【高考数学】高考数列不动点法解题方法整理版

利用“不动点”法巧解高考题

由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．

1 不动点的定义

一般的，设()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立，则称x 0为f x ()的 不动点，或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。

2 求线性递推数列的通项

定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,

n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。证：∵x 0是f x ()的不动点，所以ax b x 00+=，

所以，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··，∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。 例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .

证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即

15166n n a a -=

+(2)n ≥，记51

()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：15

1(1)(2)6

n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列。(2)解略。

3求非线性递推数列的通项

定理2 设()(00)ax b

f x c ad bc cx d +=≠-≠+，，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列{

}a x a x n n --12是公比为a x c

a x c

--12的等比数列；（ⅱ）

120x x x ==，则数列{

}1

a x n -是公差为

2c a d +的等差数列。 证：（ⅰ）由题设知

11

1111111

()ax b b dx x x dx b a cx x cx d a cx +-=⇔=-⇔-=-+-；

同理222().dx b a cx x -=-∴

1122()()n n a cx a b dx a cx a b dx -+-=

-+-1

122

n n a x a cx a cx a x --=⋅

--， 所以数列{

}a x a x n n --12是公比为

a cx a cx --1

2

的等比数列。 （ⅱ）由题设知

ax b

cx d

++＝

x 的解为120x

x x ==，

∴x a d

c 02=-且b dx a cx --00

＝-x 0。所以1110000a x aa b ca d

x ca d a cx a b dx n n n n n +-=++-=+-+-()00000()()

()()n n n n

ca d ca d a cx a x a cx a a cx ++==

---+- 000000001()()n n n ca cx d cx d cx c a cx a x a cx a cx a x -+++==+⋅-----00

122n a d

d c c c a cx a x a c c

-+⋅

=+

⋅---⋅ 000112n n c c

a cx a x a x a d

=

+=+

---+，所以数列{}10a x n -是公差为2c a d +的等差数列。 例2 （2006年全国Ⅱ卷22题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程02=-⋅-n n a x a x 有一根为1-n S )(*N n ∈。求数列{}n a 的通项公式。 解：依题211=

a ，且0)1()1(2=--⋅--n n n n a S a S ，将1--=n n n S S a 代入上式，得1

21

--=n n S S ，记()1

2f x x

=

-，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理2（ⅱ）知：12111111n n n n S S S S +-==-+---，

所以数列11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭

是公差为1-的等差数列，所以1+=n n

S n

，因此数列{}n a 的通项公式为1

1

+=

n a n 。

例3 （2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列{}n a 中，1111,.n n

a a c a +==-

（Ⅰ）设51

,22

n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式. （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的

取值范围 . 解：（Ⅰ）依题152

5122n n n n

a a a a +-=

-=

，记52()2x f x x -=，令()f x x =，求出不动点121,22x x ==；由定理2（ⅰ）知：11

11

2222n n n

n

a a a a +--

=-=⋅，1

211122

2

n n n

n

a a a a +--=-=⋅ ；

两式相除得到1122111422n n n n a a a a ++--=⋅--，所以212n n a a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭是以14为公比，112

212

a a -=--

为首项的等比数列，所以，1

1

213

2,2,1424

2

n n n n n a a a ---⎛⎫

=-⋅=- ⎪

+⎝⎭-从而124.33n n b -=--（Ⅱ）解略。 定理 3 设2()(0)2ax b

f x a ax d

+=

≠+，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，则有

2111122()n n n n a x a x a x a x ++--=--；若1112

0a x

a x ->-，则12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭

是公比为2的

等比数列。

证：∵x x 12、是f x ()的不动点，∴211dx b ax =-，2

22

dx b ax =-。21112122(2)(2)n n n n n n a x a a b a a d x a x a a b a a d x ++-⋅+-⋅+=-⋅+-⋅+221122

2222n n n n a a b a a x ax b

a a

b a a x ax b

⋅+-⋅⋅+-=⋅+-⋅⋅+- 2

2211122

222

(2)()(2)n n n n n n a a a x x a x a a a x x a x -⋅+-==-⋅+-，又11

120a x a x ->-，则120n n a x a x ->-， ∴111122

ln

2ln n n n n a x a x

a x a x ++--=--，故12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭

是公比为2的等比数列。