平面向量的概念和背景ppt课件

平行向量 向量a，b平行，记作 a∥b .
(共线向量) 规定：零向量与任一向量 长度相等 且方向 相同 的向量．
相等向量 向量a，b相等，记作 a＝b
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分析思考
1．“向量就是有向线段，有向线段就是向量”这一说法对吗？ 提示：不对．向量只有大小和方向两个元素，与起点无关，
有向线段有起点、大小和方向． 2．单位向量都是相等向量对吗？
的集合是以 A 为圆心的单位圆．
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uuur
uur
解：(1)正确，由于|a|＝| AB |＝|AB|，|b|＝| BA|＝|BA|＝|AB|，因
此有|a|＝|b|.
(2)不正确，由单位向量的定义知，凡长度为 1 的向量均称为单位
向量，但是对方向没有任何要求，因此说法(2)不正确．
uuur uur
uuur
通常在印刷时，用黑体小r 写r 字母r a，b，c，…表示向量， 书写时用带箭头的小写字母 a ，b ，c ，…表示向量．
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3．向量的长度(模)
uuur
uuur
| AB|(或|a|)表示向量 AB
(或 a)的 大小 ，即长度(或称模)．
4．向量的有关概念
零向量 长度等于 零 的向量，记作 0
单位向量 长度等于 1个单位 的向量 方向 相同或相反 的非零向量．
提示：利用有向线段表示． 问题4：如何表示？ 提示：有向线段的方向表示量的方向，长度表示量 的大小．
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新课讲解
1．向量的定义
既有 大小 ，又有 方向 的量称为向量．
2．向量的表示方法
(1)用有向线段表示：
带有
方向 的线段叫做有向线段，以 u u ur
A
为起点，B
为终点的
有向线段记作 A B .
(2)用字母表示：
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[解析]：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，但 方向相同或相反，所以 a 与 b 有共线的可能，故①不正确；
对于②，A，B，C，D 四点可能在同一条直线上，故②不正 uuur uuur uuur uuur
确；对于③，在▱ABCD 中，| AD|＝| BC |， AD与 BC 平行且方向 uuur uuur
(3)正确，因为| AB|＝| BA|，所以当 AB是单位向量时，BA―→也
是单位向量． uuur
(4)正确，由于向量| AP|＝1，所以点 P 是以点 A 为圆心的单位圆
上的一点．反过来，若点 P 是以点 A 为圆心，1 为半径的单位圆
uuur
uuur
上的任一点，则由于| AP|＝1，所以向量 AP是单位向量，因此说
相同，所以 AD＝ BC ，故③正确； 对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 方向相同；b＝c，则|b|
＝|c|，且 b 与 c 方向相同，所以 a 与 c 方向相同且模相等，故 a ＝c，故④正确；
对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所 在直线互相平行的向量，故⑤不正确．
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3．共线向量与平行向量．
(1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方
向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，
其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．
(2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且 模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就 找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等 向量，而相等向量一定是共线向量．
提示：不对．单位向量大小相等而方向不一定相同． 3．零向量没有方向是否正确？
提示：不正确．零向量的方向不确定，即方向是任意的．
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深化理解
1．向量和数量． 向量不同于数量，数量只有大小，没有方向，是一个代数 量，可以进行代数运算，能比较大小；向量有方向和大小双重 性，且不能比较大小． 2．向量与有向线段． 向量用有向线段表示，说明向量被赋予了几何意义，也显 示了图形的直观性，但有向线段是向量的表示，并不是说向量 就是有向线段．
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例题讲解
[例 2] 已知汽车从 A 地按北偏东 30°的方向行驶 200 km 到 达 B 地，再从 B 地按南偏东 30°的方向行驶 200 km 到达 C 地，
2.1 平面向量的概念 和背景
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问题引入
问题1：在日常生活中，有很多量如面积、质量、速 度、位移等，这些量有什么区别？
提示：速度和位移既有大小，又有方向；而面积、 质量只有大小，没有方向．
问题2：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段， 试想有向线段应包含什么要素？
提示：起点、方向、长度．
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问题3：对既有大小、又有方向的量，如何形象、直 观地表示出来？
答案：A
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3．对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？ (1)把所有单位向量的起点平移到同一点 P； (2)把平行于直线 l 的所有单位向量的起点平移到直线 l 上的 点 P； (3)把平行于直线 l 的所有向量的起点平移到直线 l 上的点 P.
解：(1)是以 P 点为圆心，以 1 个单位长为半径的圆． (2)是直线 l 上与点 P 的距离为 1 个单位长的两个点． (3)是直线 l.
(3)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是 平行向量．
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例题讲解
[例 1] 有下列说法： ①若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线；
uuur uuur ②若 AB＝ DC ，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个 顶点；
uuur uuur ③在▱ABCD 中，一定有 AD＝ BC ； ④若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ⑤共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法是________．
[答案] ③④
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跟踪练习
1．判断下列说法是否正确．
uuur
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(1)若向量 a＝ AB，b＝ BA，则|a|＝|b|；
(2)若 a 是单位Байду номын сангаас量，b 也是单位向量，则 a 与 b 的方向相
同或相反；
uuur
uur
(3)若向量 AB是单位向量，则 BA也是单位向量；
(4)以坐标平面上的定点 A 为起点，所有单位向量的终点 P
法(4)正确.
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2．下列说法正确的个数为
()
①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；
②零向量没有方向；
③向量的模一定是正数；
④与非零向量共线的单位向量是唯一的．
A．0
B．1
C．2
D．3
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解析：①错误．只有速度，位移是向量；②错误．零向量 有方向，它的方向是任意的；③错误．|0|＝0；④错 误．与非零向量a共线的单位向量有两个，一个与a同向， 一个与a反向．