材料力学1(刘鸿文第四版含课后答案)ppt课件
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刘鸿文版材料力学课件全套1ppt课件共101页
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
受力特点与变形特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
拉（压）杆的受力简图
拉伸
F
FF
压缩
F
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
例题2.2
A 1
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
45° B
C
2
FN1
yF
F N 2 45° B x
解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 FN1co4s5FN20 Fy 0 FN1si4 n5F0
在拉（压）杆的横截面上，与轴
力FN对应的应力是正应力 。根据连
续性假设，横截面上到处都存在着内 力。于是得静力关系：
FN dA
A
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
观察变形：
ac
F
a
c
b
d
bd
横向线ab、cd 仍为直线，且
仍垂直于杆轴
线，只是分别
F 平行移至a’b’、
FNkN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
出图示杆件的轴力图。
1 F2
2 F3 3
FN1
FN2
F2
FN3
10
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
受力特点与变形特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
拉（压）杆的受力简图
拉伸
F
FF
压缩
F
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
例题2.2
A 1
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
45° B
C
2
FN1
yF
F N 2 45° B x
解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 FN1co4s5FN20 Fy 0 FN1si4 n5F0
在拉（压）杆的横截面上，与轴
力FN对应的应力是正应力 。根据连
续性假设，横截面上到处都存在着内 力。于是得静力关系：
FN dA
A
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
观察变形：
ac
F
a
c
b
d
bd
横向线ab、cd 仍为直线，且
仍垂直于杆轴
线，只是分别
F 平行移至a’b’、
FNkN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
出图示杆件的轴力图。
1 F2
2 F3 3
FN1
FN2
F2
FN3
10
刘鸿文主编(第4版) 高等教育出版社《材料力学》课件全套
解： 用截面m-m将钻床截为两部分，取上半 部分为研究对象，
受力如图：
列平衡方程:
M
Y 0 FN P
Mo(F) 0
FN
Pa M 0
M Pa
目录
§1.4 内力、截面法和应力的概念
为了表示内力在一点处的强度，引入内力集度,
即应力的概念。
F A
pm
F A
—— 平均应力
C
p lim F A0 A
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 FN1 cos 45 FN2 0
x
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m
F m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
2、轴力：截面上的内力
F
由于外力的作用线
与杆件的轴线重合，内
力的作用线也与杆件的
轴线重合。所以称为轴
力。 F 3、轴力正负号：
拉为正、压为负
4、轴力图：轴力沿杆 件轴线的变化
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.1
A
F1
若：构件横截面尺寸不足或形状
不合理,或材料选用不当
___ 不满足上述要求,
不能保证安全工作.
若：不恰当地加大横截面尺寸或
选用优质材料
___ 增加成本,造成浪费
}均 不 可 取
研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。因此在 进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和 手段。
受力如图：
列平衡方程:
M
Y 0 FN P
Mo(F) 0
FN
Pa M 0
M Pa
目录
§1.4 内力、截面法和应力的概念
为了表示内力在一点处的强度，引入内力集度,
即应力的概念。
F A
pm
F A
—— 平均应力
C
p lim F A0 A
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 FN1 cos 45 FN2 0
x
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m
F m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
2、轴力：截面上的内力
F
由于外力的作用线
与杆件的轴线重合，内
力的作用线也与杆件的
轴线重合。所以称为轴
力。 F 3、轴力正负号：
拉为正、压为负
4、轴力图：轴力沿杆 件轴线的变化
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.1
A
F1
若：构件横截面尺寸不足或形状
不合理,或材料选用不当
___ 不满足上述要求,
不能保证安全工作.
若：不恰当地加大横截面尺寸或
选用优质材料
___ 增加成本,造成浪费
}均 不 可 取
研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。因此在 进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和 手段。
材料力学(刘鸿文版)全套课件 PPT
850 750 650 550
104
105
106
107
108
N
从图可以得出三点结论：
(1)对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅 。
(2)材料的疲劳寿命N 随应力幅 的增大而减小。
(3)存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅
称为疲劳极限，记为 -1 。
目录
对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的水平部分，一般规定
Δ
max
m in
O t
目录
通常用以下参数描述循环应力的特征
(1)应力比 r
r min max
r = -1 ：对称循环 ； r = 0 ：脉动循环 。
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅
max min
(3)平均应力 m
B L
解： ⑴ 弯矩方程
F
A
M (x) M e Fx
Me
⑵ 变形能
V
L
M 2 (x) dx 2EI
L
1 2EI
(M
e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和M0分别作用时
A M0
V 1
MeL 2EI
F 2 L3 V 2 6EI
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功
能原理求自由端B的挠度。
F
解：
l
x
M (x) F x
V
材料力学ppt(刘鸿文第四版含课后答案)
V
应力分布均匀 均匀时 应力分布均匀时
N Al N l U = uV = V = = 2 2E 2EA 2EA
Nl 推广到多杆系统 U = ∑ i=1 2E A i i
1 由能量守恒原理 U =W= P∆l 2 2 n 有 1 Ni li P∆l = ∑ 2 i=1 2E A i i
n 2 i i
关于静不定的基本概念
静定问题
静不定问题 —— 静不定次数 —— 多余约束 ——
求解静不定问题的基本方法
力的平衡关系。 静力平衡方程 －力的平衡关系。 变形与约束的协调关系。 变形协调方程 － 变形与约束的协调关系。 力与变形的关系。 物理关系 － 力与变形的关系。
例 1 (书p.50) 书 已知：1、2杆相同，抗拉 杆相同， 已知： 、 杆相同 刚度为E 刚度为 1A1 , 3杆的抗拉 杆的抗拉 长为l 角 刚度为E 刚度为 3A3 , 长为 , α角。 各杆的内力。 求：各杆的内力。 解： 静不定的次数？ 静不定的次数？
(2) 变形协调方程 (3) 物理关系
∆l1 = ∆l2 = ∆l3 cosα (3) N1l N3l ∆l1 = ∆l3 = E1A cosα E3 A 1 3
(4)
物理关系代入变形协调方程
N1l N3l = cosα E A cosα E3 A 1 1 3
与平衡方程联立，可解出 与平衡方程联立，可解出:
D
C
B
2 l N2
3
1
αα
A P y N3
αα
∑X = 0 N1 sin α − N2 sinα = 0 N1 = N2 ∑Y = 0 N3 +2N1 cosα − P = 0
N1
x
P
应力分布均匀 均匀时 应力分布均匀时
N Al N l U = uV = V = = 2 2E 2EA 2EA
Nl 推广到多杆系统 U = ∑ i=1 2E A i i
1 由能量守恒原理 U =W= P∆l 2 2 n 有 1 Ni li P∆l = ∑ 2 i=1 2E A i i
n 2 i i
关于静不定的基本概念
静定问题
静不定问题 —— 静不定次数 —— 多余约束 ——
求解静不定问题的基本方法
力的平衡关系。 静力平衡方程 －力的平衡关系。 变形与约束的协调关系。 变形协调方程 － 变形与约束的协调关系。 力与变形的关系。 物理关系 － 力与变形的关系。
例 1 (书p.50) 书 已知：1、2杆相同，抗拉 杆相同， 已知： 、 杆相同 刚度为E 刚度为 1A1 , 3杆的抗拉 杆的抗拉 长为l 角 刚度为E 刚度为 3A3 , 长为 , α角。 各杆的内力。 求：各杆的内力。 解： 静不定的次数？ 静不定的次数？
(2) 变形协调方程 (3) 物理关系
∆l1 = ∆l2 = ∆l3 cosα (3) N1l N3l ∆l1 = ∆l3 = E1A cosα E3 A 1 3
(4)
物理关系代入变形协调方程
N1l N3l = cosα E A cosα E3 A 1 1 3
与平衡方程联立，可解出 与平衡方程联立，可解出:
D
C
B
2 l N2
3
1
αα
A P y N3
αα
∑X = 0 N1 sin α − N2 sinα = 0 N1 = N2 ∑Y = 0 N3 +2N1 cosα − P = 0
N1
x
P
材料力学全套刘鸿文版
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m
F m
F
FN
FN
Fx 0
FN F0 FN F
1、截面法求内力
F (1)假想沿m-m横截面将
杆切开
(2)留下左半段或右半段
F (3)将弃去部分对留下部分
的作用用内力代替
(4)对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
圣 维 南 原 理
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.2
A 1
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
45° B
C
2
FN1
F
y
F N 2 45° B x
Fx 0
FN3F425kN
x 2、绘制轴力图。
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面 积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
在拉（压）杆的横截面上，与轴
力FN对应的应力是正应力 。根据连
续性假设，横截面上到处都存在着内 力。于是得静力关系：
x
lim x0
s x
g lim(LMN)
2 MN0
M L0
类似地，可以定义 y , z ,g 均为无量纲的量。
目录
§1.5 变形与应变
例 1.2
c
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m
F m
F
FN
FN
Fx 0
FN F0 FN F
1、截面法求内力
F (1)假想沿m-m横截面将
杆切开
(2)留下左半段或右半段
F (3)将弃去部分对留下部分
的作用用内力代替
(4)对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
圣 维 南 原 理
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.2
A 1
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
45° B
C
2
FN1
F
y
F N 2 45° B x
Fx 0
FN3F425kN
x 2、绘制轴力图。
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面 积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
在拉（压）杆的横截面上，与轴
力FN对应的应力是正应力 。根据连
续性假设，横截面上到处都存在着内 力。于是得静力关系：
x
lim x0
s x
g lim(LMN)
2 MN0
M L0
类似地，可以定义 y , z ,g 均为无量纲的量。
目录
§1.5 变形与应变
例 1.2
c
刘鸿文版材料力学第一章
材料力学
刘鸿文主编(第4版) 高等教育出版社
目录
第一章 绪论
目录
第一章 绪论
§1.1 材料力学的任务 §1.2 变形固体的基本假设 §1.3 外力及其分类 §1.4 内力、截面法及应力的概念 §1.5 变形与应变 §1.6 杆件变形的基本形式
目录
§1.1 材料力学的任务
一、材料力学与工程应用
古代建筑结构
FN 2 20kN
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A
FN 1 28.3kN FN 2 20kN
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
FN 1
yF
FN 2 45° B x
F
1
FN 1 A1
28.3 103
202 106
4
90 106 Pa 90MPa
2
FN 2 A2
20 103 15210 6
M'
刚性位移； 变形位移。
2.变形
M
物体内任意两点的相对位置发生变化。
取一微正六面体
y
两种基本变形：
线变形
L
—— 线段长度的变化
角变形
M x
——线段间夹角的变化 o
L'
x+s
M'
N'
N
x
目录
§1.5 变形与应变 y
3.应变 L'
正应变（线应变）
L
x方向的平均应变：
x+s
s xm x
x M'
o
N
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
刘鸿文主编(第4版) 高等教育出版社
目录
第一章 绪论
目录
第一章 绪论
§1.1 材料力学的任务 §1.2 变形固体的基本假设 §1.3 外力及其分类 §1.4 内力、截面法及应力的概念 §1.5 变形与应变 §1.6 杆件变形的基本形式
目录
§1.1 材料力学的任务
一、材料力学与工程应用
古代建筑结构
FN 2 20kN
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A
FN 1 28.3kN FN 2 20kN
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
FN 1
yF
FN 2 45° B x
F
1
FN 1 A1
28.3 103
202 106
4
90 106 Pa 90MPa
2
FN 2 A2
20 103 15210 6
M'
刚性位移； 变形位移。
2.变形
M
物体内任意两点的相对位置发生变化。
取一微正六面体
y
两种基本变形：
线变形
L
—— 线段长度的变化
角变形
M x
——线段间夹角的变化 o
L'
x+s
M'
N'
N
x
目录
§1.5 变形与应变 y
3.应变 L'
正应变（线应变）
L
x方向的平均应变：
x+s
s xm x
x M'
o
N
FN
A
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
材料力学(刘鸿文第四版含课后答案)ppt课件
0.521 04(m)
lAC
N3l3 EA3
51030.5 1201094104
0.52104(m)
AB杆的变形
lAB lB D lC D lAC 1.051 04(m)
例 2 (书例2. 7) 已知： BC杆: d=20mm, BD杆: 8号槽钢。[]= 160 MPa, E=200GPa, P=60kN。 求：校核强度及B点位移。
dx
两面的力为:
dydz
x方向的伸长为: dx
当应力有一个增量d 时,
d 1
x方向伸长的增量为: ddx
则元功为:
dydz ddx
力所作的功为: dW 0 1dydzddx
dy
拉伸曲线
dz dx
1 d
则力所作的功为:
dW 0 1dydzddx
01ddV
(01d)dV
d
所以: dUdW(01d)dV
sin4/5, cos3/5, cot3/4
B1B3 1.56103m BB3 1.78103m
§2. 9 轴向拉伸或压缩的变形能
1 变形能 弹性体在外力作用下，因变形而储存
的能量称为变形能（或应变能）。
力的功 力的元功
P 拉伸曲线
dP
l
dWPd (l)
力的总功
P1
W0l1 Pd(l)
当应力小于 P
§2. 8 轴向拉伸或压缩时的变形
直杆轴向拉压时变形的特点
1. 轴向变形
轴向变形量
l l1l
下面建立变形与力之间的关系
应变
l
l
1. 轴向变形 轴向变形量
l l1l
应变 l
应力 N
l
材料力学-刘鸿文-第4版(一)
脆性材料 brittle materials ，以铸铁为代表.
两种实验：拉伸实验和压缩实验.
材料拉伸时的机械性能
试件 specimen : 依 l / d 有五倍试件和十倍试件两种. l为标距 gauge length .
61
1、低碳钢拉伸实验
用拉伸实验机进行实验。注意实验机的加载结构。
1. 加载实验 = P/A = Dl / l 比例阶段: 当 p 材料服从Hook’s law, 比例极限 p proportional limit 屈服阶段: 屈服现象，滑移线 屈服极限 s yielding point 强化阶段: 强化现象. 强度极限 b ultimate strength 颈缩阶段: 颈缩现象. 延伸率 = [(l1 – l) / l] 100% (1-7) 断面收缩率 = [(A – A1) / A] 100% (1-8) 2. 加载－卸载实验 卸载定律: 卸载过程中应力和应变按直线变化 弹性阶段: 弹性现象, 弹性极限 e elastic limit 3. 加载－卸载－重新加载实验 冷作硬化现象 Phenomenon of Cold-working ： 试件加载超过屈服极限，卸载后重新加载引起比例极限增加和残余变形减少 的现象.
Forces)
同一位置处左、右侧截面上内力 分量必须具有相同的正负号。 FN FQ FN
FQ
43
FQ FN
FN
FQ
44
应力就是单位面积上的内力 ?
工程构件，大多数情形下，内力并非 均匀分布，集度的定义不仅准确而且重 要，因为“ 破坏” 或“ 失效”往往 从内力集度最大处开始。
45
应力—分布内力在一点的集度
材料力学-刘鸿文-版课件chap1
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-4 内力、截面法和应力的概念
内力：受外力作用引起的相互作用； 材料力学中的内力：物体内部各部分之间因 外力而引起的附加相互作用力，即“附加内 力”；
内力随外力的增加而加大，随外力的撤 除而消失。
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-4 内力、截面法和应力的概念
§1-1 材料力学的任务
刚度问题：
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-1 材料力学的任务
对构件在荷载作用下正常工作的要求 Ⅲ. 满足稳定性要求——荷载作用下杆件 能保持原有形态的平衡。
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-1 材料力学的任务
稳定性问题：
16.04.2020
材料力学 第一章பைடு நூலகம்绪论
材料力学 第一章 绪论
P
O
X0,PF N0
M FN
m o0,P aM 0
∴ FNP,MPa
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-4 内力、截面法和应力的概念
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-1 材料力学的任务
工程结构或机械的各组成部分统称为构件
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
工程结构或机械结构实例：
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
工程结构或机械结构实例：
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
工程结构或机械结构实例：
内力：
轴向分量: 力：轴力 FN 力矩：扭矩T
横向分量:
力：剪力 Fsy、FSZ 力矩：弯矩 My、Mz
材料力学 第一章 绪论
§1-4 内力、截面法和应力的概念
内力：受外力作用引起的相互作用； 材料力学中的内力：物体内部各部分之间因 外力而引起的附加相互作用力，即“附加内 力”；
内力随外力的增加而加大，随外力的撤 除而消失。
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-4 内力、截面法和应力的概念
§1-1 材料力学的任务
刚度问题：
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-1 材料力学的任务
对构件在荷载作用下正常工作的要求 Ⅲ. 满足稳定性要求——荷载作用下杆件 能保持原有形态的平衡。
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-1 材料力学的任务
稳定性问题：
16.04.2020
材料力学 第一章பைடு நூலகம்绪论
材料力学 第一章 绪论
P
O
X0,PF N0
M FN
m o0,P aM 0
∴ FNP,MPa
16.04.2020
材料力学 第一章 绪论
§1-4 内力、截面法和应力的概念
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材料力学 第一章 绪论
§1-1 材料力学的任务
工程结构或机械的各组成部分统称为构件
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材料力学 第一章 绪论
工程结构或机械结构实例：
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材料力学 第一章 绪论
工程结构或机械结构实例：
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材料力学 第一章 绪论
工程结构或机械结构实例：
内力：
轴向分量: 力：轴力 FN 力矩：扭矩T
横向分量:
力：剪力 Fsy、FSZ 力矩：弯矩 My、Mz
材料力学刘鸿文第四版第一章课件绪论
美国桥塌事件
§ 1 . 2 变形固体的基本假设
一、可变形固体 在荷载作用下发生变形（尺寸的改变和形状的改变）的固体。
二、可变形固体的基本假设 1，连续性假设 物体在其整个体积内充满了物质而毫无空隙
(1) 变形必须满足几何相容条件，即变形后的固体既不引起 “空隙”，也不产生“挤入“现象。
(2) 把某些力学量看作固体点的位置函数时，可进行极限分析。 2，均匀性假设 各点处的力学性质是完全相同的 (3) 从物体内任意一点处取出的体积单元，其力学性能都能 代表整个物体的力学性能。 3，各向同性假设 材料在各个方向的力学性质相同。
20世纪产生的诸多高新技术，如高层建筑、大跨度桥梁、 海洋平台、精密仪器、航空航天器、机器人、高速列车以及 大型水利工程等许多重要工程更是在力学指导下得以实现 ， 并不断发展完善的。
高层建筑
大跨度桥梁
航空航天器
另有一些高新技术，如核反应堆工程、电子工程、计算机 工程等，虽然是在其他基础学科指导下产生和发展起来的，但 都对力学提出了各式各样的、大大小小的问题。如核反应堆压 力壳在高温和压力作用下，其形状和壁厚的设计？等等。
m
m
(1) 在求内力的截面处，将构件假想切开成两部分
m
m
m
m
m
m
(2) 留下一部分，弃去一部分 ，并以内力代替弃去部分 对留下部分的作用
m
m
m
m
m
m
(3) 根据留下部分的平衡条件求出该截面的内力
三，应力 求截面上 a 点的应力 包围 a 点取一微面积 A A 上内力的总和为 F 。
pm
F A
Pm 称为A上的平均应力。
各构件在正常工作情况下一般承受的力。 外力 —— 荷载和约束反力
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dx
两面的力为:
dydz
x方向的伸长为: dx
当应力有一个增量d 时,
d 1
x方向伸长的增量为: ddx
则元功为:
dydz ddx
力所作的功为: dW 0 1dydzddx
dy
拉伸曲线
dz dx
1 d
则力所作的功为:
dW 0 1dydzddx
01ddV
(01d)dV
d
所以: dUdW(01d)dV
求：AB杆的变形。
N1
解：(1) 求轴力
BD段 N1 5(kN)N2
CD段 N2 5(kN)
AC段 N3 5(kN)
N3
(1) 求轴力
BD段 N1 5(kN) CD段 N2 5(kN) AC段 N3 5(kN)
0.5 1201092104
1.051 04(m)
1
比能:
u dU dV
01 d
当应力小于比例极限时
u 1
2
比能:
u
dU dV
01
当应力小于比例极限时
d
u
1
由胡克定律 E
2
u 1 E 2 或: u 2
2
2E
由比能求应变能
应力分布均匀时 UuV
应力分布不均匀时 U udV V
应力分布均匀时
UuV2 E 2V2 NE 2A A2l2N E2A l
0.521 04(m)
lAC
N3l3 EA3
51030.5 1201094104
0.52104(m)
AB杆的变形
lAB lB D lC D lAC 1.051 04(m)
例 2 (书例2. 7) 已知： BC杆: d=20mm, BD杆: 8号槽钢。[]= 160 MPa, E=200GPa, P=60kN。 求：校核强度及B点位移。
sin4/5, cos3/5, cot3/4
B1B3 1.56103m BB3 1.78103m
§2. 9 轴向拉伸或压缩的变形能
1 变形能 弹性体在外力作用下，因变形而储存
的能量称为变形能（或应变能）。
力的功 力的元功
P 拉伸曲线
dP
l
dWPd (l)
力的总功
P1
W0l1 Pd(l)
当应力小于 P
n
推广到多杆系统 U
Ni2li
i1 2Ei Ai
由能量守恒原理 UW 1 Pl 2
有
1 Pl n Ni2li
2
i1 2Ei Ai
例 3 (书例2. 9)
已知: BD杆外径90mm，壁 厚2.5mm，杆长l=3m。E = 210 GPa。BC是两条钢索， 每根截面积172 mm2，E1= 177GPa。P = 30kN , 不考虑 立柱变形。 求: B点垂直位移。
比例极限时 W 1 Pl 2
l
P
l d(l) l l1
力的总功
W0l1 Pd(l)
当应力小于
dP
P 拉伸曲线
P1
比例极限时
P
W 1 Pl 2
l
l d(l) l
P 变形能
l
l1
由能量守恒原理 UW 1 Pl 2
2 比能(应变能密度)
拉伸曲线
1 d
单位体积内的变形能。
取一单元体：
单元体上下
dy dz
0.731203m
(4) 计算B点位移
确定变形后B点的位置B3 B点水平位移
BB1 l10.861 03m
(4) 计算B点位移
确定变形后B点的位置B3 B点水平位移
BB1 l10.861 03m
B点垂直位移
B1B3 B1B4 B4B3
BB2sinB2B4cot l2s in(BB 2cos BB1) cot l2sin (l2cosl1) cot
1.9 4 310 3P4.48103m N1
N2 P
§2. 10 拉伸、压缩静不定问题
关于静不定的基本概念
静定问题 —— 未知力（内力或外力）个 数等于独立的平衡方程数;
解：解三角形得 BC=l1=2.20m, CD=1.55m BC、BD的截面积分别为
A1＝344mm2, 取B点，受力如图：
A=687mm2
取B点，受力如图：
N11.41P, N21.93P
外力P所作的功等于BC及BD 杆的变形能，所以
P
W 1 P
N
2 1
l
1
N
2 2
l
2
2 E 1 A1 2 EA
泊松比或横向变形系数。
上式也可写成：
几种常用材料的E和的约值(表2. 2)
3. 变截面杆的轴向变形
取一微段，
微段的伸长
d(l) N ( x ) d x EA ( x )
积分得：
l
l
N(x)dx EA(x)
例 1 变截面杆
已知： BD段A1=2cm2, AD段 A2=4cm2, P1=5kN, P2=10kN, E=120GPa 。 图中尺寸为cm。
lCD
N2l2 EA2
1205110903401.504 0.521 04(m)
lAC
N3l3 EA3
51030.5 1201094104
0.52104(m)
(2) 求变形
lBD
N1l1 EA1
1205110903201.504 1.051 04(m)
lCD
N2l2 EA2
51030.5 1201094104
注意：上式只在应力不超过比例极限时成立。
推广: (1) 阶梯轴
l Nili Ei Ai
(2) 变截面轴
l
l
N(x) EA(x)
dx
l1
l2
l3
A1
A2
A3
x
N(x)+dN(x)
N(X)
N(X)
q
l
q
dx N(X)
N(x)
P
P
2. 横向变形
横向变形量
bb1b
横向应变
b
试验证明
b
当应力不超过比例极限时，有：
1
N1 A1
143MPa
[]16M 0 Pa
2
N2 A2
73.2MPa[]16M 0 Pa
(3) 计算杆的变形
BC杆变形
l1 BB1
N 1l1 EA 1
0.86103m
(3) 计算杆的变形
BC杆变形
l1 BB1
N 1l1 0.861 03m EA 1
BD杆变形 l2DB2m
l2 BB2
N 2l2 EA 2
解：(1) 求轴力
取B点 N1 45(kN()拉) N2 75(kN()压)
(2) 计算应力
BC杆面积 A13114 06m2 BD杆面积 查型钢表(p.414)得 A 210.82 14 0 6m 2
(2) 计算应力
BC杆面积 A13114 06m2
BD杆面积 查型钢表得(p. 414)
应力 A 210.82 14 0 6m 2
§2. 8 轴向拉伸或压缩时的变形
直杆轴向拉压时变形的特点
1. 轴向变形
轴向变形量
l l1l
下面建立变形与力之间的关系
应变
l
l
1. 轴向变形 轴向变形量
l l1l
应变 l
应力 N
l
A
应力-应变关系 E
N E l
A
l
l Nl Pl EA EA
胡克定律的 另一种形式
EA 抗拉(或抗压)刚度