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因式分解(竞赛培训资料)

因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项多式的因式分解。

因式分解是整数质因数分解的发展，实质是多项式乘法的逆运算。

它是多项式的一种重要的变化方法，是解决许多数学问题的有力工具。

在几何、三角等解题与证明中扮演着重要角色，因式分解方法灵活，技巧性强，有利于培养学生的解题技能，发展学生思维能力。

它主要包括以下几个方面的内容：（1）因式分解的对象是多项式，无论是被分解式还是分解后的每个因式都必须是多项式或单项式。

（2）因式分解的过程是多项式的恒等变形，每一步都必须保持前后两式相等。

（3）要注意因式分解的范围是在实数范围几因式分解，还是在有理数范围内因式分解。

（4）因式分解的结果都是整式的乘积的形式，每一个多项式都要在规定范围内分解到不能再分解为止。

主要方法：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、拆项添项法、待定系数法等。

重要公式及结论：()3223333b ab b a a b a ±+±=± ()()3322b a b ab a b a ±=+±()bcac ab c b a c b a 2222222+++++=++()()()()c a c b b a c b a c b a +++-++=++33333 ()()()b x a x ab x b a x ++=+++2()()122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a （n 为正整数）()()122321------+-+-+=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a （n 为偶数）()()122321-----+--+-+=+n n n n n n n b ab b a b a a b a b a （n 为奇数）待定系数法因式分解的依据是： n n n n n n n n n n b a b a b a b x b x b x b a x a x a x a ===⇔++++=++++----,,,110011101110 因式定理：如果多项式()001110≠++++--a a x a x a x a n n n n 当a x =时，它的值为0，那么它有因式a x -。

竞赛专题因式分解

竞赛专题：因式分解一、重要公式1、a2－b2=a＋ba－b；a n－1=a－1 a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a＋12、a2±2ab＋b2=a±b2；3、x2＋a＋bx＋ab=x＋ax＋b;4、a3＋b3=a＋ba2－ab＋b2; a3－b3=a－ba2＋ab＋b2;二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法;3、考虑顺序：1提公因式法；2十字相乘法；3公式法；4分组分解法；1、添项拆项例1因式分解：1x4＋x2＋1；2a3＋b3＋c3－3abc1分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=x2＋12－x2=x2＋1＋xx2＋1－x2分析：a3＋b3要配成a＋b3应添上两项3a2b＋3ab2解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b －3ab2=a＋b3＋c3－3aba＋b＋c=a＋b＋ca＋b2－a＋bc＋c2－3aba＋b＋c =a＋b＋ca2＋b2＋c2－ab－ac－bc例2因式分解：1x3－11x＋20； 2a5＋a＋11分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提;注意这里16是完全平方数解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝xx2－16＋5x＋4=xx＋4x－4＋5x＋4 =x＋4x2－4x＋52分析：添上－a2和a2两项,分别与a5和a＋1组成两组,正好可以用立方差公式解：a 5＋a ＋1＝a 5－a 2＋a 2＋a ＋1=a 2a 3－1＋a 2＋a ＋1=a 2a －1 a 2＋a ＋1＋a 2＋a ＋1=a 2＋a ＋1a 3－a 2＋12、待定系数法例3因式分解2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20解：∵2x 2＋3xy －9y 2=2x －3yx ＋3y,故用待定系数法,可设2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=2x －3y ＋ax ＋3y ＋b,其中a,b 是待定的系数,比较右边和左边的x 和y 两项的系数,得⎩⎨⎧-=-=+333142b a b a 解得 54==b a ∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=2x －3y ＋4x ＋3y ＋5另解原式=2x 2＋3y ＋14x －9y 2＋3y －20,这是关于x 的二次三项式常数项可分解为－3y －43y ＋5,用待定系数法,可设2x 2＋3y ＋14x －9y 2＋3y －20=mx －3y －4nx ＋3y ＋5比较左、右两边的x 2和x 项的系数,得m=2, n=1∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=2x －3y ＋4x ＋3y ＋5三、重点定理1、余式定理：整多项式fx 除以x-a 商为qx,余式为r,则fx=x-aqx+r;当一个fx 除以x – a 时, 所得的等于 fa;例如：当 fx=x^2+x+2 除以 x – 1 时,则=f1=1^2+1+2=4;2、因式定理：即为的推论之一：如果多项式fa=0,那么多项式fx 必定含有因式x-a;反过来,如果fx 含有因式x-a,那么,fa=0;四、填空题1、两个小朋友的年龄分别为a 和b,已知a 2＋ab=99,则a= ,b= ;2、计算：x ＋62x －62=x 2－362 ;3、若x ＋y=4,x 2＋y 2=10,则x －y 2= ;4、分解因式：a 2－b 2＋4a ＋2b ＋3= ;5、分解因式：4x3－31x＋15= ;6、分解因式：x4＋1987x2＋1986x＋1987= ;五、选择题7、x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz因式分解后的结果是 ;Ay－zx＋yx－z By－zx－yx＋zCy＋zx－yx＋z Dy＋zx＋yx－z8、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除,则这两个整数是 ;A41,48 B45,47 C43,48 D41,479、n为某一自然数,代入代数式n3－n中计算其值时,四个同学算出如下四个结果,其中正确的结果只能是 ;A388944 B388945 C388954 D388948六、将下列各式分解因式10、x4＋x2y2＋y4 11、x4＋412、x4－23x2y2＋y4 13、x3＋4x2－914、x3－41x＋30 15、x3＋5x2－1816、x3＋3x2y＋3xy2＋2y3 17、x3－3x2＋3x＋718、x3－9ax2＋27a2x－26a3 19、x3＋6x2＋11x＋620、a3＋b3＋3a2＋b2＋3a＋b＋221、3x3－7x＋10 22、x3－11x2＋31x－21七、解答题23、已知x－y＋4是x2－y2＋mx＋3y＋4的一个因式,求m的值;24、求方程xy－x－y＋1=3的整数解;解：原方程可化为x－1y－1=3∵x,y整数,∴原方程可化为四个方程组:x－1=1 x－1=3 x－1=－1 x－1=－3y－1=3 y－1=1 y－1=－3 y－1=－1 解得：x,y的解为2,4、4,2、0,－2、－2,0。

【知识】因式分解知识点归纳

【关键字】知识因式分解知识点归纳总结一（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就能够用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就能够得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就能够了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就能够用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

因式分解(竞赛题)含问题详解

因式分解运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习1分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如an x n+an-1x n-1+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习1. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．五、真题精解：1）已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么？（第12届“希望杯”试题）解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+n=3，解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-12）k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）解：原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为 (x+1)(x+2)，故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by]，将其展开得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-3 3）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。

数学因式分解知识点总结

数学因式分解知识点总结一、定义：二、常用的数学因式分解方法：1.分解质因数法：将待分解的数分解为素数的乘积。

2.公式法：利用特定的公式，将数进行因式分解。

3.提公因式法：将多项式中的公因式提出来。

4.柯西分解法：将多项式按照柯西和将一个复数分解为实部和虚部的方式进行分解。

5.平方差公式法：根据平方差公式将平方差形式的多项式进行分解。

6.分解平方法：将平方形式的多项式进行分解。

三、分解质因数法：1.从最小的素数2开始，不断地用这个素数去试除待分解的数。

如果是约数，则继续试除，直到不能整除为止。

2.如果一个数不能被2整除，就试试下一个大于2的素数，一直到最接近待分解数的平方根为止。

3.如果一个数不能再被其他比它小的素数整除，那么它本身就是一个素数。

以分解36为例：36÷2=1818÷2=99÷3=33÷3=1最后得到36=2×2×3×3=2^2×3^2四、公式法：例如，将二次多项式x^2-5x+6进行因式分解。

1. 我们可以使用二次方程的求根公式，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，对其进行因式分解。

2.根据二次方程求根公式，x^2-5x+6=(x-2)(x-3)。

3.因此，x^2-5x+6=(x-2)(x-3)。

五、提公因式法：例如，将多项式2x^2+3x进行因式分解。

1.首先找到多项式中的公因式，即2x是该多项式中的公因式。

2.提取公因式，得到2x(x+3)。

3.因此，2x^2+3x=2x(x+3)。

六、柯西分解法：例如，将多项式x^2+2x+1进行因式分解。

1.我们可以使用柯西分解法，将该多项式分解为两个复数的乘积，即(x+1)^22.因此，x^2+2x+1=(x+1)^2七、平方差公式法：例如，将多项式x^2-1进行因式分解。

1.根据平方差公式，即a^2-b^2=(a+b)(a-b)，我们可以将该多项式分解为(x+1)(x-1)。

八年级数学(竞赛)因式分解

第一讲分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。

因式分解知识点归纳

因式分解知识点归纳因式分解是代数中的重要概念和技巧，它在解方程、求根、化简表达式等方面都有广泛的应用。

以下是关于因式分解的知识点归纳：一、基本概念1.因式：在乘法中，参加运算的每个数或字母或含有字母的式子，称为因式。

2.因式分解：把一个多项式写成若干个因式相乘的形式，称为因式分解。

3.因数：若一个数a能够整除另一个数b，那么称a是b的因数，b 是a的倍数。

二、因式分解的原则1.分解的因式中只能有素数，即不能再分解。

2.同一因式在分解式中只能出现一次，不允许出现多个相同的因式。

三、因式分解的方法1.公因式法：把多项式中的公因式提出来，然后将剩余部分进行因式分解。

2.提取因式法：将多项式中的因式提取出来，然后将剩余部分进行因式分解。

3.平方差公式：对于两个完全平方差的多项式，可以利用平方差公式进行因式分解。

4.分组分解法：将多项式中的项进行分组，然后利用求和公式或平方差公式进行因式分解。

5.完全平方公式：对于一个完全平方的多项式，可以利用完全平方公式进行因式分解。

四、常用的因式分解公式1.两个平方差的因式分解公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；a² + 2ab+ b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。

2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。

3.一次式的因式分解公式：ax + bx = x(a + b)；ax - bx = x(a - b)；ax + ay = a(x + y)；ax - ay = a(x - y)。

五、案例分析1.因式分解：将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。

例如：x²-3x-10=(x-5)(x+2)。

2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来。

数学竞赛专题讲座---第一讲因式分解(一)

第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一：它被广泛地应用于初等数学之中：是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活：技巧性强：学习这些方法与技巧：不仅是掌握因式分解内容所必需的：而且对于培养学生的解题技能：发展学生的思维能力：都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上：对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中：我们学过若干个乘法公式：现将其反向使用：即为因式分解中常用的公式：例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)：(2)a2±2ab+b2=(a±b)2：(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)：(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2：(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)：(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数：(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)：其中n为偶数：(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)：其中n为奇数．运用公式法分解因式时：要根据多项式的特点：根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4：(2)x3-8y3-z3-6xyz：(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab：(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形：直接使用公式(5)：解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性：现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式：本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式：用它可以推出很多有用的结论：例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然：当a+b+c=0时：则a3+b3+c3=3abc：当a+b+c＞0时：则a3+b3+c3-3abc ≥0：即a3+b3+c3≥3abc：而且：当且仅当a=b=c时：等号成立．如果令x=a3≥0：y=b3≥0：z=c3≥0：则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项：从最高次项x15开始：x的次数顺次递减至0：由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)：所以说明在本题的分解过程中：用到先乘以(x-1)：再除以(x-1)的技巧：这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时：整理、化简常将几个同类项合并为一项：或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时：需要恢复那些被合并或相互抵消的项：即把多项式中的某一项拆成两项或多项：或者在多项式中添上两个仅符合相反的项：前者称为拆项：后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多：这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法：注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出：用拆项、添项的方法分解因式时：要拆哪些项：添什么项并无一定之规：主要的是要依靠对题目特点的观察：灵活变换：因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3：(2)(m2-1)(n2-1)+4mn：(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4：(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目：由于分解后的因式结构较复杂：所以不易想到添加+ab-ab：而且添加项后分成的三项组又无公因式：而是先将前两组分解：再与第三组结合：找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在：同学们需多做练习：积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体：并用一个新的字母替代这个整体来运算：从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开：是关于x的四次多项式：分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体：并用字母y来替代：于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y：则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体：比如今x2+x+1=u：一样可以得到同样的结果：有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式：然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2：则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y：则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知：用换元法分解因式时：不必将原式中的元都用新元代换：根据题目需要：引入必要的新元：原式中的变元和新变元可以一起变形：换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体：但并没有设立新元来代替它：即熟练使用换元法后：并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母：且当互换这两个字母的位置时：多项式保持不变：这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式：经常令u=x+y：v=xy：用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u：xy=v：则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2：(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4：(2)x4-11x2y2+y2：(3)x3+9x2+26x+24：(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1：(2)x4+7x3+14x2+7x+1：(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1：(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。

(完整版)因式分解知识点归纳

n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。

因式分解知识点

因式分解知识点因式分解是数学中重要的基础知识之一。

它是指将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式。

因式分解在数学中有广泛的应用，例如解方程、计算极限、构建数据模型等等。

本文旨在深入探讨因式分解的相关知识点。

一、基本概念1.1 多项式与因式：多项式是由常数、变量和幂次依次相乘所得的代数式，如$x^2+2x+1$。

因式是一种可以被一个数或一个代数式整除的代数式，如$x+1$是$x^2+2x+1$的因式。

1.2 因数与因式分解：在数学中，一个数$a$能够被另一个数$b$整除，即$a=bn$，则称$b$是$a$的因数。

因式分解是指将一个代数式写成各个因数的乘积的形式。

二、因式分解方法2.1 提公因式法：提公因式法是指先提取出多项式中的公因式，然后将公因式与剩余项相乘得到原多项式。

例如，$3x^3+6x^2=3x^2(x+2)$。

2.2 分组分解法：分组分解法是指将多项式中的项分成两组，使得每组之间可以找到一个公因式，然后将两组分别提取出公因式后合并得到原多项式。

例如，$x^2+2xy+y^2= (x+y)^2$。

2.3 短除法：短除法是将多项式中的项按某个因式进行除法运算后得到商式，将商式再按另一因式进行除法运算，直到多项式无法再做除法为止。

例如，$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$。

2.4 公式法：公式法是指利用一些基本公式对多项式进行因式分解。

例如，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

三、应用3.1 解高次方程：因式分解可以方便地解决高次方程，如 $x^2-5x+6=0$可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，从而得到解$x=2$和$x=3$。

3.2 计算极限：因式分解可以化简复杂的代数式，从而方便计算极限，如$\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^3-27}{x^2-9}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x+3)(x-3)}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+3x+9}{x+3}=12$。

(完整版)因式分解(竞赛题)含答案

因式分解1、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。

甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。

”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。

二、知识点回顾：1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a 3+b 3+c 3-3abc ．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的正确性，现将此公式变形为a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c 3-3abc =［(a+b)3+c 3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b 3+c 3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a 3+b 3+c 3=3abc ；当a+b+c ＞0时，则a 3+b 3+c 3-3abc≥0，即a 3+b 3+c 3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a 3≥0，y=b 3≥0，z=c 3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．※※变式练习　1分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n -b n 来分解．解因为 x 16-1=(x -1)(x 15+x 14+x 13+…x 2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1)，再除以(x -1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习 1分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2 =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2 =［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)． (4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习　1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8)　=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．　1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为对于常数项而言，它是关于y 即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．的二次三项式分解　再利用十字相乘法对关于x 所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2) 原式=(x+y+1)(x-y+4)．来分解． (3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0 原式=(y+1)(x+y-2)． (4)　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2 的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习 1. 分解因式：9x 4-3x 3+7x 2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x 2-3x-2．解 9x 4-3x 3+7x 2-3x-2 =9x 4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2 =x 2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2 =(9x 2-3x-2)(x 2+1) =(3x+1)(3x-2)(x 2+1) 说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了． 3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习 1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有有由bd=7，先考虑b=1，d=7 所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．五、反思总结。

因式分解的应用（初中数学竞赛资料）

因式分解的应用（初中数学竞赛资料）因式分解的应用因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。

它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。

下面，向同学们介绍一些因式分解的初步应用。

一、利用因式分解判断整除性例1 2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明(2n＋1)2－(2n－1)2=(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)=4n·2=8n∴这两个连续奇数的平方差能被8整除．例2 x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．证明因式分解，得原式=(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)，∴x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．例3 设4x－y为3的倍数，求证：4x2+7xy－2y2能被9整除．证明∵4x2+7xy－2y2=(4x－y)(x+2y)，又∵ x+2y=4x－y－3x+3y=(4x－y)－3(x－y)．∴原式＝(4x－y)［(4x－y)－3(x－y)］＝(4x－y)2－3(4x－y)(x－y) ∵4x－y为3的倍数∴4x2+7xy－2y2能被9整除例4设实数a<b<c<="" p="">A. x<y<z< p="">B. y<z<x< p="">C. z<x<y< p="">D. 不能确定解：∵a<b<c<d，< p="">∴x－y=(a＋b)(c＋d)－(a＋c)(b＋d)=ac＋bd－ab－cd=(a－d)(c －b)<0，即；x<y。

因式分解知识要点

因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。

1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。

本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。

2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

如:()++=++。

ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。

公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。

2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。

运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。

(完整版)因式分解(奥赛)

因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家,自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。

仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。

2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。

【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。

因式分解是一种重要的恒等变形,在数学中有广泛的应用.因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法，配方法，待定系数法等。

【解题思路与技巧】1．换元法。

在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替,从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1，例2），对称代换（如例3)，倒数代换(如例4),平均代换(如例5)等。

2．主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素,将其他字母看作常数,然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。

用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。

3．配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7,例8。

4．待定系数法在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值,从而解决问题的方法,如例9，例10。

【典型示例】例1 （1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题）在有理数范围内分解因式：(1)16（6x-1)(2x—1)（3x+1）(x-1）+25= 。

（2）(6x—1）(2x—1)（3x-1)（x-1)+x2= 。

(3）（6x—1)(4x-1)(3x-1)(x-1）+9x4= .[解] （1）原式=(6x—1)（4x—2）（6x+2)(4x+4)+25=（24x2-16x+2) （24x2-16x—8）+25设 24x2-16x+2=t，原式=t(t-10)+25=（t—5)2=(24x2—16x—3）2（2）原式=(6x-1）（x—1) (2x-1)(3x—1） +x2=（6x2-7x+1）（6x2-5x+1) +x2设6x2-7x+1=t, 原式=t（t-2x) +x2=（t—x)2=(6x2-6x+1)2（3)原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1） +9x4=(6x2-7x+1） (12x2-7x+1）+ 9x4设6x2-7x+1=t, 原式=t(6x2+t）+ 9x4=（t+3x2）2=（9x2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(2x–3y)3 + （3x–2y)3 –125（x–y）3= 。

(完整版)因式分解知识点归纳总结

因式分解知识点归纳总结概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正(例如： -3x^2+x=-x(3x-1))分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

注意：把 2a^2+1/2 变成 2(a^2+1/4)不叫提公因式提公因式法基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

例如： -am+bm+cm=a(x-y)+b(y-x)=⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

因式分解知识点总结

一、知识梳理1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积例：111() 333ax bx x a b +=+因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

⎧⎪⎨⎪⎩系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：333234221286a b c a b c a b c-+的公因式是．解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c都含有因式32a b c，故多项式的公因式是232a b c.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把2233121824a b ab a b--分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

解：2233121824a b ab a b --226(234)ab a b a b =--例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式解析：由于4(4)x x -=--，多项式3(4)(4)x x x -+-可以变形为3(4)(4)x x x ---,我们可以发现多项式各项都含有公因式（4x -）,所以我们可以提取公因式（4x -）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(4)(4)x x x -+- =3(4)(4)x x x --- =(3)(4)x x --例3：把多项式22x x -+分解因式解：22x x -+=2(2)(2)x x x x --=-- （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1

初中数学因式分解(一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能,思维能力，有独特作用．1．运用公式法整式乘法公式，反向使用,即为因式分解(1）a2—b2=（a+b）（a-b);（2）a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)（a2—ab+b2);（4）a3—b3=(a-b)(a2+ab+b2)．几个常用的公式:（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；（6）a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc—ca)；(7）a n-b n=（a—b)（a n-1+a n—2b+a n—3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数;(8）a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n—2-b n—1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=（a+b）（a n-1-a n-2b+a n—3b2—…—ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：（1）-2x5n—1y n+4x3n-1y n+2-2x n—1y n+4; （2)x3-8y3—z3—6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; （4）a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1）x9+x6+x3—3； (2)（m2-1）（n2-1）+4mn；（3)(x+1）4+（x2-1）2+(x-1）4; （4）a3b—ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：（x2+x+1)（x2+x+2）-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)（4x2+8x+3）-90．例8 分解因式：（x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3—36x2—7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy（x2+y2)．练习一1．分解因式:（2）x10+x5—2；（4)（x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：（1)x3+3x2—4；（2)x4-11x2y2+y2；（3）x3+9x2+26x+24; (4）x4-12x+323．3．分解因式：（1)（2x2-3x+1)2-22x2+33x—1；（2）x4+7x3+14x2+7x+1；(3）（x+y)3+2xy（1-x—y)-1；(4）（x+3)(x2—1）(x+5)—20．初中数学因式分解(一)答案多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1)a2-b2=（a+b)(a-b）；(2）a2±2ab+b2=（a±b）2；（3)a3+b3=(a+b)（a2-ab+b2);（4)a3—b3=（a-b）(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c）2；（6）a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)（a2+b2+c2—ab—bc-ca）；(7）a n-b n=（a-b）（a n—1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n—2+b n-1)其中n为正整数；(8）a n—b n=(a+b）(a n-1—a n—2b+a n-3b2-…+ab n-2—b n—1)，其中n为偶数;（9)a n+b n=(a+b)（a n—1—a n—2b+a n—3b2-…—ab n-2+b n-1），其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：（1)—2x5n—1y n+4x3n-1y n+2-2x n—1y n+4;（2)x3—8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4）a7—a5b2+a2b5—b7．解 (1)原式=—2x n—1y n(x4n-2x2ny2+y4）=-2x n-1y n［(x2n)2-2x2ny2+（y2)2］=—2x n-1y n（x2n-y2）2=—2x n-1y n（x n-y)2(x n+y)2．（2）原式=x3+(—2y）3+(—z）3—3x（-2y)（-Z）=(x—2y-z）(x2+4y2+z2+2xy+xz—2yz)．(3）原式=（a2—2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝（a—b)2+2c（a—b）+c2=（a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5），解法如下：原式=a2+（-b）2+c2+2(-b）c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4）原式=(a7—a5b2）+（a2b5-b7）=a5(a2—b2）+b5（a2-b2）=（a2—b2）(a5+b5)=（a+b）（a-b）（a+b）（a4—a3b+a2b2—ab3+b4）=（a+b）2（a-b)（a4—a3b+a2b2-ab3+b4）例2 分解因式：a3+b3+c3—3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．分析我们已经知道公式(a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3—3ab(a+b）．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b）3-3ab（a+b)+c3—3abc=［（a+b)3+c3］-3ab（a+b+c)=(a+b+c)［(a+b）2-c(a+b）+c2]—3ab（a+b+c)=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论,例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3—3abc显然，当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时,则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且,当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式a n—b n来分解．解因为x16—1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1），所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x—1），再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成—1+9．原式=x3—9x-1+9=（x3—1）-9x+9=（x-1）(x2+x+1）—9(x—1)=（x—1)(x2+x—8）．解法2 将一次项—9x拆成-x-8x．原式=x3-x—8x+8=(x3-x）+（-8x+8）=x（x+1)(x-1)-8(x—1)=（x-1)（x2+x—8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3—9x+8=（9x3-9x)+(-8x3+8）=9x(x+1)（x—1）—8(x—1）(x2+x+1）=（x-1)（x2+x—8）．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2—9x+8=x2(x-1）+(x-8)(x-1)=（x-1)(x2+x-8）．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项,添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：（1)x9+x6+x3-3；(2）（m2-1）（n2—1）+4mn；(3)(x+1)4+（x2—1）2+(x—1)4；(4）a3b—ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1—1．原式=x9+x6+x3—1-1—1=（x9—1）+(x6—1)+（x3—1）=（x3—1）（x6+x3+1)+(x3—1)(x3+1）+（x3-1）=（x3-1)（x6+2x3+3)=（x-1)(x2+x+1)（x6+2x3+3)．（2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=（m2—1）（n2—1）+2mn+2mn=m2n2—m2—n2+1+2mn+2mn=（m2n2+2mn+1）-(m2-2mn+n2)=（mn+1）2—(m-n）2=(mn+m—n+1)(mn—m+n+1)．（3)将（x2-1）2拆成2(x2—1)2-（x2—1）2．原式=(x+1）4+2(x2-1)2-(x2-1)2+（x-1）4=［（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+(x-1）4］—（x2—1)2=［（x+1）2+（x-1）2］2-（x2-1）2=（2x2+2）2—(x2—1）2=（3x2+1)（x2+3）．(4）添加两项+ab-ab．原式=a3b—ab3+a2+b2+1+ab—ab=（a3b—ab3)+（a2-ab)+（ab+b2+1)=ab(a+b)（a—b)+a（a—b）+（ab+b2+1）=a(a—b)［b(a+b）+1］+(ab+b2+1）=［a(a-b)+1］(ab+b2+1）=(a2—ab+1）（b2+ab+1）．说明（4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解，再与第三组结合,找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习,积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：（x2+x+1）(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=（y+1)(y+2）—12=y2+3y—10=(y-2)（y+5)=(x2+x—2)(x2+x+5）=（x-1)（x+2）（x2+x+5）．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2）（4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=（x+1）(x+2）(2x+1）（2x+3）—90=[(x+1)(2x+3）］［（x+2)（2x+1）]—90=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2)—90．令y=2x2+5x+2,则原式=y(y+1)—90=y2+y-90=（y+10）(y—9）=(2x2+5x+12)（2x2+5x-7）=(2x2+5x+12）（2x+7)(x—1）．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x（x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y,则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)（y+x）=（x2+6x+8）（x2+5x+8)=（x+2）(x+4）(x2+5x+8）．说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2—7x+6．解法1 原式=6（x4+1）＋7x(x2—1）-36x2=6［（x4-2x2+1）+2x2]+7x(x2—1）-36x2=6［(x2—1)2+2x2］+7x(x2—1)-36x2=6(x2—1）2+7x(x2—1）—24x2=[2(x2—1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2—3x—2)（3x2+8x-3)=(2x+1）(x—2）(3x—1)（x+3)．说明本解法实际上是将x2—1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6（t2+2）+7t—36］=x2（6t2+7t-24)=x2（2t—3)（3t+8）=x2[2(x—1/x）-3］[3(x—1/x)+8］=（2x2—3x—2)(3x2+8x—3）=（2x+1)(x—2）（3x-1）(x+3）．例10 分解因式：(x2+xy+y2）—4xy（x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy,用换元法分解因式．解原式=［（x+y）2—xy］2—4xy[（x+y)2—2xy］．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2—v）2-4v（u2-2v）=u4—6u2v+9v2=（u2—3v）2=（x2+2xy+y2—3xy)2=(x2-xy+y2)2．。

【初中数学】初中数学关于因式分解知识点整理

【初中数学】初中数学关于因式分解知识点整理(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.（2）公因子：多项式的每个项中包含的相同因子称为多项式的公因子(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的.（4）公因子法：一般来说，如果一个多项式的项有公因子，你可以把公因子放在括号外，以因子积的形式写出多项式。

这种分解因子的方法称为公因子法(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.（6）如果多项式第一项的系数为负，通常需要提出“-”号，使括号中第一项的系数为正。

当提出“-”号时，多项式的所有项都必须改变(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.（8）使用公式法：如果乘法公式是反的，它可以用来将一些多项式分解成因子。

这种分解因子的方法叫做公式法(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)（10）用平方差公式分解因子的二项式公式有什么特点①系数能平方，(指的系数是完全平方数)② 字母索引应该成对排列③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)（11）用平方差公式进行因式分解的关键是把每一项都写成平方的形式，并正确判断a和B分别等于什么(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2（13）完全平方公式的特点：①它是一个三项式.② 其中两个是两个数的平方和③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.④ 有了以上三个特征，它等于两个数之和（或差）的平方(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和).（15）使用立方和和立方差分解的关键是能够将这两项写成两个数的立方(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.（17）小组分解法的前提：掌握公因子法和公式法是学好小组分解法的前提(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式.（19）分组时，我们应该考虑分组后是否可以继续分解，关键是选择合理的分组方法。

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因式分解相关知识点整理【竞赛专用】1.因式分解的思路：“一提、二代、三分组”
2.常用公式:
[1]a 2 b 2(a b)(a b)
[2](a b) 2 a 22ab b 2
[3]a 3b3(a b)(a 2?ab
[4](a b)3 a 33a 2b3ab
2⑸若n为正奇数，则a n b n
⑹若n为正整数，则a n b n
b 2 )
b3
(a b)(a n1 a n 2b a n 3b 2 (a b)(a n i a n 2b a n 3b 2
应用公式时，按某个字母降幕排列是一个简单而有用的措施，值得注意。

3.常用分组方法（注意：每组项数须平均分配）：
（1 ）按不同字母分组
（2） b.按不同字母的幕分组（幕次相近的放在一起）
（3）按不同项的系数分组
注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况
4.拆项与添项
（1 ）若整式按某一字母的升幕或降幕排列，那么以拆开中项为宜
（2）可以配完全平方（配方法）
5.十字相乘法（二次齐次式ax 2bxy cy2也可用此法分解，令y1代入原式即可）
ax+c例子：
X bx+d x+2
X x+3 adx bcx+cd
abx2+3x+6
x 2+ 2 x abx2+(ad bc) x+cd
x 2+5x+6将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式：
a - b
c
-d
1
1
X2
3
ab bc5
补充一个结论:—
若二次三项式ax bx c的系数和a b c 0，则ax bx c （x 1）（ax c）
ax 2 bxy cy 2 dxz eyz fz2的三元齐次式.)
把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解，如果其中两组包含相同字母ab n2 b n1) ab n 2 b n 1 )
第1页-2008.09 - v1.01
6•双十字相乘法（应用于形如
ax 2 bxy cy 2 dy ey f 的二元二次式，或者是形如
第2页-2008.09 - V1.01
卜.- —_— - —_
|
卜 __ i - _ - ~~ - _ . |
1 —•
____ i __ _L __― — ____ |
的分解式所得到的数字一样 .且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话，分解式的系数就为第一行的三个数和第二行的三个数，直接代入原式即可
7. 换元法（略）
8. 余数定理（x 、y 的齐次式也可以采用同样的方法）
f （ x ） a n x n a n i x n 1
a i x a 0
如果f （c ） 0，那么
（x c ）是f （ x ）的因式，反过来，如果（x c ）是f （ x ）的因式，那么
f （c ） 0 .（证明过程略）
注：有理根c p
的分子 p 是常数项 a o 的因数，分母 q 是首项系数 a n 的因数.
q
如果整系数多项式 f （ x ）的系数为1. q 1，有理根都是整数根.
补充三个重要结论:
（1 ）若多项式的系数和等于 0,那么1是它的根，即
（x 1）是它的一次因式.
（2）若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0,那么-1是它的根，即
（x 1）
是它的一次因式.
（3）若多项式可以分解为几个有理数系数的积，则其一定能分解为几个整系数的多项式的积.
9. 待定系数法
设待定系数，通过比较系数得岀方程组，利用系数为整数的条件求解即可
-b H W N W I I
ibi
M ilririhl
10•轮换式与对称式
两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）基本轮换式一次齐次轮换式： l( x y z)
二次齐次轮换式：
l( x 2 y 2 z 2 ) m( xy yz zx)
三次齐次轮换式：
333
2
2
2
2
2
2
l(x y z) m(xy yz zx) m(xy yz zx) kxyz
这里，I 、m 、n 、k 都是待定常数
补充两个常用公式:
(1) a 3 b3 c 33abc (a b c)(a 2 b 2 c 2ab bc ca)
(2) a 3b c 3 abc1 (a b c)[(a b) 2(b c) 2(c
a)
2 )
(3) 当abc 0时， a b cFbc 3
11.实数集与复数集内的分解
（1）利用二次方程求根公式来分解二次三项式
（2）代数基本定理：在复数集内，对于多项式f（x） a n x a n i x n n a i x a0（n
是正整数），一定有复数c使得f （c）0 .
（3）实系数多项式的虚数根是两两共轭的.因而，在实数集内每个多项式都可以分解为一次因式与二次因式的积.
1 折
（4）1的立方虚根 2 ，并且3， 1 :2 1 （可将x代入
多项式，求得因式）
（5）单位根：一般地，在复数集内有n个n次单位根，它们是
2L.. 2k 2n . .
cos —i sin —（k 1,2, ,r），其中cos —i sin — 1
n n n n
如果k与n互质，则cos2^ i sin ~称为本原单位根.
n n
（6）分圆多项式：与n次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式
分圆多项式在有理数集内不可约的
12•既约多项式相关知识
（1）艾森斯坦（Eisenstein，1823〜1852 ）判别法
n m 一
设f（x） a n x a n 1x a1x a0是整系数多项式
如果存在一个质数p满足以下条件：
1.p不整除a n ；
2.p整除其余的系数（a o , a1, , a n 1）；
2
3.p不整除a0.
那么，f （ x）在有理数集内不可约.
（2）绝对不可约
有些多元多项式，即使在复数集内也不能分解，这样的多项式称为绝对不可约
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