黄昆固体物理习题-第三章 晶体的热性质

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3.5解：由 U (r) q2 / r / r n
dU 0 dr
可以得到β：
1 n
q
2
r0n1
利用题目所给条件（1），可知：
f
k
dU dr
dU
d
d 2U dr 2
计算、简化，代入β，可得回复力系数k：
k
(n
1)q2
r03
=143N/m
对于NaCl晶体，可以认为是一维双原子晶体，由 黄昆教材p96-97分析可以知道，对于离子晶体只有长 光学波可以和电磁波发生相互作用。所以有
系是：ω=vq，在二维波矢空间内，格波的等频面是一个园， 如图所示，在q—q+dq区间内波速为v的格波数目为：
qy dq
dz
S
(2 )2
,
2qdq
Sd 2v 2
q
o
qx 式中S为二维晶格的总面积，由此可以得
到波速为v的格波的模式密度为：
g ( )
dz
d
S 2v2
由此可以得E为：
3.9题: 写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典 极限，自由能为：
E0
3
16 2
V
3
C
(6 2
N
)
4 3
C
4
V
9 8
NkB (6
2
N V
1
)3
C kB
9 8
R D
3.11题: 一维复式格子中，如果
计算
1) 光学波频率的最大值
的最大值
；
和最小值 ，声学波频率
2) 相应声子的能量 , 和
；
3) 在
下，三种声子数目各为多少？
4) 如果用电磁波激发光学波
要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？
当 M = m 时,色散关系简化为：
长波极限情况下 与一维单原子晶格格波的色散关系一致
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间 的力常数交错等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且 最近邻间距是a/2，试求在k=0和k=π/a 处的ω(k)。并粗略 画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，如H2。
2
2
所以有：
E
1 4
m
2j
2 j
N
1 2
kT
其中振幅
2 j
2kT
Nm
2 j
得：
2 nj
1 2
2 j
kT
Nm
2 j
所以，每个原子的平方平均位移：
n
2 nj
1
2
2 j
kT Nm
1
2 j
其中：M=rL
3.2 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其 2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应。
第三章 习 题参考解答
3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引 起的位移μnj为：
nj j sin( jt naq j j )
δj为任意位相因子。并已知在较高温度下每个格波的平
均能量为kT，具体计算每个原子的平方平均位移。
解： 根据 1 T
T 0
sin 2 ( jt
nq j
4
F fi c ( 1,m ,m ) ( ,m 1,m ) i 1
c ( ,m1 ,m ) ( ,m ,m1)
c[( 1,m 1,m 2 ,m )
(,m1 ,m1 2,m )]
根据运动方程形式：
M, m
M
d
2l,
dt 2
m
F
c[( 1,m 1,m 2 ,m )
将上式代入F式中，便得到
F U0 kBT
q
ln( q )
kBT
3.10题：设晶体中每个振子的零点振动能为：1 ，
试用德拜模型求晶体的零点振动能。
2
解：根据量子力学，零点能是谐振子所固有的，与温
度无关，故T =0 K时的振动能E0就是各振动模零点能
之和:
E0
D 0
E0
()g()d
将
E0
1 ,
2
g()
3V 2 2 2C 3
代入上式，
E0
3V
2 2 C 3
. 2
m 3d
0
3Vm4 16 2 C 3
其中V是晶体的体积
由
CV
(T )
d E(T ) dT
3Vk
2 2 C 3
.
m 0
k
T
2
e
k
T
e
k
T
2
1
2d
式给出ωm
1
m
C 6 2
N V
3
把 m 代入上式，便可得到晶体的零点能：
j
)dt
1 2
其中T=2π/ωj为振动周期，所以：
2 nj
2 j
sin
2
(
jt
nq
j
j
)
1 2
2 j
格波的平均动能：
E
n
1 2
m
•
2 nj
1m 2
n
2j
2 j
cos
2
(
jt
nq
j
j)
1 4
m
2j
2 j
N
其中：M=rL
一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有：
平均动能=平均势能= 1 格波平均能量= 1 kT
解：质量为M的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 质量为m的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……。
牛顿运动方程 体系有N个原胞，有2N个独立的方程 方程的解：
A , B有 非零解
可以得到： 两种不同的格波的色散关系为：
对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波， 总的格波数目为2N 。
解: 1)光学波的最大频率
光学波的最小频率 声学波的最大频率
2）相应声子的能量
3) 某一特定谐振子具有激发能
的几率
归一化常数
—— 归一化条件
频率为谐振子的平均能量 频率为谐振子的能量
第i个q态的平均数声子
声子数目为:
4）如果用电磁波激发光学波 要激发 的声子所用的电磁波波长在什么波段？ 对应电磁波的能量和波长
解：绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程可以写为： 体系N个原胞，有2N个独立的方程 方程的解：
令
A、B有非零的解，系数行列式满足
两种色散关系
—— 两种色散关系
色散关系(2--k)图如 右，这是一个双原子 （例如H2）晶体。
两边微分
将dq和
代入
得到 时
为虚数，有
解方法 2:
振动模式密度函数 已知三维色散关系
q空间的等频率面是球面，q为常数
对于光学波，在
处振动频率具有最大值
频率分布函数
3.8 有N各相同原子组成面积为S的二维晶格，在德拜 近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T2。
解：德拜模型考虑的格波是弹性波,波速为v的格波的色散关
波矢取值
每个波矢的宽度
状态密度
dq间隔内的状态数
对应q，取值相同， d间隔内的状态数目
d间隔内的状态数目 一维单原子链色散关系
令 两边微分得到
代入 一维单原子链的频率分布函数:
3.7 题:设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有
证明：频率分布函数：
解： 三维晶格振动的态密度
dq间隔内的状态数 对
F U0 kBT
q
ln( q )
kBT
解：已知晶体自由能可以表示为
F U0
q
1 2
q
kBT
ln(1
q
e
kBT
)
量子谐振子的自由能为：
F U kBT
q
1 2
q
kBT
ln(1 eq kBT )
对于经典极限，kBT q ，因而有
1 q 0
2 kBT
eq kBT 1 q
kBT
2k mM
mM
其中，mNa=23g/mol ，MCl=35.5g/mol , 又1原子质量=1.6x10-27 kg
代入数计算，可得： 11.11013 Hz
计算波长，可得：
2
q
2
c
2c
代入数据，计算波长，可得：
17m
与实测同数量级。因为得到的色散关系存在近似。
3.6 计算一维单原子链的频率分布函数 解： 设单原子链长度
ei(t naq) n
ei(t naq) n
代入到运动方程，得：
2Mn (10 n neiaq 11n )
2M n (10n neiaq 11 n )
于是有 ( 2M 11 ) (10 eiaq ) 0
(10 eiaq ) (2M 11 ) 0
u，v具有非零解的条件为： 2M 11 (10 eiaq )
行 m列的原子垂直于晶格平面的位移，当只考虑最 近邻原子间的相互作用时，由于（l +1,m）原子对 它的作用力：
f1 c( 1,m ,m )
第l-1,m原子对它的作用力：
f2 c( ,m ) 1,m
而f1于f2 方向是相反的。同样处理（ l，m+1）原 子和（ l，m-1）原子对（l,m）原子的作用力f3，f4， 于是得到第（l，m）个原子所受的力：
cos aky )
这就是色散关系。
（c）k=kx，ky=0， kx=ky的-k图像为：
由（c）的结果代入可得到
3.5题：已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为：
U (r) q2 / r / r n
其中马德龙常数α=1.75, n=9，平均离子间距为
r0=2.82Å。
（1）试求离子在平衡位置附近的振动频率； （2）计算与频率相当的电磁波的波长，并与NaCl红 外吸收频率的测量值61μm进行比较。
要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段
解法2 ：令 n 和 n 分别代表两种原子对平衡位置的
位移， M代表每个原子的质量，则相邻两种原子的运
动方程如下式所示：
Mn 10 ( n n ) (n n1) (10 n n1 11n )
Mn (n1 n ) 10 ( n n ) (n1 10 n 11 n )
设试探解为：
0
(10 eiaq ) 2M 11
解之得：
2
M
11
121
20(1
c
os
aq)
1 2
当 q 时，cos 1
a
可得
2
M
1
2
1
20
M
2
当q=0时,则有：
0
1
22
M
2
色散关系如图所示：
22
M
20
M
2
M
3.4题目：
略。
系。
3.4 解：(1)设μl,m代表第（l,m）个原子，即第l
(,m1 ,m1 2,m )]
设试探解的形式为：
(0)ei[t( akx maky )] ,m
代入运动方程，消去公因子后，得：
M 2 c(eiakx eiakx eiaky eiaky 4)
2c(2 cos akx cos aky )
据此得色散关系 ：
2
2c M
(2
cos akx