泰勒公式(泰勒中值定理)
泰勒中值定理
泰勒中值定理一、泰勒中值定理若)(x f 在含有0x 的某个区间I 内具有直到1n +阶导数，则当x I ∈时，有()20000000()()()()'()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n ''=+-+-++-+ ，其中拉格朗日型余项(1)0()()(),(1)!n n n f R x x x n ξξ+=-+位于0x 与x 之间．当0n =时，泰勒中值定理就是拉格朗日中值定理．取00x =，()(1)2(0)(0)()()(0)'(0),2!!(1)!n n n nf f f f x f f x x x x x n n ξξθ+''=+++++=+ 位于0与x 之间，(0,1)θ∈，其为n 阶麦克劳林公式．二、基本函数的高阶导数公式⎪⎩⎪⎨⎧<=>=-mn x A m n n m n x n m n mn m !0)()( 1)()(!)1(1+±-=⎪⎭⎫ ⎝⎛±n n m a x n a x ， nn n a x n a x )()!1()1()][ln(1)(±--=±-，a a a nx n x ln )()(=， )2sin()(sin )(πn ax a ax n n +=，)2cos()(cos )(πn ax a ax n n +=；()()()()()()12120[()()]()(),[()()][()][()]nn n n n kn k k n k k u x k v x k u x k v x u x v x C u x v x -=+=+=⋅∑； 三、基本函数的麦克劳林展开式(1)2(1)(1)(1)(1)12!!mnm m m m m n x mx x x n ---++=+++++ ,1x < (2) ++-++-+-=++1)1(432)1ln(1432n x x x x x x n n )11(≤<-x (3) ++++++=!!3!2!1132n x x x x e n x)(+∞<<-∞x (4) +--+-+-=--)!12()1(!5!3sin 12153n x x x x x n n )(+∞<<-∞x (5) +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n )(+∞<<-∞x 当0x →时，有233(1)(1)(2)(1)1()2!3!mm m m m m x mx x x o x ---+=++++12332111(1)1()2816x x x x o x +=+-++,233ln(1)()23x x x x o x +=-++2331()1!2!3!x x x x e o x =++++,23233ln ln ln 1()1!2!3!xa a a a x x x o x =++++355sin ()3!5!x x x x o x =-++,244cos 1()2!4!x x x o x =-++,3552tan ()315x x x x o x =+++3553arcsin ()640x x x x o x =+++,355arctan ()35x x x x o x =-++例1、求下列高阶导数)()(x yn（1）设502)54(+=x y ，则!100450)100(⋅=y ．（2）设232+-=x x x y ，求)(n y ． 解： ])2(2)1(1[!)1()21(2)11(11)()()(++-++⋅-=-++=n n n n n n x x n x x y． （3）设x y x y=-，则1(2,1)1!(1),2!()n n n n n n z n x z n y y x y ++∂∂=-=⋅∂-∂ （3）设x x y 44cos sin +=，则)24cos(4)4(cos 41)43()1()()()(πn x x y n n n n +=+=-．（4）设n n x x x y )4(cos )2(2π-+=，求)()(x f n ，)1()(n f ．解：()()()0()[(1)][(2)(cos )]4nn k n k nn n k n k x f x C x x π-==-+∑ 21)(2!3|)4(cos)2(!)1(n n x nnnnn n xx n C f=+==π．（5）设函数2()sin f x x x =，求 (2009)(0)f．解：321221sin [(1)]3!(21)!n n x x x x x x n --=-++-+- 52131(1)3!(21)!n n x x x n +-=-++-+- 则(2009)(0)12009!2007!f =，故(2009)(0)20082009f=⨯． 注（1）： 若01()nn f x a a x a x =++++ ，则()(0)()(0)(0)!n n f f x f f x x n '=++++ ，于是()(0)!n n f a n =，故()(0)!n n f n a =． 注（2）：若求(2009)()4fπ，则只能用莱布尼兹公式完成．例2、计算下列极限（1）4301sin sinlim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1x x x x x e →-++-；（3）21lim ln(1)x x x x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦； （1）解：原式33303033000tan ~()sin 113!lim lim sin lim 6x x x x x x o x x x x x x x →→→+-=+==． （2）解：原式22222200(1)[()]()122lim lim 2x x x xx x x o x o x x x →→-+-+-+===-． （3）解：原式21222()ln(1)12lim lim 2x t x x t o x t t t t =∞-∞→∞→∞+-+=== 或（泰勒）2221111lim (())22x x x o x x x →∞⎡⎤=--+=⎢⎥⎣⎦．例3、设lim )0x ax b →+∞-=，求b a ,．解：10lim )lim x tx t bt aax b t =→+∞→--=3021001(2)()1()223lim lim 0333a t t t t o t bt o t t b b t t =→→++-⎡⎤==++-=-=⎢⎥⎣⎦∴ 32,1==b a ． 例4、当0→x 时，x x33tan -是关于x 的k 阶无穷小，则3=k ．解：（一）tan tan 00003331(tan )ln 3lim lim lim3limx x x x xk k kx x x x x x x x x -→→→→---== 3330()ln 33ln 3lim 3k k x x x o x x x =→++-==故3=k ． 解：（二）tan 0000333(tan )tan lim ln 3lim ln 3lim lim3x x k k k x x x x x x x x x xξξξ→→→→---== 33300()tan ln 33ln 3lim ln 3lim 3k k k x x xx o x x x x x x =→→++--==，故3=k ． 例5、设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数,且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值．解： 由条件可知),()0()0()(h h f f h f ο+'+=).()0(2)0()2(h h f f h f ο+'+= 所以)0()2()(f h bf h af -+=).()0()2()0()1(h h f b a f b a ο+'++-+从而⎩⎨⎧=+=-+0201b a b a ,可得⎩⎨⎧-==12b a ．注（1）：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，则当0x →时，有 ()(0)()(0)(0)()!n n n f f x f f x x x n ο'=++++ ．证明：()0(0)()[(0)(0)]!lim n nn x f f x f f x x n x→'-+++ ()1'10(0)'()(0)''(0)(1)!lim n n L Hn x f f x f f x x n nx --→'-----= ()2'20(0)''()''(0)(2)!lim (1)n n L Hn x f f x f x n n n x--→----=- (1)(1)()'0()(0)(0)lim !n n n L Hx f x f f x n x --→--== (1)(1)()01()(0)[lim (0)]0!n n n x f x f f n x--→-=-=．注（2）：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有(1)n +阶导数，利用注（1）的结论，则有()(1)10(0)()(0)(0)(0)!lim (1)!n nn n x f f x f f x xf n x n ++→'---=+ ．例6、设()f x 在0x =处具有二阶导数，且有42260()ln(1)2lim 3x x f x x x x →++-=， 求(0),'(0),''(0)f f f ．解：当0x →时，22''(0)()(0)(0)()2!f f x f f x x x ο'=+++46226ln(1)()23x x x x o x +=-++于是，422602()ln(1)lim 3x x f x x x x →++-=4566601''(0)1[(0)](0)[]()22!3lim x f f x f x x x x ο→'-++++= 201[(0)](0)''(0)12lim []2!3x f f xf x →'-+=++故有1(0),2f ='(0)0f =，而''(0)122!33f +=，即2''(0)3f =．例7、设函数)(x f 在(1,1)-内任意阶可导， ()(0)0n f ≠，1,2,n = ，且满足泰勒公式 (1)()1(0)()()(0)'(0),(1)!!n n n nf f x f x f f x x x n n θ--=++++- (0,1)θ∈，求0lim x θ→．解：()()(1)0()(0)lim (0)0n n n x f x f f xθθ+→-=≠(1)()1()()100(0)(0)()(0)'(0)()(0)(1)!!lim !limn n n nn n n x x f f f x f f x x xf x f n n n x x θ--+→→-------= (1)(1)(0)(0)!(1)!1n n f f n n n ++==++则01lim 1x n θ→=+． 例8、设()f x 在(0,)+∞内满足''()1f x ≤，且lim ()x f x →+∞存在，求证：lim '()0x f x →+∞=．解：当(0,)x ∈+∞时，任取0ε>，有2'()()()'(),(,)2f f x f x f x x x ξεεεξε+=++∈+则()()''()()()''()'()22f x f x f f x f x f f x εξεξεεεε+-+-=-≤+ 1()()2f x f x εεε≤+-+ 注意到lim ()x f x →+∞存在，有1lim '()lim[()()]22x x f x f x f x εεεε→+∞→+∞≤+-+=于是00lim '()lim lim '()lim 02x x f x f x εεε++→+∞→+∞→→=≤=故lim '()0x f x →+∞=．练习题1、设xx x f +-=11)(，则nn n x n x f )1(!2)1()()(+⋅⋅-=． 2、设函数)1ln()(2x x x f +=，则当3≥n ，2!)1()0(1)(--=-n n fn n ． 3、设222xy x y=-，则(2,1)n nz y ∂=∂ 1(1)![1]3nn n +-+．4、设函数()(1)sin f x x x x =-，则(2010)(0)f =2010-．5、计算下列极限（1）0x →=14-（2）0x x →=1（3）30arctan lim ln(12)x x x x →-=+16- （4）0tan 22tan lim sin 33sin x x x x x →-=-12-（5）22201cos lim()sin x x x x →-=43（6）30sin(sin )sin[sin(sin )]lim sin x x x x →-=166、若0)(6sin lim 30=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x xf x x ，则206()lim x f x x →+=36． 7、设2)()1l n (lim 220=+-+→x bx ax x x ，则------------------------------------------AA 25,1-==b aB 2,0-==b aC 25,0-==b a D 2,1-==b a8、当0,1cos cos 2cos3x x x x →-对于无穷小x 的阶数为2．9、设当)1(,02++-→bx ax e x x 是比2x 高阶的无穷小，则-------------------------AA 1,21==b aB 1,1==b aC 1,21=-=b a D 1,1=-=b a10、当230,(1)1()x x e ax bx cx o x →++=++是比2x 高阶的无穷小，试确定,,a b c ．121,,633a b c ==-=11、当0,()ln(1)1xx f x ax bx→=-++关于无穷小x 的阶数最高，试确定,a b ．11,2a b ==-12、设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0(≠'f ，(0)0f ''≠， 求证： 存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．。
第三节、泰勒公式
一、泰勒（Taylor）定理
定理1(Taylor中值定理)
设函数f ( x)在x0处n阶可导,则
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2！
)
(x
x0 )2
f
n( x0 n！
)
(x
x0 )n
o(( x
x0
)n )
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
...
f (2m1) (0) x 2m1 (2m 1)!
f (2m) (0) x 2m (2m)!
R2m ( x).
sin x
x
x3 3!
x5！5 (1)m1
(2xm2m11)！
f (2) 3(2)2 4(2) 3 23. f (2) 6(2) 4 12 4 16.
f (2) 6. f (4) ( ) 0.
f ( x) 26 23( x 2) 8( x 2)2 ( x 2)3
x2 x x x 2 ln 2 o( x 2 )( x 0).
例3、设f ( x)在[a, b]上满足f ( x) 0, 证明:
对任意的x1 , x2 [a, b], 都有
证明
f
(
1 3
x1
2 3
x2 )
1 3
f ( x1 )
2 3
f ( x2 ).
令
:
x0
无穷小的泰勒中值定理
无穷小的泰勒中值定理无穷小是微积分中的一个重要概念，而泰勒中值定理是无穷小的应用之一。
今天我们就来一起探讨一下无穷小的泰勒中值定理。
一、无穷小的定义无穷小是指当自变量趋近于某一点时，其函数值趋近于零的函数。
换句话说，就是说函数在某一点附近的取值与零非常接近。
它可以用极限的语言来表达：如果对于$\forall\ \varepsilon > 0$，都存在一个正实数$\delta$，使得当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，恒有 $|f(x)| < \varepsilon$，那么我们就称 $f(x)$ 为 $x\to a$ 时的无穷小。
其中，$a$ 是自变量 $x$ 的极限，$f(x)$ 与 $0$ 的距离不能超过 $\varepsilon$。
二、泰勒公式下面我们来看一下泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f^{(n)}(a)$ 表示 $f(x)$ 在 $a$ 处的 $n$ 次导数。
泰勒公式是一个很强大的工具，在计算函数的近似值时有很大的作用。
我们只需要求出自变量所处的位置，再把这个值代入泰勒公式中，就可以得到函数在那个位置的近似值。
三、泰勒中值定理泰勒中值定理就是在泰勒公式的基础上，将其展开到前$n$ 项，然后再加上一个无穷小。
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n$$其中，$c$ 是 $a$ 和 $x$ 之间的某个值。
根据泰勒中值定理，我们可以用函数在某个位置的前 $n$ 项式子加上一个无穷小来近似地表示函数在另一个位置的值。
这里的无穷小可以很小，可以小到足以忽略不计。
四、无穷小的泰勒中值定理的应用无穷小的泰勒中值定理在微积分中有很多应用，下面列举几个：1、用泰勒中值定理来证明不等式。
初等函数的幂级数展开式
将函数ln(1+x)展开成 x的幂级数 的幂级数. 展开成 的幂级数 例1* 将函数 1 , 解 因为 [ln(1 + x )]′ = 1+ x 又
1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· − − 1+ x
对上式逐项积分 对上式逐项积分 ∞ x dt x − ln(1+x) = ∫ = ∑ ∫ (−1)nt ndt 0 1+ t 0 n= 0 1 2 1 3 1 n+1 n = x − x + x − L+ (−1) x +L n+1 2 3 ∞ xn = ∑ ( − 1) n−1 n n=1
n n n−1
(1+x)n=1+nx+
n( n − 1) 2 n( n − 1)L ( n − k + 1) k x x +L+ 2! n! n! − +⋅⋅⋅ +nxn−1+x n ⋅⋅⋅
? (1+x)α =
α (α − 1 ) 2 α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n 1+αx+ x +L x +L+ 2! n!
(0) n f ′′ ( 0 ) 2 f (n) (0) n ∑0 n ! x = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! x + L + n ! x + L n= 称为函数 f (x)的麦克劳林级数 的麦克劳林级数. f
(n) ∞
定理2 泰勒级数在 内收敛于f 定理 f(x)在x0点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于 (x) 在 点的泰勒级数 内收敛于 ⇔ 在UR (x0) 内, Rn(x)→0. →
泰勒中值定理
2.取 2.取x0 = 0, 0 ξ 在 与x之间,令 = θx (0 < θ < 1) ξ
f (n+1) (θx) n+1 x 则 项 Rn ( x) = 余 (n + 1)!
四、麦克劳林(Maclaurin)公式
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x + L+ x 2! n! f (n+1) (θx) n+1 x (0 < θ < 1) + (n + 1)!
′ Pn′( x0 ) = f ′′( x0P ( x0 ) = f
(k ) n
1
(k )
( x0 ) k = 1,2,L, n
0
a0 = f ( x0 ),
n
1⋅ a = f ′( x ),
( n) 0
2!⋅a2 = f ′′( x0 )
L L, n!⋅a = f ( x ) 1 (k ) (k = 0,1,2,L, n) 得 ak = f ( x0 ) k!
x2
1 例4 求 f ( x, y) = 1+ x 麦克劳林展式
解
1 f ( x) = 1+ x
f ( k ) (0) ( −1) k k ! ak = = = ( −1) k k! k!
( −1) n +1 ( n + 1)! ( n + 1) f ( x) = n+ 2 (1 + x )
(0) = ( −1) n! 1 2 3 n n L ∴ = 1− x + x − x +L +(−1) x + Rn(x) 1+ x f
中值定理及泰勒公式
证： f 0 0 f x0 0 又 f x 在 0, x0 内可导。 由罗尔定理可知在 在 0, x0 内至少存在一个 ，使 f 4a0 3 3a1 2 2a2 a3 0
f (2) x1
(x2 2 x1 x2 , 0 1 x1)
x1 f ( )(2 1) 0 (1 2)
f (x1 x2) f (x1) f (x2)
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三、柯西(Cauchy)中值定理 及 满足 :
证： f x cos x f 0 f 2 0 f x sin x 在 [0, 2 ] 上满足罗尔定理的三个条件
且使 f x cos x 0 的点在 [0, 2 ] 是
x x 3
2
2
则有
1
2
2
3
2
使得 f 0
x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
1 ln(1 x) ln1 1
1 x
x0
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例5. 证明不等式
x
tan
x
x cos2
x
证: 设 f (t) tan t
第六节
第二章
微分中值定理及泰勒公式
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、泰勒 ( Taylor )公式
证明泰勒公式
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!•(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。
至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.接下来就要求误差的具体表达式了。
泰勒(Taylor)公式
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n 3! n!
称为函数
f ( x) 按 ( x x ) 的幂展开的 N 阶泰勒公式。
f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 其中： (n 1)!
这里
是 ( x, x0 ) 之间的某个值。
二、 泰勒公式： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时，近似多项式：
0
Rn ( x) 称作拉格朗日型余项。
三、 误差 当 x x0
Rn ( x) 0 x x0 ( x x )n 0
lim
误差 Rn ( x) 是比 ( x x0 ) 的高阶无穷小，即：
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn ( x) o[( x x0 )n ]
一、 泰勒中值定理： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
直到 的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时， 个
f ( x) 可以表示成一
x x0 的一个 n 次多项式与一个余项的和的形式：
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n R （ n x） 3! n! f ( x0 )
智轩2022考研数学第4专题讲座--泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧
0 泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧一、理论系统与考点f ( x ) = ∑ k =0 f (k )(x ) k ! + R n = f ( x 0 ) + f '( x )( x - x ) + 1 f 0 0 2!'( x 0 )( x - x 0 ) + ... + R n 。
其中：R n 称为余项。
余项的形式需要掌握以下两种：(1) R n = f (n +1) (ξ ) ( x - x 0 ) n +1称为拉格朗日余项，其相应的定理形式表达如下：(n +1)！ n f (k ) (x ) f (n +1) (ξ ) n +1f ( x )在区间(a , b )上具有直到 n +1 阶导数，那么f ( x ) = ∑ 0 + ( x - x 0 ) 。
• ξ 介于x 0和x 之间，但不一定等于它们。
k =0k !(n +1)！• 注意x 0与x 都不能保证取到区间的端点值，即 x 0 ∈(a , b ), x ∈(a , b )。
• 由于ξ - x 与x - x 同号，且0<ξ - x 0<1,如令θ ∈(0, 1) ⇒ ξ = x + θ ( x - x ) = x + θ h = x + θ ( x ) h ，其中h = x - x ；x - x 00 0 0 0 0n f (k ) (x ) f (n +1) (ξ ) + n f (k ) (x ) f (n +1) ( x + θ (h ))f ( x ) = ∑ 0 + ( x - x )n 1 =∑ 0 + 0 h n +1。
k =0 k ! (n +1)！ 0k =0 k ! (n +1)！• 只要求在开区间(a , b )有直到n +1阶导数, 它并不要求f ( x )在[a , b ]上连续，而且不要求f (n +1)( x )的连续性。
拉格朗日余项中值定理的两个常用加强型(重要考点)(a )如果增加条件f ( x )在[a , b ]连续 ⇒ x 0 ∈(a , b ), x ∈[a , b ],即x 可以取端点值，x 0不一定能取端点值。
常见泰勒公式的推导或麦克
常见泰勒公式的推导或麦克泰勒展开推导过程对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道,当lxl很小时,有如下的近似等式:，ex≈1+x，ln(1+x)≈x这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子。
显然，在x =0处这些一次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。
但是这种近似表达式的精确度不高，它所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小。
为了提高精确度，自然想到用更高次的多项式来逼近函数。
于是，提出如下问题：设f(x)在x0处具有n阶导数,试找出一个关于(x−x0)的n次多项式：pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+···++an(x−x0)n (3−1)来近似表达f(x)，要求使得p(x)与f(x)之差是当x→x0时比(x−x)n高阶的无穷小.下面我们来讨论这个问题，假设pn(x)在x0处的函数值及它的直到n 阶导数在x处的值依次与f(x),f′(x),…,f(n)(x)相等，即满足：pn(x0)=f(x0),pn′(x0)=f′(x0),pn″(x0)=f″(x0),···,pn(n)(x0)=f(n)(x0),按这些等式来确定多项式(3-1)的系数a0,a1,a2,…,an，为此，对(3-1)式求各阶导数,然后分别代入以上等式，得：，，，，a0=f(x0)，1·a1=f′(x0),2!a2=f″(x0)，···，n!an=f(n)(x0)，即得：a0=f(x0),a1=f′(x0),a2=12!f″(x0),···,an=1n!f(n)(x0)将求得的系数a0,a1,a2,…,an代人(3-1)式，有：pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+···+f(n)(x0)n!(x−x0)n (3−2)下面的定理表明，多项式(3-2)的确是所要找的n次多项式泰勒(Taylor)中值定理1如果函数f(x)在x0处具有n阶导数，那么存在的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+···+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) (3−3)其中佩亚诺余项Piano：Rn(x)=o((x−x0)n)泰勒(Taylor)中值定理2如果函数f(x)在x的某个邻域U(x)内具有(n+1)阶导数，那么对任一x ∈U(x0)，有：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+···+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) (3−5)其中拉格朗日余项Lagrange：Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1这里ξ是x与x0之间的某个值在泰勒公式(3-3)中，如果取x=0，那么有带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式：此时，系数an=f(n)(0)n!f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+···+f(n)(0)n!xn+o(xn) (3−8)在泰勒公式(3-5)中，如果取x=0，那么ξ在0与x之间，因此可以令ξ=θx (0<θ<1)，从而泰勒公式(3-5)变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+···+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1 (3−9)f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n当x0=0f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!(x)n常用低阶泰勒展开式导数可参考我的这篇文章考研数学三角函数记不住？看这篇就够了！【记忆版】254 赞同·10 评论文章sinx=x−x33!+x55!+o(x3) arcsinx=x+x33!+o(x3)cosx=1−x22!+x44!+o(x4) arccosx=π2−x−x33!+o(x3)tanx=x+x33+2x515+o(x3) arctanx=x−x33+o(x3)从上面可以看出（反）三角函数的泰勒展开是跳阶的(1、3、5...其中tanx的系数不像sinx和cosx那么规律)，根据导数公式可以看出有的是加减交替而有的不是；而其他函数的泰勒展开式是逐阶的。
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理公式泰勒中值定理公式简介泰勒中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明一个光滑函数在某一点附近可以用一个无穷级数展开，并且展开式中的每一项都与函数在该点的导数有关。
泰勒中值定理在数值计算、函数逼近等领域有重要的应用。
泰勒公式泰勒公式可以写作以下形式：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+f‴(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+R n(x)其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。
R n(x)是一个余项，表示剩余部分。
一阶泰勒展开一阶泰勒展开是泰勒公式的特殊情况，当n=1时，泰勒公式可以简化为：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+R1(x)这个公式表示了函数f(x)在点a处的一阶近似。
举个例子，考虑函数f(x)=sin(x)在点a=0处展开。
根据一阶泰勒展开公式，我们有：sin(x)=sin(0)+cos(0)(x−0)+R1(x)化简得：sin(x)=x+R1(x)这表示在原点附近，sin(x)可以近似为x。
二阶泰勒展开二阶泰勒展开是泰勒公式的下一个级别，当n=2时，泰勒公式可以简化为：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+R2(x)这个公式表示了函数f(x)在点a处的二阶近似。
举个例子，考虑函数f(x)=cos(x)在点a=0处展开。
根据二阶泰勒展开公式，我们有：cos(x)=cos(0)+sin(0)(x−0)+−cos(0)2!(x−0)2+R2(x)化简得：cos(x)=1−12x2+R2(x)这表示在原点附近，cos(x)可以近似为1−12x2。
高阶泰勒展开泰勒展开还可以一直延伸到更高阶。
当n很大时，泰勒展开可以越精确地近似函数。
但需要注意的是，高阶泰勒展开的计算相对复杂，因此常常只会取前几阶展开项来近似。
总结： - 一阶泰勒展开：f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a) - 二阶泰勒展开：f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2以上是针对泰勒中值定理公式的简要介绍和示例解释。
泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧
泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧泰勒公式（Taylor's theorem）和泰勒中值定理（Taylor's theorem with remainder）是微积分中重要的定理，用于用已知函数的其中一点的信息推导出该函数在附近任意点的近似值。
下面将对这两个定理的系统理论和使用技巧进行详细阐述。
1. 泰勒公式（Taylor's theorem）：泰勒公式是一个逼近函数的公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是要逼近的函数，a是近似点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等是函数在点a的各阶导数。
公式可以继续扩展至更高阶导数。
泰勒公式的推导涉及到多项式的展开，通过使用导数的定义进行求解，存在其中一种程度的复杂性。
然而，在实际应用中，我们通常使用该公式的前几项进行近似计算，而不需要考虑无穷多项的求和。
在使用泰勒公式时，需要满足以下条件：-要求函数f(x)在开区间(a,b)上具有至少n+1阶连续导数；-近似点a必须在开区间(a,b)内；-近似点a必须在函数f(x)在(a,b)范围内的一些点，即a∈(a,b)。
2. 泰勒中值定理（Taylor's theorem with remainder）：泰勒中值定理是泰勒公式的一个推广，它包含了一个误差项。
泰勒中值定理的形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，R_n(x)是余项，它表示在使用泰勒公式展开的前n项进行近似时产生的误差。
余项的具体形式为：R_n(x)=(x-a)^n/(n!)*(f^(n+1)(c))其中，c是a和x之间的一些点。
泰勒公式与导数的应用
泰勒公式与导数的应用名称主要内容泰勒中值定理：如果f ( x) 在含有x 0 的某个开区间( a,b) 内具有n1阶的导数，则对任一x (a,b) ，有 f (x) f (x0 ) f / (x0 )( x x0) f //2(!x0 )(xx0)20 2!f (n) (x0) n(x x0) R n( x) ，此公式称为n 阶泰勒公式；n!f (n 1)( )n 1其中R n (x) (x x 0) ( 介于x0 于x 之间)，称为拉格朗日型余或泰(n 1)!R n(x) o[( x x0)n ] ，称为皮亚诺型余项。
勒n 阶麦克劳林公式：f (x) f (0) f/(0)x f //(0) x2 f (n)(0) x nx R n(x)2! n!公其中R n ( x) ( n 1)f ( x) n 1 x(0 1)或R n(x) o(x n ) 。
(n 1)!式常用的初等函数的麦克劳林公式：1)e x12x x n xo(x n) 2! n!35 2n 12) sin x x xx (n x 2n 2 )1) o( x3! 5! (2n 1)!246 2n3) cos x 1 xxx n x2n 1)( 1) n o(x2n2! 4! 6! (2n)!23xx x ( 1)n x n14) ln(1 x) n1o(x n1)23 n 15) 11x 12x x x n o(x n)1xm 6) (1 x)m(m1 mx1) 2 m( m 1) ( m n 1) nn)x n! x o( x2!13x巩固练习★1.按(x 1)的幂展开多项式 f (x) x 4 3x 2 4。
知识点 ：泰勒公式。
思路：直接展开法。
求 f (x) 按(x x 0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式，则依次求 f ( x) 直到 n 1 阶的导 数在 xx 0 处的值，然后带代入公式即可f (1) 10 ； f (x) 12x 2 6， f (1) 18；将以上结果代入泰勒公式，得介于 x 与 4之间)知识点 ：麦克劳林公式。
泰 勒 公 式
第三节、泰 勒 公 式
对于一些较复杂的函数，为了方便研究，往往希 望用一些简单的函数来近似表达．在各种函数中，多 项式函数是最简单的一种，只要对自变量进行有限次 加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此， 我们希望用多项式来近似表示函数．那么，如何从理 论上建立一个复杂函数与一个简单的多项式之间的关 系呢？1712年，英国数学家泰勒（Taylor）解决了这 个问题.这正是本节所要介绍的泰勒公式的核心内容．
Rn(x)=o［(x－x0)n］. (3-6) 这样，我们提出的问题完满地得到解决．
二、泰勒公式及其余项
在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也 可以写成
(3-7) Rn(x)的表达式(3-6)称为佩亚诺(Peano)型余 项，式(3-7)称为f(x)按(x－x0)的幂展开的带有佩 亚诺型余项的n阶泰勒公式．
因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
二、泰勒公式及其余项
由泰勒中值定理可知，以多项式pn(x)近似表达函数f(x)时， 其误差为|Rn(x)|．如果对于某个固定的n，当x∈(a,b)时， |f(n+1)(x)|≤M，则有估计式
(3-5) 及limx→x0Rn(x)/(x－x0)n=0.由此可见，当x→x0时误差|Rn(x)|是 比(x－x0)n高阶的无穷小，即
一、泰勒中值定理
泰勒首先提出下面的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间 内具有直到（n+1）阶导数，试找出一个关于(x－x0)的n次多 项式
pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n（3-1） 来近似表达f(x)，要求pn(x)与f(x)之差是比(x－x0)n高阶的无 穷小，并给出误差|f(x)－pn(x)|的具体表达式．
泰勒公式
1第三节泰勒(Taylor)公式问题的提出 泰勒中值定理简单应用2一、问题的提出例如 取x 0=0, 当x 很小时, x e x+≈1 , xx ≈+)1ln(（如下图）在微分中我们讲过，当很小时，||x Δ),(x o dy y Δ+=Δ即,)(x x f y Δ′≈Δ令：则,0x x x −=Δ),)((')()(000x x x f x f x f −+≈误差为.|)(|0x x o −上式表明函数f (x )在x 0的附近可用一个线性函数来近似。
且当很小时，误差||0x x −,)()()()(001x x f x f x f x R Δ′−−=也很小。
3xy +=1oxey =oxy =)1ln(x y +=4进一步的问题是：1) 线性近似的误差R 1(x)，如何估计？2)线性近似的理论依据是Δy ≈dy ，几何上意味着在用切线代替曲线，即“以直代曲”，显然精度不够，如何改进能提高局部近似的精度？下面来解决这两个问题。
.0lim ,)]()(21[)(02001=α−α+′′=→x x x x x f x R 由洛必达法则及极限与无穷小的关系，知)])(()([)()(:0001x x x f x f x f x R −′+−=记误差1）),)(()()(000x x x f x f x f −′+≈误差为.|)(|0x x o −5200000))((21))(()()(x x x f x x x f x f x f −′′+−′+≈3020)]()(!31[x x x f −α+′′′=]))((21))(()([)()(2000002x x x f x x x f x f x f x R −′′+−′+−=误差300200000))((!31))((21))(()()(x x x f x x x f x x x f x f x f −′′′+−′′+−′+≈因此]))((!31))((21))(()([)()(3002000003x x x f x x x f x x x f x f x f x R −′′′+−′′+−′+−=误差4030)]()(!41[x x x f −α+′′′=2) 提高多项式的次数来改进精度6由此分析看出，随着多项式函数的阶数的提高，这一特殊类型的多项式与函数f (x )的近似程度越好。
高等数学同济7版精品智能课件-第3章-第3节-泰勒公式
第三节 泰勒公式
于是提出如下的问题：
设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间内具有直到 (n + 1) 阶导数，试找出一个关于 (x – x0) 的 n 次多项式
pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达 f (x)，要求
f (x) pn (x) o((x x0 )n ) ,
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理
1. 问题的提出
在微分的应用中已经知道，当 |x – x0| 很小时，有近 似计算公式
f (x) f (x0) + f (x0)(x – x0) . 在上述近似计算公式的右边是一个 x – x0 的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数. 这种近似表达存在以下不足之处：
x0
)n
.
n 阶泰勒多项式
下面的定理将证明该多项式的确是所要找的 n 次多 项式.
第三节 泰勒公式
2. 泰勒(Taylor)中值定理
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开
区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x
(a
,
b)
，有
f
(x)
f
(x0 )
f
所以
f (k) (0) 1 (k 0 , 1, 2 , , n).
例2 求出函数 f (x) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式..
于是解可ex 得因1为sxinfx1(n)x(x2x)31!sxin3 1x51x!nxn5
高等数学4-3泰勒中值定理
(k 0,1, , n) ,
则称之为 f (x) 的在 x0 的 n 阶近似多项式。
3/23
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
f (x) f (a) f (a)(x a) f ( ) (x a)2 ， 介于x 与a 之间，
2 则
f (a)(x a) f (x) f (a) f ( ) (x a)2 ，
2
27-23
2021/1/5
续解 故
lim[
xa
1 f (x)
f (a)
1 ] f (a)(x a)
Peano型余项只给出了余项的阶，无法估计余项的大 小。
6/23
注
(1) 当 x0 0 时的泰勒公式（多项式）称为麦克劳林 公式（多项式）:
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f ( (n1) ) xn1
(n 1)!
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
o( xn )
9/23
⑵ 微分中值定理之间的关系
罗尔 中值定理
f (a) f (b)
g(x) x
拉格朗日 中值定理
n0
柯西 中值定理
泰勒 中值定理
四、简单的应用
例 1 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) ex ,
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m 1 (
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
f (k) (x) ( 1) ( k 1)(1 x) k
f (k) (0) ( 1) ( k 1) (k 1, 2, )
o(x4 x4
)
7 12
第四节
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) 若在f公(式x)成立的f区(间x0上)
f (0)x f (x0 )(x
f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (有x误差fx估(0nn计))!(2式0)
xn
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o[(x
x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n+1 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
特例:
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在 x0与 x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
o((x x0 )n )
( 在 x0 与 x 之间)
当 x0 0 时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式
ex , ln(1 x), sin x , cos x , (1 x)
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数
例如 sin x
2. 利用泰勒公式求极限
例2. 求 解: 用泰勒公式将分子展到
用洛必达法则 不方便 !
x2 项, 由于
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
1 2!
1 2
(12
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o(x2
)4 Leabharlann 3x23 4x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
原式 (xlim(01n)112)(!196
nx)2(1o(
x2
xx)2)n1x3n921
(0 1)
3. 利用泰勒公式证明不等式
例3. 证明
证:
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
1
1 (1
1)( 1
2)(1
x)
5 2
x3
3! 2 2 2
1
x
x2
1
(1
x)
5 2
x3
(0 1)
f
(k ) ( x)
(1)k
1
(k 1)! (1 x)k
(k 1,2, )
ln(1 x) x x2 x3
23
(1)n1
xn n
Rn (x)
其中
Rn (x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
pn (x)
pn(n) (x)
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2 n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0 ) f (x0 ),
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f
(x0 ),
, an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
( 在 x0 与 x 之间)
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 ,
则当
时, 有
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( 2
x0 !
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
例如
思考与练习
计算
解: e x2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o(x5) 2! 4!
e x2 2 cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
原式
lim
x0
7 12
x4
可见
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
f
(
2!
) (x x0 )2
( 在 x0与 x
之间)
误差
( 在 x0 与 x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
)
(
x
x0
)
2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x)
①
其中
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
( 在 x0 与 x 之间) ②
公式 ① 称为
的 n+1 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n+1 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒
注意到
Rn (x) o[(x x0 )n ]
泰勒公式
目的－用多项式近似表示函数.
应用
一、泰勒公式的建立
理论分析 近似计算
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) y
y f (x)
特点: 需要解决的问题
x 的一次多项式
f (x0 ) f (x0 )
(1 x) 1 x ( 1) x2
2!
( 1) ( n 1)
n!
xn Rn (x)
其中
Rn (x)
(
1) (
(n 1) !
n) (1
x) n1 xn1
(0
1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
已知 因此可得
2 8 16
( 11)x (1nx) (1x2 x)(xn10x)n1 + (0 1)
(n 1) ! 2 8
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
f
(x0 )
f (x0 )(x
x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
pn (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f
(n) (x0 )(x x0 )n
2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x) (称为余项) ,
则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
!
R2
m
(
x)
其中
R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1)π) x2m1
(2m 1) !
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
类似可得
cos x
1 x2 x4 2! 4!
(1)m
x2m (2m)
!
R2
(x x0 )n1
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0 )n
(1 在 x0 与 x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0