2019-2020学年河南省郑州市登封市九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年河南省郑州市登封市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的1．（3分）如果，那么锐角∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．（3分）已知：如图AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA，CO，BC，若∠ACO＝28°，则∠ABC＝（）A．56°B．72°C．28°D．62°3．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根是﹣1，则a﹣b+c的值是（）A．0B．﹣1C．1D．20204．（3分）有下列四种说法：其中说法正确的有（）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似A．4个B．3个C．2个D．1个5．（3分）下列说法正确的是（）A．圆中最长的弦是直径B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦D．过三个点一定能作一个圆6．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．7．（3分）已知元二次方程，则该一元二次方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．（3分）在一个不适明的发子中装有四个小球，它们除分别标有的号码5，6，7，8不同外，其他完全相同若任意从袋子中摸出一球后不放同，再任意从袋子中摸出一球，则第二次摸出球的号码与第一次换出球的号码的和等于15的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且CB⊥x轴于点B，双曲线经过AC边的中点，若点A的坐标（0，1.5），点C的坐标是（6，2.5），则k的值是（）A．2B．3C．6D．810．（3分）点A1，A2，A3，…，A n在条直线上，点C1，C2，C3，…，∁n在x轴上，若正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的位置放置，且A1B1C1O的面积是1，直线A1A3与x轴的夹角是45°，则点A2020的坐标是（）A．（22019+1，22019﹣1）B．（22020，22019﹣1）C．（22019﹣1，22019）D．（22019﹣1，22020）二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为12．（3分）两个等边三角形的周长分别为6cm和9cm，则这两个三角形的面积比为（小比大）．13．（3分）若把抛物线y＝2x2先向左平移10个单位长度，再向下平移9个单位长度，则所得的新抛物线的表达式是14．（3分）如图，若正方形ABCD的边长是﹣元二次方程x2﹣8x﹣20＝0的一个根，点G在边AB上若四边形BFEG 是边长为a的正方形，则阴影部分的面积是．15．（3分）如图，正方形ABCD的面积为81，点H是边DC上的一个动点，沿过点H的直线GH将正方形折叠，使顶点D恰好落在BC边上的三等分点E处，则线段DH的长是．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x+1）（x+3）+x2，其中17．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP＝DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC（1）求证：∠A＝∠D；（2）填空：①若AB＝10cm，当AP＝cm时，四边形AOCP是菱形；②当四边形OBCP是正方形时，∠DPC＝°．18．（9分）黄山位于安徽省南部黄山市境内，世界文化与自然双重遗产，世界地质公园，国家5A级旅游景区黄山主峰莲花峰的海拔高度为AD，AB是空中索道线在A处测得地面B处的俯角为60°，点C是山腰AD上一点，在C处测得地面B处的俯角为30°，且AC＝1240米若索道的速度是100米/分，则游客乘索道从山顶A处到地面B处需要几分钟？（结果保留整数，参考数据：）19．（9分）有四张完全相同的纸片的正面分别标有数字1，2，3，4，把纸片的背面朝上放在桌子上，小明先从中随机取出一张纸片，记下数字为x；放回桌子摇匀后，再由小华随机取出一张纸片，记下数字为y（1）用列表法表示出点（x，y）所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各取一张纸片所确定的点（x，y）落在反比例函数的图象上的概率；（3）求小明、小华各取一张纸片所确定的数x，y满足的概率20．（9分）已知：如图，Rt△AOB的顶点A（1，2）是反比例函数图象上一点，过点A作AC⊥OA 交反比例函数的图象于点C，过点C作CD⊥A于点D（1）求点C的坐标；（2）将△ADC沿AC翻折得到△AEC，过点E作EF∥y轴交AC于点F，连接DF，判断四边形ADFE的形状并说明理由．21．（10分）某蛋糕房推出﹣种新品蛋糕，每个成本为50元经过一段时间的售卖发现，当单价定为90元的时候，可卖100个，而单价每降低1元，就会多卖出10个（1）写出销售量y（个）与销售单价x（50≤x≤90）（元）之间的函数关系式；（2）若设销售这种蛋糕的利润为w（元），请写出w与销售单价x（50≤x≤90）（元）之间的函数关系式，并计算当销售单价定为多少元时该蛋糕房可获得最大利润（不需要计算最大利润）；（3）若想尽可能地降低成本，并使该蛋糕房获利6000元，应将销售单价定为多少元？22．（10分）在△ABC中，tan∠ACB＝1，点D（不与点B，C重合）是线段BC上的一个动点，连接AD，以AD 为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF（1）发现问题：如图（1），若AB＝AC，则CF与BD的位置关系；（2）拓展探究：如图（2），若AB≠AC，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）解决问题：若，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，请直接写出线段CP的最大值23．（11分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交于坐标轴上的A，B两点（1）求二次函数的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上﹣点，过点P分别作x轴y轴平行线分别交直线AB于点M和点Q，设点P 的横坐标为m（0＜m＜4），请用含m的代数式表示△PMQ的周长，并求出当△PMQ的周长取得最大值（不需要求出此最大值）时点M的坐标；（3）点C是直线AB上一点，点D是抛物线上一点，在第二问△PMQ的周长取得最大值的条件下，请直接写出使以点C，P，Q，D为顶点的四边形是平行四边形的点C的坐标．2019-2020学年河南省郑州市登封市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的1．【解答】解：∵sin60°＝，∴∠A＝60°，故选：C．2．【解答】解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣28°＝62°，故选：D．3．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得a﹣b+c＝0．故选：A．4．【解答】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；④两个正方形相似，正确．故选：D．5．【解答】解：A、圆中最长的弦是直径，正确，符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意，故选：A．6．【解答】解：根据三视图的画法，从左面看到的图形为，A选项的图形，故选：A．7．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×2020×＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．8．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能的结果数，其中第二次摸出球的号码与第一次换出球的号码的和等于15的有2种，则第二次摸出球的号码与第一次换出球的号码的和等于15的概率是＝；故选：D．9．【解答】解：∵点A的坐标（0，1.5），点C的坐标是（6，2.5），∴AC的中点的坐标为（3，2），∵双曲线经过AC边的中点，∴k＝3×2＝6，故选：C．10．【解答】解：∵正方形A1B1C1O的面积是1，∴OA1＝1＝A1B1＝B1C1，A1B1∥x轴，∴点A1（0，1），∵直线A1A3与x轴的夹角是45°，∴∠A2A1B1＝45°，∵A2B1＝A1B1＝1，∴点A2（1，2）同理A3的坐标为（3，4），…A n的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1），∴点A2020的坐标为（22019﹣1，22019）故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【解答】解：菱形周长为20，则AB＝5，∵BD＝8，∴BO＝4，∴AO＝＝3，∴AC＝2AO＝6，故答案为：6．12．【解答】解：∵两个相似三角形的周长分别为6cm和9cm，∴这两个三角形的相似比为：4：9．故答案为：4：9．13．【解答】解：把抛物线y＝2x2先向左平移10个单位长度，得到：y＝2（x+10）2，再向下平移9个单位长度，则所得的新抛物线的表达式是：y＝2（x+10）2﹣9．故答案为：y＝2（x+10）2﹣9．14．【解答】解：解方程x2﹣8x﹣20＝0得x1＝10，x2＝﹣2，则正方形ABCD的边长为10，阴影部分的面积＝S△ABC+S梯形ABFE﹣S△EFC＝×102﹣×（a+10）×a﹣×a×（10+a）﹣×10×10＝50．故答案为50．15．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为81，∴CD＝BC＝9，由折叠的性质得：DH＝EH，设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，分两种情况：①BE：EC＝2：1，BC＝9，∴CE＝BC＝3，∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，即（9﹣x）2＝32+x2，解得：x＝4，即CH＝4．∴DH＝CD﹣CH＝5；②BE：EC＝1：2，BC＝9，∴CE＝BC＝6，∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，即（9﹣x）2＝62+x2，解得：x＝，即CH＝．∴DH＝CD﹣CH＝9﹣＝；综上所述，线段DH的长为或5；故答案为：或5．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．【解答】解：（x+2）2﹣（x+1）（x+3）+x2＝x2+4x+4﹣（x2+4x+3）+x2＝x2+1，当x＝×﹣×＝1﹣3＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+1＝5．17．【解答】（1）证明：如图，连接PB，∵AB是⊙O的直径，∴BP⊥AD，∵AP＝PD，∴BP是线段AD的垂直平分线，∴BA＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：①∵AP＝PD，BC＝DC，∴，∵AB是⊙O的直径，∴，∴OA＝PC，∴四边形AOCP是平行四边形，∴当时，平行四边形AOCP是菱形，故答案为：5；②当四边形OBCP是正方形时，∠POB＝90°，∵OA＝OP，∴∠OP A＝∠A＝45°＝POB，∴PC∥AO，∴∠DPC＝∠A＝45°，故答案为：45．18．【解答】解：在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴，∵在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴，∴，∴CD＝620，∴AD＝1860．在Rt△ABD中，，∴∴所需时间为（分钟）答：游客乘索道从山顶A处到地面B处大约需要21分钟．19．【解答】解：（1）列表如下：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（2）由（1）可知，机会均等的结果有16种，满足点（x，y）落在反比例函数的图象上的结果有3种，所以点（x，y）落在反比例函数的图象上的概率为．（3）由（1）可知，机会均等的结果有16种，能使x，y满足的结果有5种，所以所确定的数x，y满足的概率为．20．【解答】解：（1）∵点A（1，2）在反比例函数图象上，∴k＝2，即∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ABO＝90°∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∴△OAB∽△ACD，∴，即，即．设CD＝2t，AD＝t，则点C（1+2t，2﹣t）在反比例函数的图象上，∴（1+2t）（2﹣t）＝2，解得t1＝0（舍去），，则点；（2）四边形ADFE是菱形．证明如下：将△ADC沿AC翻折得到△AEC，∴∠DAF＝∠EAF，AD＝AE，DF＝EF，点D，E关于AC对称，∵EF∥AD，∴∠DAF＝∠EF A，∴∠EAF＝∠EF A，∴FE＝AE，∴AD＝AE＝EF＝DF，即四边形ADFE是菱形．21．【解答】解：（1）y＝100+10（90﹣x）＝﹣10x+1000；（2）由题意，得w＝（﹣10x+1000）（x﹣50）＝﹣10x2+1500x﹣50000当时，w取得最大值，即当销售单价定为75元时该蛋糕房可获得最大利润．（3）当w＝6000时，有﹣10x2+1500x﹣50000＝6000，解得x1＝70，x2＝80．当销售量为y时，设总成本为p，则p＝50y＝50（﹣10x+1000）＝﹣500x+50000．∵﹣500＜0，∴p随x的增大而减小，∴当x＝80时，p有最小值．∴应将销售单价定为80元．22．【解答】解：（1）CF⊥BD∵tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°∴∠DAC+∠CAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠ABD＝45°，∴∠FCB＝90°，即CF⊥BD．故答案为：CF⊥BD；（2）（1）中的结论仍然成立，即：BD⊥CF，理由如下：如图（2），过点A作AG⊥AC，交BC于点G，则∠DAG+∠DAC＝90°．∵tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°．∴∠AGD＝45°，∴∠ACB＝∠AGD，∴AG＝AC∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，∴∠GAD＝∠CAF，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠AGD＝∠ACF＝45°，∴∠FCB＝90°，即CF⊥BD．∴（1）中的结论仍然成立．（3）线段CP的最大值为1．如图（3），过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q．∴∠AQC＝90°，∵，∴AQ＝CQ＝4．设PC＝y，CD＝x，（由于线段DE与线段CF相交于点P，所以x≤4，即0＜x≤4），则DQ＝4﹣x．由（2）知，CF⊥BD，∴∠AQD＝90°，∴∠DAQ+∠ADQ＝90°，∵四边形ADEF是正方形，∴∠ADE＝90°＝∠AQD，∴∠ADQ+∠CDP＝90°，∴∠DAQ＝∠CDP∴△AQD∽△DCP，∴，即，∴，∴当x＝2时，y有最大值1，即线段CP的最大值为1．23．【解答】解：（1）由题意，分别令y＝﹣x+4中x，y为0得点A（0，4），点B（4，0）．分别将点A，B的坐标代入到y＝﹣x2+bx+c，得，解得．∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）由题意设点P（m，﹣m2+3m+4），Q（m，﹣m+4）（0＜m＜4），则PQ＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m．∵OA＝OB＝4，∴ABO＝∠OAB＝45°，∵PM∥x轴，PQ∥y轴，∴∠PMQ＝∠PQM＝45°，即△PMQ为等腰直角三角形．设△PMQ的周长为l，则，即．易知，当△PMQ的周长取得最大值时，m＝2，将m＝2代入到y＝﹣x2+3x+4中可得，y＝6，∴P（2，6），∵PM∥x轴，∴y M＝y P＝6，∴6＝﹣x M+4，∴x M＝﹣2，∴M（﹣2，6）（3）设点D（m，n），且n＝﹣m2+3m+4，点C（s，4﹣s），而点P、Q的坐标分别为：（2，6）、（2，2），①当PQ是边时，则m＝s，n±4＝4﹣s，解得：m＝2（舍去）或2±，点C的坐标为或；②当PQ是对角线时，2+2＝m+s，6+2＝n+4﹣s，解得：m＝2（舍去）；故点C的坐标为或．。