安培力的难点突破

安培力的四个难点突破作者姓名陈玖琳单位北京市第九中学安培力的四个难点突破内容提要：安培力是高中物理的一个重点。

电磁感应中的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒（或线圈）的受力情况和运动情况。

所以要解决这类电磁感应问题，必须对安培力有很透彻的理解，比如安培力与洛仑兹力的关系，安培力的做功问题，安培力冲量的特殊形式，安培力对时间平均值和对位移平均值的不同等等。

本文将对安培力的这些问题进行探讨。

主题词：安培力 冲量 平均值正文：在高三物理复习教学中，如果能紧紧抓住学生学习的问题所在，迷惑之处，教学效果会大大提高。

电磁感应中感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒（或线圈）的受力情况和运动情况。

所以要解决这类电磁感应问题，必须对安培力有透彻的理解，比如安培力与洛仑兹力的关系，安培力的做功问题，安培力冲量的特殊形式，安培力对时间平均值和对位移平均值的不同等等。

下面对安培力的这些问题进行探讨。

一、安培力与洛仑兹力的关系我们常说安培力是洛仑兹力的宏观表现，但是洛仑兹力永不做功，安培力却能做功，这究竟是怎么回事呢？下面分析一个物理情境：如图1所示，导体棒ab 置于光滑的水平导轨上，现给它一个水平向右的初速度v ，导体棒在运动的过程中受到一个水平向左的安培力F ，安培力F对导体棒做负功。

再来分析洛仑兹力，导体棒ab 向右运动切割磁感线，产生感应电流，方向是从b 到a ，导体中的自由电子沿a向b 定向移动，由左手定则可知电子受到一个水平向左的洛仑兹力f 1；事实上，导体棒向右运动，其中的电子也会和导体棒一起向右运动，由左手定则可知电子受到一个从a 到b 方向的洛仑兹力f 2，如图2所示。

现假设某时刻导体棒向右运动的速度为v 2，电子沿a 向b 定向移动的速度为v 1，则f 1=ev 1B ，f 2=ev 2B 。

由图可以看出：f 1对电子做负功，f 2对电子做正功，功率分别是P 1=f 1v 2=ev 1Bv 2，P 2=f 2v 1=ev 2Bv 1，所以，洛仑兹力的合力对电子不做功，分力是做功的。

洛仑兹力的分力f 1是安培力F 的宏观表现。

由此可见，当导体棒ab 运动时，安培力并不是洛仑兹力的合力，它是洛仑兹力一分力的宏观表现。

只有导体棒ab 固定不动有电流通过时，安培力是洛仑兹力的合力，是洛仑兹力的宏观表现。

洛仑兹力的合力不做功，分力做功，所以洛仑兹力是要影响带电粒子的运动轨迹的。

如2 f 1图2图1果从功能角度研究问题，洛仑兹力的功就不必考虑了；如果从动力学角度研究问题就必须考虑洛仑兹力。

例1 如图3所示，在空间有水平方向的匀强磁场B ，一根光滑绝缘的空心细管MN 的长度为h ，管内M 端有一质量为m 、带正电量为q 的小球，开始时相对管静止，当管携带小球一起向右以恒定速度v 0运动时，小球可在管中加速上升。

求：(1)小球的加速度；(2)简要说明小球从M 上升到N 的过程中，所受各力对它做的功；解析：(1)小球在运动过程中受到三个力的作用：重力mg 、弹力N 和洛仑兹力f ，洛仑兹力f 的方向与速度v 的方向垂直。

解题时把洛仑兹力f 、速度v 进行分解，如图4-1和图4-2所示。

竖直方向的牛顿第二定律： ma mg f y =-B qv f y 0=小球的加速度为： mmgB qv a -=0小球在管中匀加速上升。

(2) 小球从M 上升到N 的过程中，重力做负功mgh W G -=； 洛伦兹力不做功W f =0；弹力做正功，由水平方向的平衡方程x y f N qv B ==可知：(1)弹力N 做功与小球克服水平方向上的洛仑兹力x f 做功是相等的；(2)弹力是变力，做功不好求，只能另辟蹊径。

洛仑兹力合力不做功，但洛伦兹力的分力0y f qv B =做正功，x y f qv B =做负功，两分力的功率分别是0y y P qv Bv =，0x y P qv Bv =，综上所述，f y 做功的多少等于弹力做功的多少。

所以Bh qv W N 0=点评：此题是有关洛仑兹力的动力学问题，关键是受力分析、运动分析。

只要分析清楚“小球在管中加速上升”的原因，问题就迎刃而解了。

此题的上述求解过程可以让学生深刻理解“洛仑兹力影响带电粒子的运动轨迹”及“洛仑兹力永不做功”。

二、安培力冲量的特殊形式安培力的冲量公式是R BL BLq t BIL t F ∆Φ==∆=∆，这是安培力在电磁感应中的一个重要推论。

感应电流通过直导线时，直导线在磁场中受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为F=BIL 。

在时间△t 内安培力的冲量F t BIL t ∆=∆ 根据电流的定义式tq I =，式中q 是时间t 内通过导体截面的电量M BN 图3v 0v yv图4-2mg f 图4-1欧姆定律RE I =，R 是回路中的总电阻电磁感应中tE ∆∆=φ可以得到安培力的冲量公式，此公式的特殊性决定了它在解题过程中的特殊应用。

例2 如图5所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L 的区域内，有一个边长为a （a <L ）的正方形闭合线圈以初速v 0垂直磁场边界进入磁场，滑过磁场后速度变为v （v <v 0）那么（ ）A ．完全进入磁场中时线圈的速度大于（v 0+v ）/2；B ．完全进入磁场中时线圈的速度等于（v 0+v ）/2；C ．完全进入磁场中时线圈的速度小于（v 0+v ）/2；D ．以上情况A 、B 均有可能，而C 是不可能的解析：设线圈完全进入磁场中时的速度为v '。

线圈在穿过磁场的过程中所受合外力为安培力BIa F =安。

下面是线圈在进入磁场、穿出磁场的过程中的动量定理：v m mv t a I B '-=∆⋅011mv v m t a I B -'=∆⋅22应用安培力的冲量公式后，上边两式可以变化为： v m mv RBa '-=∆⋅0φmv v m RBa -'=∆⋅φ由上述二式可得2)(0v v v +='，即B 选项正确。

点评：本题具有很强的综合性。

由电磁感应知识推出Rv L B F 瞬安22=，当瞬v 减小时安F 也减小，所以线圈在进入磁场和穿出磁场的过程都是变减速运动，所以不能用运动学的公式来解决问题了。

进入磁场和穿出磁场的过程线圈的位移相同，我们可以利用动能定理，但无法对本题最终做出解答。

这时要求学生能及时调节思维，合理进行选择，结合线圈在进入磁场和穿出磁场的过程中磁通量的变化量φ∆相等，利用安培力的冲量公式，会有柳暗花明又一村的感觉。

三、安培力做功的类比学习 电磁感应中的力学问题，常常涉及安培力做功及对应的能量转化，所以能量守恒与转化L a a图5思想是解这类问题的法宝。

为了开拓视野，发散思维，在学习的过程中还可以采用类比的方法，把导体棒受到的安培力类比为力学中的滑动摩擦力，克服滑动摩擦力做功对应着摩擦生热，克服安培力做功对应着感应电流的电能，最终转化为焦耳热；一对滑动摩擦力和一对安培力对系统做负功，对应的热都可用下面公式去计算： Q Fs =相对等等。

例3 如图6所示，两根平行长直金属导轨倾斜放置，导轨平面与水平面的夹角为θ，导轨的间距为L ，两导轨上端之间接有阻值为R 的电阻。

质量为m 的导体棒ab 垂直跨接在导轨上，接触良好，导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ,导轨和导体棒的电阻均不计。

在导轨平面上的矩形区（如图6中虚线框所示）域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向上，磁感应强度的大小为B 。

当磁场以某一速度沿导轨平面匀速向上运动时，导体棒以速度v 0随之匀速向上运动。

设导体棒在运动过程中始终处于磁场区域内。

求：(1)通过导体棒ab 的电流大小和方向； (2)磁场运动的速度大小；(3)维持导体棒匀速向上运动，外界在时间t 内需提供的能量是多少？ 解析：(1)导体棒ab 做匀速运动，θθμsin cos mg mg BIL +=I =)sin cos (θθμ+BLmg电流的方向由b 到a (2)当导体棒以恒定速度v 0匀速运动时，设磁场运动的速度为v 则E =BL (v-v 0)通过导体棒的电流I =RE解得 v =022)sin cos (v L B mgR ++θθμ（3）用类比的方法，时间t 内产生的焦耳热相对相对安BILs s F Q ==0()s v v t =-相对摩擦生热和重力势能的增加量s mg E )sin cos (θθμ+='t v s 0= 在时间t 内外界提供的能量 E Q E '+=解得E =t v mg LB Rtg m 022222)sin cos ()sin cos (θθμθθμ+++ 点评：本题中安培力对磁场做负功，对导体棒做正功，对整个系统做负功，所以焦耳热可以通过下列方法求解相对相对安BILs s F Q ==。

这样学生对本题的物理情境有了更好的认图6识，开拓了视野，提高了学习能力，学生对电磁感应力学问题的学习感觉是似曾相识，减少了畏难情绪。

四、安培力对时间的平均值、对位移的平均值力对时间的平均值和力对位移的平均值通常不等。

力对时间的平均值可以通过作 F-t 图象，求出曲线与 t 轴围成的面积（即总冲量），再除以总时间，其大小就是力对时间的平均值t F 。

力对位移的平均值可以通过作 F-x 图象，求出曲线与x 轴围成的面积（即做功总量），再除以总位移，其大小就是力对位移的平均值x F 。

电磁感应中的安培力一般都是变力，t F 和x F 是不等的，不能混淆。

例4 如图7所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽L ＝0.5 m ，框的电阻不计，匀强磁场磁感应强度B ＝1 T ，方向与框面垂直，金属棒MN 的质量为100 g ，电阻为1 Ω．现让MN 无初速地释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放到达到最大速度的过程中通过棒某一横截面的电量为2 C ，求此过程中回路产生的电能．（空气阻力不计，g ＝10 m/s 2）错解： Rv L B mg m 22= ①m mv BLq mgt =- ② 可得： t =1.4s又根据： q It = ③ F BIL = ④BhLq R=⑤ 所以 2.86E Fh ==J解析：金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得：Rv L B mg m22= ①在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E ，由能量守恒定律得：Emv mgh m+=22 ②通过导体某一横截面的电量为：RBhLq =③ 由①②③解得E =3.2J 。

M NL图7点评：物理是万物之理。

本题错解中每一步都看似很有道理，其根本的错误是没有区分安培力对时间的平均值和对位移的平均值。