第二学期线性代数第3次作业

本次作业是本门课程本学期的第3次作业，注释如下：

一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)

1. 设A为n阶方阵，且A2+A−5E=0,则(A+2E)−1=( )。

(A) A−E

(B) A+E

(C) 1 3 ( A−E )

(D) 1 3 ( A+E )

正确答案：C

解答参考：A 2 +A−5E=0 ⇒A 2 +A−2E=3E⇒( A+2E )(A−E)=3E ⇒( A+2E ) −1 = 1 3 (A−E)

2. 若n维向量α 1 ，α 2 ，⋯, α n 线性相关，β为任一n维向量，则( )。

(A) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β线性相关；

(B) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β线性无关；

(C) β一定能由α 1 , α 2 ,⋯, α n 线性表示；

(D) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β的相关性无法确定。

正确答案：A

解答参考：

3. 设线性方程组{ 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 −3 x 2 −2 x 3 =1 }则此方程组。

(A) 有唯一解

(B) 有无穷多解

(C) 无解

(D) 有基础解系

正确答案：A

解答参考：

4. 设n维向量组α1,α2,⋯,αs,若任一维向量都可由这个向量组线性表出,必须有。

(A) s= n

(B) s< n

(C) s> n

(D) s≥ n

正确答案：D

解答参考：

5. 设α 1 , α 2 , α 3 ,β,γ 都是4维列向量，且4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β |=a ，| γ, α 1 , α 2 , α 3 |=b ，则4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β+γ |=

(A) a+b

(B) −a−b

(C) a−b

(D) b−a

正确答案：C

解答参考：

6. 设B,C 为4阶矩阵，A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ，且α 1 , α 2 , α 3 是线性方程组Ax=0 的解，则它们是

(A) 基础解系

(B) 线性相关的

(C) 线性无关的

(D) A,B,C都不对

正确答案：B

解答参考：

7. 设n维列向量α= ( 1 2 ,0,⋯,0, 1 2 ) T ，矩阵A=I−α α T ，B=I+2α α T ，则AB=

(A) 0

(B) −I

(C) I

(D) I+α α T

正确答案：C

解答参考：

8. 设矩阵A m×n 的秩r(A)=m< ，下述结论中正确的是>

(A) A的任意m个列向量必线性无关

(B) A的任意一个m阶子式不等于零

(C) 齐次方程组Ax=0只有零解

(D) 齐次方程组Ax=0只有零解

正确答案：D

解答参考：

二、判断题(判断正误，共5道小题)

9.设A ,B 是同阶方阵，则AB=BA 。

正确答案：说法错误

解答参考：

10.n维向量组{ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } 线性相关，则{ α 2 , α 3 , α 4 } 线性无关。

正确答案：说法错误

解答参考：

11.若方程组Ax=0 有非零解，则方程组Ax=b 一定有无穷多解。

正确答案：说法错误

解答参考：

12.若A ,B 均为n阶方阵，则当| A |>| B | 时，A ,B 一定不相似。

正确答案：说法正确

解答参考：相似矩阵行列式值相同

13.设A是m×n 阶矩阵且线性方程组Ax=b 有惟一解，则m≥n 。

正确答案：说法正确

解答参考：

（注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客

观题答案。)

三、主观题(共12道小题)

14.设A是m×n 矩阵, B是p×m 矩阵，则A T B T 是×阶矩阵。

参考答案：A T B T是n×p 阶矩阵。

15.由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关。

参考答案：m>n时向量组一定线性相关

16.设A=( 2 −3 1 1 a 1 5 0 3 ) ，且秩R( A )=2 ，则a= _______________。

参考答案：

a=6

(R( A )=2⇒| A |=0)

17.已知η 1 , η 2 , η 3 是四元方程组Ax=b 的三个解，其中A的秩R( A )=3 ，η 1 =( 1 2 3 4 )，η 2 + η 3 =( 4 4 4 4 ) ，则方程组Ax=b 的通解为______________。

参考答案：( 1 2 3 4 ) T +k ( 2 0 −2 −4 ) T。因为R( A )=3 ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为η 2+ η 3−2 η 1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。

18.设方程组{ a x 1 + x 2 + x 3 =1 x 1 +a x 2 + x 3 =a x 1 + x 2 +a x 3 = a 2 则，当a= 时方程组无解，当a= 时方程组有无穷多个解，当a≠ 时方程组有唯一解。

参考答案：当a=−2 时方程组无解，当a=1 时方程组有无穷多个解，当a≠1,−2 时方程组有唯一解。

19.设矩阵A与B相似，B=( 1 2 3 0 4 5 0 0 6 ) ，则A的行列式| A |=

参考答案：24

20.设A=[ 1 −1 2 2 0 4 3 2 t ] ，若3阶非零方阵B满足AB=0 ，则t= _______

参考答案：t=6

21.

参考答案：

22.

参考答案：

23.