高二数学(理科)解答题精选

高二数学（理科）解答题精选

1．已知z ∈C ，2z i +和

2z i

-都是实数．

（１）求复数z ；

（２）若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，

AC =(1)证明：1A B A C ⊥；

（2）求二面角A —1A C —B 的余弦值。

3．某兴趣小组的3名指导老师和7名同学站成前后两排合影，3名指导老师站在前排，

7名同学站在后排．

（１）若甲，乙两名同学要站在后排的两端，共有多少种不同的排法？ （２）若甲，乙两名同学不能相邻，共有多少种不同的排法？

（３）在所有老师和学生都排好后，摄影师觉得队形不合适，遂决定从后排7人中抽2人调整到前排．若其他人的相对顺序不变，共有多少种不同的调整方法？（本题各小题都要求列出算式，并用数字作答）

4 如图，,A B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4 现

从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量

（I ）设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ，当6x ≥时，则保证信息畅通

求线路信息畅通的概率；

（II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望

5．已知2

3

1

1

1

1

()(1)(1)(1)(1)3333

n

f n =-

-

-鬃- ，11

()(1)23n

g n =+

，其中n ∈N*．

（１）分别计算(1)f ，(2)f ，(3)f 和(1)g ，(2)g ，(3)g 的值；

（２）由（１）猜想()f n 与()g n （n ∈N*）的大小关系，并证明你的结论．

6.已知函数3()3()f x x ax x =-∈R ．

（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的极小值；

（Ⅱ）若直线0x y m ++=对任意的m ∈R 都不是．．．

曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围.

7. 已知函数()3f x ax =-，2

()(,)b c g x a b x x

=

+∈R ，且1()(1)(0)2

g g f -

-=.

（1）试求,b c 所满足的关系式；

（2）若0b =，方程）

，在（∞+=0)()(x g x f 有唯一解，求a 的取值范围. 8.已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2

2=e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴

的弦长为.2

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ 。试探究点O

到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

高二数学（理科）解答题参考答案

1．解：（１）设(,)z a bi a b R =+ ，…………………………………………………1分 则2(2)z i a b i +=++，

()(2)2222(2)(2)

5

5

z a b i a b i i

a

b

a b

i i

i i i +

++-+=

==+

---+，………………３分 ∵2z i +和2z i

-都是实数，

∴20205b a b ì+=ïïïí+ï=ï

ïî

，解得42a b ì=ïïíï=-ïî， …………………………………………6分

∴42z i =-． …………………………………………………7分

（２）由（１）知42z i =-，

∴2

2

2

()[4(2)]16(2)8(2)z ai a i a a i +=+-=--+-，………………8分 ∵2()z ai +在复平面上对应的点在第四象限，

∴216(2)08(2)0a a ìï-->ïíï-<ïî， …………………………………………………9分

即241202a a a ìï--<ïíï<ïî

，∴262a a ì-<<ïïí

ï<ïî， ………………………………12分 ∴22a -<<，即实数a 的取值范围是(2,2)-． ………………………14分

2．解：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱所以1AB A A ⊥ 在ABC 中1A B

=0

,60A C A B C =

∠=………………2分

由正弦定理得030ACB ∠=所以090BAC ∠=………………4分 即A B A C ⊥，所以11AB AA C C ⊥平面，又因为1

11A C A A C C ⊂平面，所以

1

A B A C ⊥

…………6分

（2）如图所示，作1AD A C ⊥交1A C 于D ，连B D ，由三垂线定理可得1B D A C ⊥

所以A B D ∠为所求二面角的平面角，在1Rt AA C ∆中

，

112

A A A C

AD A C

==

=g 8分

在R t B A D ∆中，

2

BD =

==

，…………10分

所以cos 5

2

A D A

B D B D

=

=

=………………11分

即 二面角A —1A C —B

5

。………………………12分