角的概念的推广
3.1角的概念的推广与任意角的三角函数
∴cos6－sin6>1，∴lg(cos6－sin6)>0. sincosθ sincosθ ∴ <0.∴ 的符号是负号． cossin2θ cossin2θ ∴lg(cos6－sin6)的符号为正号．
题型3.三角函数的定义 例5(1)已知角 的终边上一点 P (
且 sin 2 4 y , 求 cos
1 a
sin（ cos ）
cos sin 2 ） （
的符
（3）已知点P(sinα-cosα，tanα）在第一象限， 则在[0,2π）内α的取值范围。
cos （4）已知 sin ， ，若θ为第二象 1 a 1 a 限角，求实数a的取值范围。 3a 1
5、如果α是第三象限，那么-α， α/2,2 α的终边落在何 处？（用图表示）
练习： 已知α是第二象限的角 • (1)指出 所在的象限，并用图形表示其 变化范围． • (2)若α同时满足条件|α＋2|≤4，求α的取 值区间．
题型2.三角函数符号的判断
例4 sincosθ (1)若 θ 是第二象限角，判断 的符号； cossin2θ
(2)确定 lg(cos6－sin6)的符号．
3.1 角的概念的推广与 任意角的三角函数
一、知识点 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角的表示: k 360 0 (k Z ) (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 如：终边在x轴上的角 k ( k Z ) (4)有关对称角的关系 X 轴， y轴 ，原点 如：关于y 轴对称的角 2k ( k Z ) 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 180 180 ( 弧度 ) 1弧度 ( ) 57 1 8 (2)换算关系: (3)弧长公式:l r
角的概念的推广概念
角的概念的推广概念角是数学中非常重要的概念，它是指由一个初始点出发，以一定的角度旋转后所形成的图形。
它可以帮助我们理解和描述事物之间的关系以及解决各种实际问题。
然而，角的概念可以进一步推广到更复杂的形式，从而应用于更广泛的领域。
首先，角可以分为几何角和平面角。
几何角是指由两条射线构成的图形，其中初始射线称为边，旋转的射线称为腿。
平面角则是指在一个平面上的角。
几何角和平面角可以相互转换，并且可以按照大小进行比较。
角的概念可以推广到三维空间中。
在三维空间中，角可以由两个非共线的向量构成，并且可以通过点乘和向量的模运算来计算角度。
三维空间中的角可以用来描述物体之间的关系，例如两个平面的夹角或者两个直线的夹角。
角的概念也可以推广到曲线上。
在曲线上，可以定义曲率角，它是指曲线在某一点上的切线与某一特定方向的夹角。
曲率角可以用来描述曲线的弯曲程度，例如在数学和物理学中常用来描述曲线运动的轨迹。
此外，角的概念还可以应用于三角函数中。
三角函数是以角作为自变量的函数，它们描述了角和直角三角形之间的关系。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在数学和物理学中有广泛的应用，例如在解决三角形的边长和角度问题中。
在物理学中，角的概念也有广泛的应用。
例如，角动量是物体旋转运动的重要物理量，在刚体力学和量子力学中都有非常关键的作用。
角速度也是用来描述物体旋转运动的重要概念，它是物体单位时间内旋转的角度。
在计算机图形学和计算机游戏中，角的概念也有重要的应用。
例如，计算机游戏中的角色会随着玩家操作而改变角度，而计算机图形学中的三维模型也是由许多角所构成的。
因此，理解和运用角的概念对于计算机图形学和游戏开发非常关键。
总之，角是数学中的重要概念，它可以被推广到几何角、平面角、三维空间角、曲线上的角、三角函数中的角，甚至在物理学和计算机科学中有广泛的应用。
理解和掌握角的概念，可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
角的概念的推广
第三象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M.
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M. 例2. 求终边为直线y x的角的集合.
例3. 已知 是第二象限角，
问：12 是第几象限角？ 2 是第几象限角？
2
3 是第几象限角？
3
课堂练习
1. A {小于90的角}，B {第一象限
的角}，则A B （ ）
A.{锐角}
B.{小于90的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
2. 若90 135, 则 的范围是______, 的范围是_______ .
3. 与- 457角终边相同的角的集合是：
A.{ | k 360 457, k Z} B.{ | k 360 97, k Z} C.{ | k 360 263, k Z} D.{ | k 360 263, k Z}
角的概念的推广
一、复习
1.初中是如何定义角的？
二、角的概念的推广：
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
角的概念的推广
角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。
角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。
本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。
一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。
根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。
锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。
角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。
除了大小外，角还具有其他一些重要性质。
首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。
其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。
此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。
这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。
二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。
角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。
例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。
2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。
例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。
在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。
此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。
3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。
例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。
此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。
4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。
例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。
这些信息对于导航和地图制作非常关键。
5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。
角的概念的推广
角的概念的推广§2角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教法:类比探究交流法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广涉及到数学、物理、地理、文化等多个方面，以下是思政要点:
1. 角的静态定义和动态定义：角的静态定义是指具有公共端的
两条射线组成的图形，而动态定义是指一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
角的大小与边的长短没有关系，而决定于角的两条边张开的程度。
2. 角的种类：角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角等 10 种。
3. 角的符号：角的符号是以角度为单位的，通常用符号“°”
表示，例如 90°表示一个直角。
4. 角的测量：角的测量通常使用角度计或量角器等工具，其中
角度计可以测量任意角度，而量角器只能测量固定角度。
5. 角在物理中的应用：角在物理学中有许多应用，例如在几何
学中，角可以用来描述平面几何中的角度和线段长度之间的关系;在
力学中，角可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。
6. 角在地理中的应用：角在地理学中也有许多应用，例如在地
图上，角可以用来描述两个地点之间的夹角，以及地图上各种线条的夹角。
7. 角的文化意义：角在中国传统文化中具有重要的象征意义，
例如在古代社会中，角被广泛用于装饰和祭祀活动中，代表着权力、荣誉和信仰等意义。
角的概念的推广涉及到多个学科领域，需要从多个角度进行思考和理解，有助于提高人们的综合素质和跨学科思维能力。
角的概念的推广——任意角
(二)角的分类:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 2100 如α=210º.
负角：按顺时针方向旋转所形成的角.
如α=-150º.
-1500
零角：没有作任何旋转的角.记作α=0º.
角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角 和零角
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”；
90°+k∙360° y x 0
270°+k∙360°
S1={β|β=90°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+2k·180°,k∈Z}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=270°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+(2k+1) ·180° ,k∈Z}
∴终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=90°+n∙180° ，n∈Z}
00 3600 k 900 3600 k k Z
第二象限角的表示方法：
900 3600 k 1800 3600 k k Z
第三象限角的表示方法：
1800 3600 k 2700 3600 k k Z
第四象限角表示方法：
2700 3600 k 3600 3600 k k Z
◆
10、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。。09:29:5509:29:5509:291/5/2022 9:29:55 AM
◆
11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。。22.1.509:29:5509:29Jan-225-Jan-22
◆
12、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。。09:29:5509:29:5509:29Wednesday, January 05, 2022
中职数学-4.1角的概念的推广
分针按逆时针方向旋转2周形成的角，记作720°，如图(1)所示； 分针按顺时针方向旋转2周形成的角，记作-720°，如图(2)所示.
(1)
开始/结束
(2)
开始/结束
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示 角.例如,下图中的角,可以记作“∠AOB”或“∠O”.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
3．在平面直角坐标系中, 分别作出下列各角, 并指出 它们是第几象限角：
(1) 460° ； (2) 945°； (3) −200° ； (4) −700° ．
4.1.2
终边相同的角
4.1.2 终边相同的角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
规定：一条射线绕其端点按逆时 针方向旋转形成的角称为正角,如图(1) 所示；按顺时针方向旋转形成的角称 为负角,如图(2)所示．
如果一条射线没有做任何旋转,也 认为形成了一个角,这个角称为零角.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
角α是第一象限角
GO
角β是第三象入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称 为界限角．如, 0°,90°,180°,360°,−90°角都是界限角．
高中数学专题 角的概念的推广 弧度制
1. 主要内容：角的概念的推广，弧度制2. 知识点：①角的定义：初中：是从一点出发的两条射线形成的几何图形。
现在：角是一条射线绕其端点旋转而成的。
规定按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，称它形成的角叫做零角。
②象限角：在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴非负半轴重合，这时角的终边（端点除外）在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，则认为此角不在任何象限。
③终边在x轴非负半轴上角的集合是{α|α=k·360°，k∈Z}，终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}，终边在第一象限的角的集合是：④若α是锐角，则角α终边在第一象限，角180°－α终边在第二象限，角180°＋α终边在第三象限，角360°－α终边在第四象限。
⑤弧度制：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
（其中α为圆心角的弧度数）【典型例题】例1. 写出与－1840°终边相同的角的集合M（2）把－1840°的角写成k·360°+α（0°≤α<360°）的形式。
（3）若角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α解：小结：在0°到360°角范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行，因为任意一个角α均可写成k·360°+α1（0°≤α1＜360°）形式，所以与α终边相同的角的集合也可写成{β|β=k·360°+α1，k∈Z}，如本题M={β|β=k·360°+320°，k∈Z}，由此确定[－360°，360°]范围内的角时，只需令k=－1和0即可。
中职数学5.1-角的概念的推广
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角α相同的角 α＋K·3600，K∈Z
5.1角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线组成
的几何图形叫做角。
顶
边
点
边
定义2
终边
B
o 顶点
A 始边
角可以看做:平面内一条射线绕着它的端
点从一个位置旋转到另一个位置所形成
的图形。
生活中实际的例子
跳水运动员后空翻（720 ° ）
转动的车轮
角的定义
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
例3 写出与下列各角终边相同的角的集合
（1） 6 0 o ；（2） 21；（3） 3 6 3 o ．
例4、 判断下列各角是第几象限的角：
（1）-60°
（2）585 °
解（1）因为-60 角终边在第四象限，
所以它是第四象限角。
（2）585°=360°+225° 所以与585°角终边相同的角是225°角， 它是第三象限角。
终
边 1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角y规定：·o始边 x
1）角的顶点与原点重合；
2）角的始边与x轴的非 负半轴重合.
终边
象限角：角的终边（除端点外）在第几象限就 说这个角是第几象限角。
轴线角：角的终边落在坐标轴上．
例1．在直角坐标系中，作出下列各 角，并指出它们是第几象限的角．
α＋K ·3600，K ∈ Z
注: （1） K ∈ Z
（2） α 是任意角 （3）K·360°与α 之间是“+”号，如
角的概念的推广——教学设计
角的概念的推广——教学设计教学设计：角的概念的推广教学目标：1.学生能够理解角的概念，并能够准确地描述和命名角；2.学生能够辨别和比较不同角的大小，并能用恰当的符号表示；3.学生能够运用角的概念解决问题，并能够将其应用于实际生活中。
教学重点：1.角的概念、特征及其命名；2.角的比较和大小；3.角的应用。
教学准备：1.教师准备一些图形卡片，上面画有不同角度的图形；2.教师准备一些实际生活中的例子，以便能够运用角的概念进行解决。
教学过程：第一步：导入新知识（15分钟）1.教师将一些图形卡片发给学生，让学生观察卡片上的图形，并思考里面有哪些角；2.学生观察完毕后，教师进行小组讨论，让学生与同组的同学分享自己的观察结果；3.教师搜集学生的观察结果，让不同小组的学生来分享他们观察到的角。
第二步：角的概念及其命名（20分钟）1.教师向学生介绍角的概念，即由两条射线共同端点所形成的图形；2.教师向学生展示不同类型的角，如锐角、直角、钝角和平角，并让学生辨别不同类型的角；3.教师解释每一种角的特征，并给学生演示如何正确地命名角；4.学生进行练习，辨别不同类型的角，并准确地命名它们。
第三步：角的比较和大小（25分钟）1.教师向学生介绍角的大小的比较，并说明使用符号进行表示；2.教师演示如何比较和表示不同角的大小，例如通过测量两个角的度数进行比较；3.学生进行练习，比较不同角的大小，并用符号表示；4.教师与学生进行讨论，确保学生理解了角的大小的比较和表示方式的正确方法。
第四步：角的应用（25分钟）1.教师向学生介绍角的应用，并提供一些实际生活中的例子；2.学生通过实际生活中的例子，运用角的概念进行解决，如角的测量、角的绘制等；3.学生进行小组讨论，分享他们的解决方法和结果；4.教师与学生进行总结和复习，确保学生掌握了角的概念的推广。
第五步：课堂小结（15分钟）1.教师对本节课的内容进行小结，复习角的概念、特征及其命名；2.学生向教师提问，澄清疑惑；3.教师布置角的概念的推广的作业。
角的概念的推广
二、角的概念 的推广
B 12
90
9
O
3 A
6
二、角的概念
12
540
9
3
6
二、角的概念
“角 ”或“∠ ”可以简化成 “ ”
说 明
角的正负由旋转方向决定
角的绝对值大小由旋转次数及 终边位置决定
三、角的象限
y 终边 终 边 x o 始边
终边
终 边
终 边
1)角的顶点放置于原点 2)始边重合于X轴的正半轴 3)终边落在第几象限就是 第几象限角（终边落在坐 标轴上的角叫非象限角或 轴线角）
-950 °= 130 °-3 x360°
终边相同，第二象限角
巩固练习：
一、判断正误
1、终边相同的角一定相等
（ （ （ ） ） ）
2、锐角是第一象限的角。
3、第一象限的角都是锐角。 5、小于90°的角都是锐 角
4、）
小
1.按旋转方向分类
结
正角：按逆时针方向旋转形成的角
一、导入
一、导入
拧松
逆时针
拧紧
顺时针
一、导入
二、角的概念 的推广
B
顶点O
始边
A
角可以看做平面内一条射线绕着 它的端点从一个位置旋转到另一 个位置所形成的图形。
二、角的概念 的推广
正角：按逆时针方向 旋转形成的角 负角：按顺时针方向 旋转形成的角 零角：一条射线没 有作任何旋转
12 正角 9 3 负角 6
负角：按顺时针方向旋转形成的角
2.按角的终 边位置分类
零角：一条射线不作任何旋转形成的角 1)使角的顶点与原点重合 象限角 2)始边与x轴的非负半轴重合 3)终边(除端点外)落在第几象限就是 第几象限角 非象限角（轴线角）：终 边落在坐标轴上的角
角的概念的推广
角的概念的推广1. 引言角是几何学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
了解和掌握角的相关知识，对于学习几何学、物理学以及工程学等学科都具有重要意义。
本文将通过推广角的概念，介绍角的定义、分类以及角的应用。
2. 角的定义角可以理解为两条射线的相交部分，通常用符号α、β、γ 等表示。
在几何学中，角的大小通常用弧度（radian）或度（degree）来表示。
通过测量角的顶点和射线之间的夹角，可以确定角的大小。
3. 角的分类根据角的大小，可以将角分为以下几类：3.1 零角（Zero Degree Angle）零角是指两条重合的射线所形成的角。
零角的度数为0度或0弧度。
3.2 直角（Right Angle）直角是指两条相互垂直的射线所形成的角。
直角的度数为90度或π/2弧度。
3.3 锐角（Acute Angle）锐角是指小于90度的角。
锐角的度数小于90度，弧度小于π/2。
3.4 钝角（Obtuse Angle）钝角是指大于90度、小于180度的角。
钝角的度数大于90度，弧度大于π/2。
3.5 正角（Oblique Angle）正角是指大于0度、小于180度的角，不包括直角。
正角的度数大于0度，小于180度，弧度大于0，小于π。
4. 角的应用角的概念在各个领域都有重要的应用，下面我们将介绍几个常见的应用：4.1 几何学在几何学中，角的概念经常被用于计算和描述图形的属性。
例如，在三角形中，角的大小和性质决定了三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）以及边长比例关系。
角的概念还被广泛应用于圆的测量和刻画。
4.2 物理学在物理学中，角的概念被广泛运用于描述物体的运动和力学性质。
例如，角速度和角加速度是衡量旋转运动的重要物理量，角度在电路中也是电流和电压之间的重要参数。
4.3 工程学角的概念在工程学中也具有重要意义。
例如，在建筑工程中，工程师需要通过计算角度来确定墙壁的垂直度和水平度。
在电子工程中，角的概念被应用于天线的定向和辐射角度的测量。
角的概念的推广
五 、已知角二α的终边在x轴的上方那么α是
A C第一象限角
B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
六、若α是第四象限角则一八0º－α是 C
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
七、在直角坐标系中若α与β终边互相垂直那么
α与β之间的关系是
D
A. β=α+九0o
B β=α±九0o
一.一.一角的概念的推广
一、角的概念
初中是如何定义角的 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解但它是从图形形状来定义角因此角的范围 是[0º三六0º
这种定义称为静态定义其弊端在于“狭 隘”.
生活中很多实例会不在该范围 体操运动员转体七二0º跳水运动员向内、 向外转体一0八0º； 经过一小时时针、分针、秒针各转了多 少度 这些例子不仅不在范围[0º三六0º而且方 向不同有必要将角的概念推广到任意角 想想用什么办法才能推广到任意角 关键是用运动的观点来看待角的变化
思考八：如果α是第二象限的角那么二α、α/二 分别是第几象限的角
九0°＋k·三六0°<α<一八0°＋k·三六0° 一八0°＋k·七二0°<二α<三六0°＋k·七二0°
四五°＋k·一八0°<α/二<九0°＋k·一八0°
课堂练习
一．锐角是第几象限的角第一象限的角是否 都是锐角小于九0º的角是锐角吗区间0º九0º内 的角是锐角吗
2100
6600
-1500
特别地当一条射线没有作任何旋转时我 们也认为这时形成了一个角并把这个角叫做 零度角0º．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
三角函数 ----角概念的推广
动脑思考
探包括角α在内），都可以表 示为 α +k· 360°(k∈Z)的形式． 与角α终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
S { k 360 , k Z}
动画演示
巩固知识 典型例题
角 的 推 广
例1 写出与下列各角终边相同的角的集合S,
应用知识 强化练习
角 的 推 广
练习5.1.2
1.在 0° ～360° 间，找出与下列各角终边相同的角， 并指出它们是哪个象限的角： ⑴ 405° ；⑵ 165° ；⑶ 1563° ；⑷ 5421° ． 2.写出与下列各角终边相同的角的集合， 并且把集合中在－360° ～360° 之间的角写出来： ⑴ 45° ；⑵ －55° ；⑶ －220°45′；⑷ 1330° ．
第5章 三角函数
5.1角的概念推广
创设情景
兴趣导入
问题
游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上， 小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一 圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈． 那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢 ？
创设情景
兴趣导入
问题
动画演示
用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向
由OA旋转到OB位置时，就形成一个角
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；
当射线没有作任何旋转时，所形成的角叫做零角．
表示
用角的顶点与边的字母表示角 ∠AOB或∠O 用小写希腊字母α、β、γ、……来表示角.
动脑思考
探索新知
角 的 推 广
将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，
此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.
角的概念的推广
【典型热点考题】 典型热点考题】 例1 若α是第二象限的角,则180°α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解:∵k360°+90°<α< k360°+180°(k∈Z). ∴-k360°-180°<-α<-k360°90° ∴-k360°<180°-α<k360°+90° ∵180°-α是第一象限角 ∴应选A.
【生活实际运用】 生活实际运用】 自行车大链轮有48齿,小链轮 有20齿,当大链轮转过一周时, 小链轮过的角度是多少? 解:∵当大链轮转过一周时, 转过了48个齿,这时小链轮也 48 必须同步转过48齿,有=2.4(周), 20 也就是说小链轮转过2.4周. ∴小链轮转过的角度是 360°×2.4=864°
(2)∵k120°< 3 <30°+k120°(k∈Z), 当k=3n(n∈Z)时, α α n360°< 3 <30°+n360°,是第一象限的角;当 3 n=3n+1(n Z) n=3n+1(n∈Z)时, α α 120°+n360°< <150°+n360°, 是第二象限的角;当 3 3 k=3n+2(n∈Z)时, α α 240°+n360°< 3<270°+n360°, 是第三象限的角. 3 α ∴ 3 是第一象限或第二象限或第三象限的角. 评析 对(1)不可遗漏终边落在y轴正半轴上的情况;对(2) α 可以于k120°< 3 <30°+k180°(k∈Z)中令k=0,1, α α 2来确定 所在的象限.并且要注意所求的所在的 象限 3 3 并不是整个象限出与下列各角终 边相同的角,并判定下列各角是哪个象限 的角? (1)908°28′;(2)-734° 分析 将题给角x化成α+k360°,(k∈Z),α 在0°～360°间的形式即可. 解 (1)908°28′=188°28′+2×360°,则 188°28′即为所求角,因它是第三象限的 角,从而908°28′也是第三象限的角. (2)-734°=346°-3×360°,则346°即为 所求角,因它是第四象限的角,从而734°也是第四象限的角. 评析 一般地化角x为α+k360°,(k∈Z)时, 可由x除以360°来定k及α的值.对不符合 要求的α可以通过修正k值来进一步求解. 例如(2)中-734°=-14°-2×360°,完全可 以由-14°来判定-734°是第四象限角,但 -14°不在0°～360°,不合题设,虚修 正.
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练习1：画出下列各角.
0，360 ，390 ，－420，－360 ；
3、象限角
自学课本第112页至第113页：
在坐标系中讨论角时，回答问题： （1）角的顶点与始边有何要求 （2）以角的终边的位置分类，角可以分为哪 几类，并举例说明。
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意的角，角的终 边可能落在哪些位置？ y o
(1) (2) 450 300 1400 -2300 3400
3900 7500
-3300
问：观察第(2)题各角有何特点？ 能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？
三、终边相同的角及表示 所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k 360 , k Z
(1).把 1485 化成k 360 0 360 , k Z
0 0 0 0
的形式是
(2)在直角坐标系中,判断下列各语句的真,假.
① 第一象限的角的一定是锐角; ② 终边相同的角一定相等; ③ 相等的角终边一定相同; ④ 小于900的角一定是锐角;
⑤ 象限角为钝角的终边在第二象限;
任意角的概念：
它包括任意大小的正角、负角和零角
2.如何画出这个角呢？ 要注意两方面： （1）要画出旋转方向
（2）要画出旋转过程
11
12
1
10
9 8 7 6 5
300
2
3 4
-300
11
12
1
10
900
2
3
-1200
9 8 7 6 5 4
如将时钟拨快5分钟，分针转了____ 度 若将手表倒拨1小时10分钟，分针旋转了____度
1.象限角的概念：
把角放在直角坐标系中，使角的顶点与 坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重 合，角的终边落在第几象限，我们就说这个 角是第几象限角
90， －270是第几象限角呢？
2.轴线角的概念: 如果角的终边落在坐标轴上，就认为这 个角不属于任何象限．(亦称轴线角)
口答：
说出以下角各属于第几象限：
x
二、象限角和轴线角
y
第一象限角 第二象限角
o y x y
y
o
x
o
x
o
x
第四象限角
第三象限角
2.什么是象限角、轴线角？
3.什么是终边相同的角？终边相同角的 表示方法是什么？
例、画出下列各角：
30 ， 390 ， 330 ， 30 ， 330 ， 390
并观察图像：这些角有何特点？
(2) 因为 640＝360＋280，所以 280的角 与640的角终边相同，它是第四象限角． (3)因为－950＝－3×360＋130，所以 130的角与－950的角终边相同，它是第二 象限角．
例2 写出终边在 y 轴上的角的集合.
y
O
x
试一试 : 写出终边在 x 轴上的角的集合．
0
与终边相同的角，都可以表示成与 整数个周角的和的形式．
注意
(1) k Z； (2) 是任意角； (3) 终边相同的角不一定相等， 但相等的角终边相同；
例1 在0～ 360 内，找出与下列各角终边相 同的角，并判断它是哪个象限的角． (1) －120； (2) 640； (3) －950． 解： (1) 因为 －120 ＝－360＋240，所以 240的角与－120 的角终边相同，它是第三 象限角．
提出问题，导入新课
思考1：什么是任意角？如何画出一个角？ （看书p111-112讨论问题）
从运动观点看来看待角的变化,那么角的 定义是什么呢？ 定义：一条射线绕端点从一个位置旋转到 另一个位置所组成的几何图形叫角
B
O
始边
A
顶点
B O A
O A
逆时针
B
顺时针
我们规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它为零 角。
终边落在坐标轴上的角
轴线角
（按角的终 边位置分）
终边相同的角及集合表示
{β|β=α＋K· 360°, K∈Z}
教材： P112，知识巩固 第 1、2、3 题；
P115 知识巩固 第 1、2、3 、4题
锐角 直角 角的分类 钝角 平角 大于平角且小于周角的角 周角
我们以前所学过的角都是大于0度小于 或等于360度的角，而在现实生活中，还有 其它的角。
跳水中，运动员旋转的周数如何用角度来表示？ 转体一周半指的是多少度？
11
12
1
10
9 8 7 6 5
2
3 4
这些例子所提到的角它们按照不同方 向旋转，不全是0°～3600范围内的角.因 此，仅有0°～360°范围内的角是不够的， 有必要将角的概念进行推广。
三周后的角度数为______________．
30 （ 3 ）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转
(4)要将时钟拨慢5分钟,则分针转了____度; 时针转了____度
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任意角
负角：按顺时针不作任何旋转形成的角
象限角
1)使角的顶点与原点重合 象限角 2)始边与x轴的非负半轴重合 3)终边(除端点外)落在第几象限就 是第几象限角
《三角函数》这一章是在学了《集 合》和《函数》之后的又一个重要内容， 是对初中锐角三角函数的延伸和推广， 也是对集合与函数知识的又一渗透。
本节在本章的地位 三角函数的
图像和性质 任意角的 三角函数 任 意 应用诱导公式 求三角函数值 判定三角函 数值的符号 角
1.教学重点 了解有关角的概念的含义， 会表示终边相同的角的集合.
2.教学难点
把与角有关的所有概念系统归类； 把终边相同的角用集合表示.
1.初中学过的角的定义是什么？ 2.初中学过哪些角？它们的大小是多少？
初中角的概念: 由一个端点引出的两条射线组成的几 何图形叫角。
B
顶点
O
角的边
A
初中所学角
定义 有公共端点的两条射线所围成的图形
范围
大于 0 且不大于 360