习题与解答2 条件概率+全概率贝叶斯概率
概率论-课时2-全概率、贝叶斯公式
本课结束 谢谢大家
n
P(B) P(B | Ai )P(Ai ) i 1
(5)带入贝叶斯公式
P( Ai
|
B)
P(B
| Ai )P( Ai P(B)
)
3 四大公式关系
条件概率
P( A | B) P( AB) P(B)
贝叶斯公式
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
P(B | Ai )P( Ai )
n
P(B | Ai )P( Ai )
i 1
2 贝叶斯公式
例：甲乙两工厂产品的次品率分别为3%和2%，现有一批由甲乙两厂生产的产品，其中的60%由甲工厂生产，其它 的由乙工厂生产，从中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于甲厂生产的概率是多少？
解：设事件B为“抽取一件为次品” A1为从甲工厂生产，A2为从乙工厂生产 P(B|A1)=3%,P(A1)=60% P(B|A2)=2%,P(A2)=40%
P(B) P(B | A1)P( A1) P(B | A2 )P( A2 )
... P(B | An )P( An )
n
= P( Ai )P(B | Ai ) i 1
2 贝叶斯公式
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
P(B | Ai )P( Ai )
n
P(B | Ai )P( Ai )
（1）写出概率P(Ai) (i=1,2,3)； （2）写出条件概率P(D|Ai) (i=1,2,3)； （3）求从库房取到一件次品的概率；
例2：甲、乙、丙三人同时向同一架飞机射击，设他们三人打中的概率分别为0.4,0.5和0.7，若三人中只有一人打 中，则飞机被击落的概率为0.2，若有两个人同时打中，则击落的概率为0.6，而三个人如果同时都打中则飞机一 定被击落。求
1-4 条件概率,全概率公式,贝叶斯公式
且等于它们的总和： 出最终结果. 义： n
P (B )
P ( A i B ).
i1
A2
A1
B
A3
A n 1
An
例4 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一 个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲 箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解 以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A 2 , A1 A 2 , 则 且
1
第 n1 次 取 出 黑 球 ； A n
A n 表 示 第 n 次 取 出 红球，则 b P ( A1 ) br
1 1
表 示 第 n 1 1 次 取 出 红球
P ( A 2 | A1 )
bc brc
P ( A n | A1 A 2 A n
1
1 ) 1
b ( n1 1) c b r ( n1 1) c r b r n1 c rc b r ( n1 1) c
P (B A) P ( AB ) P ( A)
因为 P ( A ) 0 . 8 ,
P ( B ) 0 .4 ,
.
( B A , AB B ) P ( AB ) P ( B ),
所以 P ( B A )
P ( AB ) P ( A)
0 .4 0 .8
1 2
.
3. 条件概率的性质
P ( B ) P ( B ) P(B) P(B) P(B) 1
(3) 可列可加性：
2023年高中地理《条件概率》经典题及答案详解
2023年高中地理《条件概率》经典题及答案详解题目1题目：某城市的居民有两个疾病A和B，已知疾病A的患病率为0.3，疾病B的患病率为0.2。
研究发现，其中10%的居民同时患有疾病A和B。
现从该城市的居民中随机选择一人，请问这个人同时患有疾病A和B的概率是多少？解析：根据题目所给信息，可以使用条件概率的公式计算出这个人同时患有疾病A和B的概率。
设事件A为患病A，事件B为患病B，则题目所求的是P(A且B)，即事件A和事件B同时发生的概率。
根据条件概率公式：P(A且B) = P(A) * P(B|A)已知疾病A的患病率为0.3，即 P(A) = 0.3已知疾病B的患病率为0.2，即 P(B) = 0.2已知其中10%的居民同时患有疾病A和B，即 P(A且B) = 0.1因此，根据条件概率公式，可以计算出 P(B|A) = P(A且B) /P(A) = 0.1 / 0.3 = 1/3所以，这个人同时患有疾病A和B的概率为1/3。
题目2题目：某国的高中学生中，男生的比例为0.6，女生的比例为0.4。
已知在男生中，50%患有近视；在女生中，30%患有近视。
现从该国的高中学生中随机选择一人，请问这个人患有近视的概率是多少？解析：根据题目所给信息，可以使用条件概率的公式计算出这个人患有近视的概率。
设事件A为患有近视，事件B为男生，则题目所求的是P(A|B)，即已知某人是男生的条件下，他患有近视的概率。
根据条件概率公式：P(A|B) = P(A且B) / P(B)已知男生的比例为0.6，即 P(B) = 0.6已知在男生中，50%患有近视，即 P(A且B) = 0.5因此，根据条件概率公式，可以计算出 P(A|B) = P(A且B) / P(B) = 0.5 / 0.6 = 5/6所以，这个人患有近视的概率为5/6。
以上是2023年高中地理《条件概率》经典题及答案详解，希望对你的学习有所帮助！。
条件概率全概率与贝叶斯公式(解析版)
专题29条件概率全概率与贝叶斯公式目录专题29条件概率全概率与贝叶斯公式..........................................................................................1【题型一】条件概率性质.................................................................................................................1【题型二】古典概型中的条件概率：取球型................................................................................3【题型三】条件概率：“医护”分配型...........................................................................................4【题型四】条件概率列表型.............................................................................................................6【题型五】全概率公式基础型.........................................................................................................7【题型六】贝叶斯公式.....................................................................................................................9【题型七】概率综合题...................................................................................................................11培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................14培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................16培优第三阶——培优拔尖练.. (19)【题型一】条件概率性质【典例分析】已知()()()111,,.324P A P B A P B A ===∣∣则()P B =（）A ．712B ．724C ．512D ．524【答案】C【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得()P BA 和()P BA ，从而求得()P B .【详解】由题知，()2()13P A P A =-=，()()()111()()223P BA P B A P BA P A P A ==⇒=⨯=∣，()21133)3(()P A BA P B P A =-==-，又()()()111(()4412P BA P B A P BA P A P A ==⇒=⨯=∣，则()()115312()12P BA P B P BA ===++.故选：C1.设A ，B 是两个事件，()0P A >，()0P B >，则下列结论一定成立的是（）A ．()()1PB A P A B =B ．()()()P AB P A P B =C ．()()P B P B A ≤D ．()()P AB P B A ≤【答案】D【分析】应用条件概率公式及独立事件的概率关系()()()P AB P A P B =，结合概率的性质判断各项的正误.【详解】A ：由()()1P B A P A B =，而()()0,1P B A P A B ≤≤，则()()()()1()()P AB P AB P B A P A B P A P B ====，即()()()P AB P A P B ==时成立，否则不成立，排除；B ：当A ，B 是两个相互独立的事件，有()()()P AB P A P B =，否则不成立，排除；C ：由()()()()P AB P B P B A P A ≤=且()01P A <≤，故()()()P AB P A P B ≥时成立，否则不成立，排除；D ：由()()()P AB P B A P A =，而()01P A <≤，则()()P AB P B A ≤，符合；故选：D2.已知随机事件A ，B 的概率分别为(),()P A P B ，且()()0≠P A P B ，则下列说法中正确的是（）A ．(|)()<P AB P AB B ．(|)(|)P B A P A B =C ．(|)()(|)()P A B P B P B A P A =D ．(|)0=P B B 【答案】C【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】由条件概率知：()()(|)P AB P A B P B =，因为()(]0,1P B ∈，所以()()(|)()P AB P A B P AB P B =>，故A 不正确；()()()()(|),(|)P AB P AB P B A P A B P A P B ==，()P A 与()P B 不一定相等，所以(|)(|)P B A P A B =不一定成立，故B 不正确；()()()()(|),(|)P AB P AB P B A P A B P A P B ==，所以()()(|)()(|)()P AB P A B P B P B A P A P A ==，故C 正确；()()(|)0P B P B B P B =≠，故D 不正确.故选：C.3.已知A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列说法正确的是（）A ．()()()P B A P B A P A +=B ．若()()1P A P B +=，则A ，B 对立C ．若A ，B 独立，则()()P A B P A =D ．若A ，B 互斥，则()()1P A B P B A +=【答案】C 【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；【详解】对A ，()()()()()1()()P AB P AB P A P B A P B A P A P A ++===，故A 错误；对B ，若A ，B 对立，则()()1P A P B +=，反之不成立，故B 错误；对C ，根据独立事件定义，故C 正确；对D ，若A ，B 互斥，则()()0P A B P B A +=，故D 错误；故选：C【题型二】古典概型中的条件概率：取球型【典例分析】袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）A ．23B ．14C ．521D ．523【答案】C【分析】记:i A 骰子掷出的点数为i ，()1,2,3i =，事件B:取出的球全是白球，分别求出()()2P A B P B ，，利用条件概率公式即可求解.【详解】记:i A 骰子掷出的点数为i ，()1,2,3i =，事件B:取出的球全是白球，则()16i P A =,()37|ii i C P B A C =，所以()()()123333312317771111311111|666676763510i i i C C C P B P A P B A C C C ===⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=∑所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：()()()2211567|12110P A B P A B P B ⨯===.1.袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件:A 甲和乙至少一人摸到红球，事件:B 甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()P B A =（）A ．925B ．25C ．45D ．89【答案】D【分析】求出()P AB 和()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件:AB 甲、乙只有一人摸到红球，则()1242C A 85525P AB ==⨯，()2491525P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此，()()()82582599P AB P B A P A ===.故选：D.2.一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件A =“第一次抽到红球”，B =“第二次抽到红球”，则概率(|)P B A 是（）A ．25B ．14C ．15D ．12【答案】B【分析】利用古典概率公式求出事件A 及事件AB 的概率，再利用条件概率公式计算得解.【详解】依题意，2()5P A =，211()5410P AB ⨯==⨯，所以1()110(|)2()45P AB P B A P A ===.故选：B 3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为（）A ．13B ．23C ．12D ．15【答案】B【分析】利用条件概率求解.【详解】设“第一次摸到红球”的事件为A ，设“第二次摸到白球”的事件为B ，则()()21221,42433p A p AB ⨯====⨯，所以在第一次摸到的是红球的条件下，第二次第二次摸到白球的概率为：()()()123|132p AB p B A p A ===.故选：B【题型三】条件概率：“医护”分配型【典例分析】将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）A ．事件A 与B 相互独立B ．事件A 与C 相互独立C ．5(|)12P B A =D ．5(|)12P C A =【答案】D【分析】由古典概率公式求出(),(),(),(),()P A P B P C P AB P AC ，再利用相互独立事件的定义判断A ，B ；用条件概率公式计算判断C ，D 作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有2343C A 36=个基本事件，它们等可能，事件A 含有的基本事件数为322332A C A 12+=，则121()363P A ==，同理1()()3P B P C ==，事件AB 含有的基本事件数为22A 2=，则21()3618P AB ==，事件AC 含有的基本事件数为211222C C C 5+=，则5()36P AC =，对于A ，1()()()9P A P B P AB =≠，即事件A 与B 相互不独立，A 不正确；对于B ，1()()()9P A P C P AC =≠，即事件A 与C 相互不独立，B 不正确；对于C ，()1(|)()6P AB P B A P A ==，C 不正确；对于D ，()5(|)()12P AC P C A P A ==，D 正确.故选：D【变式训练】1.有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（）A ．16B ．14C ．29D ．136【答案】A【分析】用事件A 表示“甲被安排到了冰壶”，以A 为样本空间，利用古典概率公式求解作答.【详解】用事件A 表示“甲被安排到了冰壶”，B 表示“乙被安排到了冰壶”，在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A 发生的条件下，事件B 发生，相当于以A 为样本空间，考查事件B 发生，在新的样本空间中事件B 发生就是积事件AB ，包含的样本点数22()A 2n AB ==，事件A 发生的样本点数223323()C A A 12n A =+=，所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为()21(|)()126n AB P B A n A ===.故选：A2.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则()P A B =（）A ．29B ．13C ．49D ．59【分析】利用条件概率公式有()()()P B A P A B P B ⋂=，结合排列组合数分别求出()P B 、()P B A ⋂即可得结果.【详解】由()()()P B A P A B P B ⋂=，而1344327()464C P B ⋅==，4443()432A PB A ⋂==，所以()29P A B =.故选：A3.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （A |B ）＝（）A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】A求出()P A ()P AB =，()P B ，然后由条件概率公式计算．【详解】由题意444()4A P A =，()()P AB P A =，3443()4P B ⨯=，∴44434()24(|)43()94A P AB P A B P B ===⨯．故选：A ．【题型四】条件概率列表型【典例分析】已知某家族有A 、B 两种遗传性状，该家族某位成员出现A 性状的概率为415，出现B 性状的概率为215，A 、B 两种遗传性状都不出现的概率为710．则该成员在出现A 性状的条件下，出现B 性状的概率为（）A ．14B ．38C ．12D ．34【答案】B【分析】记事件:E 该家族某位成员出现A 性状，事件:F 该家族某位成员出现B 性状，求出()P EF ，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:E 该家族某位成员出现A 性状，事件:F 该家族某位成员出现B 性状，则()415P E =，()215P F =，()710P E F =，则()()3110P E F P E F =-=，又因为()()()()P E F P E P F P EF =+-，则()()()()110P EF P E P F P E F =+-=，故所求概率为()()()11531048P EF P F E P E ==⨯=.故选：B.【变式训练】1.某射击选手射击一次击中10环的概率是45，连续两次均击中10环的概率是12，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是（）A ．25B ．58C ．12D ．45【分析】设该选手第一次射击击中10环为事件A ，第二次射击击中10环为事件B ，则P （A ）45=，1()2P AB =，某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是：()(|)()P AB P B A P A =．【详解】解：某选手射击一次击中10环的概率是45，连续两次均击中10环的概率是12，设该选手第一次射击击中10环为事件A ，第二次射击击中10环为事件B ，则()45P A =，1()2P AB =，∴某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是：1()52(|)4()85P AB P B A P A ===．故选：B ．2.甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲､乙同时击中目标的概率为（）A ．2144B ．1223C ．1225D ．1121【答案】B【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C ,则()()0.6,0.8P A P B ==，所以，()()()()()1110.610.80.92P C P A P B =-=--⨯-=，()()()0.60.80.48P AB P A P B ==⨯=，则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.80.921223P ⨯==.故选：B.3.．某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为0.7，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.5，已知第一次击中目标的概率为0.8，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（）A ．1425B ．1433C ．2833D ．2539【答案】C【分析】设出事件，利用全概率公式计算出()()()()()0.66P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=，再利用条件概率公式计算出答案.【详解】设第一次击中目标为事件A ，第二次击中目标为事件B ，则()0.7P B A =，()0.5P B A =，()0.8P A =，所以()0.2P A =，故()()()()()()()0.80.70.20.50.66P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅=⨯+⨯=，则()()()()()0.70.8280.660.6633P A P B A P AB P A B P B ⋅⨯====故选：C 【题型五】全概率公式基础型【典例分析】长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．110B ．38C ．25D ．2225【答案】A【分析】令1A =“玩手机时间超过2h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查一人，利用全概率公式计算即可.【详解】令1A =“玩手机时间超过2h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查一人，此人近视”，则12A A Ω=，且1A ，2A 互斥，()10.4P A =，()20.6P A =，()1|0.6P B A =，()0.3P B =，依题意，()()()()()()11222||0.40.60.6|0.3P B P A P B A P A P B A PB A =+=⨯+⨯=，解得()21|10P B A =，所以所求近视的概率为110．故选：A1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（）A ．0.132B ．0.112C ．0.868D ．0.888【答案】C【分析】记事件B 表示从仓库中随机提出的一台是合格品，i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，i 1,2=，分别求出()()()()1212,,|,|P A P A P B A P B A ，再由全概率公式即可求解.【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B ，事件i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，i 1,2=，由题意可得()120.45P A ==，()20.6P A =，()1|0.85P B A =，()2|0.88P B A =由全概率公式得()()()()()1122||0.40.850.60.880.868P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=所以该产品合格的概率为0.868故选：C.2.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为（）A ．0.0415B ．0.0515C ．0.0425D ．0.0525【答案】D【分析】设B ＝“任取一个零件为次品”，Ai ＝“零件为第i 台车床加工”(i ＝1，2，3)，利用全概率的公式求解.【详解】解：设B ＝“任取一个零件为次品”，Ai ＝“零件为第i 台车床加工”(i ＝1，2，3)，则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，A 1，A 2，A 3两两互斥．根据题意得P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.45，P (B |A 1)＝0.06，P (B |A 2)＝P (B |A 3)＝0.05.由全概率公式，得P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.故选：D3.设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为110，115，120，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.2【答案】A【分析】以1A ，2A ，3A 分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，求得()1P A ，()2P A ，()3P A ，由条件概率和全概率公式可得答案.【详解】以1A ，2A ，3A 分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，()1510P A =，()2310P A =，()3210P A =，()11|10P B A =，()21|15P B A =，()31|20P B A =，则由全概率公式，所求概率为()()()()()()112233()|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++5131210.08101010151020=⨯+⨯+⨯=，故选：A.【题型六】贝叶斯公式【典例分析】一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（）A ．13B ．23C ．34D ．14【答案】B【分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解.【详解】设A 表示“考生答对”，B 表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得()()()()()121113342P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=.又由贝叶斯公式得()()()()1123132P B P A B P B A P A ⨯===.故选：B1.通信渠道中可传输的字符为AAAA ，BBBB ，CCCC 三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA ，则传输的字符是AAAA 的概率为________．【答案】0.5625【分析】以B 表示事件“收到的字符是ABCA ”，123,,A A A 分别表示传输的字符为AAAA ，BBBB ，CCCC ，根据已知得到()1P B A ，()2P B A ，()3P B A ，利用贝叶斯公式可计算求得()1P A B .【详解】以B 表示事件“收到的字符是ABCA ”，1A 表示事件“传输的字符为AAAA ”，2A 表示事件“传输的字符为BBBB ”，3A 表示事件“传输的字符为CCCC ”，根据题意有：()10.3P A =，()20.4P A =，()30.3P A =，()10.60.20.20.60.0144P B A =⨯⨯⨯=，()20.20.60.20.20.0048P B A =⨯⨯⨯=，()30.20.20.60.20.0048P B A =⨯⨯⨯=；根据贝叶斯公式可得：()()()()()111310.01440.30.56250.01440.30.00480.40.00480.3i ii P B A P A P A B P B A P A =⨯===⨯+⨯+⨯∑.故答案为：0.5625.2.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．【答案】0.80【分析】设“中途停车修理”为事件B ，“经过的是货车”为事件1A ，“经过的是客车”为事件2A ，则12B A B A B =+，然后代入贝叶斯公式计算.【详解】设“中途停车修理”为事件B ，“经过的是货车”为事件1A ，“经过的是客车”为事件2A ，则12B A B A B =+，12()3P A =，21()3P A =，1(|)0.02P B A =，2(|)0.01P B A =，由贝叶斯公式有1111122()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A +=20.023210.020.0133⨯=⨯+⨯0.80=.故答案为：0.803.已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．【答案】1415【分析】以事件A 表示“选出的是男性”，则事件A 表示“选出的是女性”，以事件H 表示“选出的人是色盲患者”.由已知得()()12P A P A ==，()7%P H A =，()0.5%P H A =.根据贝叶斯公式可求得答案.【详解】解：以事件A 表示“选出的是男性”，则事件A 表示“选出的是女性”，以事件H 表示“选出的人是色盲患者”.由题意，知()()12P A P A ==，()7%P H A =，()0.5%P H A =.由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为()()()()()()()()()17%14211157%0.5%22P H A P A P AH P A H P H P H A P A P H A P A ⨯====+⨯+⨯.故答案为：1415.【题型七】概率综合题【典例分析】2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E 处，小华在如图的街道F 处，老年公寓位于如图的G 处，则下列说法正确的个数是（）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率为1835④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A ：小明经过F 事件B ；从F 到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则2()15P B A =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数m ，并确定向上或向右各走的步数n ，则最短路径的走法有nm C ，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F 且从F 到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为133C =条，错误；对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为3735C =条，正确；对于③，小明到F 的最短路径走法有246C =条，再从F 处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率为63183535⨯=，正确；对于④，由题意知：事件A 的走法有18条即18()35P A =，事件A B ⋂的概率()62435335P A B ⨯⋂==⨯，所以()()()2|9P A B P B A P A ⋂==，错误.故说法正确的个数是2.故选：B.【变式训练】1.．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（）①事件1A 与2A 相互独立；②1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件；③24(|)11P B A =；④()922P B =；⑤14(|)9P A B =A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】先判断出1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且不满足()()()1212P A A P A P A =⋅，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.【详解】显然，1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且()1515232P A ==++，()2215235P A ==++，而()()()12120P A A P A P A =≠⋅，①错误，②正确；()2215235P A ==++，()214451155P A B =⨯=，所以24(|)11P B A =，③正确；()()()()()()()1122331541349211115101122P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯=④正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===，⑤错误，综上：结论正确个数为3.故选：C2．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（）A ．18B ．78C ．17D ．67【答案】C【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，记事件A 为“有一枚正面朝上”，则()78P A =，记事件B 为“另外两枚也正面朝上”，则AB 为“三枚都正面朝上”，故()18P AB =，故()()()118778P AB P B A P A ===.即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是17.故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力．3．如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =A ．415B ．730C ．15D ．16【答案】C【分析】分别求出事件A 与事件B 的基本事件的个数，用()|P B A =()AB P P A （）计算结果.【详解】由题意知，事件A 共有4454C A =120个基本事件，事件B ：“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，()24|120P B A ∴==15.故选C.培优第一阶——基础过关练1.已知7(3|)P A B =，7()9P B =，则()P AB =（）A ．37B ．47C ．13D ．2749【答案】C【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.【详解】因为7(3|)P A B =，7()9P B =，所以(7(31()))73|9P AB P A B P B ==⨯=.故选：C2．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A ．0.34B ．0.37C ．0.42D ．0.43【答案】C【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件A 表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则223124C 0.80.32C P =⨯=,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则1113224C C 0.80.250.1C P =⨯⨯=，故12()0.320.10.42P A P P =+=+=,故选：C3．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是920，连续两天顾客量超过1万人次的概率是720，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（）.A ．710B ．910C ．45D ．79【答案】D【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A ，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次”为事件B ，则9()20P A =，7()20P AB =，所以7()720()9()920P AB P B A P A ===，故选：D ．4．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（）A ．0.92B ．0.93C ．0.94D ．0.95【答案】B【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A ，买到的灯泡是乙厂产品为事件B ，则()0.6P A =，()0.4P B =，记事件:C 从该地市场上买到一个合格灯泡，则()0.95P C A =，()0.9P C B =，所以，()()()()()()()0.60.950.40.9P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+=⨯+⨯0.93=.故选：B.5．将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，A 表示事件“志愿者甲派往①社区”；B 表示事件“志愿者乙派往①社区”；C 表示事件“志愿者乙派往②社区”，则（）A ．事件A 、B 同时发生的概率为19B ．事件A 发生的条件下B 发生的概率为16C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与C 为互斥事件【答案】B【分析】根据互斥独立的概率公式乘法公式和判定方法，可判定A 、C 不正确；利用条件概率的计算公式，可判定B 正确，结合互斥事件的概念与判定，举例可判定D 错误.【详解】由题意，每个社区至少派1名志愿者的所有可能情况有1123243122C C C A 36A ⨯=种分法，事件A 表示志愿者甲派往①社区的分法有322332A C A 12+=，所以1()3P A =,同理可得1()3P B =，1()3P C =，则22A 1()()()3618P AB P A P B ==≠，所以A 、B 不相互独立，所以A 、C 不正确；又由1()118(|)1()63P AB P B A P A ===，所以B 正确；例如：事件D :甲、乙派到①，丙派到②，丁派到③和事件E :甲派到①，乙、丙派到②，丁派到③，此时事件A 与事件C 同时发生，所以A 与C 不互斥，所以D 错误.故选：B.6．目前，国际上常用身体质量指数()()22:kg :m BMI =身高体重单位单位来衡量成人人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为15；女员工中，肥胖者的占比为110．已知该公司男、女员工的人数比例为3:2，为了解员工肥胖原因，现从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）A ．34B ．35C ．45D ．910【答案】A【分析】记事件A 为“选到的员工为肥胖者”，事件B 为“选到的员工为男性”，求出()P AB 、()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件A 为“选到的员工为肥胖者”，事件B 为“选到的员工为男性”．则()3135525P AB =⨯=，()312145551025P A =⨯+⨯=，则()()()32532544P AB P B A P A ==⨯=．故选：A.7．从分别标有1,2,3,9,的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为（）A ．38B ．16C ．112D ．124【答案】A【分析】设事件A 为第1张为偶数，事件B 为第2张为偶数，则()49P A =，()16P AB =，根据条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为第1张为偶数，事件B 为第2张为偶数，则()49P A =，()2429C 1C 6P AB ==，故()()()38P AB P B A P A ==.故选：A培优第二阶——能力提升练1．2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间[70,90)内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（）A ．频率分布直方图中的0.030x =B ．估计100名学生成绩的中位数是85C ．估计100名学生成绩的80%分位数是95D ．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于[)70,80，则后抽取的学生成绩在[)80,90的概率是415【答案】AC【分析】根据频率之和为1可判断A,根据中位数为面积在0.5的位置可判断B,根据百位数的计算可判断C ，根据条件概率的计算公式可判断D.【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10(0.0050.010.0150.040)1x ⨯++++=，解得0.030x =，故A 正确；对于B ：全校学生成绩的中位数为()()00050010001510=030500050010001510=0605........x ..++´<+++´>，，故中位数位于[]8090，之间，故中位数为()2260809080=33+´-，故B 错误，对于C ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分，故C 正确．对于D ：在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80)和[)80,90的学生人数之比为100.0151100.0302⨯=⨯，故[)70,80抽取了2人，[)80,90中抽取了4人，先抽取的学生成绩位于[)70,80，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，而此时学生成绩在[)80,90的个数有4个，故概率为45，故D不正确，故选：AC2．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（）A ．事件B 与事件C 是互斥事件B ．事件A 与事件C 是独立事件C ．()330P C 1=D ．()12P C A =【答案】CD【分析】根据互斥的概念及独立事件概率公式可判断A 、B ；根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式即可判断C 、D.【详解】解：当从甲中取出白球时，乙中取出的可能是红球，也可能是白球，所以选项A 错误；因为甲盒中有3个红球，2个互斥白球，所以()35P A =，()25P B =，若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，所以()3395630P AC =⨯=，()2245630P BC =⨯=，()332213565630P C =⨯+⨯=，因为()()()P AC P A P C ≠⨯，所以事件A 与事件C 不是独立事件，故选项B 错误；选项C 正确；因为()()()9130325P AC P C A P A ===，故选项D 正确.故选：CD3．已知事件,A B 满足()()0.5,0.2P A P B ==，则（）A ．若B A ⊆，则()0.5P AB =B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若()0.2P BA =∣，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =【答案】BC【分析】根据事件的关系以及运算，互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率公式，条件概率的概率公式等即可求出．【详解】对A ，因为B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，错误；对B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.7P A B P A P B +=+=，正确；对C ，因为()()()0.2P AB P BA P A ==∣，所以()0.1P AB =，而()()0.5,0.2P A P B ==，。
1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质： （1）非负性：P A B 0 （2）规范性： P B 1 （3）可列可加性：对任意的一列两两互不相容的事件
Ai i 1,2, 有 P Ai B P Ai B
i 1 i 1
类似于概率，还可导出条件概率其它的一些性质
注意，这不是求条件概率 PA B, PB A
P A PAB AB P AB PAB
A A AB B AB AB
PB P A B P B P A B
3 2 2 3 3 5 4 5 4 5
B2
B3
B1
A
Bn
化整为零 各个击破
说明 全概率公式的主要用途 在于它可以将一个复杂事件的概 率计算问题,分解为若干个简单 事件的概率计算问题,最后应用 概率的可加性求出最终结果.而 这需要对样本空间进行划分.
定理1.2 设B1 , B2 , 是一列互不相容的事件，且 有 Bi , P( Bi ) 0, i 1,2, , 则对任一事件A，有
i 1
P( A) P( Bi ) P( A | Bi ).
i 1
这个公式通常称为全概率公式，它是概率论中 最基本的公式之一。
k AB
2．条件概率的定义和性质
定义： F，P ）是一个概率空间，B F 若（ ， ，且 P AB P（B）>0，则对任意的 A F，称 P A B P B 为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概 率。
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （ 2） B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时” 我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即 3 1 P B , P A 4 2 A B, 所以AB=A， P AB P A
(完整word版)习题与解答2条件概率+全概率贝叶斯概率
习题2：条件概率与全概率、贝叶斯概率一、 条件概率与乘法公式 P20:A3,4；B5；1.据统计，某市发行A ，B ，C ，3种报纸，订阅情况为:()0.6,(|)0.5,(|)0.3(|)0.5,P C P B C P A BC P A C ====， 求订阅A 和C 报但不订阅B 报的概率. 解：()()(|)0.3,()()1(|)0.3P AC P C P A C P BC P C P B C ⎡⎤===-=⎣⎦()()(|)0.30.50.15.P ABC P BC P A BC ==⨯=()()()0.30.150.15.P ABC P AC P ABC =-=-=2. 已知()1/4,(|)1/3,(|)1/2,P A P B A P A B ===求(|)P A A B U .解：1()1()()(|).().12(|)6P AB P AB P A P B A P B P A B ====1()()34(|)111()()()()44612P A P A P A A B P A B P A P B P AB ====+-+-U U 二、 全概率P23:A5,6；4. 某人去外地参加会议，乘火车，汽车，飞机的概率分别为0.3,0.2,0.5 . 若乘飞机，不会迟到，若乘火车和汽车，则迟到的概率分别为0.1和0.2，求最终不迟到的概率.解：设A 1=“乘火车”，A 2=“乘汽车”，A 3=“乘飞机”，B=“不迟到”，123123()0.3,()0.2,()0.5,(|)0.9,(|)0.8,(|)1.P A P A P A P B A P B A P B A ======31()()(|)0.30.90.20.80.510.93.i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑5. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收为 B 的概率为 0.02，B 被误收为A 的概率为0.01,信息 A 与 B 传递的频繁程度比为3:2. 求接收站收到的信息为B 的概率为多少？解：设A=“发送信息A ”，B=“接收信息B ”，()0.6,(|)0.02,(|)0.01,P A P B A P B A ===()()(|)()(|)0.60.020.40.990.408.P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=三、 贝叶斯概率P26:A2, 3，5；6. 一批零件，合格品占92%，一检验员随机地取一件进行检验，合格品误检为不合格品的概率是0.05，而不合格品误检为合格的概率是0.1，求当产品检为合格时，实际取的是不合格品的概率.解：设A=“取到合格品”，B=“检验为合格品”，()0.92,(|)0.05,(|)0.1,P A P B A P B A ===()(|)0.080.1(|)0.009.0.920.950.080.1()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===⨯+⨯+ 7. 某公司从四家厂购入同一产品，数量之比为9:3:2:1，已知四家厂次品率分别为1%，2%，3%，1%，现随机取到一件次品，问该次品是哪家的责任最大？解：设A i =“第i 家厂的产品”，B=“次品”，123412349321(),(),(),(),15151515(|)0.01,(|)0.02,(|)0.03,(|)0.01.P A P A P A P A P B A P B A P B A P B A ========41932122()()(|)0.010.020.030.01.151515151500i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯+⨯=∑ 111234()(|)9661(|),(|),(|),(|).()22222222P A P B A P A B P A B P A B P A B P B ===== 答：由四个贝叶斯概率可知第一家责任最大。
条件概率全概率贝叶斯公式易错
条件概率全概率贝叶斯公式易错条件概率、全概率和贝叶斯公式是概率论中的重要概念和公式。
下面是这些概念和公式的解释和应用示例，以帮助理解和回答。
条件概率是在给定某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
假设A和B是两个事件，记作P(A|B)，表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以通过求解P(A∩B)和P(B)之比来计算，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
全概率是指将一个事件A表示为多个互斥事件的并的概率。
假设C1, C2, ..., Cn是一组互斥事件，且它们的并可以构成全样本空间，且它们的概率都大于零。
那么对于任意事件A，可以使用全概率公式表示为P(A) = Σ[P(Ci)P(A|Ci)]，其中Σ表示求和。
贝叶斯公式是通过已知后验概率和先验概率来计算逆向的条件概率。
假设A和B是两个事件，已知P(A|B)和P(B)，则根据贝叶斯公式，可以计算出P(B|A)。
公式为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)。
在实际应用中，这些概念和公式经常用于解决诸如分类问题、决策问题、故障诊断等问题。
拓展：除了条件概率、全概率和贝叶斯公式外，还有其他与之相关的概念和公式。
例如，乘法规则、加法规则、独立事件、联合概率、边缘概率等等。
这些概念和公式一起构成了概率论中的基础知识体系。
乘法规则是指两个事件同时发生的概率可以通过它们各自的概率相乘得到。
假设A和B是两个事件，那么它们同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)。
加法规则是指两个事件至少有一个发生的概率可以通过它们各自的概率相加减去它们的交集概率得到。
假设A和B是两个事件，那么它们至少有一个发生的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
独立事件是指两个事件的发生不会互相影响，即P(A|B) = P(A)和P(B|A) = P(B)。
对于独立事件，乘法规则可以简化为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
条件概率、全概率、贝叶斯公式
杨鑫的数学课堂条件概率、全概率、贝叶斯公式、p(A|B)=P(A∩B)P(B)⇒p(A∩B)=p(A|B)×p(B)⇒p(A∩B)=P(B|A)×P(A)(1)p(A|B)=P(A∩B)P(B)=p(B|A)×P(A)p(B)(2)先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：p(L1)=0.5,p(L2)=0.3,p(L3)=0.2(3)每天上述三条路不拥堵的概率分别为：p(C1)=0.2,p(C2)=0.4,p(C3)=0.7(4)其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i 条路，则：p(C)=p(L1)×p(C|L1)+p(L2)×p(C|L)+p(L3)×p(C|L3) p(C)=p(L1)×p(C1)+p(L2)×p(C2)+p(L3)×p(C3)p(C)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36(5)全概率计算公式p(C)=p(L1)p(C|L1)······p(L n)p(C|L n)=n∑i=1p(L i)p(C|L i)(6)三、贝叶斯公式仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？0.5这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。
故有：p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)p(C)p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)P(L1)×p(C|L1)+P(L2)×p(C|L2)+P(L3)×p(C|L3)p(L1|C)=0.2×0.50.2×0.5+0.3×0.4+0.2×0.7=0.28(7)1。
条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式(学生版)
条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式目录☆【题型一】条件概率的理解☆【题型二】利用定义求条件概率☆【题型三】缩小样本空间求条件概率☆【题型四】概率的乘法公式☆【题型五】互斥事件的条件概率☆【题型六】全概率公式☆【题型七】多个事件的全概率问题☆【题型八】贝叶斯公式☆【题型一】条件概率的理解1判断下列哪些是条件概率？(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率；(2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率；(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率．【变式训练】1.下面几种概率是条件概率的是()A.甲、乙二人投篮命中率分别为0．6,0．7，各投篮一次都投中的概率B.甲、乙二人投篮命中率分别为0．6,0．7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率2.把一枚硬币投掷两次，事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现正面”，则P(B|A)等于()A.14B.12C.16D.18☆【题型二】利用定义求条件概率1抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6}，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B)．【变式训练】1.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．2.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．3.5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：(1)第一次取到新球的概率；(2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．4.设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)=13，P(A)=23，则P(B|A)等于()A.12B.29C.19D.495.一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是()A.12B.13C.14D.236.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)等于()A.38B.1340C.1345D.347.已知A与B是两个事件，P(B)=14，P(AB)=18，则P(A|B)等于()A.13B.14C.38D.128.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是()A.14B.15C.16D.179.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )=0．2，P (B )=0．18，P (AB )=0．12，则P (A |B )和P (B |A )分别等于()A.13，25B.23，25C.23，35D.12，3510.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于()A.49B.29C.12D.1311.小明早上步行从家到学校要经过两个有红绿灯的路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0．4，在第二个路口遇到红灯的概率为0．5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0．2，某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是()A.0．2B.0．3C.0．4D.0．512.分别用集合M ={2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是．13.设某种动物能活到20岁的概率为0．8，能活到25岁的概率为0．4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是．14.已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个．(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率．15.某社区活动中心打算周末去照看养老院的老人，现有4个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要帮助的养老院可供选择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事件A 为“4个志愿者小组去的养老院各不相同”，事件B 为“小组甲独自去一个养老院”，则P (A |B )等于()A.29B.13C.49D.5916.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0．8B.0．75C.0．6D.0．45☆【题型三】缩小样本空间求条件概率1集合A ={1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【变式训练】1.集合A={1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，乙抽到偶数的概率．2.2022年6月3日是我国的传统节日“端午节”．这天小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅，小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为()A.14B.34C.110D.3103.集合A={1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．4.5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为．☆【题型四】概率的乘法公式1一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．【变式训练】1.10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：(1)甲抽到难签的概率；(2)甲、乙都抽到难签的概率；(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率．2.设A，B为两个事件，已知P(A)=23，P(B|A)=12，则P(AB)等于()A.12B.13C.29D.233.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A.110B.15C.45D.9104.已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(AB)等于()A.56B.910C.215D.1155.(多选)设P(A|B)=P(B|A)=12，P(A)=13，则()A.P(AB)=16B.P(AB)=56C.P(B)=13D.P(B)=1126.有一批种子的发芽率为0．9，出芽后的幼苗成活率为0．8．在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是()A.0．72B.0．8C.0．86D.0．97.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为()A.8225B.12C.110D.348.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A.0．665B.0．564C.0．245D.0．2859.设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为．☆【题型五】互斥事件的条件概率1在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【变式训练】1.抛掷两颗质地均匀的骰子各一次．(1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？(2)向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？2.若B ，C 是互斥事件且P (B |A )=13，P (C |A )=14，则P (B ∪C |A )等于()A.12B.13C.310D.7123.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为．☆【题型六】全概率公式1某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0．06，乙厂每箱装120个，废品率为0．05，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．【变式训练】1.已知P (BA )=0．4，P (BA )=0．2，则P (B )的值为()A.0．08B.0．8C.0．6D.0．52.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行新冠疫情防控宣传．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．求该社区居民遇到一位进行新冠疫情防控宣传的同学恰好是女生的概率．3.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是()A.ba+b+c B.ba+cC.ba+bD.b+ca+b+c4.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0．04，第二台的废品率为0．07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为()A.0．21B.0．06C.0．94D.0．955.一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为()A.29B.13C.310D.7106.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．7.学校举行演讲比赛，共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序．不过，刘帅同学对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样．刘帅的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？8.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为()A.0．59B.0．41C.0．48D.0．64☆【题型七】多个事件的全概率问题1某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10．020．1520．010．8030．030．05设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．【变式训练】1.有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．2.甲、乙、丙三人同时对一架飞机进行射击，三人击中的概率分别为0．4,0．5,0．7．飞机被一人击中而击落的概率为0．2，被两人击中而击落的概率为0．6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．3.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0．3，0．2,0．1,0．4，迟到的概率分别为0．25,0．3,0．1,0，则他迟到的概率为()A.0．65B.0．075C.0．145D.04.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为()A.310B.21100C.730D.29905.袋中装有编号为1,2，⋯，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为．6.设甲袋有3个白球和4个红球，乙袋有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的是2个红球的概率．7.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示．品 牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．☆【题型八】贝叶斯公式*1小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)=0．5，P(L2)=0．3，P(L3)=0．2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=0．2，P(C2)=0．4，P(C3)=0．7．假设遇到拥堵会迟到，那么：(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？(2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？【变式训练】1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0．02，客车为0．01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．2.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为14，不知道正确答案而猜对的概率为16．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为()A.14B.119C.1116D.19243.电报发射台发出“·”和“-”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“-”时失真的概率为13，则接收台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为．4.电报发射台发出“·”“-”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“-”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为．。
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
因为 P ( A) 0.8,
P ( B ) 0.4,
P ( AB ) P ( B ),
P ( AB ) 0.4 1 . 所以 P ( B A) 0.8 2 P ( A)
第二节 全概率公式
再回忆一下条件概率的定义:
P( AB ) P( B | A) P( A) 要求 P( A) 0 .
第三章
第三章 条件概率与事件的独立性
一、条件概率 二、全概率公式 三、贝叶斯公式 四、事件的独立性 五、伯努利实验和二项概率
第一节 条件概率
前面讲的概率问题没有什么附加条件，但 实际中可能会经常遇到许多有条件的概率 问题比如： (1)已知某人爱滋病检查为阳性，求他患爱 滋病的概率； (2)在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等 奖，求第二人摸到一等奖的概率。 (3)人寿保险中常常会考虑：已知某人已经 活了x岁，求他能再活y岁的概率。
完备事件组（样本空间的一个划分） 定义1 设事件Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间 的一组事件。 … A1 如果 A2 (1) Ai Aj= （i≠j）; (2)
An
A3 …
A
i 1
n
i
则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一 个划分。
定理 设试验Ｅ的样本空间为Ω， 设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一 个划分， 且P(Ａi)>0 (i =1,2, …,n)． 则对任意事件B，有
古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为 P B A
从而有
4 k AB P ( B | A) kA 7 k AB / n 4 /10 k A / n 7 /10
条件概率全概率公式和贝叶斯公式市公开课金奖市赛课一等奖课件
第3页
从条件概率定义，不难验证条件概率含有 下列性质（习题一第23题）： （1）P [(A B) | C] P( A | C) P(B | C)
（2）P( A | C) 1 P( A | C)
但是，需要注意，普通地 P (A | B) P(A | B ) 1 , P [ A | (B C)] P( A | B) P( A | C) . 条件概率一个主要应用便是下面乘法公式.
第8页
这一公式最早发表于1763年，当初贝叶斯 已经去世，其结果没有受到应有注重. 以后， 人们才逐步结识到了这个著名概率公式主 要性. 现在，贝叶斯公式以及依据它发展起 来贝叶斯统计已成为机器学习、人工智能、 知识发觉等领域主要工具.
贝叶斯公式给出了‘结果’事件B已发 生条件下，‘原因’事件Ai 条件概率i 1, 2,,n 从这个意义上讲，它是一个“执果索因” 条件概率计算公式.相对于事件B而言 ，概
第5页
P(A1A2 Am ) P [(A1A2 Am1)Am ] P(A1A2 Am1) P(Am | A1A2 Am1)
P(A1) P(A2 | A1)P(Ai | A1A2 Ai1)P(Am | A1A2 Am1)
我们看到，利用乘法公式求复杂事件 概率时，关键在于如何将事件依次划分成 ‘适当’事件之积，使得前面事件都发生 条件下后一事件发生条件概率便于计算. 关于复杂事件概率计算办法，除乘法公式 外，下面尚有一个更主要公式
第1页
§1.4 条件概率、全概率公式和贝叶 斯公式
一、条件概率 简朴地说，条件概率就是在一定附加
条件之下事件概率. 从广义上看，任何概率都是条件概率，
由于任何事件都产生于一定条件下试验或 观测，但我们这里所说“附加条件”是指 除试验条件之外附加信息，这种附加信息 通常表现为“已知某某事件发生了”
条件概率全概公式贝叶斯公式
条件概率全概公式贝叶斯公式1.条件概率条件概率指的是事件A在另一个事件B发生的条件下发生的概率，通常表示为P(A，B)。
条件概率的计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(B)不为0。
条件概率可以看作是在已知发生了B的情况下，事件A发生的概率。
2.全概公式全概公式也称为全概率公式，用于计算一个事件发生的概率。
假设有一组互斥且完备的事件B1,B2,...,Bn，全概公式表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
全概公式可以通过将事件A分解成一组互斥且完备的事件的条件概率的和来计算事件A的概率。
贝叶斯公式是一种根据先验概率和条件概率来计算后验概率的公式，对于两个事件A和B，贝叶斯公式表示为：P(A，B)=(P(B，A)P(A))/P(B)贝叶斯公式可以通过先验概率P(A)和条件概率P(B，A)来计算后验概率P(A，B)。
在实际应用中，贝叶斯公式常用于基于已知结果来更新先前猜测或估计的概率。
在机器学习中，条件概率、全概公式和贝叶斯公式被用于分类问题。
通过计算不同类别的条件概率和先验概率，可以使用贝叶斯公式来计算后验概率，进而进行分类。
在数据挖掘中，贝叶斯网络是一种常用的建模工具，通过条件概率和全概公式来描述变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络可以用于概率推断、预测和填补缺失数据等任务。
在金融建模中，贝叶斯公式被用于计算风险概率和投资决策。
通过将已知的市场信息和先验概率结合起来，可以使用贝叶斯公式来更新投资决策的风险概率。
总结而言，条件概率、全概公式和贝叶斯公式是概率论中的基本概念和公式，它们在各个领域的实际应用中发挥着重要的作用。
理解和掌握这些概念和公式对于数据分析和决策具有重要的意义。
全概率公式和贝叶斯公式选择题
Module 8 Sports life学习目标1、学会本单元重点单词和重点词组的运用2、语法知识点：被动语态（2）重点知识点1、decide (v.)决定常见搭配:decide to do sth=make a decision to do sth 决定做某事decision (v.)决定（可数名词）常见搭配：make a decision 下决心2、beat & win【练习】单项选择（）1.--Did you the first place of the basketball match?--Of course we did. We all the other teams.A. beat; beatB.win; beatC. win; wonD.beat;win（）2.--He hasn’t watched the movie”So Yong”,has he?-- .He told me it’s very moving and interesting, he’d like to watch it again.A. Yes, he has.B. Yes, he hasn’tC.No, he hasn’tD.No, he has3、by 的用法4、take pride in...=be proud of...感到骄傲、自豪5、encourage to do sth 鼓励某人做某事be encouraged to do sth 被鼓励做某事6、from+时间+on 从...开始7、set up & found & build & put up【练习】完成句子1、去年他开了一家公司。
Last year he a new company.2.两年前，我们学校建立了一间图书馆。
A library in our school two years ago.3.中华人民共和国是在1949 年10 月1 日成立。
贝叶斯习题答案
贝叶斯习题答案贝叶斯习题答案贝叶斯定理是概率论中一项重要的理论，它能够在给定一些观察结果的情况下，更新对事件发生概率的估计。
在许多实际问题中，我们会遇到需要使用贝叶斯定理来解决的习题。
本文将讨论一些常见的贝叶斯习题，并给出相应的答案。
首先，让我们考虑一个简单的例子。
假设有一个罐子，里面装有红色和蓝色两种颜色的球。
已知罐子中有70%的红球和30%的蓝球。
现在我们从罐子中随机抽取了一个球，发现它是红色的。
那么，我们如何根据这个观察结果来更新对罐子中红球比例的估计呢？根据贝叶斯定理，我们可以得到以下计算公式：P(红球|红色) = (P(红色|红球) * P(红球)) / P(红色)其中，P(红球|红色)表示在已知球是红色的情况下，球是红色的概率；P(红色|红球)表示在球是红色的情况下，球是红色的概率；P(红球)表示球是红色的先验概率；P(红色)表示球是红色的边际概率。
根据题目中的条件，我们可以得到：P(红球|红色) = (1 * 0.7) / (0.7 * 1 + 0.3 * 0.5) ≈ 0.823这意味着，在观察到红色球的情况下，球是红色的概率约为82.3%。
通过这个简单的例子，我们可以看到贝叶斯定理的应用能够帮助我们更新对事件发生概率的估计。
接下来，让我们考虑一个稍微复杂一些的例子。
假设有两个工厂A和B，它们生产某种产品。
已知工厂A的产品有95%的合格率，而工厂B的产品只有90%的合格率。
现在我们购买了一件产品，并对其进行了质量检测，发现它是合格的。
那么，我们如何根据这个观察结果来判断这件产品是来自工厂A还是工厂B呢？根据贝叶斯定理，我们可以得到以下计算公式：P(A|合格) = (P(合格|A) * P(A)) / (P(合格|A) * P(A) + P(合格|B) * P(B))其中，P(A|合格)表示在已知产品是合格的情况下，产品来自工厂A的概率；P(合格|A)表示在产品来自工厂A的情况下，产品是合格的概率；P(A)表示产品来自工厂A的先验概率；P(合格|B)表示在产品来自工厂B的情况下，产品是合格的概率；P(B)表示产品来自工厂B的先验概率。
概率论 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式
点的，而缩减为只包含40个样本点的 B=B. 35 P (C ) = P ( A B ) = = 0.875. 40
注 1 P ( A) = 0.85 P ( A B ).
B
A
2 P ( AB) = 0.35 P ( A B ).
P ( AB) : 以Ω为样本空间.
P ( A B ) : 以 B = B 为样本空间.
35 35 100 P ( AB ) 3 P( A B) = = = . 40 40 100 P ( B )
这是巧合吗？不是.
2. 定义1.8 (条件概率的定义)
设A，B是两个事件，且P(B) > 0, 则称 P ( AB) P( A B) = P( B) 为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率. 注 1 计算 P ( A B)的两种方法 :
且等于它们的总和： 出最终结果 . 义： n
i =1
P ( B ) = P ( Ai B ).
A2
B
An1
A1
An
A3
例3 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一 个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲 箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解 以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A2 = , A1 A2 = , 且
(1) 取出的一个为正品； A (2) 取出的一个为甲车床加工的零件； B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为 正品. C
85 = = 0.85. (1) P ( A) 解 100 40 = 0.40. (2) P ( B) = 100 35 (3) P ( AB) = 100 = 0.35.
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、背景一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的.[例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是.[例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率.这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为对于例1,已知容易验证在发生的条件下,发生的概率对于例2,已知容易验证发生的条件下,发生的概率对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率,总是成立的.在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立.其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.二、条件概率若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率.[例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)}={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)}由条件概率公式得,[例4] 一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率?(假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的)解:据题意样本空间为={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}={已知有一个是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}={另一个小孩也是女孩}={(女,女)}于是,所求概率为三、条件概率的性质(1)非负性:对任意的(2)规范性:(3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有证明:(1) 因为所以(2)由于,所以(3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以四、乘法公式由条件概率的定义知: 设,则.于是,这就是概率的乘法公式.如果,同样有设且则证明因为,依条件概率的定义,上式的右边五、乘法公式的应用例子[例5] 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破, 第二次落下时打破的概率为7/10, 若前两次时未打破, 第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.解:以表示事件“透镜第次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打破”. 因为,故有[例6] 设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解:以表示事件“第次取到红球”,分别表示事件第三、四次取到白球.所求概率为[例7] (卜里耶模型)罐中有只黑球,只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,后面次出现红球概率是多少?解:以表示事件“第k次取到黑球”,表示事件“第次取到红球”,则由一般乘法公式,1. 在例7中,最后答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关.2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型.当时,它是有放回的摸球模型.当时,它是不放回的摸球模型.思考题: 在卜里耶模型中,取次,问正好出现次红球概率是多少?[例8] 一批产品共100件,对其进行抽样调查,整批产品看作不合格的规定是:在被检查的5件产品中至少有一件是废品.如果在该批产品中有5%是废品,试问该批产品被拒绝接收的概率是多少?解:设表示被检查的第件产品是正品.表示该批产品被接收.则且因此, 该批产品被拒绝接收的概率是0.23。
§1.4条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
一、条件概率 简单地说，条件概率就是在一定附加 条件之下的事件概率. 从广义上看，任何概率都是条件概率， 因为任何事件都产生于一定条件下的试验 或观察，但我们这里所说的“附加条件” 是指除试验条件之外的附加信息，这种附 加信息通常表现为“已知某某事件发生了”
i i i i nபைடு நூலகம்k 1 k k
上式称为贝叶斯公式以纪念英国统计学家 贝叶斯 （T. Bayes）对概率论的贡献.
这一公式最早发表于1763年，当时贝叶斯 已经去世，其结果没有受到应有的重视. 后 来，人们才逐渐认识到了这个著名概率公 式的重要性. 现在，贝叶斯公式以及根据它 发展起来的贝叶斯统计已成为机器学习、 人工智能、知识发现等领域的重要工具. 贝叶斯公式给出了‘结果’事件B已发 i 1, 2,, n Ai 生的条件下，‘原因’事件 的条件概率 从这个意义上讲，它是一个“执果索因” 的条件概率计算公式.相对于事件B而言 ， 概
P( B) 0 ，那 定义1.2 设A和B为两个事件， 么，在“B已发生”的条件下，A发生的条 P( A | B) 件概率 定义为
. （1-10） 在具体计算 P( A | B) 时，可以用公式（110）的右端来求，也可以像刚才的例子那 样，直接从缩小了的样本空间来求，后一 种求法有时更方便、实用.
n
并且 P( Ai ) 和 P(B | Ai ) （ i 1, 2,, n, ）易于 计算，那么，P( B) 的计算就可简化.
四、贝叶斯公式
在公式（1-10）、（1-11）和（1-12） 的条件下，若，则立即有 P( A B) P( A ) P( B | A ) ， （ i 1, 2,, n , 1-13） P( A | B) P( B) P( A ) P( B | A )
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
这里,样本空间
.易知此属于古典概型问
题.已知事件 已发生,有了这一信息,知道 不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就
是 . 中共有3个元素,其中只有 属于 .于是,在 发生的条件下, 发生的概率为
对于例1,已知
容易验证在 发生的条件下, 发生的概率
对于例2,已知
容易验证 发生的条件下, 发生的概率
7/12
2014年11月26日
仅有一个发生.
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
[例2] 设试验 为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间 是样本空间 的一个分割.而事件组 不是样本空间 的一个分割,因为
. 的一组事件
[例3] 甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设样本空间 ={无人命中飞机,一人命中飞机,二人命 中飞机,全命中}. 的一组事件 ={三人以下命中飞机}, ={全命中飞机}是样本空间 的一个分 割.
由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有
成立.
其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的 一般定义.
二、条件概率
若
是一个概率空间, ,若
,则对于任意的 ,称
为已知事件 发生的条件下, 事件 发生的条件概率.
[例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一 只,作不放回抽样,设事件 为“第二次取到的是一等品”,事件 为“第一次取到的是一等品”,试求 条件概率
4/12
2014年11月26日
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次
取到白球的概率.
解:以 求概率为
专题07 事件与概率(古典概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式)小题综合(原卷版)
专题07 事件与概率（古典概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）小题综合考点01 互斥事件的概率计算1．（2018·全国·高考真题）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3B．0.4C．0.6D．0.72．（2016·天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为A．B．C．D．考点02 古典概率一、单选题1．（2024·全国甲卷·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．232．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A．56B．23C．12D．133．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．16B．13C．12D．234．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．15B．13C．25D．235．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．236．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.87．（2019·全国·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．128．（2019·全国·高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23B ．35C ．25D ．159．（2018·全国·高考真题）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.310．（2018·全国·高考真题）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．11811．（2017·天津·高考真题）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．15142542105C p C ===12．（2017·山东·高考真题）从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518 B ．49C ．59D ．7913．（2017·全国·高考真题）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A ．110 B ．35C ．310 D ．2514．（2017·江西·高考真题）一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ）A ．132 B ．164C ．332D ．36415．（2016·北京·高考真题）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为A ．15B ．25C ．825D ．92516．（2016·全国·高考真题）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A ．815 B ．18C ．115D ．13017．（2016·全国·高考真题）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．5618．（2015·全国·高考真题）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A ．310 B ．15C ．110D ．12019．（2015·广东·高考真题）已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．120．（2015·广东·高考真题）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．B ．C ．D ．1二、填空题 21．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .22．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为 ．23．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．24．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 25．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ== ，()E ξ= ．26．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 27．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．28．（2021·浙江·高考真题）袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -= ，()E ξ= .29．（2020·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .30．（2019·江苏·高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .31．（2018·江苏·高考真题）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．32．（2016·上海·高考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P 满足，则点P 落在第一象限的概率是 .33．（2016·上海·高考真题）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．34．（2016·四川·高考真题）从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则为整数的概率= ． 35．（2016·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．36．（2015·江苏·高考真题）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．考点03 条件概率1．（2024·天津·高考真题）,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．2．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.43．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为 ；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽取A 的概率为考点04 全概率公式与贝叶斯公式1．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．（附加）2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n n i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．考点05 正态分布指定区间的概率1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><2．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >= ．3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等4．（2015·山东·高考真题）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%。