2〕那么不等式22510ax x a-+->，可化为，解得 {x|132x-<<}，故不等式22510ax x a-+->的解集{x|132x-<<}．.【点睛】此题主要考察一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及一元二次不等式的解法与韦达定理的应用，属于简单题.20.设有两个命题：的解集为R；q：函数是减函数，假设这两个命题中有且只有一个是真命题，务实数m的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别求得p真q真时，实数m的取值范围，依题意，知p真q假，或者p假q 真，分别解之，取并即可．【详解】命题：p：x2﹣2x+2≥m的解集为R⇔m≤[〔x﹣1〕2+1]min＝1恒成立，即m≤1；命题q：函数f〔x〕＝﹣〔7﹣3m〕x是减函数⇔7﹣3m＞1，解得：m＜2；假设这两个命题中有且只有一个是真命题，那么p真q假，或者p假q真．假设(jiǎshè)p真q假，那么，解得：m∈∅；假设p假q真，那么，解得：1＜m＜2；综上所述，实数m的取值范围为〔1，2〕．【点睛】此题考察命题的真假判断与应用，考察复合命题的真假判断与恒成立问题，考察分类讨论思想与方程思想，属于中档题．21.函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)假设a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据根本不等式求最值，注意等号取法，〔2〕先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.【详解】(1)依题意得y===x+-4.因为x>0,所以x+1x≥2.当且仅当x=1x时,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.所以当x=1时,y=()f xx的最小值为-2.(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“对任意(rènyì)的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立〞只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立〞.不妨设g(x)=x2-2ax-1,那么只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.所以即解得a≥34,那么a的取值范围为.【点睛】在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.与椭圆相交于两个不同的点.〔1〕务实数b的取值范围；〔2〕当时，求【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕将直线y＝x+b与椭圆联立，利用△＞0，即可求；〔2〕设A〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕，当b＝1 时，可求A，B的坐标，利用两点间间隔公式可求结果.【详解】〔1〕将y＝x+b代入2212xy+=，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2＝0．①因为直线y＝x+b与椭圆2212xy+=相交于A，B两个不同的点，∴△＝16b2﹣12〔2b2﹣2〕＝24﹣8b2＞0〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，当b＝1 时，方程(fāngchéng)①为3x2+4x＝0．解得,此时【点睛】此题考察直线与椭圆的位置关系的应用，考察直线与椭圆相交所得弦长问题，考察计算才能，属于根底题.内容总结（1）永昌县第四中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题理〔含解析〕第一卷一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.〕1.，那么以下不等式：①。
高二数学上学期期末考试试题理含解析7
卜人入州八九几市潮王学校平罗县平罗二零二零—二零二壹高二数学上学期期末考试试题理〔含解析〕一､选择题(本大题一一共12小题,每一小题5分,总分值是60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.) 1.“假设1x >,那么2230x x +->〞,〕A.0B.2C.3D.4【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式2230x x +->，得3x <-或者1x >.当1x >时，3x <-或者1x >.当3x <-或者1x >时，1x >... 【详解】因为2230x x +->，所以3x <-或者1x >.因为1x >⇒3x <-或者1x >.因为3x <-或者1x >⇒1x >.即2. 应选B 【点睛】. 2.“假设220x y +=，那么0x y ==〞〕A.假设220x y +=，那么0x ≠且0y ≠B.假设220x y +=，那么0x ≠或者0y ≠ C.假设220xy +≠，那么0x ≠且0y ≠D.假设220xy +≠，那么0x ≠或者0y ≠ 【答案】D 【解析】【分析】 根据p ,q ,:假设非p 那么非q ,即可求得答案.【详解】设p ,q ,:假设非p 那么非q .“假设220xy +=，那么0x y ==〞∴假设220x y +≠，那么0x ≠或者0y ≠应选:D.【点睛】的定义,属于根底题. 3.,x y 的取值如下表所示,假设y 与x 线性相关,且0.5y x a =+,那么a =〔〕A.3.5B.2.2C.4.8D.3.2【答案】A 【解析】 【分析】首先求得样本中心点，然后利用回归直线过样本中心点即可得最终结果. 【详解】由题意可得：0134 2.2 4.3 4.8 6.72, 4.544x y ++++++====，回归直线0.5y x a =+过样本中心点，那么4.50.52a =⨯+，解得 3.5a =，应选A.【点睛】该题考察的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线过样本中心点，属于简单题目. 4.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组〔1－5号，6－10号，…，196－200号〕.假设第5组抽出的号码为22，那么第1组至第3组抽出的号码依次是〔〕 A.3，8，13 B.2，7，12C.3，9，15D.2，6，12【答案】B 【解析】 【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5， 当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2， 所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，12． 应选：B ．【点睛】此题考察了系统抽样方法的应用问题，是根底题． 5.设向量(1,1)ax =-，(1,3)b x =+，那么“2x =〞是“//a b 〞的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用充要条件的判断方法进展判断即可. 【详解】假设2x =，那么()1,1a =，()3,3b =，那么//a b ；但当//a b 时，2,x =±故“2x=〞是“//a b 〞的充分但不必要条件.选A.【点睛】此题考察充分不必要条件条件的判断，属根底题.6.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是〔〕 A.恰有1个黑球与恰有2个黑球 B.至少有一个红球与都是黑球 C.至少有一个黑球与至少有1个红球 D.至少有一个黑球与都是黑球【答案】A 【解析】【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件， 应选：A ．7.在新一轮的高考HY 中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,那么所选的两科中一定有生物的概率是() A.310B.710C.25D.35【答案】C 【解析】 【分析】先计算出从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科的数量，然后计算出按照两科里有生物，再选另一科的数量.根据古典概型的计算公式，得到答案.【详解】从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科，数量有2510C =，所选的2科中一定有生物，那么需在从历史、政治、化学、物理4科中选1科，数量有14C 4=，所以其概率为142542105C P C ===.故答案为C 项.【点睛】此题考察组合问题，古典概型的计算，属于简单题.8.为了测试小班教学的理论效果，王教师对A 、B 两班的学生进展了阶段测试，并将所得成绩统计如以下图；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，那么观察茎叶图可知 A.A x ＜B x ，2A s ＜2B s B.A x ＞B x ，2A s ＜2B s C.A x ＜B x ，2A s ＞2B s D.A x ＞B x ，2A s ＞2B s【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图中数据的分布可得，A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，从而可得结果.【详解】A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，故>A B x x ；相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，故22A B s s <，应选B.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描绘，它们所反映的情况有着重要的实际意平均数、中位数、众数描绘其集中趋势,方差和HY 差描绘其波动大小.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均程度;方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量，是消费实际中用于方取舍的重要的理论根据，가般先比较均值,假设均值一样再用方差来决定. 9.如图，在边长为2的正方形ABCD 的内部随机取一点E ，那么△ABE 的面积大于32的概率为〔〕 A.12B.13C.14D.16【答案】C【解析】 【分析】根据题意得正方形边长为2,E 到AB 的间隔大于32时满足题意,由几何概型公式计算可得答案. 【详解】解:由题意得，正方形边长为2,E 到AB 的间隔大于32时，△ABE 的面积大于32,易得E 在长宽分别为2，12的矩形内,又正方形面积为4,由几何概型的公式得到△ABE 的面积大于32的概率1212224P ⨯==⨯, 应选C.【点睛】此题主要考察几何概型的概念和计算,得出点E 在长宽分别为2，12的矩形内，再利用几何概型计算概率是解题的关键.10.过点〔0，1〕的直线l 被圆22(1)4x y -+=所截得的弦长最短时，直线的斜率为〔〕A.1B.-1D.【答案】A 【解析】 试题分析：点0,1在()2214x y -+=圆内，要使得过点0,1的直线l 被圆()2214x y -+=所截得的弦长最短，那么该弦以0,1为中点，与圆心和0,1连线垂直，而圆心和0,1连线的斜率为01110-=--，所以所求直线斜率为1，应选择A ． 考点：直线与圆的位置关系．11.设点(,)P x y 在不等式组0,20,30x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域上，那么z =A.1C.2【答案】D 【解析】 【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，再由目的函数z =()1,0的间隔，结合图像，即可得出结果.【详解】作出不等式组0,2030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下：因为目的函数z=表示平面区域内的点到定点()1,0的间隔，由图像可知圆心到直线20x y -=的间隔即是最小值，所以min z ==【点睛】此题主要考察简单的线性规划，先由约束条件作出可行域，再由目的函数的几何意义即可求解，属于根底题型.12.点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，∠ABC=90°，假设四面体ABCD 体积的最大值为3，那么这个球的外表积为 A.2π B.4πC.8πD.16π【答案】D 【解析】由题意，结合圆的性质知当四面体ABCD 的体积为最大值时，点D 在平面ACD 上的射影为AC 中点O '，那么BO '=．设球的半径为R，球心为O，那么OB OD R==，O D '，DO R '=，于是由133ACD S DO ∆'⋅=，即133R +=，解得2R =，所以球的外表积为2416R ππ=，应选D ．二､填空题(本大题一一共4小题,每一小题5分,总分值是20分)13.某一共有学生3000人，其中高一年级800人，高二年级1200人，高三年级1000人.为了理解该校学生的安康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，假设从高一年级抽取了160人，那么应从高二年级抽取__________人. 【答案】240【解析】【分析】根据分层抽样的特点:高一年级人数与高二年级人数之比等于样本中高一年级人数与高二年级人数之比计算可得.【详解】分层抽样就是按比例抽样,高一年级人数与高二年级人数之比为800:1200=2:3, 所以抽取的样本中,高一年级与高二年级的人数之比也为2:3, 因为高一年级抽取的人数为160,所以高二年级抽取的人数为160×32=240人.故答案为240【点睛】此题考察了分层抽样,属于根底题. 14.在区间[]0,1上随机取两个数,x y ，那么事件“221x y +≤〞发生的概率为_____.【答案】4π 【解析】 【分析】(),x y 对应的点构成面积为1的正方形区域；由2210101x y x y ⎧+≤⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩得到满足题意的区域，根据几何概型概率公式求得结果.【详解】在平面直角坐标系中，(),x y 对应的点构成正方形区域，面积为1由2210101x y x y ⎧+≤⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩可得如以下图所示的阴影局部 阴影局部面积为21144ππ⨯=∴所求概率414p ππ== 故答案为：4π【点睛】此题考察几何概型概率问题的求解，关键是可以明确当有两个变量时，利用面积来进展求解. 15.:4p x a -<，:23q x，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，那么a 的取值范围为_____.【答案】[]1,6-【解析】 【分析】由绝对值不等式的求法可求得p ；根据p ⌝与q ⌝关系可知p 是q 的必要不充分条件，由此可得到不等式组，解不等式组求得a 的范围. 【详解】由4x a -<得：44x a -<-<，解得：44a x a -<<+p ⌝是q ⌝的充分不必要条件p ∴是q 的必要不充分条件4243a a -≤⎧∴⎨+≥⎩且等号不同时获得，解得：16a -≤≤a ∴的取值范围为[]1,6- 故答案为：[]1,6-【点睛】此题考察根据充分条件与必要条件求解参数范围的问题，关键是可以根据p ⌝与q ⌝的关系得到p 与q 的推出关系.16.由直线1y x =+上的一点P 向圆()221:3x C y -+=引切线,切点分别为,A B ，那么四边形PACB面积的最小值为_____.【解析】 【分析】根据切线的性质可确定所求四边形面积为2PACS∆=PC l ⊥，利用点到直线间隔公式可求得PC ，进而得到所求面积的最小值.【详解】由题意知，圆C 的圆心()3,0C，半径1r =两切线关于PC 对称∴四边形PACB 面积为212212PACS PA AC PC ∆=⨯⋅=-∴当PC l ⊥时，PC 最小，此时301211PC -+==+∴四边形PACB 817-=7【点睛】此题考察与圆的切线有关的四边形面积最值的求解问题，关键是可以根据切线的性质将问题转化为圆心到直线间隔的求解问题.三､解答题(本大题一一共6小题,总分值是70分,解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤) 17.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,(),2m a c b =-,()cos ,cos n C A =,且m n ⊥.(1)求角A 的大小;(2)假设5b c +=,ABC ∆3求ABC ∆的周长【答案】(1)3π；(2)513【解析】 【分析】〔1〕由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到cos A ，进而求得A ；〔2〕根据三角形面积公式构造方程求得bc ，利用余弦定理可求得a ，进而得到所求周长.【详解】〔1〕m n ⊥()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-=由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin2sin cos 0A C A C B A A C B A +-=+-=〔2〕11sin sin 2234ABC S bc A bc π∆====4bc =由余弦定理得：()22222cos 22cos2512133ab c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=a ∴=ABC ∆的周长5L abc =++=+【点睛】此题考察解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.18. 运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数〔单位：百步〕，绘制出如下频率分布直方图：〔1〕求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； 〔2〕假设该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；〔3〕在〔2〕的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间〔150，170]的概率． 【答案】〔1〕125；〔2〕112；〔3〕25【解析】 【分析】(1)由频率和为1,列出关于a 的方程,然后求出a 的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值; (2)根据一天行走步数不大于13000频率⨯样本容量,求出频数;(3)根据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出根本领件数,计算所求的概率值.【详解】解:(1)由题意,得(0.0020.0060.0080.0100.0080.0020.002)201a +++++++⨯=, 所以0.012a =.设中位数为110x +,那么0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=, 所以15x =,所以中位数为125.(2)由200(0.002200.006200.008200.01220)112⨯⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人. (3)在区间(150,170]中有2000.0082032⨯⨯=人, 在区间(170,190]中有2000.002208⨯⨯=人, 在区间(190,210]中有2000.002208⨯⨯=人,按分层抽样抽取6人,那么从(150,170]中抽取4人,(170,190]中抽取1人,(190,210]中抽取1人; 设从(150,170]中抽取职工为a 、b 、c 、d ,从(170,190]中抽取职工为E ,从(190,210]中抽取职工为F ,那么从6人中抽取2人的情况有ab 、ac 、ad 、aE 、aF 、bc 、bd 、bE 、bF 、cd 、cE 、cF 、dE 、dF 、EF 一共15种情况,它们是等可能的,其中满足两人均来自区间(150,170]的有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 一共有6种情况, 所以两人均来自区间(150,170]的概率62155P==; 【点睛】此题考察了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题,属根底题. 19.数列{}n a 满足11a =且121n n a a +=+.(1)证明数列{}1n a +是等比数列,并求n a 的通项公式;(2)设()1nn b n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析，21n n a =-；(2)()1122n n S n +=-⋅+【解析】 【分析】〔1〕由递推关系式可得1121n n a a ++=+，由此可证得结论；根据等比数列通项公式求得1n a +，进而得到n a ；〔2〕根据〔1〕的结论得到n b ，利用错位相减法求得n S .【详解】〔1〕121n n a a +=+()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+ ∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列〔2〕由〔1〕知：2n nb n =⋅两式作差得：()()()1231121222222212212n n n n n nSn n n +++--=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=-⋅--【点睛】此题考察利用递推关系式证明数列为等比数列、数列通项公式的求解、错位相减法求数列的前n 项和的问题；选择求和方法时，首先需确定所求数列的通项公式的形式，根据通项公式选择求和方法；此题中通项公式为等差与等比乘积的形式，因此选择错位相减法求和. 20.向量()1,2a=-,(),b x y =.(1)假设,x y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次､第二次出现的点数,求满足1a b ⋅=-的概率；(2)假设[],1,6x y ∈,求满足0a b ⋅>的概率.【答案】(1)112；(2)425【解析】 【分析】〔1〕所有根本领件一共36个，从中找到满足210x y -+=的根本领件，即为满足1a b ⋅=-的根本领件，根据古典概型概率公式求得结果；〔2〕在平面直角坐标系中得到试验的全部结果构成的区域；根据0a b ⋅>得到限制条件20x y ->，由此得到满足题意的区域，利用几何概型概率公式求得结果. 【详解】(1)抛掷两次骰子的所有根本领件有6636⨯=个 用A 表示事件“1a b ⋅=-〞,即210x y -+=那么A 包含的根本领件有()1,1，()3,2，()5,3，一共3个(2)用B 表示事件“0a b⋅>〞,即20x y ->试验的全部结果所构成的区域为(){},16,16x y x y ≤≤≤≤构成事件B 的区域为(){},16,16,20x y x y x y ≤≤≤≤->那么区域B 如以下图阴影局部所示：∴所求的概率为()142425525P B ⨯⨯==⨯ 【点睛】此题考察古典概型、几何概型概率问题的求解，需注意古典概型和几何概型的区别，古典概型的根本领件个数可数，几何概型根本领件个数不可数；当几何概型问题中出现两个变量时，采用面积型公式来进展求解.21.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,60BCD ∠=,PA PD ==E 是BC 中点,O 为AD 的中点,点Q 在侧棱PC 上(不包括端点).(1)求证：AD PB ⊥(2)是否存在点Q ,使DC 与平面DEQ ,假设存在,求出PQPC的值;假设不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，23PQ PC =. 【解析】 【分析】〔1〕根据等腰三角形三线合一的性质可证得PO AD ⊥，BO AD ⊥，由线面垂直断定定理可证得AD ⊥平面PBO ，由线面垂直性质证得结论； 〔2〕由面面垂直性质可知PO ⊥平面ABCD ，那么以O 为原点建立空间直角坐标系；设PQ t PC =，利用向量线性运算可求得Q 点坐标；根据线面角的向量求法可构造方程求得t ，进而得到结果. 【详解】〔1〕连接,OP OBPA PD =，O 为AD 中点PO AD ∴⊥在菱形ABCD 中，60BCD ∠=BAD ∴∆为等边三角形BO AD ∴⊥,PO BO ⊂平面PBO ，PO BO O =AD ∴⊥平面PBOPB ⊂平面PBO AD PB ∴⊥〔2〕平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO AD ⊥PO ∴⊥平面ABCD PO OB ∴⊥，PO OA ⊥，又BO OA ⊥那么以O 为坐标原点，可建立如以下图所示空间直角坐标系 那么()1,0,0D-，()E -，()0,0,1P，()C -假设存在点Q 满足题意，设PQ t PC =，()0,1t ∈那么()()()0,0,112,1OQOP PQ OP tPC t t t =+=+=+--=--()2,1Q t t∴--，()DE =，()12,1DQ t t =--设平面DEQ 的法向量为(),,n x y z =()()301210DE n y DQ n t x t z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，那么0y =，112t x t -=- 设DC 与平面DEQ 所成角为θ那么sin 42DC n DC nθ⋅===⋅⎛，解得：23t =或者0t =〔舍〕 ∴存在点Q ，使得DC 与平面DEQ 所成角的正弦值为4，此时23PQ PC = 【点睛】此题考察立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角中的存在性问题；证明线线垂直通常采用证明线面垂直，利用线面垂直的性质来进展证明；求解存在性问题的根本思路是假设存在，利用向量法表示出所给结论，进而验证是否存在.22.在平面直角坐标系xoy 中,圆心在x 轴上,半径为2的圆C 位于y 轴右侧,且与直线20x +=相切.(1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny+=与圆22:1o x y +=相交于不同的两点,A B ,且OAB ∆的面积最大？假设存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；假设不存在,请说明理由.【答案】(1)22(2)4x y -+=(2)存在,点M 的坐标是1(,22与1(,22-,对应面积的最大值为12【解析】 【分析】(1)设圆心是00(,0)(0)x x >,根据直线与圆相切的性质结合点到直线间隔公式可以求出0x 的值,也就可以写出圆C 的方程；(2)根据点(,)M m n 在圆C 上,可以求出m 的取值范围,根据点到直线间隔公式可以求出原点到直线l 的间隔,利用垂径定理可以求出AB ,最后求出OAB ∆的面积的表达式,最后利用配方法求出OAB ∆的面积最大.【详解】解(1)设圆心是00(,0)(0)x x >.021x d +==+解得02x =∴圆C 的方程为22(2)4x y -+=；(2)点(,)M m n 在圆C ,2222(2)4,4(2)0m n n m ∴-+==--≥04m ∴≤≤.又原点到直线l 的间隔1h ==<解得144m <≤AB=111 164m≤<.∴当1142m=,即12m=时获得最大值12.此时点M的坐标是1(,22与1(,22-,面积的最大值为12.【点睛】此题考察了直线与圆相切的性质应用,考察了三角形面积最大值问题,考察了数学运算才能.。
高二数学上学期期末考试试题含解析试题1 2
卜人入州八九几市潮王学校和平区二零二零—二零二壹高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8小题〕A.，B.，C.，D.，1.“直线与双曲线相切〞是“直线与双曲线只有一个公一共点〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.椭圆的焦点坐标为A.，B.，C.，D.，3.抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.4.的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么的周长是A. B. C.6 D.125.双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，那么C的方程为A. B. C. D.6.是双曲线C：上的一点，，是C的左、右两个焦点，假设，那么的取值范围是A. B. C. D.7.双曲线与抛物线有一个公一共的焦点F，且两曲线的一个交点为假设，那么双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.8.______．9.对于常数m、n，“〞是“方程的曲线是椭圆〞的______条件．10.椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小间隔为6，那么椭圆的离心率为______．11.点，F是抛物线的焦点，假设点P在抛物线上运动，当取最小值时，点P的坐标为______．12.倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点交抛物线于A、B两点，并且，那么______．13.抛物线C：的焦点为F，准线与x轴的交点为H，点A在C上，且，那么的面积为______．三、解答题〔本大题一一共5小题〕14.椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求该椭圆的HY方程；抛物线顶点在原点，对称轴是y轴，并且焦点到准线的间隔为5，求该抛物线方程．15.椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为．求椭圆C的方程；过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．16.抛物线C：经过点，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；假设，求面积的最小值．17.椭圆C：经过点，一个焦点为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ假设直线与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．18.椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为A，B，，且直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点，满足且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ假设面积是面积的5倍，务实数m的值．答案和解析1.【答案】CC2.【答案】A【解析】解：假设直线与双曲线相切，那么直线与双曲线只有一个公一共点，反之，当直线和双曲线渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公一共点，但此时直线与双曲线是相交的，不满足相切，故“直线与双曲线相切〞是“直线与双曲线只有一个公一共点〞的充分不必要条件，应选：A．根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可．此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合直线和双曲线的位置关系是解决此题的关键．3.【答案】D【解析】解：椭圆，可得，，所以，所以椭圆的焦点坐标．应选：D．利用椭圆的方程求出a，b，得到c即可求解结果．此题考察椭圆的简单性质的应用，是根本知识的考察，根底题．4.【答案】B【解析】【分析】直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可．【解答】解：抛物线的开口向左，，所以焦点坐标是：．应选B．5.【答案】B【解析】【分析】此题考察椭圆的定义，考察焦点三角形的周长公式，考察计算才能，属于根底题．由椭圆，那么，设直线BC过椭圆的右焦点，那么根据椭圆的定义可知：，，三角形的周长为：．【解答】解：椭圆，那么，设直线BC过椭圆的右焦点，根据椭圆的定义可知：，．三角形的周长为：．应选B．6.【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线C：的焦点在x轴上，其渐近线方程为，假设其一条渐近线的倾斜角为，那么该渐近线的方程为，那么有，即，椭圆中，，假设双曲线与椭圆有相等的焦距，那么有，解可得，，那么双曲线的方程为；应选：C．根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有，即，求出椭圆的半焦距，分析可得，解可得、的值，将、的值代入双曲线的方程，即可得答案．此题考察双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置．7.【答案】A【解析】【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定的取值范围．此题考察向量的数量积公式，考察双曲线方程，考察学生的计算才能，比较根底．【解答】解：因为是双曲线C：上的一点，所以，由题意，，所以．应选：A．8.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点坐标，，抛物线的焦点和双曲线的焦点一样，，即，设，由抛物线定义知：，．点的坐标为解得：，那么渐近线方程为，应选：C．根据抛物线和双曲线有一样的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与，，解得a，b，得到渐近线方程．此题主要考察了双曲线，抛物线的简单性质．考察了学生综合分析问题和根本的运算才能．解答关键是利用性质列出方程组．9.【答案】，10.【答案】必要不充分【解析】【分析】根据椭圆的HY方程形式确定m，n的关系，然后利用充分条件和必要条件的定义进展判断．此题主要考察充分条件和必要条件的应用，要求掌握椭圆的HY方程．【解答】解：由方程得，所以要使方程的曲线是椭圆，那么，即，且．所以，“〞是“方程的曲线是椭圆〞的必要不充分条件．11.【答案】【解析】解：椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小间隔为6，，解得，，所以椭圆的离心率为：．故答案为：．利用条件列出方程组，求解a、c，得到椭圆的离心率．此题考察椭圆的简单性质的应用，是根本知识的考察，根底题．12.【答案】【解析】解：设点P在准线上的射影为D，那么根据抛物线的定义可知要求获得最小值，即求获得最小当D，P，A三点一共线时最小，，点的纵坐标，此时由得，即，故答案为：设点P在准线上的射影为D，那么根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求获得最小，进而可推断出当D，P，A三点一共线时最小，即可得到结论．．此题主要考察了抛物线的应用．考察了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用，利用抛物线的定义是解决此题的关键．13.【答案】【解析】解：如图，设A、B两点在准线上的射影分别为C、D．过B作于那么有，设，那么．那么．故答案为：．设A、B两点在准线上的射影分别为C、过B作于那么有，．设，那么，即可．此题考察了抛物线的简单几何性质，考察了抛物线的定义，考察了转化思想，是中档题．14.【答案】【解析】解：由抛物线C：，得焦点，准线方程为过P作PM垂直准线于M，设，，那么，．解得．那么的面积为，故答案为：设，，那么，由，可得，解得即可．此题考察抛物线的简单性质，考察直线与抛物线位置关系的应用，考察计算才能，是中档题．15.【答案】解：设椭圆的方程为，由题意可得，即，，即，，那么椭圆的HY方程为；设抛物线的方程为，，焦点到准线的间隔为5，可得，即，那么抛物线的HY方程为或者．【解析】设出椭圆的方程为，由题意可得a，c，求得b，可得所求方程；设抛物线的方程为，，由焦点到准线的间隔解得t，可得所求方程．此题考察椭圆和抛物线的方程和性质，考察方程思想和运算才能，属于根底题．16.【答案】解椭圆C的离心率为，，，即椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为，，，从而得，椭圆C的方程为显然，直线l的斜率存在，设该斜率k，直线l的方程为，即，直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得：且该方程显然有二不等根，记A，B两点的坐标依次为，，，即，，解得，所求直线l的方程为．【解析】根据椭圆的几何性质求得，；联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程．此题考察了直线与椭圆的综合，属中档题．17.【答案】解：由抛物线C：经过点知，解得．那么抛物线C的方程为．抛物线C的焦点坐标为，准线方程为，由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：，由消去x，得．设，，那么，．因为，所以，即，解得舍或者．所以解得．所以直线AB：．所以直线AB过定点．．当且仅当，或者，时，等号成立．所以面积的最小值为4．【解析】Ⅰ根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的HY方程，分析即可得答案；Ⅱ直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，，结合，结合根与系数的关系分析可得，进而可得面积的表达式，分析可得答案．此题考察抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的HY方程．18.【答案】解：Ⅰ由题意得，解得，．椭圆C的方程是；Ⅱ联立，得．设，，那么有，，．线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为．取，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点，又点，．又．于是，．，．的取值范围为．【解析】Ⅰ由椭圆过点，结合给出的焦点坐标积隐含条件求解a，b的值，那么椭圆方程可求；Ⅱ联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的间隔公式求得，由弦长公式求得，作比后求得的取值范围．此题主要椭圆方程的求法，考察了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的才能，是难题．19.【答案】解：Ⅰ由题意可得：，解得，椭圆C的方程为：．Ⅱ，，，直线AM的方程为：，直线BM的方程为：，联立方程组，消元可得：，，同理可得：，，，，解得．．【解析】Ⅰ列方程组，求出a，b即可得出椭圆的方程；Ⅱ用m表示出直线方程，得出出E，F的横坐标，根据面积关系列方程得出m的值即可．此题考察了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．。
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点且平行于直线的直线方程为（） ()1,3P -230x y -+=A. B. 210x y +-=250x y +-=C. D.250x y +-=270x y -+=2.已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（） {}n a 21a +1a 4a {}n a A.1B. C.2D.2-1-3.棱长为1的正四面体中，则等于（）ABCD AD BC ⋅A.0B. C. D.121414-4.已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）C ()1,0(C A. B. 22123x y +=22143x y +=C. D. 22132x y +=22134x y +=5.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）()2,1,3a =- axOy A. B. C. D.()0,2,1()0,1,3-()2,1,0()2,0,3-6.直线与圆交于两点，则当弦最短时:210l mx y m +--=22:(2)4C x y +-=,A B AB 直线的方程为（）l A. B. 430x y -+=2430x y --=C. D.2410x y ++=2430x y -+=7.已知直线的方程是的方程是，则下列图形中，1l 2,y ax b l =+()0,y bx a ab a b =-≠≠正确的是（）A. B.C. D.8.在数列中，若（为常数），则称为“等方差数{}n a 221,n n a a p --=*2,,n n N p ≥∈{}n a 列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；{}n a {}2n a ②不是等方差数列；{}(1)n-③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列； {}n a {}kn a *,k k ∈N ④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. {}n a 其中正确命题序号为（）A.①③B.②④C.①③D.①④二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和为，则下列说法不正确的是（）{}n a n 2,5n n S S n n =-A.为等差数列B.{}n a 0n a >C.最小值为 D.为单调递增数列 n S 254-{}n a 10.已知空间中，则下列结论正确的有（） ()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-A. B.与共线的单位向量是 AB AC ⊥ AB()1,1,0C. D.平面的一个法向量是BC =ABC ()1,2,5-11.已知曲线，则下列判断正确的是（）22:1x y C a b-=A.若，则是圆，其半径为0a b =->C aB.若，则是双曲线，其渐近线方程为 0ab >C y =C.若，则是椭圆，其焦点在轴上 0a b -<<C xD.若，则是两条直线1a b ==C 12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直()0,2F 径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于y G O A 点，则（）BA.椭圆的长轴长为B.的周长为AFG A 4+C.线段长度的取值范围是AB 4,2⎡+⎣D.面积的最大值是ABF A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的焦点坐标为__________.28y x =14.已知双曲线经过点，则离心率为__________.22:1y C x m-=)215.已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一224x y +=l 条直线方程__________.（写出一个正确答案即可）l 16.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方xOy ()000,,P x y z (),,n a b c =α程为，过点且方向向量为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z 的直线的方程为，阅读上面材料，并解()(),,0n u v w uvw =≠ l 000x x y y z z u v w---==决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与α10x y z -++=l 20x y -+=的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.210x z -+=l α四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满足.{}n a *111,2,n n a a a n n +==+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和.2n n b a n =-{}n b n n S 18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点.1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,DD BD BB（1）求证：；EF CF ⊥（2）求与所成角的余弦值. EF CG 19.（本小题满分12分）已知为平面内的一个动点，且满足()()1,0,1,0,A B C -AC =（1）求点的轨迹方程；C （2）若直线，求直线被曲线截得的线段长度. :10l x y +-=l C 20.（本小题满分12分）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中2:2C y px =()2,2,P A B ､C O 为原点.O （1）求抛物线的方程；C （2）若，求面积的最小值. OA OB ⊥AOB A 21.（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，ABCDEF ABCD //EF AC 1EF =60ABC ∠=︒，平面，，是的中点.CE ⊥ABCD CE ==2CD G DE（1）求证：平面平面；ACG //BEF （2）求直线与平面所成的角的正弦值. AD ABF 22.（本小题满分12分）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条2222:1(0)x y C a b a b -=>>()2,0,F O C 渐近线的夹角为.3π（1）求双曲线的方程；C （2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定F l C ,P Q x M MP MQ ⋅值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.M惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABCDAA1.【解析】设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得()203x y c c -+=≠()1,3P -，所以所求的直线方程为.160c --+=7c ∴=270x y -+=2.【解析】设等差数列的公差为.由已知条件，得，即{}n a d ()14221a a a +=+，解得.()()111321a a d a d ++=++2d =3.【解析】由题意以作为基底，， ,,AB AC AD BC AC AB =-则()0AD BC AD AC AB AD AC AD AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=4.【解析】椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然x 22221(0)x ya b a b+=>>，故椭圆方程为.1,c b ==2224a b c =+=22143x y +=5.【解析】由题意可知，向量在坐标平面上的投影向量是.axOy ()2,1,06.【解析】由，则令，解得()210,2110mx y m x m y +--=-+-=21010x y -=⎧⎨-=⎩121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故直线过定点，由，则圆心，半径，当l 1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭22(2)4x y +-=()0,2C 2r =时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，AB CP ⊥AB CP 12212CP k -==-l 12AB k =故直线为，则.l 11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2430x y -+=7.【解析】逐一判定即可.对于A ，由的图象知，由的图象知，故A 正确； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <>对于B ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故B 错误； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <<对于，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误； C 1l 0,0a b ><2l 0,0a b <>C 对于D ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误.1l 0,0a b >>2l 0,0a b <<D 8.【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公{}n a 221n n a a p --=p {}2n a 21a 差为的等差数列；故①正确 p ②数列中，，所以是等方差数列；{}(1)n-222211(1)(1)0n n nn aa --⎡⎤⎡⎤-=---=⎣⎦⎣⎦{}(1)n -故②不正确③数列中的项列举出来是数列中的项列举：{}n a 122,,..,,..,k k a a a a ⋯⋯⋯{}2kn a23,,k k k a a a ⋯⋯ ()()222222121221k k k k k k a a a a a a p +++--=-=⋯=-=()()()222222121221k k k k k k a a a a a a kp +++-∴-+-+⋯+-=，即数列是等方差数列，故③正确；()221kn k n a a kp +∴-={}kn a ④数列是等差数列，数列是等方差数列，{}n a ()112.n n a a d n -∴-=≥ {}n a ，当时，为常数()22122n n a a d n -∴-=≥()121,n n a a d d -∴+=∴10d ≠12122n d d a d =+列；当，数列为常数列.则该数列必为常数列，故④正确.10d ={}n a {}n a 正确命题的是①③④，故A 正确.∴二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 全部正确选项BCACDBCBC9.【解析】对于A ，当时，，2n ≥()2215(1)5126n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦时满足上式，所以，所以1n =114a S ==-*26,n a n n N =-∈，()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故正确；{}n a A 对于B ，由上述过程可知，故B 错误； *12326,N ,40,20,0n a n n a a a =-∈=-<=-<=对于C ，因为，对称轴为，又因为，所以当或325n S n n =-52.52n ==*N n ∈2n =时，最小值为，故错误；n S 6-C 对于D ，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D 正确.{}n a {}n a 10.【解析】对于，故正确；()()A,2,1,01,2,1220AB AC ⋅=⋅-=-+= ,A AB AC ⊥对于不是单位向量，且与不共线，错误； (),1,1,0B ()1,1,0()2,1,0AB =B对于正确；(),3,1,1,C BC AC AB BC C =-=-∴=对于，设，则，D ()1,2,5m =- ()()1,2,52,1,0220m AB ⋅=-⋅=-=，所以，又()()1,2,53,1,13250m BC ⋅=-⋅-=--+= ,m AB m BC ⊥⊥AB BC B⋂=，所以平面的一个法向量是正确.ABC ()1,2,5,D -11.【解析】对于，若时，转化为A 0a b =->22:1x y C a b-=22x y a +=，故错误；A 对于，若，当是焦点在轴上的双曲线，当是焦点B 0ab >0,0,ab C >>x 0,0,a b C <<在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是y 220x y a b-=y =C的渐近线，B 正确；对于，若转化为，由于可知，C 220,:1x y a b C a b -<<-=22:1x y C a b+=-0a b >->C是焦点在轴上的椭圆，故C 正确；x 对于，若转化为，是双曲线不是两条直线，故DD 221,:1x y ab C a b==-=221x y -=错误.12.【解析】对于，由题知，椭圆中，得，则A 2b c ==a ==2a =，故错误；A 对于，由定义知，的周长正B 2AF AG a AFG +==A 4L FGB =+=+确；对于，由性质知C,2AB OB OA OA =+=+2OA ≤≤42AB C ≤≤+正确；对于，设所在直线方程为，联立可得， D AB y kx =22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩A x =联立可得，则224y kx x y =⎧⎨+=⎩B x =显然，当1122ABF AOF OBF A B S S S OF x OF x=+=+=+A A A 20k ≥2k 增大时，是减小，所以当时，有最大值4，故D 错误. y=0k=ABF S A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()2,014.（写出一个即可） 1103450,x y x y x y =±=±++=++= ､､､【注】若答案形式为：，则系数必须满足： 0Ax By C ++=222A B C +=若答案形式为：，则系数必须满足： y kx b =+221k b +=13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为()2,014.【解析】双曲线经过点，所以，解得，所以双22:1y C x m-=)2421m-=4m =曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，2214y x -=x1,2,a b c ===率为.e =15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求， 设直线为，则由题可知圆心到直线的距离为，0AxBy C ++=()0,01,1d ==所以222A B C +=16.【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为， α10x y z -++=()1,1,1p =-平面的法向量可取为，平面的法向量可取为20x y -+=()1,1,0m =-210x z -+=，()2,0,1n =-直线是两个平面与的交线，设其方向向量为，则l 20x y -+=210x z -+=(),,s t q μ=，令，则，故设直线与平面所成的角为020m s t n s q μμ⋅=-=⎧⎨⋅=-=⎩1s =()1,1,2μ=l α，,0,2πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则sin |cos ,|||p p p μθμμ⋅=〈〉=== ‖四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.） 【解析】（1）当时，*2,n n N ≥∈()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+2(1)2(2)211n a n n ∴=-+-++⋅+()()21211n n ⎡⎤=-+-+++⎣⎦ ()()111212n n ⎡⎤-+-⎣⎦=⋅+因为也满足上式，1n =()2*1n a n n n N ∴=-+∈（2），则2221n n b a n n n n =-=-+-1n b n =-+所以是以0为首项，为公差的等差数列 {}n b 1-故()()101S 22n n b b n n n +⋅-+⋅==21122n S n n ∴=-+18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）【解法一】（1）以为坐标原点，为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D DAX()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0E F C 则所以 ()1,1,1EF =-()1,1,0CF =-因为1100EF CF ⋅=-+=所以 EF CF ⊥ 即EF CF ⊥（2）由（1）知，()2,2,1G 则()2,0,1CG =所以 cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅==所以与EF CG 【解法二】由题意得：在中有：，Rt EDFA 11,2ED DF BD====EF ∴==在中有：R EDC AA 1,2,ED DC EC ==∴==在正方形中， ABCD 12CF AC ==在中有： ∴EFC A 222EF FC CE +=所以有：EF CF ⊥（2）连接，取的中点，连接，11,A E A F 1A A H ,HG HD 四边形为平行四边形∴1,A HDE HDCG1,HD A E HD CG ∴∥∥1A E CG ∴∥在Rt 中有：，11A D EA 1A E ==在Rt 中有：，1AAF A 1A F ==在中有：∴1A EFA 2221111cos 2A E EF A F A EF A E EF ∠+-===⋅所以与EF CG 19.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.） 【解析】（1）由题意可设点的坐标为，由C (),xy AC==整理得点的轨迹方程为. C 22610x y x +-+=（2）由（1）可知，曲线 22:(3)8C xy -+=则圆心坐标为， ()3,0半径为则圆心到直线的距离:10l x y +-=d=所以弦的长度==直线被曲线截得的线段长度为l C 20.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.） 【解析】（1）由抛物线经过点知，2:2C y px =()2,2P 44p =解得，1p =则抛物线的方程为；C 22y x =（2）【解法一】由题知，直线不与轴垂直，设直线，AB y :AB x ty a =+由消去，得， 22x ty a y x=+⎧⎨=⎩x 2220y ty a --=，设，2Δ480t a =+>()()1122,,,A x y B x y 则，12122,2y y t y y a +==-因为，所以即，所以 OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=22121204y y y y +=解得（舍去）或，120y y =124y y =-所以即，24a -=-2a =所以直线，所以直线过定点，:2AB x ty =+AB ()2,012122АОВS y y =⨯⨯-==A4≥=当且仅当或时，等号成立，122,2y y ==-122,2y y =-=所以面积的最小值为4.AOB A 【注：面积也可以用的方式来计算 AOB A 12AOB S OA OB =⨯⨯A 【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0 OA OB 不妨设直线方程为，代入由可得 OA y kx =2y OA OB ⊥()22,2B k k -22OA k =OB =12AOB S OA OB ==A4≥=当且仅当时等号成立1k =±所以面积的最小值为4 AOB A 【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时， AB AOB A 4AOB S =A 当直线斜率存在时，设直线，AB :AB y kx b =+由消去，得， 22y kx b y x=+⎧⎨=⎩y ()222210k x kb x b +-+=()()1122Δ840,,,,,kb A x y B x y =-+>设则， ()212122221,kb b x x x x k k -+=-=因为，所以即，OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=所以 ()()22121210kb x x k x x b ++++=解得（舍去）或，0b =2b k =-所以直线，所以直线过定点，():2AB y k x =-AB ()2,0()()121212222AOB S y y k x k x =⨯⨯-=---=A 4=>综上：面积的最小值为4.AOB A 21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）（1）证明：连接交于，则是的中点，BD AC O O BD 连接，是的中点，，OG G DE //OG BE ∴平面，平面，BE ⊂ BEF OG ⊄BEF 平面；//OG ∴BEF 又，平面，平面，//EF AC AC ⊄BEF EF ⊂BEF 平面，//AC BEF 又与相交于点，平面，AC OG O ,AC OG ⊂ACG 所以平面平面.//ACG BEF （2）【解法一】解：连接，因为四边形是菱形，所以， OF ABCD AC BD ⊥又，，所以为等边三角形，所以，又， 60ABC ∠=︒=2CD ABC A =2AC 1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =//EF OC OCEF //OF CE 因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD 如图，以为坐标原点，分别以､､为､､轴建立空间直角坐标系， O OC OD OF x y z 则，，，，()1,0,0A-()0,B()D(F ，，，AD =(1,AB = AF = 设面的法向量为，ABF =(,,)m a b c 依题意有，则， m AB m AF ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩==0==0m AB a m AF a ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩令，，则，a =1b =1c =-1)m =-所以cos ,AD mAD m AD m ⋅<>==⋅ 所以直线与面AD ABF【解法二】连接，因为四边形是菱形，所以，OF ABCD AC BD ⊥所以为等边三角形，所以，又，ABC A 2AC =1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =EF OC ∥OCEF OF CE ∥因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD在Rt 中，， FOB A BF==在Rt 中，FOA A 2AF ==又在中，由等腰三角形易计算得 ABF A 2,AB =∴ABF S =A 设为点到平面的距离d D ABF 11,33D ABF F ABD ABF ABD V V S d S FO --=⋅=⋅A A 即有计算得： d =设直线与平面所成的夹角为，则 AD ABF θsin d DA θ===所以直线与面AD ABF 22.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）双曲线的渐近线为， 22221x y a b -=b y x a =±又，结合已知条件可知渐近线的的倾斜角为 0,01b a b a >><<b y x a =,6π则. b a =a =，得 2=1a b ==所以双曲线的方程是. C 2213x y -=（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，l x l 2x ty =+代入，得，即. 2213x y -=22(2)33ty y +-=()223410t y ty -++=设点，则. ()()1122,,,P x y Q x y 12122241,33t y y y y t t +=-=--设点，则 (),0M m ()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+()()()22121212(2)t y y t m y y m =++-++- ()()22223312113m t m m t ---+=-令，得， ()223121133m m m -+=-53m =此时. 2239MP MQ m ⋅=-=- 当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点. l x ,P Q ()),P Q 对于点. 5552,0,,0·,03339M MP MQ ⎛⎫⎛⎫⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ 所以存在定点，使为定值.5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2239MP MQ m ⋅=-=-。
高二数学上试卷(带解析)
高二（上）数学预习试卷一、单选题(共5题；共40分)1.(8分)点(3,0)到双曲线191622=-y x 的一条渐近线的距离为（）A.59B.58C.56D.542.(8分)如图，PC ⊥平面ɑ，斜线PO 在平面ɑ内的射影CO ，AB 是平面ɑ内过点O 的直线，若∠POA 是钝角，则（）A. ∠POB ＜∠POCB.∠POA ＜∠AOCC.∠POC ＞∠BOCD.∠POC ＞∠PBC3. (8分)已知两点A(-1,0)、B(1,0),动点P(x,y)满足tan ∠PAB ·tan ∠PBA=2,则点P 的轨迹方程是（）A.1222=-y x B.1222=-y x (y ≠0) C.1222=+y x D.1222=+y x (y ≠0)4. (8分)已知数列{n a }满足1a =1，)(1*1N n a a a nnn ∈+=+，记数列{n a }的前n 项和为n S ，则（）A. 21<100S <3B.3<100S <4C.4<100S <29D.29<100S <55. (8分)“r=3”是“圆x ²+y ²=1与圆(x-4)²+y ²=r ²” 相切的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题(共5题；共35分)6. 在三棱柱ABC-1A 1B 1C 中，A 1A ⊥平面ABC ，AB=AC=A 1A ,AB ⊥AC ，直线a,b 分别在上底面1A 1B 1C 和下底面ABC 上运动，且→a ⊥→b ，若1A C 与a 所成角为60°，则b 与侧面AC 1C 1A 所成角的大小为______.7. 已知双曲线C:22y mx -=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0，则C 的焦距为_____. 8. 曲线y=212+-x x 在点(-1,-3)处的切线方程为_____. 9. 已知O 为坐标原点，抛物线C:y ²=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ 垂直OP ，若|FQ|=6，则C 的准线方程为_____.10.(7分)已知等比数列{n a }的首项为2，公比为-31，其前n 项和记为n S ，则n n S +∞→lim =_____.三、解答题(共5题，共75分)11.(15分)设{na }是首项为1的等比数列，数列{nb }满足nb =3nna ，已知3219,3,a a a 成等差数列.(1)求{n a }和{n b }的通项公式；(2) 记nS 和nT 分别为{na }和{nb }的前n 项和.证明：nT <2ns .12.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=15，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD ⊥DC ，PM ⊥MD.(1) 证明：AB ⊥PM ；(2) 求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.13.(15分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2×2cos θ. (1) 将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0),M 为C 上的动点，点P 满足→AP =→AM 2，写出P 的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点.14.(10分)已知抛物线C ：2x =2px(p>0)的焦点为F ，且F 与圆M ：1)4(22=++y x 上点的距离最小值为4.(1) 求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求∆PAB的最大值.15.(20分)如图，已知F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF|=2，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A，B两点，斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且|RN|²=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的范围.。
福建省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线与直线垂直，则（）1:210l x ay --=2:210l x y ++==a A. B. 1C. 2D. 41-【答案】B 【解析】【分析】利用两直线垂直的条件求解.【详解】因为直线与直线垂直， 1:210l x ay --=2:210l x y ++=所以，即. ()2120a ⨯+-⨯=1a =故选：B2. 等差数列的前n 项和为，且满足，则（） {}n a n S 252,20a S ==4a =A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.【详解】设等差数列的公差为，则，，解得{}n a d 212a a d =+=5151020S a d =+=，10,2a d ==所以. 40236a =+⨯=故选：D.3. 已知直线l 过点，方向向量为，则原点到的距离为（）(2,0)P ()1,1n =-O lA. 1B.C.D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出直线的解析式，即可求出原点到的距离. O l 【详解】由题意，在直线中，方向向量为，l ()1,1n =-∴直线l 的斜率存在，设，则直线l 的斜率为：， :l y kx b =+111k -==-∴，:l y x b =-+∵直线l 过点， (2,0)P ∴，解得：，02b =-+2b =∴，即， :2l y x =-+:20+-=l x y∴原点到的距离为：，O l d 故选：B.4. 已知圆与圆，若与有且仅有2221:290C x y mx m +-+-=222:20C x y y +-=1C 2C 一条公切线，则实数的值为（） mA. B. C. D.1±2±【答案】C 【解析】【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】圆可化为，圆心为2221:290C x y mx m +-+-=()221:9C x m y -+=，半径为，()1,0C m 13r =圆可化为，圆心为，半径为，222:20C x y y +-=()222:11C x y +-=()20,1C 21r =又与有且仅有一条公切线， 1C 2C 所以两圆内切，因此，即，2112r r C C =-2=解得， m =故选：C5. 在三棱锥中，点M 是中点，若，则A BCD -BC DM x AB y AC z AD =++（）x y z ++=A. 0 B.C. 1D. 212【答案】A 【解析】【分析】表达出和，得出，，的值，即可求出的值.AM DMx y z x y z ++【详解】由题意，在三棱锥中，点M 是中点， A BCD -BC 连接，，AM DM在中， ABC A ，()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r 在中，AMD A ， DM AM AD =- ∴, ()12DM AM AD AB AC AD =-=+-∴，， 12x y ==1z =-∴， 111022x y z ++=+-=故选：A.6. 已知点P 在双曲线的右支上，直线交曲线C 于点Q （异于222:1(0)y C x b b-=>OP P ），点F 为C 的左焦点，若为锐角，则b 的取值范围为（） ||4,PF PFQ =∠A.B.C.D.(0,2)(2,(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的右焦点，根据双曲线的定义，可求得，根据已知条件2F 22PF =为锐角，可判断为钝角，结合余弦定理即可求得b 的取值范围.PFQ ∠2FPF ∠【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为，则，且，则， 2F 22PF PF a -=1a =22PF PF -=又则，又，所以， ||4,PF =22PF =2226FF c PF PF =<+=3c <而，即，解得222c a b =+219b +<0b <<又因为为锐角，且根据双曲线的对称性知，关于原点对称，PFQ ∠,P Q 22FQ F P ==，，22QFF PF F ∠=∠所以为锐角，2222PFQ QFF PFF PFF PF F ∠=∠+∠=∠+∠所以为钝角，则①，且2FPF ∠22222424204cos 024216c c FPF +--∠==<⨯⨯，又②，22041016c --<<221c b =+由①②两式解得 2<<b所以b 的取值范围为. (2,故选：C7. 在平行六面体中，1111ABCD A B C D -，，则直线111,60AB AD AA DAB BAA DAA ==∠=∠=∠=︒11(01)AQ A B λλ=<<与直线所成角的余弦值为（）1AC DQA. 0B.C.D. 112【答案】A 【解析】【分析】设，由向量的运算得出，进而得出直线1,,a AB b AD c AA ===10AC DQ ⋅= 与直线所成角的余弦值.1AC DQ 【详解】设，不妨设，则1,,a AB b AD c AA ===11AB AD AA ===12a b a c b c ⋅=⋅=⋅= ，， 1AC a b c =++ 11A B A A AB a c =+=-1111()(1)DQ DD D A A Q c b a c a b c λλλ=++=-+-=-+- ()2221(1)(1)1AC DQ a a b a c a b b b c a c b c c λλλλλλ⋅=-⋅+-⋅+⋅-+-⋅+⋅-⋅+-1111111111022222222λλλλλλ=-+-+-+-+-+-=即，则直线与直线所成角的余弦值为.1AC DQ ⊥1AC DQ 0故选：A8. 椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，为半径2222:1(0)x y E a b a b+=>>||FO 的圆与E 交于点P ，且，则E 的离心率为（） PF PA ⊥A.B.C.D.23【答案】C 【解析】【分析】由已知得，右焦点为，中利用余弦定理列方cos PF cPFA FA a c∠==+F 'PFF 'A 程，由齐次式可求E 的离心率.,a c 【详解】由题意，，，由，， PF c =FA a c =+PF PA ⊥cos PF cPFA FA a c∠==+右焦点为，连接，有，F 'PF '2PF a c '=-中，，PFF 'A ()()222222222cos 24c c a c PF FF PF c PFF PF FF c a c+--''+-'∠==='⋅+化简得，即，222c a =a =则E 的离心率为c e a ==故选：C【点睛】思路点睛：点P 在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a ，求椭圆离心率，结合其它条件构造齐次式即可得解.,a c 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知椭圆与椭圆，则（）221259x y +=221259x y k k+=--A. B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率9k <相等 【答案】AC 【解析】【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.【详解】由题意，在中，有，，，221259x y +=5a =3b =4c ===∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率， 428⨯=45c e a ==在中，有，221259x y k k+=--a =b =，4c ===，428⨯=，解得：，离心率， 25090k k ->⎧⎨->⎩9k <e =∴AC 正确，BD 错误. 故选：AC.10. 如图，四边形为正方形，，平面，ABCD //EA BF EA ⊥ABCD ，点在棱上，且，则（）22AB AE BF ===M EC EM EC λ=A. 当时，平面 14λ=//DM BFCB. 当时，平面 12λ=MF ⊥EAC C. 当时，点到平面的距离为 12λ=M BCF 1D. 当时，平面与平面的夹角为 14λ=MBD ABCD π4【答案】BC 【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直A AD AB AE x y z 角坐标系，利用空间向量法逐项判断可得合适的选项.【详解】因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，EA ⊥ABCD ABCD A 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，AD AB AE x y z则、、、、、， ()0,0,0A ()0,2,0B ()2,2,0C ()2,0,0D ()0,0,2E ()0,2,1F 对于AD 选项，当时，， 14λ=113,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，易知平面的一个法向量为，313,,222DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭BFC ()0,1,0m =因为，因此，与平面不平行，A 错，102DM m ⋅=≠ DM BFC 设平面的法向量为，，MBD ()1,,n x y z = ()2,2,0DB =-则，取，可得， 11220313222n DB x y n DM x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩3x =()13,3,2n = 易知平面的一个法向量为，ABCD ()20,0,1n =121212cos,n nn nn n⋅<>===⋅所以，平面与平面的夹角不是，D错；MBD ABCDπ4对于BC选项，当时，，12λ=()1,1,1M，，，()1,1,0FM=-()2,2,0AC=()0,0,2AE=所以，，，所以，，，220FM AC⋅=-=FM AE⋅=FM AC⊥FM AE⊥又因为，、平面，平面，B对，AC AE A⋂=AC AE⊂EAC FM∴⊥EAC点到平面的距离为，C对.M BCF1FM mdm⋅==故选：BC.11. 2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口，并实现首次太空会师．我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点．当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，则彗星与地球的60︒最短距离可能为（单位：千万公里）（）A. B. C. 1 D. 31312【答案】CD【解析】【分析】不妨假设该抛物线开口向右，可设该抛物线的方程为，彗星离地()220y px p=>球4千万公里时假设为A点，作轴于，分在的左侧和右侧进行讨论，即可AB x⊥B B F求出最短距离【详解】不妨假设该抛物线开口向右，如图所示，可设该抛物线的方程为()220y px p=>，地球即焦点坐标为，设彗星的坐标为，,02pF⎛⎫⎪⎝⎭()()000,0x y x≥当彗星离地球4千万公里时，设彗星此时处于A 点，即， 4AF =作轴于，则， AB x ⊥B 60AFB ∠=︒当在的右侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛+ ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭+2p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00112px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为1千万公里， 当在的左侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛- ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭6p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00332px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里， 故选：CD12. 大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙．譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关．在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法{}n a 来定义：，则（）()12211,1,N n n n a a a a a n *++===+∈A. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=B. 12320202022a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=D. 132420192021202020221220212022111111a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++=-【答案】ACD 【解析】【分析】用累加法判断选项AB ，对于C ，只需证明即可,22221231n n n a a a a a a +++++= 用数学归纳法证明;对于D ，得到，即可判断2112122111n nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-【详解】对于A ，由，可得，则，21n n n a a a ++=+12n n n a a a ++=-342a a a =-，，564a a a =-786,,a a a =- 202120222020a a a =-将上式累加得，又，则有223570212022a a a a a a ++⋅⋅=-⋅+121a a ==.故A 正确；1320212022a a a a ++⋅⋅⋅+=对于B ，由，可得，， 21n n n a a a ++=+321a a a =+432,,a a a =+ 202220212020a a a =+将上式累加得，又，则()123202020222a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+21a =，故B 错误；123202020221a a a a a +++⋅⋅⋅=-+对于C ，有成立,用数学归纳法证明如下: 22221231n n n a a a a a a +++++= ①当时,,满足规律,1n =21121a a a ==⋅②假设当时满足成立,n k =22221231k k k a a a a a a +++++= 当时，则1n k =+222222123111k k k k k a a a a a a a a ++++++++=+ ()11k k k a a a ++=+成立，满足规律,12k k a a ++=故，令，则有22221231n n n a a a a a a +++++= 2021n =成立，故C 正确;2222123202*********a a a a a a ++++=对于D ，由可得，21n n n a a a ++=+2221121111n n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-所以132420192021202020221111a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++，故D 正确 223334202120212022122020111111a a a a a a a a a a a a =-+-++- 122021202211a a a a =-故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 写出双曲线的一条渐近线方程__________．22:14y C x -=【答案】（或） 2y x =2y x =-【解析】【分析】由双曲线的性质求解即可.【详解】由题意可得，，则双曲线的渐近线方程为1,2a b ==22:14y C x -=.2by x x a=±=±故答案为：（或）2y x =2y x =-14. 正方体中，E 为线段的中点，则直线与平面所成角1111ABCD A BC D -1BB 1C E11A D B 的正弦值为__________．【解析】【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标D 1,,DA DC DD ,,x y z 系，如图，设正方体的棱长为2，则;()()()()()1112,2,0,2,0,2,0,0,2,2,2,1,0,2,2B A D E C ；()()()11112,0,1,0,2,2,2,0,0EC BA D A =-=-=设平面的一个法向量为，则，，11A D B (),,n x y z = 11100n D A n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20220x z y =⎧⎨-=⎩A 令，则.1y =()0,1,1n =设直线与平面所成角为，则. 1C E 11A D Bθ11sin n EC n EC θ⋅===15. 在平面上给定相异的两点A ，B ，设点P 与A ，B 在同一平面上，满足，当||||PA PB λ=且时，点P 的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在中，0λ>1λ≠PAD A ，边中点为，则的最大值为__________．||||,(3,0)PA PD A =-PD (3,0)B ∠PAB 【答案】 π6【解析】【分析】设，可得，利用可得(),P x y ()6,D x y --||||PA PD =，结合图象即可得到与该圆相切时，最大()()225160x y y -+=≠PA ∠PAB 【详解】设，由边中点为可得，(),P x y PD (3,0)B ()6,D x y --因为，整理可得||||PA PD==，()()225160x y y -+=≠所以的轨迹是圆心为，半径为4的圆上（排除轴上的点）， P ()5,0Qx 则当与该圆相切时，最大，， PA ∠PAB 1tan 2PQ PAB AQ∠==因为所以 π0,2PAB ∠<<π,6PAB ∠=故答案为：π616. 平面上一系列点，其中()()()111222,,,,,,,n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11(1,2),0n n A y y +>>，已知在曲线上，圆与y 轴相切，且圆与圆n A 24y x =()()222:n n n n A x x y y r -+-=n A 外切，则的坐标为__________；记，则数列的前6项和为1n A +3A 1n n n b y y +={}n b __________． 【答案】 ①. ②. 12,93⎛⎫⎪⎝⎭247【解析】【分析】由圆与y 轴相切得出圆的半径为，由圆与圆外切，得出n A n A n x n A 1n A +，进而由递推公式结合求解即可.()112n n n n y y y y ++=-12y =【详解】因为圆与y 轴相切，所以圆的半径为， n A n A n x 又圆与圆.n A 1n A +1n n x x +=+两边平方并整理得，结合， ()2114n n n n y y x x ++-=22114444n n n n y y x x ++⋅=⨯⨯，得， 10n n y y +>>()112n n n n y y y y ++=-122nn ny y y +=+即，，以此类推 121212y y y ==+323y =727y =因为，所以，故. 323y =319x =312,93A ⎛⎫⎪⎝⎭数列的前6项和为{}n b ()()()()()()1223344556672y y y y y y y y y y y y -+-+-+-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()177224y y ==-故答案为：；. 12,93⎛⎫ ⎪⎝⎭247四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点xOy OABC ,3COA C π∠=D 为的中点，的外接圆为圆M ．AB OAC A（1）求圆M 的方程；（2）求直线被圆M 所截得的弦长．CD【答案】（1） 224(1)3x y ⎛-+= ⎝（2【解析】【分析】（1）由已知可得为正三角形，可求出圆心坐标和半径得求圆M 的方程； OAC A （2）根据相应点的坐标，得到直线CD 的方程，求圆心到直线距离，利用几何法求弦长. 【小问1详解】（1）因为， ，所以为正三角形， OA OC =π3COA ∠=OAC A由，得， 2OA OC ===(20)A ，所以外接圆圆心为 ，又半径， OAC A M ⎛ ⎝R MO ==所以圆M 的方程为224(1)3x y ⎛-+-= ⎝【小问2详解】由题意得 ， ，B 52D ⎛⎝直线CD 的斜率，52k ==直线CD 方程为即，1)y x =-40x +-=M 到CD 的距离为，1d 所以CD 被圆M 截得的弦长为. ==18. 已知等比数列的各项均为正数，且． {}n a 2123264,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和． 3log n n n b a a =+{}n b 【答案】（1）13n n a -=（2）()21312nn n +--【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，求出首项和公比，利用通项公式可得答案； （2）先求出的通项公式，利用分组求和法可求和. n b 【小问1详解】设正项等比数列的公比为，因为，{}n a q 2123264,9a a a a a +==所以，解得，所以. 1124261149a a q a q a q +=⎧⎨=⎩113a q =⎧⎨=⎩1113n n n a a q --==【小问2详解】 由（1）可得，设数列的前n 项和为，131n n b n -=+-{}n b n S则()()21121333011n n n S b b b n -=+++=++++++++- . ()()21131311322n n n n n n --=+=+---19. 已知点，点B 为直线上的动点，过点B 作直线的垂线l ，且线段(0,1)F 1y =-1y =-的中垂线与l 交于点P ．FB （1）求点P 的轨迹的方程；Γ（2）设与x 轴交于点M ，直线与交于点G （异于P ），求四边形面积的FB PF ΓOMFG 最小值．【答案】（1） 24x y =（2【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求解轨迹方程；（2）设出直线，联立方程，得出，用表示出四边形的面积，结合基124x x =-1x OMFG 本不等式求解最值. 【小问1详解】由题意点到直线的距离与到点的距离相等，所以点P 的轨迹是以P 1y =-(0,1)F (0,1)F 为焦点，以直线为准线的抛物线， 1y =-所以方程为. 24x y =【小问2详解】设直线的方程为，，则.PG 1y kx =+1122(,),(,)P x y G x y ()1,1B x -如图，设与轴的交点为，则易知为的中位线，所以. 1y =-y N OM FNB A 1,02xM ⎛⎫⎪⎝⎭联立，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩A 2440x kx --=12124,4x x k x x +==-不妨设，则， 1>0x 214x x =-四边形面积为OMFG111221111142222222x x x S OF x OF x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当.1x =OMFG 20. 世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美．譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．在中，．将绕着旋转到的位ABC A2,120AB BC ABC ==∠=︒ABC A BC DBC △置，如图所示．（1）求证：；BC AD ⊥（2）当三棱锥的体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值． D ABC-ABD BDC 【答案】（1）证明见解析 （2 【解析】【分析】（1）做辅助线，先证明线面垂直，利用线面垂直证明线线垂直；（2）根据三棱锥的体积最大，确定平面的垂直关系，利用空间向量求解平面的夹角. 【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,CE BE 由题意可知，所以； ,AC DC AB DB ==,CE AD BE AD ⊥⊥因为平面，所以平面； ,,CE BE E CE BE ⋂=⊂BCE AD ⊥BCE 因为平面，所以. BC ⊂BCE BC AD ⊥【小问2详解】由题意可知三棱锥的体积最大时，平面平面； D ABC -DBC ⊥ABC 在平面内作出，且与的延长线交于点，连接； DBC DO BC ⊥CB O OA 因为平面平面，平面平面，， DBC ⊥ABC DBC ABC BC =DO BC ⊥所以平面；根据旋转图形的特点可知，两两垂直， DO ⊥ABC ,,OD OA OC 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， O ,,OA OC OD ,,x y z因为，所以；2,120AB BC ABC ==∠=︒1OA OD OB ===；())(()0,1,0,,,0,3,0B AD C ，)(1,0,0,BA BD =-=-设平面的一个法向量为，则，， ABD (),,n x y z = 00n BA n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩y y -=-=令；y =()n =r易知平面的一个法向量为,BDC )OA =设平面和平面的夹角为，则ABD BDC θcosOA n OA nθ⋅===所以平面和平面. ABD BDC21. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为千万元，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额212n +多千万元．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）分别求甲、乙超市第n 年销售额的表达式；（2）若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？【答案】（1）甲超市第n 年销售额为，乙超市第n 年销售额为1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭（2）乙超市将被甲超市收购，至少第6年【解析】【分析】（1）设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，利用n n a n b 1n n n a S S =－-即可求出，利用累加法求出即可；n a n b （2）先解释甲超市不可能被乙超市收购，然后利用得到，通12n n b a <2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过得到，代入具体的值即可 10n n c c +->2n ≥n 【小问1详解】设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，n n a n b 假设甲超市前年总销售额为，则，n n S 212n n S +=当时，， 2n ≥()2211111222n n n n n a S S n --++=-=-=-易得不满足上式，故； 11a =1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，时，，112b n =≥，1123n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭故()()()211213212221...333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋯+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213213n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，12323n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭显然也适合，故；1n =12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【小问2详解】甲超市不可能被乙超市收购，乙超市将被甲超市收购，理由如下： ①因为，，当时，， 3n b <11a b =2n ≥23122n n a a b ≥=>所以甲超市不可能被乙超市收购；②设即，即， 12n n b a <1221334n n n ---<22130312n n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭设，2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令11221122131120312312633n n nn n n n c c ++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=-⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，解得，所以2231n⎛⎫ ⎪≤⎝⎭2n ≥1234c c c c <<>< ， 1104c =-<552132132320,342434243128c ⎛⎫=-=-=-< ⎪⎝⎭，662164164640,31272912729768c ⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭77210312c ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭所以，解得，22130312nn n c -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭6n ≥综上，至少第6年时乙超市将被甲超市收购22. 已知椭圆过点．2222:1(0)x y E a b a b +=>>（1）求E 的方程；（2）过作斜率之积为1的两条直线与，设交E 于A ，B 两点，交E 于C ，(1,0)T 1l 2l 1l 2l D 两点，的中点分别为M ，N ．探究：与的面积之比是否为定,AB CD OMN A TMN △值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）为定值，定值为2，理由见解析 【解析】【分析】（1）由题意可得写出关于的等式，即可求出E 的方程； ,,a b c （2）设直线与椭圆进行联立可得，同理可得:1,AB x my =+222,22m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭可得到直线过定点，然后利用2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()221:2,m MN x y m+=+(2,0)Q 面积公式即可 【小问1详解】由题意可得，解得，22222211a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则E 的方程 22142x y +=【小问2详解】与面积之比为定值，定值为2，理由如下：OMN A TMN △设直线（），:1,AB x my =+0m ≠()()1122,,,,A x y B x y 联立可得，， 221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222230m y my ++-=216240m ∆=+>则 12122223,,22m y y y y m m --+==++所以 122222,11,2222M M M y y m m y x my m m m m +--===+=⋅+=+++所以， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭设，同理可得 1:1CD x y m =+2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以， ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++所以直线即 ()222212:,22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212,m x y m +=+所以恒过定点，MN (2,0)Q 设点到直线的距离分别是,O T MN 12,,d d 则 112212212OMN TMN MN d OQ S d S d TQMN d ⨯====⨯A A 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
新疆高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．点关于y 轴的对称点的坐标为（ ） (2,0,22)A A ． B ． (2,0,22)-(2,0,22)-C ． D ．(2,0,22)--(2,0,22)【答案】C【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系关于坐标轴对称点的坐标意义求解作答. 【详解】点关于y 轴的对称点的坐标. (2,0,22)A (2,0,22)--故选：C2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） l (1,1,2)a =r α(2,2,4)n =rA ．//B ．C ．D ．与相交l αl α⊥l α⊂l α【答案】B【分析】根据与平行，即可判断直线和平面的位置关系.a n【详解】因为，，故可得，即//，则直线. (2,2,4)n =r (1,1,2)a =r 2n a =n a l α⊥故选：B.3．若向量，，则（ ） ()1,1,0a =()1,0,2b =- 3a b +=A B ．4C ．5D【答案】D【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可.【详解】解析：由题意，得， ()32,3,2a b +=3a b ∴+==故选：D.4．已知直线l 过、两点，则直线l 的倾斜角的大小为（ ） ()1,1A -()1,3B A ．B ．C ．D ．4π3π23π34π【答案】A【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为．l ()1,1A -()1,3B l ()31111k -==--4π故选：A ．5．如图，在斜四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若，，，则＝（ ）11A B a = 11A D b = 1A A c = BMA ．B ． 1122a b c -++ 1122a b c -+-C ．D ．1122--+ a b c 1122-+ a b c 【答案】B【分析】利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出． 【详解】因为斜四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是平行四边形， 又M 为A 1C 1，B 1D 1的交点，所以.1111111111()()222MB D B A B A D a b ==-=-所以. 11111()()222BM MB MB B B a b c a b c ⎡⎤=-=-+=--+=-+-⎢⎥⎣⎦故选：B6．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） ()3,2-310x y --=A ． B ． 22(3)(2)1x y -++=22(3)(2)1x y ++-=C ． D ．22(3)(2)10x y ++-=22(3)(2)10x y -++=【答案】D【分析】设出圆的方程，由圆心到直线距离等于半径，得到答案. 【详解】设圆的方程为， 222(3)(2)x y r -++=故r 故圆的方程为. 22(3)(2)10x y -++=故选：D7．椭圆的焦点坐标是（ ）221516x y +=A ．B ．C ．D ．()11,0±(0,()0,11±()【答案】B【分析】由已知可得，椭圆的焦点在轴上，进而求出的值，即可解出. y 2c 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，，，所以，y 25b =216a =22211c a b =-=所以椭圆的焦点坐标是.221516x y +=(0,故选：B.8．已知等比数列的首项和公比均为2，则的值为（ ） {}n a 3a A ． B ．2 C ．4 D ．82-【答案】D【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】由于等比数列的首项和公比均为2，{}n a 所以，233128a a q ===故选：D9．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） 2x =A ． B ． C ． D ．28y x =28y x =-28x y =28x y =-【答案】B【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】由于抛物线的准线方程是，2x =所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为，()220y px p =->则，所以抛物线的标准方程为. 2,282pp ==28y x =-故选：B10．已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 2n S n =2a =A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据关系解决即可.,n n a S 【详解】由题知，数列的前项和，{}n a n 2n S n =所以， 122413a S S =-=-=故选：C11．双曲线的渐近线方程是（ ）22132x y -=A ．B ． 23y x =±32y x =±C ．D ． y =y =【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为，所以22132x y -=a b ==所以渐近线方程为． b y x a =±=故选：D12．已知数列满足，且，则（ ）{}n a 211n n a a n +=++11a =4a =A ．18 B ．10 C ．8 D ．5【答案】A【分析】根据递推公式及可求出结果.1a 【详解】因为，，211n n a a n +=++11a =所以，21113a a =++=， 32418a a =++=. 439118a a =++=故选：A二、填空题13．已知，，则向量的坐标为________． ()0,2,1A ()5,2,2B -AB【答案】()5,4,1-【分析】根据空间向量的坐标表示方法即可求解. 【详解】因为，， ()0,2,1A ()5,2,2B -所以. ()()50,22,215,4,1AB =----=-故答案为：.()5,4,1-14．3与7的等差中项为___________． 【答案】5【分析】由等差中项的定义，若成等差数列，则即可求得. A G B ，，2A BG +=【详解】设3与7的等差中项为，则由等差中项的定义得. x 3752x +==故答案为：515．过点且与直线平行的直线方程为__________. ()1,2A -2310x y -+=【答案】2380.x y -+=【分析】两直线平行则它们的斜率相等，然后再将数据代入直线的点斜式方程可得.【详解】22310,,3x y k -+=∴=化简得： ()221,3y x ∴-=+2380.x y -+=故答案为：2380.x y -+=16．已知抛物线的焦点坐标为，则的值为___________. 22(0)y px p =>()2,0p 【答案】4【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得值. p 【详解】因为抛物线，22(0)y px p =>所以抛物线的焦点坐标为，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭又因为抛物线的焦点坐标为， 22(0)y px p =>()2,0所以，则. 22p=4p =故答案为：.4三、解答题17．已知，.()1,4,2a =- ()2,2,4b =-(1)若，求的值；12c b = cos ,a c <> (2)若，求实数的值.()()3ka b a b +-∥k【答案】(1) (2)13-【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【详解】（1）由已知可得，，()11,1,22c b ==-()1,4,2a =- ∴cos ,a c a c a c⋅<>====（2），，()2,42,24ka b k k k +=-+-+ ()37,2,14a b -=--∵，∴存在实数使得， ()()3ka b a b +-∥m ()3ka b m a b +=- ∴，，，联立解得.27k m -=422k m +=-2414k m -+=-13k =-18．等差数列满足a 5=14，a 7=20，其前n 项和为Sn ． {}n a (1)求数列的通项公式； {}n a (2)求该数列的前10项和． 10S 【答案】(1) 31n a n =-(2) 10155S =【分析】（1）由等差数列的通项公式求解即可； （2）由等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为，5714,20a a ==所以，11414620a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，123a d =⎧⎨=⎩所以； ()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-（2）. 101109101024531552S a d ⨯=+=⨯+⨯=19．（1）已知数列的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列的通项公式； {}n a {}n a （2）设数列的首项为a 1=1，递推公式为an=1+，写出这个数列的前5项 {}n a 11n a -(2)n ≥【答案】（1）；（2）=，. =2n a n 1=1a ，2a 2345358,,235a a a ===【分析】（1）Sn =n 2+n ，，两式相减即得解；21(2)n S n n n -=-≥（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n ，，221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得，又,=2n a n 11=2a S =所以适合.所以数列的通项公式为. =2n a n 1n ={}n a =2n a n （2）由题得=1+，. 1=1a ，2a 11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=所以数列的前5项为=，. 1=1a ，2a 2345358,,235a a a ===20．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，111ABC A B C -11ABB A 11ABB A ⊥11ACC A 分别是的中点.12,4,,AB AA D E ==11,BC A B(1)求证：平面；//DE 11ACC A (2)若侧面是正方形，求直线与平面所成角的正弦值. 11ACCA 11A C ADE 【答案】(1)详见解析；【分析】（1）取中点为，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得； AC F //DE 1A F （2）利用坐标法，求出平面的法向量，然后根据线面角的向量求法即得. ADE 【详解】（1）取中点为，连接，AC F 1,DF A F因为点分别为的中点， ,D F ,CB CA 故，， DF //AB 12DF AB =又点为的中点，且四边形为矩形， E 11A B 11ABB A 故，， 1A E //AB 112A E AB =故，， //DF 1A E 1DF A E =故四边形为平行四边形，1DFA E 则，又平面平面， //DE 1A F DE ⊄111,ACC A A F ⊂11ACC A 所以平面；//DE 11ACC A （2）因为为正方形，故可得，11ACC A 1AC AA ⊥又因为平面平面，且平面平面， 11ABB A ⊥11ACC A 11ABB A 111ACC A AA =又平面， AC ⊂11ACC A 所以平面， AC ⊥11ABB A 又平面，AB ⊂11ABB A 所以，又，，AC AB ⊥1AB AA ⊥1AC AA ⊥如图建立空间直角坐标系，则，()()()()0,0,0,2,0,1,0,4,1,4,0,0A D E C 所以，()()()112,0,1,0,4,1,4,0,0AD AE A C AC ====设平面的法向量为，则，ADE (),,n x y z =r 2040n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，则，1y =()2,1,4n =-设与平面所成角为，则11A C ADE θ111111,sin cos n A C n A C n A C θ⋅===⋅=故直线与平面11A C ADE 21．已知椭圆的中心为坐标原点O ，左右焦点分别为，，短轴长为2，离心率，过右焦1F 2F e =点的直线交椭圆于P ，Q 两点． 2F l (1)求椭圆的标准方程． (2)当直线的倾斜角为时，求的面积． l 4π1PFQ △【答案】(1)．22121x y +=(2)． 43【分析】（1）根据条件列出关于的式子，利用待定系数法求椭圆方程； ,,a b c （2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示三角形的面积.【详解】（1），解得：，∴．22222b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22121x y +=（2）倾斜角为，，14k π⇒=()21,0F ∴：，l 1y x =-()112121212PQF PF F QF F P Q S S S F F y y =+=⨯⨯+△△△P Q P Q y y y y =+=-=，得， 22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩23210y y +-=， ，44310∆=+⨯⨯>23P Q y y +=-13P Q y y ⋅=-∴． 43S ==22．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：． C 24y x =O F l 1y kx =+(1)若与只有一个公共点，求的值；l C k (2)过点作斜率为的直线交抛物线于两点，求的面积． F 2C ,A B OAB A 【答案】(1)1或0【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由或即可得解；0k =Δ0=（2）由抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理及即可得解. 121||||2OAB S OF y y =⋅-A 【详解】（1）依题意，联立，消去，得，即，214y kx y x =+⎧⎨=⎩x 2114y ky =+2440ky y -+=①当时，显然方程只有一个解，满足条件； 0k =440y -+=②当时，，解得； 0k ≠2(4)440k ∆=--⨯=1k =综上：当或时直线与抛物线只有一个交点. 1k =0k =（2）因为抛物线：，所以焦点，C 24y x =(1,0)F 所以直线方程为，设，，()2122y x x =-=-11(,)A x y 22(,)B x y 联立，消去得，所以，，2224y x y x =-⎧⎨=⎩x 2240y y --=122y y +=124y y =-所以 12||y y -===所以1211||||122OAB S OF y y =⋅-=⨯⨯=A。
最新高二(上)数学试卷 附带参考答案
最新高二（上）数学试卷一、单选题（每小题5分）1. 已知a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是（）A.a+b≥b+cB.ac>bcC.(a−b)c2≥0D.c2a−b>02. 已知正数x、y满足8x +1y=1，则x+2y的最小值是（）A.18B.16C.8D.103. 已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b3+b11＝（）A.3B.6C.7D.84. 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H5. 已知⊙M:x2+y2−2x−2y−2＝0，直线l:2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（）A.2x−y−1＝0B.2x+y−1＝0C.2x−y+1＝0D.2x+y+1＝06. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2c=√6b,C=60，则B＝（）A.45∘B.45∘或135∘C.30∘D.30∘或150∘7. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E为棱AA1的中点，则直线C1E 与平面CB1D1所成角的余弦值为（）A.√69B.5√39C.√53D.238. 方程|y|−1=√3−(x−2)2所表示的曲线的长度是()A.6πB.2√3πC.2√3π+4√3D.6π+129. 已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A.√3B.32C.1 D.√3210. 数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+...+a k+10＝215−25，则k＝（）A.2B.3C.4D.511. 在三棱锥A−SBC中，AB=√10，∠ASC=∠BSC=π4，AC＝AS，BC＝BS，若该三棱锥的体积为√153，则三棱锥S−ABC外接球的体积为（）A.πB.4√3πC.√5πD.π312. 已知椭圆C的焦点为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=1二、填空题（每小题5分）若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,则z＝x+7y的最大值为________．在△ABC中，A＝60∘，a＝3，则a+b+csin A+sin B+sin C=________．已知椭圆C:x24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，|PF1|=3,∠F1PF2=π3，则b＝________32．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，且AB＝2，∠DAB＝60∘，△PAD 是等边三角形，PB=√6,Q点是侧面PBC内的一个动点，且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是________．三、解答题已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n．如果a4=−12，a8=−4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值及其相应的n的值．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，△ABC的面积为2√3．，求△ABC的周长；（1）若A=π3（2）求sin B⋅sin C的最大值．如图，在三棱锥P−ABC中，PB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，PB＝BC＝2．（1）证明：AC⊥平面PBC；，线段PA的长．（2）若二面角B−PA−C的余弦值为√1010已知点M(−1, 0)，N(1, 0)，设△TMN的面积为S，内切圆半径为r，且S＝3r．（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知B(−2, 0)，C(2, 0)，点P是直线x＝4上的动点，直线PB与曲线W的一个交点为E．直线PC与曲线W的一个交点为F，并且P，E，F都不在坐标轴上．求证：直线EF经过定点．参考答案与试题解析最新高二（上）数学试卷一、单选题（每小题5分）1.【答案】C【考点】不等式的概念【解析】根据不等式的性质，看由a>b能否得出每个选项的不等式即可．【解答】A．∵ a与c的关系不知道，∵ 由a>b得不出a+b≥b+c，∵ 该选项错误；B．∵ c的符号不知道，∵ a>b得不出ac>bc，∵ 该选项错误；C．∵ a>b，∵ a−b>0，且c2≥0，∵ (a−b)c2≥0，∵ 该选项正确；D．∵ c2＝0时，c2a−b=0，∵ a>b得不出c2a−b>0，∵ 该选项错误．2.【答案】A【考点】基本不等式及其应用【解析】先把x+2y转化成x+2y＝(x+2y)⋅( 1m +1n)展开后利用均值不等式求得答案．【解答】∵ 8x +1y=1，∵ x+2y＝(x+2y)⋅(8x +1y)＝10+xy+16yx≥10+8＝18（当且仅当x＝4y时等号成立）答案为：18．3.【答案】D【考点】等比数列的性质等差数列的性质【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a11＝4a7，可得a72=4a7≠0，解得a7，数列{b n}是等差数列，则b3+b11＝2b7＝2a7．【解答】设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 3a 11＝4a 7，∵ a 72=4a 7≠0，解得a 7＝4， 数列{b n }是等差数列，则b 3+b 11＝2b 7＝2a 7＝8． 4.【答案】 【考点】简单空间图形的三视图 【解析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出图形中的对应点． 【解答】根据几何体的三视图转换为直观图： 如图所示：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ， 所以在侧视图中与点E 对应． 故选：A ． 5.【答案】 D【考点】 圆的切线方程 【解析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|⋅|AB|=2√|PM|2−4，说明要使|PM|⋅|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM 与直线l 垂直．写出PM 所在直线方程，与直线l 的方程联立，求得P 点坐标，然后写出以PM 为直径的圆的方程，再与圆M 的方程联立可得AB 所在直线方程． 【解答】化圆M 为(x −1)2+(y −1)2＝4， 圆心M(1, 1)，半径r ＝2．∵ S PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △PAM ＝|PA|⋅|AM|＝2|PA|=2√|PM|2−4．∵ 要使|PM|⋅|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y −1=12(x −1)，即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0 ，解得P(−1, 0)．则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．6. 【答案】 A【考点】 正弦定理 【解析】 由已知可得b =6，由正弦定理可得sin B 的值，根据大边对大角可求B 为锐角，利用特殊角的三角函数值可求B 的值． 【解答】在△ABC 中，∵ 2c =√6b,C =60，可得：b =√6， ∵ 由正弦定理bsin B=c sin C，可得：sin B =b⋅sin C c=2c=√22， ∵ b <c ，B 为锐角， ∵ B ＝45∘． 7. 【答案】 A【考点】直线与平面所成的角 【解析】建立空间直角坐标系，求出平面CB 1D 1的法向量及直线C 1E 的方向向量，利用向量公式得解． 【解答】以A 为坐标原点，AD ，AB ，AA 1分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(1, 1, 0)，B 1(0, 1, 2)，D 1(1, 0, 2)，C 1(1, 1, 2)，E(0, 0, 1)， 设平面CB 1D 1的法向量为n →=(x,y,z)，CB 1→=(−1,0,2),CD 1→=(0,−1,2)，由{n →⋅CB 1→=−x +2z =0n →⋅CD 1→=−y +2z =0 ，可取n →=(2,2,1)， 设直线C 1E 与平面CB 1D 1所成角为θ，又C 1E →=(−1,−1,−1)，则sin θ=cos <C 1E →,n →>=4+4+1⋅√3=5√39， 故cos θ=√69，即直线C 1E 与平面CB 1D 1所成角的余弦值为√69． 8.【答案】B【考点】 曲线与方程 【解析】由题意可得y ≥1或y ≤−1，曲线为两个半圆，半径均为√3，由圆的周长可得所求值．【解答】解：方程|y|−1=√3−(x −2)2，可得|y|−1≥0，即有y ≥1或y ≤−1， 即有(x −2)2+(|y|−1)2=3，作出方程|y|−1=√3−(x −2)2所表示的曲线， 可得曲线为两个半圆，半径均为√3， 可得表示曲线的长度为2√3π． 故选B . 9.【答案】 C【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC 的外接圆的半径，然后求解OO 1即可． 【解答】由题意可知图形如图：△ABC 是面积为9√34的等边三角形，可得√34AB 2=9√34，∵ AB ＝BC ＝AC ＝3， 可得：AO 1=23×√32×3=√3，球O 的表面积为16π，外接球的半径为：R ；所以4πR 2＝16π，解得R ＝2， 所以O 到平面ABC 的距离为：√4−3=1． 10. 【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】在已知数列递推式中，取m ＝1，可得a n+1a n=2，则数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式列式求解． 【解答】由a 1＝2，且a m+n ＝a m a n ， 取m ＝1，得a n+1＝a 1a n ＝2a n ， ∵a n+1a n=2，则数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则a k+1=2⋅2k =2k+1， ∵ a k+1+a k+2+...+a k+10=2k+1(1−210)1−2=211+k −2k+1=215−25，∵ k +1＝5，即k ＝4． 11. 【答案】 B【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算 球内接多面体【解析】设SC 的中点为O ，AB 的中点为D ，连接OA 、OB 、OD ，由已知可得O 为三棱锥三棱锥S −ABC 外接球的球心，由三棱锥的体积列式求出三棱锥S −ABC 外接球的半径，代入球的体积公式得答案． 【解答】 如图，设SC 的中点为O ，AB 的中点为D ，连接OA 、OB 、OD ， ∵ ∠ASC =∠BSC =π4，AC ＝AS ，BC ＝BS ，∵ ∠SAC ＝∠SBC ＝90∘，则OA ＝OB ＝OC ＝OS ，则O 为三棱锥三棱锥S −ABC 外接球的球心，设半径为R ，又OD ⊥AB ，且AB =√10，∵ AD ＝DB =√102，OD =√R 2−52．则S △OAB =12⋅AB ⋅OD =12√10R 2−25又由SC ⊥OA ，SC ⊥OB ，且OA ∩OB ＝O ，可得SC ⊥平面OAB ， ∵ V A−SBC =13⋅12√10R 2−25⋅2R =√153，解得R =√3．∵ 三棱锥S −ABC 外接球的体积为4π3⋅(√3)3=4√3π． 12.【答案】B【考点】椭圆的标准方程 椭圆的定义 余弦定理 【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a =√3，b =√2，可得椭圆的方程． 【解答】解：∵ |AF 2|=2|BF 2|，∵ |AB|=3|BF 2|， 又|AB|=|BF 1|，∵ |BF 1|=3|BF 2|， 又|BF 1|+|BF 2|=2a ，∵ |BF 2|=a2，∵ |AF 2|=a ，|BF 1|=32a ，∵ |AF 1|+|AF 2|=2a ，∵ |AF 1|=a ， ∵ |AF 1|=|AF 2|，∵ A 在y 轴上． 在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O =1a ， 在△BF 1F 2中，由余弦定理可得 cos ∠BF 2F 1=4+(a 2)2−(32a)22×2×a2，根据cos ∠AF 2O +cos ∠BF 2F 1=0， 可得1a +4−2a 22a=0，解得a 2=3，∵ a =√3，b 2=a 2−c 2=3−1=2． 所以椭圆C 的方程为：x 23+y 22=1．故选B .二、填空题（每小题5分）【答案】 1【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【解答】x ，y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0, ，不等式组表示的平面区域如图所示，由{2x +y −2=0x −y −1=0 ，可得A(1, 0)时，目标函数z ＝x +7y ，可得y =−17x +17z ，当直线y =−17x +17z 过点A 时，在y 轴上截距最大， 此时z 取得最大值：1+7×0＝1．【答案】2√3【考点】同角三角函数间的基本关系 正弦定理【解析】由A 的度数求出sin A 的值，利用正弦定理表示出比例式，再由a 的值及求出的sin A ，算出比例式的比值，根据比例的性质即可得到所求式子的值． 【解答】由A ＝60∘，a ＝3，根据正弦定理得：asin A =bsin B =csin C =3sin 60=2√3， 则a+b+csin A+sin B+sin C =2√3．32【考点】 椭圆的离心率 【解析】通过已知条件求出|PF 2|，利用余弦定理，求解c ，然后求出b 即可． 【解答】∵ |PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|=3,∠F 1PF 2=π3，|PF 2|＝1， ∵ 4c 2＝9+1−2×3×1×12=7∵ b =√a 2−c 2=32． 【答案】2√7【考点】点、线、面间的距离计算 轨迹方程【解析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出Q 的轨迹，利用转化思想，求解距离即可． 【解答】连接AC ，BD 交点为：O ，取AD 的中点E ，BC 的中点H ，连接EH ，PH ，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，且AB ＝2，∠DAB ＝60∘，△PAD 是等边三角形，PA ＝PD ＝AD ＝AB ＝2，PE =√3，BE =√3，所以PE ⊥BE ，∵ PB =√6,Q 点是侧面PBC 内的一个动点，且满足DQ ⊥AC ，AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BDG ，过O 作OG ⊥平面ABCD ，交PH 于PH 的中点，G 在PH 的中点与B 的连线上，侧面PBC 中，PH =√7，BH ＝1，PB =√6，∵ PB ⊥BC ，∵ PC =√10，BF 的方程：y =√6x ，PC 的方程为：x2+√6=1，联立可得F(23, 2√63) 所以BF =(23)(2√63)=2√73． 三、解答题 【答案】解：(1)设公差为d ，由题意可得{a 1+3d =−12，a 1+7d =−4，解得{d =2，a 1=−18.故可得a n =a 1+(n −1)d =2n −20.(2)由(1)可知数列{a n }的通项公式a n =2n −20， 令a n =2n −20≥0，解得n ≥10，故数列{a n }的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数， 故当n =9或n =10时，S n 取得最小值， 故S 9=S 10=10a 1+10×92d =−180+90=−90.等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 数列的函数特性【解析】（1）可设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4=−12，a 8=−4，可解得其首项与公差，从而可求得数列{a n }的通项公式；（2）由（1）可得数列{a n }的通项公式a n =2n −20，可得：数列{a n }的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数，即可求得答案． 【解答】解：(1)设公差为d ，由题意可得{a 1+3d =−12，a 1+7d =−4，解得{d =2，a 1=−18.故可得a n =a 1+(n −1)d =2n −20.(2)由(1)可知数列{a n }的通项公式a n =2n −20， 令a n =2n −20≥0，解得n ≥10，故数列{a n }的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数， 故当n =9或n =10时，S n 取得最小值， 故S 9=S 10=10a 1+10×92d =−180+90=−90.【答案】因为S △ABC =12bc sin A =√34bc =2√3，所以bc ＝8，由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，所以(b +c)2＝a 2+3bc ，又∵ a ＝4，bc ＝8，∵ (b +c)2＝40，即b +c ＝2√10， ∵ △ABC 的周长为4+2√10； 由正弦定理得：a sin A =b sin B=c sin C，∵ sin B ⋅sin C =bcsin 2A a ，又S △ABC =12bc sin A =2√3，a ＝4， ∵ sin B ⋅sin C =√3sin A4≤√34，当sin A ＝1，即A =π2时等号成立，此时b 2+c 2＝a 2＝16，bc ＝4√3，即b ＝2√3，c ＝2或b ＝2，c ＝2√3， 故A =π2时，sin B ⋅sin C 取得最大值√34． 【考点】 余弦定理 正弦定理（1）利用三角形面积公式得到bc ＝8，再利用余弦定理可求出b +c 的值，从而求出△ABC 的周长；（2）由正弦定理得sin B ⋅sin C =bcsin 2A a 2，再结合S △ABC ＝2√3，a ＝4，可得sin B ⋅sin C =√3sin A 4≤√34，当sin A ＝1，即A =π2时等号成立．【解答】因为S △ABC =12bc sin A =√34bc =2√3，所以bc ＝8，由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，所以(b +c)2＝a 2+3bc ，又∵ a ＝4，bc ＝8，∵ (b +c)2＝40，即b +c ＝2√10， ∵ △ABC 的周长为4+2√10； 由正弦定理得：a sin A=b sin B=c sin C，∵ sin B ⋅sin C =bcsin 2A a 2，又S △ABC =12bc sin A =2√3，a ＝4， ∵ sin B ⋅sin C =√3sin A 4≤√34，当sin A ＝1，即A =π2时等号成立，此时b 2+c 2＝a 2＝16，bc ＝4√3，即b ＝2√3，c ＝2或b ＝2，c ＝2√3， 故A =π2时，sin B ⋅sin C 取得最大值√34．【答案】证明：∵ PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PBC ，∵ 平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，在平面ABC 内，过A 作AE ⊥BC ，则AE ⊥平面PBC ． ∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，在平面PAC 内，过A 作AF ⊥PC ，则AF ⊥平面PBC ，则AE 与AF 重合为AC ． ∵ AC ⊥平面PBC ；由PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PAB ，得平面PAB ⊥平面ABC ，又平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，在平面ABC 内，过C 作CG ⊥AB ，则CG ⊥平面PAB ， ∵ CG ⊥PA ，过G 作GH ⊥PA ，垂足为H ，连接CH ． 则CH ⊥PA ．∵ ∠CHG 为二面角B −PA −C 的平面角，可得cos ∠CHG =√1010，则sin ∠CHG =3√1010． 设AC ＝x ，则AB =2+4，CG =√x 2+4， PC =2√2，则PA =√8+x 2，CH =√2x √8+x 2，则Rt △CGH 中，sin ∠CHG =CGCH =2xx 2+42√2x √2=3√1010． 解得x ＝1．∵ PA =√8+12=3．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）由已知可得平面PBC ⊥平面ABC ，在平面ABC 内，过A 作AE ⊥BC ，可得AE ⊥平面PBC ．同理在平面PAC 内，过A 作AF ⊥PC ，则AF ⊥平面PBC ，得到AE 与AF 重合为AC ．可得AC ⊥平面PBC ；（2）由PB ⊥平面ABC ，得平面PAB ⊥平面ABC ，在平面ABC 内，过C 作CG ⊥AB ，则CG ⊥平面PAB ，得CG ⊥PA ，过G 作GH ⊥PA ，垂足为H ，连接CH ，则CH ⊥PA ，可得∠CHG 为二面角B −PA −C 的平面角，即cos ∠CHG =√1010，设AC ＝x ，求解三角形得到x ，进一步求得PA ． 【解答】证明：∵ PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PBC ，∵ 平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，在平面ABC 内，过A 作AE ⊥BC ，则AE ⊥平面PBC ． ∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，在平面PAC 内，过A 作AF ⊥PC ，则AF ⊥平面PBC ，则AE 与AF 重合为AC ． ∵ AC ⊥平面PBC ；由PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PAB ，得平面PAB ⊥平面ABC ，又平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，在平面ABC 内，过C 作CG ⊥AB ，则CG ⊥平面PAB ， ∵ CG ⊥PA ，过G 作GH ⊥PA ，垂足为H ，连接CH ． 则CH ⊥PA ．∵ ∠CHG 为二面角B −PA −C 的平面角，可得cos ∠CHG =√1010，则sin ∠CHG =3√1010． 设AC ＝x ，则AB =√x 2+4，CG =√x 2+4， PC =2√2，则PA =√8+x 2，CH =√2x √8+x 2，则Rt △CGH 中，sin ∠CHG =CG CH=√x 2+42√2x √2=3√1010． 解得x ＝1．∵ PA =√8+12=3．【答案】设△TMN 的周长为l ，则由S ＝3r ，得12lr =3r ，即l ＝6所以|TM|+|TN|＝4，即T 在以M ，N 为焦点，以4为长轴长的椭圆上．设该椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 则a ＝2，b 2＝a 2−1＝3． 所以点T 的轨迹W 的方程为x 24+y 23=1；证明：设P(4, t)，E(x 2, y 2)，F(x 2, y 2)，则直线PB 的方程为y =t 6(x +2){x 24+y 23=1y =t 6(x +2)⇒(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108=0，−2x 2=4t 2−10827+t 2⇒x 1=54−2t 227+t 2y 1=t6(x 1+2)=t 6(54−2t 227+t 2+2)=18t 27+t2，即E(54−2t 227+t 2,18t 27+t 2)直线PC 的方程为y =t2(x −2){x 24+y 23=1y =t 2(x 2−2)⇒(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12=0，2x 2=4t 2−123+t 2⇒x 2=2t 2−63+t 2y 2=t2(x 2−2)=t 2(2t 2−63+t 2−2)=−6t 3+t2，即F(2t 2−63+t 2,−6t 3+t 2)设直线EF 与x 轴交点为K(m, 0)，则KE →,KF →共线． 又KE →=(54−2t 227+t 2−m ⋅1827+t2),KF →=(2t 2−63+t 2−m,−63+t 2)则(54−2t 227+t 2−m)⋅−6t3+t 2=(2t 2−63+t 2−m)⋅18t27+t 2 化简得m ＝1．所以直线EF 经过定点(1, 0)． 【考点】 轨迹方程 【解析】（1）根据已知条件转化到椭圆的定义即可求解；（2）求出E ，F 的坐标以及向量的坐标结合向量共线即可得到结论 【解答】设△TMN 的周长为l ，则由S ＝3r ，得12lr =3r ，即l ＝6所以|TM|+|TN|＝4，即T 在以M ，N 为焦点，以4为长轴长的椭圆上．设该椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)则a ＝2，b 2＝a 2−1＝3． 所以点T 的轨迹W 的方程为x 24+y 23=1；证明：设P(4, t)，E(x 2, y 2)，F(x 2, y 2)，则直线PB 的方程为y =t 6(x +2){x 24+y 23=1y =t6(x +2)⇒(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108=0，−2x 2=4t 2−10827+t 2⇒x 1=54−2t 227+t 2y 1=t6(x 1+2)=t 6(54−2t 227+t 2+2)=18t27+t 2，即E(54−2t 227+t 2,18t27+t 2)直线PC 的方程为y =t2(x −2){x 24+y 23=1y =t 2(x 2−2)⇒(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12=0，2x 2=4t 2−123+t 2⇒x 2=2t 2−63+t 2y 2=t2(x 2−2)=t 2(2t 2−63+t 2−2)=−6t 3+t 2，即F(2t 2−63+t 2,−6t 3+t 2)设直线EF 与x 轴交点为K(m, 0)，则KE →,KF →共线． 又KE →=(54−2t 227+t 2−m ⋅1827+t 2),KF →=(2t 2−63+t 2−m,−63+t 2) 则(54−2t 227+t 2−m)⋅−6t3+t 2=(2t 2−63+t 2−m)⋅18t27+t 2 化简得m ＝1．所以直线EF 经过定点(1, 0)．。
辽宁省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，是椭圆的两个焦点，P 是C 上一点（端点除外），则的周长为1F 2F 22:1916x y C +=12PF F △（ ）A ．14B ．16C ．D ．8+6+【答案】C【分析】根据椭圆的定义和标准方程求得正确答案.【详解】由题可知，的周长为． 4a =c ==12PF F △228a c +=+故选：C2．已知，则（ ）14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭:(1)P X ==A ． B ． C ．D ．8813281427827【答案】B【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.【详解】因为，所以． 14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:3141232(1)C 3381P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭故选：B3．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向{},,a b c 2m a b =+ n a c =-量是（ ）A ．B ．C ．D ．22a b c +- 4a b c ++ b c - 22a b c -- 【答案】C【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.【详解】因为， 22(2)()a b c a b a c +-=++-，42(2)()a b c a b a c ++=+-- ，222()a b c a c --=-(2)a b -+ 所以向量，，均与向量，共面． 22a b c +- 4a b c ++ 22a b c --m n 故选：C4．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ）2212516x y +=32e =A ．B ．C ．D ．22154x y -=22145x y -=221413x y -=22149x y -=【答案】B【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方程.【详解】椭圆的焦点为．2212516x y +=(3,0)±因为所求双曲线的离心率， 32e =所以其实半轴长为2， =故所求双曲线的方程为．22145x y -=故选：B5．已知抛物线C ：的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，，则的最小值216x y =()2,5Q PF PQ +为（ ） A ．6 B ．8C ．7D ．9【答案】D【分析】利用抛物线定义将焦半价转化成到准线距离，再根据三点共线时满足题意即可求得结PF 果.【详解】记抛物线C 的准线为，作于T ，如下图所示：:4l y =-PT l ⊥抛物线定义可知，，且，所以 8p =PF PT =PF PQ PT PQ QT +=+≥当P ，Q ，T 三点共线时，有最小值， PF PQ +最小值为． 592p+=故选：D6．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（ ） A ．728种 B ．848种C ．918种D ．1008种【答案】D【分析】根据甲或乙在中间进行分类讨论，结合排列与组合的知识求得正确答案.【详解】若甲站最中间，则不同的站法有种；1545C A 480=若乙站最中间，甲和丙站在乙的一侧，则不同的站法有种；124224C A A 96=若乙站最中间，甲和丙站在乙的两侧，则不同的站法有种．11243324C C A A 432=故总的站法有1008种． 故选：D7．在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆，从一个焦点发出的一条光线经2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 椭圆内壁上一点反射后经过另一个焦点，若，且，则椭圆的离心率C P 2F 1260F PF ∠=︒132PF a =C 为（ ）A ．BCD 12【答案】D【分析】根据椭圆的定义得，，进而结合余弦定理得，再求离心率212PF a =132PF a =22716c a =即可.【详解】解：由椭圆的定义得：， 122PF PF a +=因为，所以． 132PF a =212PF a =所以，在中，由余弦定理得，12PF F △2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒所以，整理得，22229131742442224a a c a a a =+-⨯⨯⨯=22716c a =所以，． c =e =故选：D8．在某城市中，A ，B 两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A 地出发去往B 地，途经C 地，则不同的路线有（ ）A ．105种B ．210种C ．260种D ．315种【答案】A【分析】根据分步乘法计数原理以及组合数的计算求得正确答案.【详解】由题可知，不同的路线有种．1337C C 105=故选：A二、多选题9．甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则1213（ ）A ．恰好有1人命中的概率为B ．恰好有1人命中的概率为 1223C ．至少有1人命中的概率为D ．至少有1人命中的概率为2356【答案】AC【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】由题可知，恰有1人命中的概率为，A 正确，B 不正确．1211123232⨯+⨯=2人均未命中的概率为，故至少有1人命中的概率为，C 正确，D 不正确．121233⨯=23故选：AC10．已知圆，直线，下列结论正确的是（ ） 22:60C x y x ++=:510l kx y k -++=A ．直线l 恒过点 (5,1)-B ．若直线l 平分圆C ，则 12k =C ．圆心C 到直线l 的距离的取值范围为⎡⎣D ．若直线l 与圆C 交于点A ，B ，则面积的最大值为ABC :92【答案】AD【分析】根据直线过定点、直线和圆的位置关系、圆的几何性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，令，得，即直线l 恒过点，A 正确． 1(5)y k x -=+5x =-1y =(5,1)-圆C 化为标准方程得，所以圆心． 22(3)9x y ++=(3,0)C -因为直线l 平分圆C ，所以直线l 过圆C 的圆心，所以，解得，B 错误．3510k k -++=12k =-圆心C 到直线l ，最小值为0． =因为直线l 不能表示，所以圆心C 到直线l 的距离不能为2， 5x =-故圆心C 到直线l 的距离的取值范围为，C 错误．([0,2)⋃设圆心C 到直线l 的距离为d ，的面积为ABC :12d ⨯⨯=当时，面积的最大值为，D 正确． 292d =ABC :92故选：AD11．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则（ ） X 1 234P 2p 23p 212p p -+213p p -+ A ． B ． C ． D ． 12p =13p =5(2)9P X >=56()81D X =【答案】BCD【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案. 【详解】由题意可知，，解得或．26521p p -+=12p =13p =当时，，故，A 不正确，B 正确.12p =311(4)10244P X ==-+=-<13p =，C 正确． 415(2)(3)(4)999P X P X P X >==+==+=， ()()222223()63124139E X p p p p p p =++-++-+=则．D 正确．222212332342312356()12349999999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BCD12．如图，平行六面体的体积为，，，1111ABCD A B C D -11A AB A AD ∠=∠16AA =4AB AD ==，且，M ，N ，P 分别为的中点，则（ ）3DAB π∠=111,,AB CC C DA ．与MC APB ．平面 MP :BDNC ．1DN AC ⊥D ．P 到平面MNC 【答案】AD【分析】先求出底面积，再根据棱柱的体积求出高，依题意可得在底面的投影在上，设出投1A AC 影O ，证明投影O 为的中点，即可以O 为坐标原点，的方向分别为x ，y ，z 轴的正AC 1,,OA OB OA方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量对选项一一验证即可. 【详解】因为，且，4AB AD ==3DAB π∠=所以四边形的面积为．ABCD 44sin3π⨯⨯=因为平行六面体的体积为 1111ABCD A B C D -所以平行六面体 1111ABCD A B C D -=因为， 11A AB A AD ∠=∠所以在底面的投影在上． 1A AC 设在底面的投影为O ，1A则， 1AO =因为， 16AA =所以 OA ===因为，2AC OA ==所以O 为的中点．AC 以O 为坐标原点，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标1,,OA OB OA系，则，，，，，，，A (C -(0,2,0)B (0,2,0)D-M 1A (N -．(P --则，，，，(MN =--(AP =--1(AC =--(MP =--，，，．(DN =-(1,0)MC =-- (0,4,0)DB =(BN =-- 因为，cos ,MC AP == 所以与，故A 正确． MC AP 设平面的法向量为， BDN ()111,,mx y z =则， 11112040BN m y DB m y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩令，则．1x =m =因为，0MP m ⋅=-++30=≠所以与平面不平行，故B 错误．MPBDN 因为，1((0(60DN AC ⋅=-⨯-++-=≠所以与不垂直，故C 错误．DN 1AC设平面的法向量为，MNC ()222,,xn y z =则，2222200n MN y n MC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令．2x =n =-因为，||||MP n n ⋅==所以P 到平面D 正确． MNC 综上所述：选项AD 正确， 故选：AD.三、填空题13．若直线与垂直，则______． 1:20l x my -+=2:3(2)10l x m y ++-=m =【答案】1或##或13-3-【分析】根据两直线垂直列方程，由此求得的值.m 【详解】因为，所以，解得或． 12l l ⊥3(2)0m m -+=1m =3-故答案为：1或3-14．某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表． 年龄区间 [)0,10 [)10,15 [)15,20 [)20,25[)25,30赋值变量x 1 2 3 4 5 人群数量y 2378a若由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为，则______． 2.10.3y x =-=a 【答案】10【分析】根据回归直线方程过样本中心点求得正确答案. 【详解】由题意可知，，1234535x ++++==23782055a ay +++++==则，解得． 20 2.130.35a+=⨯-10a =故答案为：10四、双空题15．已知，则_____，______．（用5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-0a =13535222a a a ++=数字作答） 【答案】 32144132【分析】利用赋值法求得正确答案.【详解】令，则．1x =50232a ==令，则． 32x =512502552222a a a a ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭令，则，12x =5125025322a a a a a a ⎛⎫=-+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭则， 315351441216222a a a ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭则． 13535144122232a a a ++=故答案为：；32144132五、填空题16．已知双曲线的左焦点为，过F 的直线l 与C 的左支交于点A ，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(3,0)F -与C 的其中一条渐近线在第一象限交于点B ，且，（是坐标原点），则2AB FA =||3OB =O =a ______． 【分析】根据已知条件求得点坐标并代入双曲线的方程，化简求得的值. A a 【详解】作轴，垂足为，轴，垂足为．1AA x ⊥1A 1BB x ⊥1B 因为，，， ||3OB c ==OB bk a=222c a b =+所以，．因为， 1OB a =1BB b =2AB FA =所以， 111113AA A F BB B F ==解得，，则．113AA b =11()3A F a c =+11(2),33A a c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，整理得，解得222211(2)991a cb a b --=1(23)c a =-a =【点睛】关键点睛：求双曲线标准方程中的，可考虑利用已知条件列等量关系式，通过等量关,a b 系式来求得的值，在解题过程中，要注意结合图象，利用数形结合的数学思想方法来进行求解.,a b六、解答题17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表． 经常锻炼 不经常锻炼 总计 男 35 女 25 总计100已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为． 12(1)完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．附：，其中，．22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P k αχ=≥0.1 0.05 0.01 0.001k2.7063.841 6.635 10.828【答案】(1)列联表见解析(2)有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关【分析】（1）先计算出经常锻炼的学生人数，进而补全列联表.22⨯（2）计算的值，由此作出判断.2χ【详解】（1）设这100名学生中经常锻炼的学生有x 人，则，解得． 11002x =50x =列联表完成如下．经常锻炼 不经常锻炼 总计 男 35 25 60 女15 25 40 总计50 50 100 （2）由（1）可知，， 22100(35251525) 4.16760405050χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为，所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．4.167 2.706>18．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线的焦点，是抛物线C 上一2:2(0)C y px p =>()00,M x y 点，，且． ||5MF =4tan 3OFM ∠=(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且线段的中点坐标为，求直线l 的方程．AB (6,8)【答案】(1)216y x =(2)2y x =+【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得，从而求得抛物线的方程.p C （2）设，，利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.()11,A x y ()22,B x y l l 【详解】（1）因为是抛物线C 上一点，，且， ()00,M x y ||5MF =4tan 3OFM ∠=所以 200000252432y px p x y p x ⎧⎪⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪-⎩根据对称性，不妨设点M 在第一象限，解得，00148x y p =⎧⎪=⎨⎪=⎩故抛物线C 的方程为．216y x =（2）设，，则 ()11,A x y ()22,B x y 2112221616y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得，即． ()22121216y y x x -=-12121216y y x x y y -=-+因为线段AB 的中点坐标为，所以，则，(6,8)1216y y +=12121y y x x -=-故直线l 的方程为．2y x =+19．如图，在正四棱柱中，E ，F ，G 分别是，，的中点．1111ABCDA B C D -1BB 1CC BC ．124AA AB ==(1)证明：平面DEG ；1//D F (2)求平面DEG 与平面的夹角的余弦值．11CC D D 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过构造平行四边形的方程，根据线面平行的判定定理证得平面DEG. 1//D F（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面DEG 与平面的夹角的余弦值.11CC D D 【详解】（1）连接，，．1A D 1A E 1B C 因为E ，G 分别是，的中点，所以．1BB BC 1EG B C ∥易证得四边形为平行四边形，所以，所以，11A DCB 11A D B C ∥1EG A D ∥则E ，G ，，D 四点共面，平面DEG 即平面．1A 1A DGE 连接EF ，易证得四边形为平行四边形，所以．11EFD A 11D F A E ∥因为平面DEG ，平面DEG ，所以平面DEG ．1A E ⊂1D F ⊄1D F ∥（2）以D 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， DA则，，，，．(0,0,0)D (1,2,0)G (2,2,2)E (1,2,0)DG = (2,2,2)DE = 设为平面DEG 的法向量，则 (,,)m x y z = 0,0,m DG m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以令，可得． 20,2220.x y x y z +=⎧⎨++=⎩2x =(2,1,1)m =-- 易得DA ⊥平面，所以平面的一个法向量为．11CC D D 11CC D D (2,0,0)DA =cos ,||||m DA m DA m DA ⋅〈===〉⋅ 故平面DEG 与平面．11CC D D20．已知圆C 经过，两点，且圆心C 在直线上．(3,10)A -(5,8)B -20x y +=(1)求圆C 的标准方程；(2)若P 是直线上的动点，Q 是圆C 上的动点，定点，求的最大210x y -+=(8,6)M --||||PQ PM -值．【答案】(1)22(5)(10)4x y ++-=(2)15【分析】（1）根据圆的几何性质求得圆心坐标和半径，进而求得圆的标准方程.（2）利用点关于直线对称点以及三点共线来求得的最大值.(8,6)M --210x y -+=||||PQ PM -【详解】（1）依题可设圆心C 的坐标为，(,2)a a -因为||||AC BC ==解得，5a =-则圆心C 的坐标为，圆C 的半径，(5,10)-||2r AC ==故圆C 的标准方程为．22(5)(10)4x y ++-=（2）因为，所以．||||2PQ PC ≤+||||||||2PQ PM PC PM -≤-+设点关于直线对称的点为，(8,6)M --210x y -+=()00,M x y '则， 00008621022628x y y x -+-+⎧-⨯+=⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩解得，即． 00102x y =-⎧⎨=-⎩(10,2)M -'-因为，所以，||PM PM '=||||||PC PM PC PM CM '=-≤'-当且仅当P，C ，三点共线时，等号成立．M '，所以的最大值为15．13=||||PQ PM -21．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中．求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望．【答案】(1) 511(2)分布列见解析，数学期望为10191000【分析】（1）根据条件概型的知识求得正确答案.（2）根据取出的一次性筷子的双数求得分布列，并求得数学期望.【详解】（1）设事件A 为第1次取出的是一次性筷子，事件B 为第2次取出的是非一次性筷子， 则．()(|)()P AB P A B P B =其中，， 3()523410P AB =⨯=233333()()()545550P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以． ()5(|)()11P AB P A B P B ==（2）记取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）为X ，则，0,1,2X =， 3327(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 233323332549(1)5445545551000P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 2132123147(2)54554544200P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=X 的分布列为 X0 1 2 P 27125 549100 47200X 的数学期望． 27549471019()01212510002001000E X =⨯+⨯+⨯=22．已知椭圆，C ． 2222:1(0)x y C a b a b +=>>2+(1)求C 的方程；(2)若圆的切线l 与C 交于点A ，B ，求的最大值． 2243x y +=||AB 【答案】(1) 22142x y +=【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.,a b C （2）根据直线的存在是否存在进行分类讨论，根据弦长公式求得的表达式，结合二次函数l ||AB 的性质求得的最大值．||AB【详解】（1）因为C ，所以 c a =因为C ，2+所以，解得，2a c +=2a =c 因为，所以，故C 的方程为． 222a b c =+b =22142x y +=（2）当l 的斜率不存在时，可得:l x =当，，则．:l x =AB||AB =当时，同理可得 :l x =||AB =当l 的斜率存在时，设．:l y kx m =+因为l 与圆相切，所以圆心到l2243x y +=(0,0)=即．()22413k m +=联立得． 22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214240k x kmx m +++-=设，，则，． ()11,A x y ()22,B x y 122412km x xk +=-+21222412mx x k -=+||AB=====令，2121k t +=≥则，||AB ===≤=当且仅当，即时，等号成立． 2t =212k =． ≥||AB 【点睛】利用椭圆的离心率求得椭圆的方程，关键点在于根据条件列方程，求得，是两个,a b ,a b参数，所以需要两个条件（方程）来求解.求直线和椭圆相交所得弦长，需要到弦长公式，其中的是通过联立直线方程和椭圆方程，然后利用根与系数关系来求得. 1212,x x x x。
高二数学上学期期末考试试题含解析试题 16(共15页)
【答案】
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三、解答(jiědá)题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17. 等比数列 的前 项和为 ， ， 为等差数列， ， .
〔2〕求二面角 的余弦值.
【答案】〔1〕见解析；〔2〕 .
【解析】试题分析：〔1〕由底面 为菱形，可得 ，根据直棱柱的性质可得 ，由线面垂直的断定定理可得 平面 ，从而根据面面垂直的断定定理可得平面 平面 ；〔2〕设 与 交于点 ， 与 交于点 ，以 为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得二面角 的余弦值.
〔2〕假设 ， ，求 的面积.
【答案】〔1〕 .〔2〕 .
【解析】试题分析：〔1〕利用二倍角公式和正弦函数加法定理推导出 由此能求出角A．
〔2〕由 ， 利用余弦定理求出AB=3，由此能求出△ABC的面积．
试题解析：
〔1〕因为 ，
所以 ，
那么 ，即 ，
由 为锐角三角形得 .
〔2〕在 中， ，即 ，
化简得 ，解得 〔负根舍去〕，
【答案】3
【解析】 所以根据正弦定理可得 ，故答案为 .
15. 设 满足(mǎnzú)约束条件 ，且目的函数 的最大值为16，那么 __________．
【答案】10
【解析】
作出约束条件 表示可行域，平移直线 ，由图可知，当直线 过点 时， 获得最大值为 ，故答案为 .
【方法点晴】此题主要考察可行域、含参数的约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，进步了思维的技巧、增加理解题的难度，此类问题的存在增加了探究问题的动态性和开放性，此类问题一般从目的函数的结论入手，对目的函数变化过程进展详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.
高二(上学期)期末数学试卷及答案解析
高二(上学期)期末数学试卷及答案解析（时间120分钟，满分150分）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A. B. C. D.2.设双曲线上的点到点的距离为15，则点到的距离是（）A. 7B. 23C. 7或23D. 5或233.命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（）A. 分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为（0，1）B. 开口向上，焦点为C. 开口向右，焦点为（1，0）D. 开口向右，焦点为5.已知a、b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面．下列选项中说法正确的是（）①若a∥b，b⊂α，则a∥α②若a⊥α，b⊥a，则b∥α③若a⊥α，b⊥β，a∥b则α∥β④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bA. ①②B. ③④C. ②③D. ③6.已知圆，则过点的最短弦所在直线的方程是（）A. B. C. D.7.已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.8.椭圆+=1上的点到直线（t为参数）的最大距离是（）A. 3B.C. 2D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（）A. B. 与所成的角为60°C. D. 与所成的角为60°10.已知双曲线，则下列说法正确的是（）A. 离心率的最小值为4B. 当m=2时，离心率最小C. 离心率最小时，双曲线的标准方程为D. 离心率最小时，双曲线的渐近线方程为11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B的中点，F为线段BC上的动点（不包括端点），则（）A. 对任意的F点，三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ADE的体积相等B. 对任意的F点过D，E，F三点的截面始终是梯形C. 存在点F，使得EF∥平面A1C1DD. 存在点F，使得EF⊥平面BDC112.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A. 点的坐标为B. 若直线过点，则C. 若，则的最小值为D. 若，则线段的中点到轴的距离为三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为．14.设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是．15.将边长为的正方形沿翻折成直二面角，若四点在同一个球面上，则该球的体积等于_______________.16.以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，求直线的方程.18.已知圆和点（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；（2）若，过点作圆的两条弦，且互相垂直，求的最大值。
最新高二(上)考试 数学试卷附带参考答案
由题意可知两条直线的斜率相等，求出直线 ＝ 的 的值．
【解答】
直线 ＝ 与直线 ＝ 平行，所以两条直线的斜率相等，所以 ＝ ．
3.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
先根据正弦面积公式 求出边长 的值，再由余弦定理 ＝ 即可得解．
【解答】
面积 ，∴ ＝ ．
由余弦定理知， ＝ ＝ ＝ ，
∴ ．
4.
则 ，进而解出 的取值范围．
【解答】
当 时，函数 ＝ 在 上单调递减，在 上单调递增，
的对称轴为 ，
若单调区间相同且相同区间上的单调性相同，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，且 ，
解得 ，且 ＝ ，
与 矛盾，舍
当 时，函数 ＝ 在 上单调递减，在 上单调递增，
的对称轴为 ，
若单调区间相同且相同区间上的单调性相同，
【答案】
D
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
先求出 是第三或第四象限角或为 轴负半轴上的角，即可判断．
【解答】
为第四象限角，
则 ， ，
则 ，
∴ 是第三或第四象限角或为 轴负半轴上的角，
∴ ，
5.
【答案】
D
【考点】
圆的标准方程
直线的点斜式方程
【解析】
由题意可得所求直线 经过点 ，斜率为 ，再利用点斜式求直线 的方程．
【答案】
设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ห้องสมุดไป่ตู้ ， ，
因为 ＝ ，
由正弦定理可得 ＝ ，
即为 ＝ ，
由余弦定理可得 ，
由 ，可得 ；
由题意可得 ＝ ，
（2）利用三角函数的图象与性质，即可求出函数 的单调递减区间．
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一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c 的值依次为（）A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣42．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④3．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±14．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（）A．B．C．D．05．给出下列四个命题：（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线；（2）若三个平面两两相交，则这三个平面把空间分成7部分；（3）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交、平行或异面．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D．7．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（）A．3：5 B．9：25 C．5：D．7：98．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．9．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形10．已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（）A．B．C．D．11．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（）A．B．C．D．12．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．以点A（1，4）、B（3，﹣2）为直径的两个端点的圆的方程为．14．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是．15．正四面体的内切球与外接球的体积之比．16．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为．三、解答题：（本大题共5小题，第17题8分，第18～21题每题10分．）17．过圆x2+y2﹣x+y﹣2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y﹣1=0上的圆的方程为．18．过原点O作圆x2+y2﹣8x=0的弦OA，延长OA到N，使|OA|=|AN|，求点N 的轨迹方程．19．如图：已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点．求A1F与B1E所成角的余弦值．20．圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，①若弦长，求直线AB的倾斜角；②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M、N两点（1）求实数k的取值范围；（2）求证：为定值；（3）若O为坐标原点，且，求直线l的方程．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c 的值依次为（）A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣4【考点】二元二次方程表示圆的条件．【分析】先根据方程求出用a、b和c表示的圆心坐标和圆的半径，再由题意代入对应的式子求出a、b和c的值．【解答】解：由x2+y2+2ax﹣by+c=0得，圆心坐标是（﹣a，），半径为r2=，因圆心为C（2，2），半径为2，解得a=﹣2，b=4，c=4，故选B．2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【考点】简单空间图形的三视图．【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D3．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±1【考点】点与圆的位置关系．【分析】圆（x﹣a）2+（y+a）2=4表示平面上到圆心（a，﹣a）的距离为2的所有点的集合，如果点（1，1）在圆内，则得到圆心与该点的距离小于半径，列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．【解答】解：因为点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，所以表示点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离小于2，即＜2两边平方得：（1﹣a）2+（a+1）2＜4，化简得a2＜1，解得﹣1＜a＜1，故选：A．4．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（）A．B．C．D．0【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程．【分析】求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果．【解答】解：由题设知圆心为C（﹣2，1），半径r=1，而圆心C（﹣2，1）到直线x﹣y﹣1=0距离为，因此，圆上点到直线的最短距离为，故选C．5．给出下列四个命题：（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线；（2）若三个平面两两相交，则这三个平面把空间分成7部分；（3）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交、平行或异面．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）写出平面内的一条直线与平面外的一条直线的位置关系，即可判定命题正误；（2）画出三个平面两两相交的情况，即可判定命题的正误；（3）根据棱台的定义，可以判定命题的正误；（4）举例说明命题是正确的．【解答】解：（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线的位置关系是平行，相交，或异面；∴命题（1）错误；（2）三个平面两两相交，这三个平面可以把空间分成6或7部分，如图，；∴命题（2）错误；（3）用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台；∴命题（3）错误；（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交（如两条异面直线的公垂线），平行（如作两条异面直线所成的角），或异面（如正方体中下底面的对角线与上底面的棱）；∴命题（4）正确；所以，以上真命题只有1个，是（4）；故选：B．6．直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】先求圆心到直线的距离，再求劣弧所对的圆心角．【解答】解：圆心到直线的距离：，圆的半径是2，劣弧所对的圆心角为60°故选C．7．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（）A．3：5 B．9：25 C．5：D．7：9【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据圆台的上、下底面半径的比为3：5，我们可以设，上底半径为3R，下底半径为5R，母线长为2L，求出上、下两部分侧面积，即可得到答案．点评：【解答】解：设上底半径为3R，下底半径为5R，母线长为2L，则中截面半径为4R，分成的两个圆台的母线长均为L，4R+3R）L，则S上=π（S下=π（4R+5R）L，故分圆台上、下两部分侧面积的比为7：9．故选：D，8．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，利用三角函数可以求直线的斜率，求出直线方程．【解答】解：如图，圆方程为（x+2）2+y2=12，圆心为A（﹣2，0），半径为1，．故选C．9．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】圆锥的母线长就是展开半圆的半径，根据这个条件就可以知道圆锥的母线长是圆锥底面圆半径的两倍，推出结论．【解答】解：圆锥的母线长就是展开半圆的半径，半圆的弧长为aπ就是圆锥的底面周长，所以圆锥的底面直径为a，圆锥的轴截面是等边三角形．故选A10．已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（）A．B．C．D．【考点】交集及其运算；元素与集合关系的判断．【分析】先分析出M中的元素表示的是以（0，0）为圆心，r=3的上半圆，N中的元素是一组平行线上的点，再画出对应图象，知道直线的临界值在相切以及y=x+3之间，求出相切时对应的b即可求得结果．【解答】解：由题得：M中的元素表示的是以（0，0）为圆心，r=3的上半圆，N中的元素是一组平行线上的点．由M∩N≠∅，得直线与半圆有公共点，画出图形得直线的临界值在与圆相切以及y=x﹣3之间．相切时，因为（0，0）到直线y=x+b的距离d==3⇒b=±3，由图得取b=3．所以﹣3＜b≤3．故选：C．11．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】通过几何体的体积，判断几何体中正方体的个数，排除选项A、D；从俯视图正视图推出正确选项．【解答】解：由这个几何体的体积为7cm3可知共有7个小正方体．通过俯视图可以排除选项A、D，结合俯视图与主视图即可选出正确答案为C（若左视图为D，则只需要6个小正方体即可）．故选C．12．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【考点】平面的基本性质及推论．【分析】分别取D1C1、D1D、AD的中点H、M、N，连结GH、HM、MN，六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面图．【解答】解：分别取D1C1、D1D、AD的中点H、M、N，连结GH、HM、MN，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，∴HG∥EN，HM∥EF，FG∥MN，∴六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面图，∴过这三点的截面图的形状是六边形．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．以点A（1，4）、B（3，﹣2）为直径的两个端点的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．【考点】圆的标准方程．【分析】根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标即为圆心的坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆心到A的距离即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：设线段AB的中点为O，所以O的坐标为（，），即（2，1），则所求圆的圆心坐标为（2，1）；由|AO|==，得到所求圆的半径为，所以所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1014．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是16或64．【考点】平面图形的直观图．【分析】利用直观图的画法规则法两种情况即可求出．【解答】解：如图所示：①若直观图中平行四边形的边A′B′=4，则原正方形的边长AB=A′B′=4，故该正方形的面积S=42=16．②若直观图中平行四边形的边A′D′=4，则原正方形的边长AD=2A′D′=8，故该正方形的面积S=82=64．故答案为16或64．15．正四面体的内切球与外接球的体积之比1：27．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比．【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．设正四面体PABC底面面积为S．将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．每个正三棱锥体积V1=•S•r 而正四面体PABC体积V2=•S•（R+r）根据前面的分析，4•V1=V2，所以，4••S•r=•S•（R+r），所以，R=3r，所以棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为1：27．故答案为1：27．16．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为80 cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的特征，结合三视图的数据关系，求出几何体的侧面积．【解答】解：由三视图复原几何体可知，此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5，8×5=80cm2．所以S侧=4××故答案为：80cm2．三、解答题：（本大题共5小题，第17题8分，第18～21题每题10分．）17．过圆x2+y2﹣x+y﹣2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y﹣1=0上的圆的方程为x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据题意可设所求圆的方程为x2+y2﹣x+y﹣2+λ（x2+y2﹣5）=0（λ≠﹣1），再求出圆心坐标为，圆心在直线3x+4y﹣1=0上，所以将圆心的坐标代入中心方程可得λ的值，进而求出圆的方程．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2﹣x+y﹣2+λ（x2+y2﹣5）=0（λ≠﹣1），即整理可得，所以可知圆心坐标为，因为圆心在直线3x+4y﹣1=0上，所以可得，解得λ=﹣．将λ=﹣代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．故答案为：x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．18．过原点O作圆x2+y2﹣8x=0的弦OA，延长OA到N，使|OA|=|AN|，求点N 的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【分析】设N（x，y），延长OA到N，使|OA|=|AN|，可得A．由于点A在圆（x′）2+（y′）2﹣8x′=0上，即可得出．【解答】解：设N（x，y），∵延长OA到N，使|OA|=|AN|，∴A．由于点A在圆（x′）2+（y′）2﹣8x′=0上，∴﹣8×=0，化为：x2+y2﹣16x=0，即为点N的轨迹方程．19．如图：已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点．求A1F与B1E所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用cos＜，＞=即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设AB=2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），F（1，1，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）．=（1，﹣1，2），=（2，0，1），∴cos＜，＞===，∴A1F与B1E所成角的余弦值为．20．圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，①若弦长，求直线AB的倾斜角；②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角．【分析】①由弦长公式求出圆心到直线AB的距离，点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出斜率，再由斜率求倾斜角．②由题意知，圆心到直线AB的距离d=，由点到直线的距离公式求出斜率，点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：①设圆心（﹣1，0）到直线AB的距离为d，则d==1，设直线AB的倾斜角α，斜率为k，则直线AB的方程y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，d=1=，∴k=或﹣，∴直线AB的倾斜角α=60°或120°．②∵圆上恰有三点到直线AB的距离等于，∴圆心（﹣1，0）到直线AB的距离d==，直线AB的方程y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，由d==，解可得k=1或﹣1，直线AB的方程x﹣y+3=0 或﹣x﹣y+1=0．21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M、N两点（1）求实数k的取值范围；（2）求证：为定值；（3）若O为坐标原点，且，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程化简，再利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2的值，可得y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）的值，利用=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1•x2+y1•y2﹣（y1+y2）+1，即可得出结论；（3）由x1•x2+y1•y2=12，解得k的值，从而求得直线l的方程．【解答】（1）解：由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．…由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由＜1，解得：＜k＜．故当＜k＜时，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（2）证明：由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，设M（x1，y1）；N（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=，=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1•x2+y1•y2﹣（y1+y2）+1=+﹣k×﹣2+1=7为定值；（3）解：由x1•x2+y1•y2==12，解得k=1，故直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．。