由f （x ）是R 上的奇函数，不等式f （x －t ）＋f （x 2
－t 2
）≥0可化为f （x －t ）≥－f （x 2
－t 2
），即f （x －t ）≥f （－x 2
＋t 2
），又f （x ）是R 上的增函数，∴f （x －t ）≥f （－x 2
＋t 2
）等价于x －t ≥－x 2
＋t 2
，
即x 2
＋x －t 2
－t ≥0对一切]2,1[∈x 恒成立，即t t x x +≥+2
min 2
)( 9分
即t t +≥22解得12≤≤-t
综上所述，存在12≤≤-t 使不等式f （x －t ）＋f （x 2
－t 2
）≥0对一切]2,1[∈x 恒成
立． 12分
考点：1、函数的奇偶性判断；2、函数单调性的证明；3、关于含参数的恒成立问题； 2、用定义证明函数的单调性，一般的思路是：设点，作差，变形，判断符号，3、含参数的恒成立问题一般采用参变分离的方法．
4．已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且1)1(=f ，若[]0,1,1,≠+-∈n m n m 时，
有
0)
()(>++n
m n f m f
（1）证明
)(x f 在[]1,1-上是增函数；
（2）解不等式0)33()1(2
<-+-x f x f
（3）若12)(2
+-≤at t x f 对[][]1,1,1,1-∈-∈∀a x 恒成立，求实数t 的取值范围
【答案】（1）详见解析 （2）
⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈34,1x （3）022=-≤≥t t t 或或 【解析】
试题分析：（1）利用定义法任取
1121≤<≤-x x 得
12()()f x f x -=12()()
f x f x +-121212
()()
()
f x f x x x x x +-=
--因
为
0,0)
()(212
121<->--+x x x x x f x f 即可证明12()()f x f x <．（2）根据函数单调性确定
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤--<-1
33111133122x x x x 即可解得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,1x ．（3）因为)(x f 在[]1,1-是单调递增函数且
max ()f x ＝1，所以只要f(x ）的最大值小于等于221t at -+即2211t at -+≥，然后即
可求得t 的范围.
试题解析：（1）任取1121≤<≤-x x ，
则)()
()()()()()(212
1212121x x x x x f x f x f x f x f x f ---+=
-+=- 2分
0)(,112121≠-+∴≤<≤-x x x x ，由已知
0,0)
()(212
121<->--+x x x x x f x f 4分
0)()(21<-∴x f x f ，即)(x f 在[]1,1-上是增函数 5分
（2）因为
)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且在[]1,1-上是增函数
不等式化为
)33()1(2-<-x f x f ，所以
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤--<-1
33111133122x x x x ，解得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,1x 9分
（3）由（1）知
)(x f 在[]1,1-上是增函数，所以)(x f 在[]1,1-上的最大值为1)1(=f ，
要使
12)(2+-≤at t x f 对
[][]1,1,1,1-∈-∈∀a x 恒成立，只要
0211222≥-⇒≥+-at t at t 10分
