中心极限定理证明
中心极限定理两个公式
中心极限定理两个公式中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了独立同分布随机变量的和服从正态分布的近似情况。
在统计学中，中心极限定理是数据分析和推论中非常重要的基本原理，它为我们提供了进行参数估计和假设检验的理论基础。
1.李雅普诺夫定理：设X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，具有相同的均值μ和方差σ^2（标准差σ），并且其生成函数M(t)存在，则对于任意ε>0，有lim [n->∞] P(∣(X1+X2+...+Xn)/n -μ∣<ε√n)=1/√(2π) ∫（-∞到∞） exp(-t^2/2)dt该定理表明当n足够大时，随机变量的和(X1+X2+...+Xn)/n的概率分布可近似地看作一个均值为μ，标准差为σ/√n的正态分布。
也就是说，当样本容量增加时，样本均值的分布趋向于正态分布。
这一结果对于大样本条件下的统计推断非常重要，它使我们得以在很多场景中应用正态分布进行推论，而不受具体分布函数的限制。
2.林德伯格定理（也称为林德伯格-列维定理）：设X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，具有相同的均值μ和方差σ^2（标准差σ），并且其矩生成函数存在，则对于任意ε>0，有lim [n->∞] P(∣(X1+X2+...+Xn)/n -μ∣<ε√n)=1/√(2πσ^2)∫（-∞到∞） exp(-(t-μ)^2/2σ^2)dt这个定理在独立同分布的随机变量的和的极限分布建立了正态分布的形式。
与李雅普诺夫定理不同的是，林德伯格定理对矩生成函数的存在有一定的要求。
矩生成函数是随机变量的一个重要特征，它能够唯一地确定随机变量的分布。
因此，林德伯格定理对于具有矩生成函数的随机变量的和能够提供更为精确的正态分布近似。
1.样本均值的分布近似：当样本容量很大时，根据中心极限定理，样本均值的分布近似为正态分布，这为统计推断提供了数理依据。
例如，我们可以根据样本均值的正态分布性质进行参数估计和假设检验。
第二节中心极限定理
x,总成立
lim P{ μn np x} x
n np(1 p)
1
t2
e 2 dt
2π
定理表明：若 Yn服从二项分布，当n很大时， Yn
的标准化随机变量 Yn np 近似服从标准正态 np(1 p)
分布.
由此可知：当n很大，0<p<1是一个定值时（或
者说，np(1-p)也不太小时），服从二项分布B（n，p) 的随机变量 Yn近似服从正态分布 N(np,np(1-p)).
200 200} 15
P{13.33 X 200 0} Φ(0) Φ(13.33)
15
Φ(0) [1 Φ(13.33)] 0.5 （1 1） 0.5
例2.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕 是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变 量，它取1(元)，1.2 (元)，1.5(元)各值的概率分别为 0.3，0.2，0.5.某天售出300只蛋糕.求这天的收入至少 达400 (元)的概率
D( X i ) E（X i2） [E（X i）]2 1.713 1.292 0.0489
由独立同分布中心极限定理知：
300
X i 300 1.29近似
i 1
~ N (0，1）)
即
300 0.0489
300
i 1
Xi
387近似
~
N (0，1）)
3.8301
300
300
P{ i 1
Xi
400}
X i 387 P{ i1
3.8301
400 387 }
3.8301
300
X i 387
P{ i1
3.39} 1 Φ(3.39)
中心极限定理的内容
中心极限定理的内容一、引言中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了大量独立随机变量之和的分布情况。
该定理在统计学、自然科学、社会科学等领域都有广泛应用。
本文将对中心极限定理进行全面详细的介绍。
二、定义1. 独立随机变量：若随机变量X1，X2，...，Xn相互独立，则称它们是独立随机变量。
2. 标准正态分布：若随机变量Z服从期望为0，方差为1的正态分布，则称Z服从标准正态分布。
3. 中心极限定理：设X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量，且具有期望E(Xi)=μ和方差Var(Xi)=σ^2(σ>0)，则当n充分大时，其样本均值（Xi的平均数）服从正态分布N(μ,σ^2/n)近似成立。
三、证明中心极限定理有多种证明方法，其中比较常用的是利用特征函数进行证明。
以下是一种比较简单易懂的证明方法：假设X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量，其期望为μ，方差为σ^2。
设S_n=X1+X2+...+Xn，则其期望为E(S_n)=nμ，方差为Var(S_n)=nσ^2。
我们定义随机变量Y_n=(S_n-nμ)/(σ√n)，则有：E(Y_n)=E[(S_n-nμ)/(σ√n)]=0Var(Y_n)=Var[(S_n-nμ)/(σ√n)]=1因此，Y_n服从标准正态分布。
即：P(Y_n≤x)=(1/√(2π))*∫(-∞)^x exp(-t^2/2)dt将Y_n表示成X1,X2,...,Xn的函数：Y_n=(X1+X2+...+Xn-nμ)/(σ√n)则有：P(Y_n≤x)=P[(X1+X2+...+Xn-nμ)/(σ√n)≤x]=P[(Xi-μ)/σ≤(x√n)] (i=1,2,...,n)由于Xi是独立同分布的随机变量，因此它们的特征函数相同。
设它们的特征函数为φ(t)，则有：φ(t)=E(exp(itXi))考虑到独立性，我们可以得到：φ(t)^n=E[exp(it(X1+X2+...+Xn))]=E[exp(itX1)]*E[exp(itX2)]*...*E[exp(itXn)]=[φ(t)]^n因此，有：φ(t)=[φ(t)]^n即：φ(t)=exp(inLog[φ(t)])当n充分大时，由于对数函数的泰勒展开式中高阶项的系数比较小，因此可以将其截断为一阶项，得到：Log[φ(t)]=in(1+itμ-σ^2t^2/2)+o(1)其中o(1)表示高阶项。
中心极限定理证明
中心极限定理证明正文第一篇：中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于. 证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:p222ex32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1对及任意的,证明:记,设,由于因此,,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又.令,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有第二篇：大数定理中心极限定理证明一，大数定律的证明二，中心极限定理的证明第三篇：中心极限定理§5.3中心极限定理我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用.为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布?是经验猜测还是确有科学的理论依据，下面我们就来解释这一问题.我们已经知道，炮弹的弹着点射击误差服从正态分布，我们来分析其原因.要知道误差是什么样的随机变量，有必要研究一下造成误差的原因是什么?每次射击后，炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1，炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2，炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差x3，……等等，有许多原因，每种原因引起一个微小的误差都是随机的，而弹着点的总误差x是许多随机误差的总和，即x=?xk,而且xk之间可以看成是相互独立的，因此要讨论x的分布就要讨论这些相互独k立的随机变量之和的分布.在概率论中，我们把研究在一定条件下，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理.本节只介绍两个条件简单，也较常用的中心极限定理.定理4（同分布中心极限定理）设随机变量x1，x2，…,xn…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，e(xk)=?,d(xk)=???(k=1,2,…)则随机变量2?xk-n? k=1?n的分布函数对任意的x，满足n?? n?? ?xk-n? k=1 ?n?x1 ?2 ?? e-? x t22dt第四篇：中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
第三节中心极限定理
定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）(De Moivre--Laplace)
设随机变量n(n=1,2, …) 服从参数为n,p (0<p<1)的二项分布 ，即 n ~ B(n, p).
则对任意x，恒有
lim P{n np x}
n
npq
1
x t2
e 2 dt
即 925 X 1075.
例1、 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从 均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只， 设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿 命的总和大于1920小时的概率.
解: 设第i只元件的寿命为 i , i=1,2, …,16 由题 设知，各 i 独立，
E( i)=100, D( i)=10000
P{14≤X≤30}≈
( 30 20 ) (14 20 )
4
4
=(5/2)-(-3/2)
=0.9937-1+0.9331=0.9268
例3 P170某单位有1000台电话分机，每台分机有5% 的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用 外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条 外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时 1/
6
5
/
6
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
故近似地有
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
0.99,
即
6000
60001/ 6
5
/
6
0.995,
查表得
6000
2.58,
60001/ 6 5 / 6
中心极限定理的证明
林德伯格中心极限定理的证明
中心极限定理：概率论中关于独立的随机变量序列()1,2,,
1,,i i n n ξ=- 的部分和
1
n
i
i ξ
=∑的分布渐近于正态分布的一类定理，是概率论中最重要的一类定理，
有广泛的实际应用背景，常见的是关于独立同分布随机变量之和的中心极限定理，即林德伯格—列维定理。
林德伯格—列维定理: 设()1,2,,
1,,i i n n ξ=- 为独立同分布的随机变
机变量n η依分布收敛于服从标准正态分布的随机变量X ，即
()lim 0 ,1.L
n n X N η→∞
−−→ 随机变量
引理（—特征函数的定义及性质）
随机变量X 的特征函数()()iXt
X t E e
ϕ=；
独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。
证明：用特征函数来证明。
令=i i λξμ-，于是有：i λ独立同分布，且2
()0,() i i E D λλσ==。
设=i i
λξμ-的特征函数为()t ϕ(()t ϕ正态随机变量的概率密度函数)，则n η的特征函数为
开。
正好是服从标准正态分布()0,1N 的随机变量X 的特征函数，即n η的特征函数收敛于标准正态分布随机变量的特征函数，所以由特征函数理论可得知，n η的分布函数()n F η弱收敛于（依分布收敛于）标准正态分布随机变量X 的分布函数()x Φ，即
n
ηL
−−→随机变量() 0,1. X N
证毕。
lindeberg中心极限定理
lindeberg中心极限定理lindeberg中心极限定理（Lindeberg's Central Limit Theorem）是数理统计学中的重要定理之一，它描述了一系列独立随机变量的和近似服从正态分布的情况。
本文将对该定理进行详细的介绍和证明。
我们需要了解一下一些相关的基本概念。
独立随机变量是指彼此之间不存在任何相关关系的随机变量，它们的取值是相互独立的。
常见的独立随机变量包括掷硬币的正反面、骰子的点数等。
当我们进行多次独立随机试验，并将每次试验的结果进行累加，得到一个新的随机变量。
而中心极限定理就是研究这个新的随机变量所满足的概率分布。
假设我们有一个随机变量序列X1, X2, ..., Xn，每个随机变量Xi都是独立同分布的，服从均值为μ，方差为σ²的分布。
我们定义Sn为所有随机变量的和，即Sn = X1 + X2 + ... + Xn。
中心极限定理描述了当n趋向于无穷大时，随机变量Sn/√n的分布趋近于标准正态分布。
具体地说，即对于任意的实数x，在n足够大的情况下，有：P(Sn/√n < x) = Φ(x)其中Φ(x)表示标准正态分布的累积分布函数，也就是计算正态分布在x点左侧的面积。
下面我们来证明Lindegberg中心极限定理。
我们可以通过改写Sn/√n的累积分布函数来进行证明。
对于任意的实数x，我们有：P(Sn/√n < x) = P(Sn < x√n)由于X1, X2, ..., Xn是独立同分布的，我们可以利用它们的特征函数来求解上式。
设Xi的特征函数为Φi(t)，则Sn的特征函数可以表示为：Φn(t) = Φ1(t/√n) × Φ2(t/√n) × ... × Φn(t/√n)由于Xi的分布是对称的，即满足Φi(t) = Φi(-t)，我们有：Φn(t) = [Φ1(t/√n)]ⁿ根据特征函数的性质，我们可以求出Φn(t)的逆Fourier变换为：ψn(x) = ∫[Φ1(t/√n)]ⁿ·e^(ixt)dt然后，我们将ψn(x)与标准正态分布的特征函数相比较：ψ(x) = ∫Φ(t)·e^(ixt)dt其中Φ(t)表示标准正态分布的特征函数。
矩母函数证明中心极限定理
矩母函数证明中心极限定理中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，在概率论中有广泛的应用。
它描述了大样本下样本均值服从正态分布的现象，极大地简化了概率计算。
本文将结合矩母函数的方法，为读者介绍中心极限定理的证明过程。
首先，我们需要了解什么是矩母函数。
矩母函数是一种基本的数学工具，它在概率统计学、数学物理学等领域中有着广泛的应用。
矩母函数的定义式如下：$$M_X(t)=E[e^{tX}]$$其中，$X$为任意一个随机变量，$t$为定义域内的任一实数。
接下来，我们以样本均值的矩母函数为例，探究中心极限定理的证明过程。
设$X_1，X_2，\cdots，X_n$是来自同一总体分布的$n$个独立随机变量，均值和方差分别为$\mu$和$\sigma^2$。
$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$表示$n$个变量的和，$\bar{X}=\frac{1}{n}S_n$表示$n$个变量的平均值。
由定义式可得：将$\bar{X}$拆分为$S_n$之和，得到：又因为$X_1,X_2,\cdots,X_n$是独立同分布的，所以有：$$M_{\bar{X}}(t) = E[\prod_{i=1}^n e^{\frac{t}{n}X_i}]$$所以有：接下来，我们利用泰勒公式，将每一个$M_X(\frac{t}{n})$展开成泰勒级数：将其代入$M_{\bar{X}}(t)$的式子中，展开后得：接下来，我们将上式中的$n$推向无穷大，得到：由于：因此，我们可以得到样本均值的矩母函数的极限形式：根据矩母函数的唯一性，我们可以确定样本均值$\bar{X}$服从参数为$E(X)$的正态分布，即：于是，我们就证明了中心极限定理。
在样本量较大的情况下，样本均值的分布趋近于正态分布，这使得我们可以通过正态分布表来计算概率，大大简化了概率计算的难度。
总结起来，中心极限定理表明，当样本量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
通过矩母函数的方法，我们得到了样本均值的极限形式，证明了中心极限定理的正确性。
中心极限定理 公式
中心极限定理公式
【最新版】
目录
1.中心极限定理的概念
2.中心极限定理的公式
3.中心极限定理的应用
4.总结
正文
1.中心极限定理的概念
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
中心极限定理为我们提供了一个理论依据，使我们可以借助正态分布来研究大量的独立随机变量之和的分布规律。
2.中心极限定理的公式
中心极限定理的公式可以表述为：设随机变量 X1、X2、...、Xn 是独立同分布的，且均值为μ，方差为σ^2。
则当 n 趋近于无穷大时，随机变量 S_n = X1 + X2 +...+ Xn 的分布趋近于一个均值为 nμ，方差为nσ^2 的正态分布。
数学表达式如下：
lim (n→∞) [P(S_n - nμ≤ x) - P(Z ≤ x)] = 0
其中，Z 是标准正态分布随机变量，即均值为 0，方差为 1 的正态分布随机变量。
3.中心极限定理的应用
中心极限定理在实际应用中有广泛的应用，例如在统计学中，我们经
常用样本均值来估计总体均值，这是因为根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近正态分布，而正态分布具有许多优良的性质，这使得我们可以用样本均值来估计总体均值，并得到一个较为精确的估计。
4.总结
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
这个定理为我们提供了一个理论依据，使我们可以借助正态分布来研究大量的独立随机变量之和的分布规律。
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
中心极限定理数学推导
中心极限定理数学推导中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它表明在一定条件下，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。
在本文中，我们将介绍中心极限定理的数学推导过程。
首先，我们需要了解独立同分布随机变量的概念。
独立同分布指的是多个随机变量具有相同的概率分布，并且它们之间相互独立。
例如，抛一枚硬币的正反面朝上都是等概率事件，而连续抛掷多次硬币的结果也是相互独立的。
接下来，我们考虑n个独立同分布的随机变量X1，X2， (X)的和Sn。
根据中心极限定理，当n趋向于无穷大时，Sn的分布近似于正态分布，即：Sn~N(nμ，nσ)其中，μ是X的均值，σ是X的方差。
为了推导这个公式，我们需要使用特征函数的概念。
特征函数是随机变量的生成函数，它可以唯一地确定随机变量的分布。
对于随机变量X，它的特征函数为：φ(t)=E(e^(itX))其中，i是虚数单位，E表示期望值。
对于n个独立同分布的随机变量X1，X2，...，Xn，它们的和Sn 的特征函数为：φ(t)=E(e^(itS_n))=E(e^(it(X_1+X_2+...+X_n)))=E(e^(itX_1)e^(itX_2)...e^(itX_n))=φ(t)其中，最后一个等式是因为X1，X2，...，Xn相互独立。
由于我们假设X1，X2，...，Xn具有相同的概率分布和特征函数，所以我们可以将φ(t)展开为幂级数，得到：φ(t)=（1+itμ-σt/2+o(t))其中，o(t)表示t的高阶无穷小量。
通过泰勒公式，我们可以将(1+itμ-σt/2)展开为幂级数，得到： (1+itμ-σt/2)=1+itμn- σtn/2+o(1)将上面两个式子代入φ(t)中，得到：φ(t)=（1+itμ-σt/2+o(t))=1+itμn- σtn/2+o(1)这个式子与正态分布的特征函数相同，所以我们可以得出：Sn~N(nμ，nσ)这就是中心极限定理的数学推导过程。
通过这个定理，我们可以在不知道随机变量具体分布的情况下，对它们的和进行近似计算，这对于概率论和统计学都有重要的应用。
中心极限定理证明
中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为,即以的概率有设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:p222ex32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1对及任意的,证明:记,设,由于因此,,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又.令,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有一，大数定律的证明二，中心极限定理的证明§中心极限定理我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用.为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布是经验猜测还是确有科学的理论依据，下面我们就来解释这一问题.我们已经知道，炮弹的弹着点射击误差服从正态分布，我们来分析其原因.要知道误差是什么样的随机变量，有必要研究一下造成误差的原因是什么每次射击后，炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1，炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2，炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差x3，……等等，有许多原因，每种原因引起一个微小的误差都是随机的，而弹着点的总误差x是许多随机误差的总和，即x=xk,而且xk之间可以看成是相互独立的，因此要讨论x的分布就要讨论这些相互独k立的随机变量之和的分布.在概率论中，我们把研究在一定条件下，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理.本节只介绍两个条件简单，也较常用的中心极限定理.定理4（同分布中心极限定理）设随机变量x1，x2，…,xn…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，e(xk)=,d(xk)=(k=1,2,…)则随机变量2xk-nk=1n的分布函数对任意的x，满足nnxk-nk=1nx12e-xt22dt中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
中心极限定理_根号n_解释说明以及概述
中心极限定理根号n 解释说明以及概述1. 引言1.1 概述中心极限定理是统计学中一项重要的概念和原理。
它与样本数量有关，描述了当样本数量足够大时，样本均值的分布逐渐接近正态分布的现象。
中心极限定理在统计学、概率论和其他领域中具有广泛的应用。
通过对中心极限定理进行解释和说明，可以帮助我们更好地理解概率和统计的基本原理，同时也为我们进行实际问题的分析和推断提供了有力工具。
1.2 文章结构这篇文章将按照以下结构来叙述中心极限定理及其相关内容：引言，中心极限定理，中心极限定理的证明过程，中心极限定理在统计学中的重要性与应用以及结论与总结。
其中，在“引言”部分将介绍文章所讨论的主题，并简要总结各个章节内容。
接下来会详细阐述中心极限定理的定义、解释以及应用场景，并说明其背后的原理。
然后我们将探究该定理的证明过程，并给出详细步骤和演示实例，对于初学者而言将更容易掌握。
接着，我们将探讨中心极限定理在统计学中的重要性，并与概率分布进行关联，分析其对概率分析和实际数据处理的影响。
最后，在结论与总结部分，我们将总结中心极限定理的核心观点和主要内容，并对未来研究方向提出展望和建议。
1.3 目的本文旨在对中心极限定理这一重要概念进行解释和说明，在阐述其原理和证明过程的基础上，介绍其在统计学中的重要性与应用。
通过阅读本文，读者将能够对中心极限定理有一个全面而深入的了解，并能够运用该定理进行实际问题的分析和推断。
此外，本文还将指出当前研究中存在的不足之处，并给出未来研究方向的建议，以促进该领域更进一步的发展和探索。
2. 中心极限定理:2.1 定义和解释:中心极限定理是统计学中一项重要的定理，它指出在满足一定条件下，大量独立同分布随机变量的和或平均值会接近于一个正态分布。
换句话说，当样本容量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布。
2.2 根号n及其应用场景:根号n是中心极限定理中的一个重要概念。
其中，n表示独立同分布随机变量的样本容量。
中心极限定理证明
中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子[例1] 高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.[例2] 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则[例3] 用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计: . [例4] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得. 由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.[例5] 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.[例6] 某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.[例7] 根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.[例8] 在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有[例9] 设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:P222 EX 32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?[例10] 除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.[例11] 以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明: 令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明, 的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1 对及任意的,证明:记,设,由于因此, ,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2 对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3 若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又 .令 ,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么 (5) 这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知, 当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有。
中心极限定理的证明过程
中心极限定理的证明过程中心极限定理，听起来是不是有点高深莫测？它就像那把神奇的钥匙，能帮我们打开概率和统计的大门。
要是你在街上碰到个数学家，问他最喜欢的定理是什么，保准他会举起这个。
别看它名字长，实际上，理解它的道理就像喝水一样简单。
说到这里，咱们就来聊聊这位“大咖”的来历。
想象一下，你跟一群朋友玩掷骰子的游戏。
每人手里都有一个骰子，大家轮流掷。
乍一看，每次掷出的点数都随机得很，有时候高，有时候低，真是让人捉摸不透。
但是，若你掷得够多，比如一百次，点数的分布就开始出现规律。
点数越多，平均值就越接近那个骰子所能掷出的点数的期望值，哎呀，咱们这就看到中心极限定理的影子了。
接着呢，咱们再来想想，假设你是个餐馆老板，每天都要做许多道菜。
不同的顾客口味千差万别，有的人爱辣，有的人偏甜。
但若你每天都记录下每道菜的评分，时间一长，你会发现，虽然个别的评分五花八门，整体的评分却趋于一个稳定的值。
也就是说，如果你把每道菜的评分加起来，再除以顾客人数，最后得到的平均分就会越来越接近你那道菜的真正水平。
中心极限定理在这里也悄悄发挥了作用。
说到这里，可能有小伙伴在心里想，这个定理到底是什么鬼？别着急，简单来说，中心极限定理就是告诉我们：无论你拿什么样的随机变量，只要你对它们进行多次独立的重复实验，随着实验次数的增加，结果的分布会慢慢变成正态分布。
也就是经典的“钟形曲线”。
这就好比你去参加抽奖，虽然每次抽的奖品不一样，但大多数情况下，你抽到的奖品都会集中在某个区间内。
再来看看它的应用。
金融界的朋友们肯定会爱死这个定理。
想象一下，一个投资者正在关注股市。
股市波动剧烈，今天涨，明天跌，真是让人眼花缭乱。
但是，若你把每天的股市回报率记录下来，时间久了，你会发现，无论你投资的是什么股票，它们的回报率都逐渐符合正态分布。
这就好比你在市场上漫无目的地挑选商品，最后找到的那些“宝贝”都大同小异。
咱们再换个角度来看。
假设你在超市买水果，今天的苹果有点酸，明天的又有点甜。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一类独立同分布随机变量之和的极限分布特征。
本文将介绍中心极限定理的概念、数学表达式以及应用场景，并探讨其原理和证明过程。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是概率论的核心内容之一，它表明在一定条件下，当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的和的分布趋近于正态分布。
这意味着即使原始随机变量不服从正态分布，其和的分布仍然接近正态分布。
二、中心极限定理的数学表达式中心极限定理可以用数学公式表示为：若X₁, X₂, ..., Xₙ是n个独立同分布的随机变量，且具有相同的数学期望μ和方差σ²，则当n趋于无穷大时，这n个随机变量之和的标准化变量（即减去期望值再除以标准差）Zₙ=(X₁+X₂+...+Xₙ-nμ)/(√(nσ²))的极限分布为标准正态分布，即Zₙ服从N(0,1)分布。
三、中心极限定理的应用场景中心极限定理在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在统计学中，当样本容量足够大时，可以利用中心极限定理来近似计算样本均值的抽样分布。
此外，在概率论和数理统计中，中心极限定理也被应用于估计参数的置信区间、假设检验等问题中。
四、中心极限定理的原理和证明过程中心极限定理的原理主要基于独立性和同分布的假设，并借助于大数定律和特征函数的性质进行证明。
具体证明过程较为复杂，可参考相关数学教材和概率论专业资料。
总结：中心极限定理是概率论中一项重要的结果，它描述了独立同分布随机变量和的极限分布接近于正态分布的性质。
中心极限定理在统计学和概率论的研究与应用中具有广泛的意义，并在实际问题中发挥着重要的作用。
理解中心极限定理的概念、数学表达式和应用场景，对于深入研究概率论和统计学具有重要意义。
辛钦中心极限定理
辛钦中心极限定理简介在概率论和数理统计中，辛钦中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT ）是一个非常重要且普遍适用的定理。
它表明，当独立随机变量的和逐渐增加时，这些随机变量的均值的分布将逐渐接近于一个正态分布。
一、辛钦中心极限定理的表述辛钦中心极限定理的一般表述如下：设X1, X2, …, Xn 是来自于任意分布（均值为μ，方差为σ^2）的独立随机变量序列，令Sn = (X1 + X2 + … + Xn) / √n，则当n 趋向无穷大时，随机变量序列Sn 的极限分布为正态分布N(0,1)，即：lim n→∞P (S n ≤x )=Φ(x )其中，P(Sn ≤ x)表示Sn 的累积分布函数，Φ(x)表示标准正态分布的累积分布函数。
二、辛钦中心极限定理的证明辛钦中心极限定理的证明非常复杂，我们在这里只给出一个简要的概述。
首先，根据独立随机变量的定义，可以得出Sn 的均值和方差分别为：E (S n )=E (X 1+X 2+...+X n )=n ⋅μVar (S n )=Var (X 1+X 2+...+X n )=n ⋅σ2接下来，我们定义一个新的随机变量Yn = (Sn - n·μ) / (σ·√n)，即Yn 为Sn 标准化后的随机变量。
根据标准化的定义，可以得出Yn 的均值和方差分别为：E (Y n )=E (S −nμσ√n )=E (S )−nμσ√n=0 Var (Y n )=Var (S −nμσ√n )=Var (S n )σ2n =nσ2σ2n =1由于Yn 的均值为0，方差为1，根据切比雪夫不等式，可以得出：P (|Y n |≥ϵ)≤1ϵ2 对于任意的ε > 0，当n 趋向无穷大时，P(|Yn| ≥ ε)趋向于0。
根据中心极限定理的定义，我们需要证明当n 趋向无穷大时，P(Sn ≤ x)趋向于Φ(x)，即证明：lim n→∞P (S n ≤x )=Φ(x )通过数学推导和一系列的极限运算，可以得到：P (S n ≤x )=P (S −nμσ√n ≤x −nμσ√n )=P (Y n ≤x −nμσ√n) 当n 趋向无穷大时，根据切比雪夫不等式，上述公式的右侧趋向于Φ(x)。
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中心极限定理证明目录第一篇：中心极限定理证明第二篇：大数定理中心极限定理证明第三篇：中心极限定理第四篇：中心极限定理应用第五篇：中心极限定理更多相关范文正文第一篇：中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:p222ex32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1对及任意的,证明:记,设,由于因此,,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又.令,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5) 这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知, 当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有第二篇：大数定理中心极限定理证明一，大数定律的证明二，中心极限定理的证明第三篇：中心极限定理§5.3中心极限定理我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用.为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布?是经验猜测还是确有科学的理论依据，下面我们就来解释这一问题.我们已经知道，炮弹的弹着点射击误差服从正态分布，我们来分析其原因.要知道误差是什么样的随机变量，有必要研究一下造成误差的原因是什么?每次射击后，炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1，炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2，炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差x3，……等等，有许多原因，每种原因引起一个微小的误差都是随机的，而弹着点的总误差x 是许多随机误差的总和，即x=?xk,而且xk之间可以看成是相互独立的，因此要讨论x的分布就要讨论这些相互独k立的随机变量之和的分布.在概率论中，我们把研究在一定条件下，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理.本节只介绍两个条件简单，也较常用的中心极限定理.定理4（同分布中心极限定理）设随机变量x1，x2，…,xn…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，e(xk)=?,d(xk)=???(k=1,2,…)则随机变量2?xk-n? k=1?n的分布函数对任意的x，满足n?? n?? ?xk-n? k=1 ?n?x1 ?2 ?? e-? x t22dt第四篇：中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。
【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列x1、x2、…xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用1、定理一（林德贝格—勒维定理）若?k1，=a,?2，…是一列独立同分布的随机变量，且e?d?k=k??x2(?2>0) ,k=1,2,…则有limp(k?1n????n?na?x)??nn12???e?t22dt。
当n充分大时，??k?1k?na?n~n（0,1），k?1??nk~n（na,n?） 22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）在n重伯努利试验中,事件a在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。
, 错误！未?找到引用源。
为n次试验中事件a出现的次数,则limp(n??n?npnpq?x)??2?1x??e?t22dt其中q?1?p。
这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。