信号与系统 拉普拉斯变换分析法(一).
信号与系统 拉普拉斯变换分析法一.ppt
12
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.2 电路的复频域求解(1)
分析思路（与相量法类似）
将时域电路模型改画成复频域电路模型 对复频域电路模型求解，得复频域解 将复频域解作拉普拉斯反变换得时域解
电路元件的复频域模型
电阻元件
iR (t ) R
°
°
+
uR (t )
I R (s) R
°
4.7.1 系统函数与单位冲激响应 4.7.2 系统函数与微分方程 4.7.3 具体电路中系统函数的确定 4.7.4 系统的复频域特性 4.7.5 拉普拉斯变换分析法的物理意义 4.7.6 系统框图
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电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.7.1 系统函数与单位冲激响应
系统函数与单位冲激响应是拉普拉斯变换对
K 1( q 1) + L +
K 12 +
K 11
( s j 0 )q ( s j 0 )q 1 ( s j 0 )2 s j 0
式中Fa (s) 的极点均位于 s 左半平面
FF (
)
=
FL (
s)
s = j+
q i =1
K (i
1i j 1)!
i
1 ( i
1) (
0)
4
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(4)
例：FL
(
s)
= s
2
s +
2 0
FF ( ) = ?
解： 0 = 0
s
1/2 1/2
FL ( s) = 2 s +
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号和系统分析中广泛应用的数学工具。
它将一个函数从时域转换到频率域，可以用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
拉普拉斯变换公式是拉普拉斯变换的基本公式之一，用于将函数从时域表示转换为频域表示。
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，F(s)表示拉普拉斯变换后的函数，s是一个复数，而f(t)是原始函数。
在上述公式中，∫[0,∞]表示对t从0到正无穷之间的所有值进行积分。
e^(-st)是指数函数，s是一个复数参数，t是自变量。
f(t)是原始函数，也被称为拉普拉斯变换的原函数。
通过拉普拉斯变换公式，我们可以将一个函数从时域转换到频域。
这意味着我们将原始函数用复指数函数（e^(-st)）的积分来表示。
在复平面上，s可以表示为s = a + jb，其中a和b都是实数，a是实部，b是虚部。
拉普拉斯变换公式可以用于解决许多信号和系统分析的问题。
例如，我们可以使用拉普拉斯变换来解决线性微分方程。
通过将微分方程转换为拉普拉斯域，我们可以将微分方程转换为代数方程，从而更容易地解决。
此外，利用拉普拉斯变换可以方便地计算系统的冲激响应和频率响应。
在应用拉普拉斯变换时，有几点需要注意。
首先，原始函数f(t)必须满足一定的条件，如函数在一个有界的时间段内存在或函数在正向无穷大时的极限存在。
其次，拉普拉斯变换是线性的，即对于给定的常数a和b，拉普拉斯变换遵循以下性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
此外，拉普拉斯变换公式还有许多相关的性质和定理，如初始值定理、最终值定理、微分定理和频移定理等。
这些性质和定理为我们在实际应用中提供了方便和灵活性。
总结起来，拉普拉斯变换公式是将一个函数从时域表示转换到频域表示的基本公式之一、它在信号和系统分析中广泛应用，用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
信号与系统(第四版)第四章课后答案
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■
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
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1
t
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4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
信号与系统-矩母函数与拉普拉斯变换
结题报告 矩母函数与拉普拉斯变换一 实验原理1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是分析连续时间信号的重要手段。
对于当t ∞时信号的幅值不衰减的时间信号，即在f(t)不满足绝对可积的条件时，其傅里叶变换可能不存在，但此时可以用拉氏变换法来分析它们。
连续时间信号f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)的定义为：0()()st F s f t e dt ∞-=⎰ 拉氏反变换的定义为： 1()()2j st j f t F s e ds j σωσωπ+-=⎰显然，上式中F(s)是复变量s 的复变函数，为了便于理解和分析F(s)随s 的变化规律，我们将F(s)写成模及相位的形式：()()()j s F s F s e ϕ=。
其中，|F(s)|为复信号F(s)的模，而()s ϕ为F(s)的相位。
由于复变量s=σ+jω，如果以σ为横坐标（实轴），jω为纵坐标（虚轴），这样，复变量s 就成为一个复平面，我们称之为s 平面。
从三维几何空间的角度来看，|()|F s 和()s ϕ分别对应着复平面上的两个曲面，如果绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉氏变换F(s)随复变量s 的变化情况2.矩母函数一个与随机变量X 相关的矩母函数是一个参数s 的函数MX(s)，定义如下：MX(s)=E[exp(sX)]更具体地，当X 是一个离散型随机变量时，相关矩母函数为M(s)=+exp(sx)pX(x)当X 是连续型时，有M(s)=+exp(sx)fX(x)dx不难发现，概率密度函数的矩母函数与概率密度函数的拉普拉斯变换是基本相同的，只是拉普拉斯变换使用exp(-sx)而非exp(sx)。
考虑一个连续型随机变量X ，根据定义M(s)=+exp(sx)fX(x)dx在M(s)定义式两边取s 的导数d/ds M(s) = d/ds + exp(sx)fX(x)dx=+d/ds exp(sx)fX(x)dx = +xexp(sx)fX(x)dx上述等式对s 任何取值都成立。
信号与系统第4章拉氏变换
为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
7
三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt
∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )
e- t
f
(t )u(t )
1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d
1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社
信号与系统讲义第四章3拉氏变换分析法
∑V (s) =0
k
电路中的元件用S域模型，电压、 电路中的元件用S域模型，电压、电流变量用象 函数表示，电路模型就转化为S 函数表示，电路模型就转化为S域模型 以电路的S域模型为分析对象， 以电路的S域模型为分析对象，依据元件伏安关 系的S域形式，以及基尔霍夫定律的S域形式， 系的S域形式，以及基尔霍夫定律的S域形式，就可以 列写出象函数的代数方程。 列写出象函数的代数方程。
2010-9-30 信号与系统
例：上面例题
2010-9-30
信号与系统
E E 1 ( R + ) I (s) = + sc s s
∴ I ( s) = 2E 1 s( R + ) sc
2E Rc
1 E E E 2E ∴Vc ( s ) = I ( s ) = = sc s s(s + 1 ) s s s + 1 Rc Rc
2010-9-30
信号与系统
拉普拉斯变换法分析电路、 拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型
求解微 分方程
LTI系统 LTI系统 电路模型
LTI系统 LTI系统数学模型 系统数学模型 系统响应 线性常系数微分方程 拉 逆 氏 拉氏变换法求 变 变 解微分方程 换 换 LTI系统 LTI系统 S域电路模型 象函数 代数方程 系统响应象函数 系统响应象函数
R2 R1 + R2
E + E(
C1 C1 + C 2
R2 R1 + R2
)e
α t
t≥0
(1)R1C1 = R2C2时 v2 (t) =
(2)R C1 > R2C2时 v2 (t) > 1
R2 R1 +R2 R2 R Ư < R2C2时 v2 (t) < R1R2R2 E 1 +
信号与系统-第9章拉普拉斯变换
X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
在 Re[s] 时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x(傅t) 里叶变换存在
X ( j ) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 0时，拉氏变换收敛的区域为 Re[s] ，a包括了 （ 即 0 轴）。j
[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是 x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的
信号在引入 后满e足该t 条件。即有些信号的傅氏
变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变
换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
6
例1. x(t) eatu(t)
2
x(t) 1 X ( j)ete jtd 1 X (s)estd
2
2
22
由 s j 得 ds jd
当 从 时, 从 s j j
x(t) 1 j X (s)est ds
2 j j
X (s)的反变换
拉氏反变换表明:
可x(t以) 被分解成复振幅为
的复指数信号 e的st 线性组合。
1 X (s)ds
2 j
23
二.拉氏反变换的求法: 对有理函数形式的 X求(s反) 变换一般有两种方法, 即部分分式展开法和留数法。
❖ 部分分式展开法： 1. 将 X (s)展开为部分分式。 2. 根据X (s)的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
3
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
信号与系统拉普拉斯变换
•第一周期的拉氏变换 •时移特性
•无穷级数求和
•21
时移特性例题
•【例1】 •已知
•【例2】
•22
用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换
•23
•24
复频移特性举例
•25
•26
例：
•两边取拉氏变换 ：
•整理得：
•27
电感元件的s域模型
•设 •应用原函数微分性质
•电感元件的s模型
•，求其傅氏变换。
•128
•以上两种方法的结果完全相同
•129
•130
•131
•30
•132
•133
•电路 s 域分析课堂练习1：
• 求解下图所示电路的回路电流，已知电感
上的初始储能为
，激励信号
，
•
，
。
•L
•+
•-
•i(t)
•+ •R
•-
•4
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
•1．拉普拉斯正变换
•则
•5
2．拉氏逆变换
•6
3．拉氏变换对
•7
二．拉氏变换的收敛
•收敛域：使F(s)存在的• •s的区域称为收敛域。 •记为：ROC(region of convergence) •实际上就是拉氏变换存在的条件；
•8
•部分s平面收敛的情况：
•96
例4-7-2，教材习题2-6(1)
•给定系统微分方程
•试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状 态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳 态响应分量。 •解：•方程两端取拉氏变换
•97
零输入响应／零状态响应
第九章 拉普拉斯变换分析-1
3. 时移性
aa
若 f (t) F(s)
则 f (t t0 ) (t t0 ) est0 F (s), t0 0
观察下列图形的时移关系 (p.517 例9-2-1)
f1 (t )
f3 (t)
0
t
f1(t) kt (t)
f2 (t)
0 t0
t
f3 (t) kt (t t0 )
f4 (t)
f (t) f (t) (t) L[ df (t) (t)] sF (s)
dt
例：设
f1(t)
et (t),
f2 (t)
1 et
t0 t 0
求 f1'(t)和f2'(t)的拉氏变换。
解：f1(t), f2 (t)的波形如图所示。
f1 (t )
1
f2 (t)
1
0
t
0
t
-1
由题图可知
L[
f1 (t)]
s
s
( b ) 单边正弦信号 sin 0t (t)
L[sin
0t (t)]
L[ 1 2j
(e
j0t
e j0t
) (t)]
1[ 2j s
1
j0
1
s j0
]
s2
0 02
即
sin
0t
(t)
s2
0 02
( c ) 单边余弦信号 cos0t (t)
L[cos 0t
(t)]
L[ 1 2
(e
j0t
e
2
et不是的函数，故f (t) 1 F (s)e( j)t d
2
s j,
f (t) 1
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
信号与系统拉普拉斯变换
信号与系统的拉普拉斯变换是一种数学工具，用于分析线性时不变系统的行为。
它通过将信号或系统表示为复指数的线性组合，将时间域的信号或系统转换为频域表示。
在频域中，系统的性质可以更容易地理解和分析。
拉普拉斯变换具有收敛域的性质，这是其定义的一部分。
收敛域是复平面上使得拉普拉斯变换存在的点。
此外，拉普拉斯变换具有一些重要的性质，包括线性性质、时移性质、频移性质、微分性质和积分性质等。
这些性质在分析系统时非常有用。
此外，拉普拉斯变换在分析线性时不变系统的稳定性方面具有重要作用。
通过分析系统的极点和零点分布，可以确定系统的稳定性。
极点和零点是系统函数的根，它们在复平面上的位置决定了系统的动态行为。
总之，信号与系统的拉普拉斯变换是理解和分析线性时不变系统的重要工具，它可以转换时间域的信号或系统到频域表示，提供了一种方便的方式来理解和分析系统的动态行为和稳定性。
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
信号与系统第5章 拉普拉斯变换与系统函数
实际上，基于傅里叶变换的频域分 析技术使我们能够用正弦激励的稳态响 应来了解系统对非周期信号的响应，物 理概念非常清晰，因此在信号分析、系 统频率响应、系统带宽等问题上，成为 不可或缺的必要分析工具。
但是，任何一种分析工具都存在其局 限性，基于傅里叶变换的频域分析技术也 是如此。 具体来说，它还存在着如下的不足。
（1）对于工程问题中经常遇到的两类因果 信号，即t的指数函数et和t的正幂函数t （＞0），傅里叶变换不存在。一个典 型的例子是工程中极为常见的斜坡信号 t· ε(t)。
（2）在将输出信号频谱求反变换以得到时 域输出时，由于傅里叶反变换涉及的是沿 虚轴即j轴的无穷积分，往往遇到数学上 的困难。
1 j∞ st X ( s )e ds t ≥ 0 x(t ) 2πj j∞ t0 0
（5-11）
从物理意义上讲，式（5-11）也可 理解为将x(t)视为形如 e t e jt 的幅度随 指数形式增长或衰减的正弦波的线性组 合。
但与傅里叶变换相比，X(s)不能像 X ( j ) 一样具有明确的物理意义，因此， X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难 以得到物理解释。
e
0 ∞Leabharlann t st1 e dt s
1 e dt s
Re s Re s
e
t
(t )e dt
e
t st
图5-1
f1(t)、f2(t)的双边拉普拉斯变换及其收敛域
5.2.3 拉普拉斯反变换
双边拉普拉斯变换的反变换表达式 的推导要用到复变函数的很多知识，这 里不予细述，感兴趣的读者可参看相关 书籍。 反变换的表达式为 ∞ 1 st x(t ) X ( s)e ds （5-9） 2πj ∞
信号与系统-53-§拉普拉斯逆变换
零点 z1, z2, z3 zm是Bs 0的根,称为Fs的零点
极点 p1, p2, p3 pn是As 0的根,称为Fs的极点
二、求拉氏逆变换
求F(s)的极点 将F(s)展开为部分分式 求原函数f(t)
第一种情况：极点为单实数
F
(s)
(s
p1)(s
B(s) p2)(s
pn
)
F (s) K1 K2 Kn
理多项式与有理真分式之和。
F(s) P(s) B0 (s) A(s)
例：假分式情况
F (s)
s3
5s2 s2 3s
9s 2
7
F
(s)
s
2
s
s3
1s
2
P(s）
s2 s2 3s 2 s3 5s2 9s 7
s3 3s2 2s 2s2 7s 7 2s2 6s 4 s3
多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其导数 项构成。
§5.3 拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求拉普拉斯反变换比较困难。 通常的方法 : （1）查表 （2）部分分式展开
若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
F(s)
bm s m bm1s m1 .... b1s s n an1s n1 ... a1s
b0 a0
若m≥n （假分式）,用多项式除法将F(s)分解为有
F1α jβ
2 jβ
K2 s α jβ Fss α jβ
F1 α j β
2 jβ
可见K1, K2成共轭关系： K2 K1*
设 K1 | K1 | ej
K2 | K1 | e j
则
F0 (s)
s
K1
j
s
第2章 系统的数学模型(拉普拉斯变换)
lim f t 的值
1 lim f t lim sF s lim s 0 t 0 s s s s 1
1 lim f t lim sF s lim s 1 t s 0 s 0 s s 1
3 拉普拉斯反变换 对于任何时间连续的时间函数来 说，它与拉普拉斯变换之间保持唯 一的对应关系。 一一对应
1 定义与基本变换
例5 脉冲函数 0, t ,
t 0 t 0
0
dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为 1
L t 1
2 拉普拉斯变换性质
1.线性定理：
Lk1 f1 t k 2 f 2 t k1 L f1 t k 2 L f 2 t
k13
2
s s1 l 1
k1l
kn k2 s s1 s s 2 s sn
k1
1 d l 1 k1l l 1 F s s s1 s s1 l 1! ds
k11 F s s s1 | s s1
4 求解线性微分方程
解：1、对微分方程进行拉氏变换 利用微分定理： 2 ( s 5s 6)Y ( s) s 7 s
2
4、查表求各分式的拉氏反变换 1 1 L 1(t ) 3s 3 1 4 2 t L 4 e s 2
1
2、求系统输出变量表达式 s 7s 2 Y ( s) s( s 2)( s 3)
1 定义与基本变换
例3 斜坡函数
f(t) A t 0 1
At (t 0) f t 0(t 0)
A L f t s2
信号与系统拉氏变换
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
0
f (t ) e st dt
1 f (t ) 2 j
j
j
F ( s ) e st ds
被称为拉氏变换对 后面我们用 L[ f (t )] 表示 f (t ) 的拉氏变换
2、拉氏变换的收敛
对拉氏变换而言，所谓收敛就是
0
f (t ) e ( jw ) t dt 可积
将 s pi 代入上式
Ki (s pi ) F (s) |s pi
由
F ( s)
K1 K1 K1 s p1 s p2 s pn
可知：
f (t ) K1e p1t K 2e p2t K n e pnt
举例：
F ( s) 10(s 2)(s 5) K3 K1 K 2 F ( s ) s(s 1)(s 3) 则展开后应有： s s 1 s 3
此时，有：
F ( s) A(s) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
F ( s) Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
设 F (s) 可以分解为：
为求 Ki ，上式两边同乘以s pi
(s pi ) F (s) (s pi ) K1 (s pi ) K 2 (s pi ) K n Ki s p1 s p2 s pn
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y(t ) = 3e t + 7e 2 t 7e 3 t t > 0
10
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(4)
（2）将微分方程两端作LT [ s 2Y ( s) sy(0 ) y (0 )] + 5[ sY ( s) = 2sX ( s ) + 8 X ( s)
信号与系统 (Signal & system)
教师：徐昌彪 xucb@
2004-12-7
电路基础教学部
1
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(1)
FL (s) 的收敛域横坐标 0 > 0 时
没有频谱密度函数，即傅里叶变换不存在。
例：FL
(
s)
=(
s
2s + + 1)(
1 s
Ai ( s) y( i ) (0 )
i =0
an s n + an 1 s n 1 + L+ a1 s + a0
an s n + an 1 s n 1 + L+ a1 s + a0
Y ( s) = Yzs ( s) + Yzi ( s)
y(t ) = yzs (t ) + yzi (t )
系统函数 H ( s) =bm s m + bm 1 s m 1 + L+ b1 s + b0Yzs ( s) = H ( s) X ( s
an s n + an 1 s n 1 + L+ a1 s + a0
9
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(3)
例：y (t ) + 5 y(t ) + 6 y(t ) = 2 x(t ) + 8 x(t ) x(t ) = e t U (t ) y(0 ) = 3 y (0 ) = 2
（1）求 y(t ) （2）求yzs (t ) 和 yzi (t ) ，并由此求 y(t ) 解：（1）将微分方程两端作LT
[ s 2Y ( s) sy(0 ) y (0 )] + 5[ sY ( s) y(0 )] + 6Y ( s) = 2sX ( s ) + 8 X ( s) Y ( s) = 3s 2 + 22s + 25 = 3 + 7 + 7
n
FF ( ) = FL ( s) s = j + K i ( i )
i =1
3
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(3)
虚轴上有重极点，设 FL (s) 有 q 重极点 j 0
FL ( s) = Fa ( s) + K 1q +
K 1( q 1) + L +
K 12 +
K 11
( s j 0 )q ( s j 0 )q 1 ( s j 0 )2 s j 0
式中Fa (s) 的极点均位于 s 左半平面
FF (
)
=
FL (
s)
s = j+
q i =1
K (i
1i j 1)!
i
1 ( i
1) (
0)
4
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(4)
例：FL
(
s)
= s
2
s +
2 0
FF ( ) = ?
解： 0 = 0
s
1/2 1/2
FL ( s) = 2 s +
2=
0
s + j
+
0
s
j 0
FF ( ) = FL ( s) s = j+
(
+
1 0) +
(
1 0)
2
2
=
j 2 + [( + 0 ) + ( 0 )
2+ 0 2
5
电路基础教学部
设 Ak ( s) an s n 1 k + an 1 s n 1 ( k 1) + L + ak s + ak +1 (k = 0,1,2,L, n 1)
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电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(2)
n1
Y ( s) =bm s m + bm 1 s m 1 + L+ b1 s + bX0 ( s) +
j 2 + 1 + 3)( 2 + j4
+ 5)
2
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(2)
FL (s)的收敛域横坐标 0 = 0 时
虚轴上为单极点
n
FL ( s) = Fa ( s) +
Ki
i =1 s j k
式中Fa (s) 的极点均位于 s 左半平面
6
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6 拉普拉斯变换分析法(复频域分析法)
4.6.1 微分方程的复频域求解 4.6.2 电路的复频域求解
7
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2004年12月7日11时20分
4.6.1 微分方程的复频域求解(1)
an y ( n ) (t ) + an 1 y ( n 1) (t ) + L + a1 y (t ) + a0 y(t ) = bm x ( m ) (t ) + bm 1 x ( m 1) (t ) + L + b1 x (t ) + b0 x(t ) 对上式两端作LT，假定x(t )为因果信号 ai y ( i ) (t ) ai [ s iY ( s) s i 1 y(0 ) L sy ( i 2 ) (0 ) y ( i 1) (0 )] (i = 0,1,2,L, n) b j x ( j ) (t ) b j s j X ( s) ( j = 0,1,2,L, m )
y(0 )] + 6Y ( s)
Y
(
s)
=
s
2s + 2+ 5s
8 +
6
X
(
s)
+(
s
+
5) y(0 ) s 2 + 5s
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(5)
例：FL
(
s)
=
s
2(
1 s+
1)
FF ( ) = ?
解： 0 = 0
1
11
FL
(
s)
=
s
2
(
s
+
1)=
Fa
(
s)
+ s
2
+
s
FF ( ) = FL ( s) s = j + j ( ) ( )
=
1
+ j( ) ( )
2 ( j + 1)
2) FF ( ) = ?
解： 0 = 2 > 0 故 FF ( ) 不存在
FL ( s) 的收敛域横坐标 0 < 0 时
FF ( ) = FL ( s) s = j
例：
L
(
s)
=
(
s
+
2s + 1 3)( s2 +
4s
Байду номын сангаас
+
5)
FF
(
)=?
解： 0 =
2<0故
FF (
)
=
FL
(
s) s=
j
=
( j