第三章 方差分析
5第三章 方差分析1
0
平方和与自由度的分解
∴ ( xi j x..)2
i 1 j 1
k
k
n
n ( xi. x..) ( xij xi. )
2 i 1 i 1 j 1
k
n
2
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
假设某单因素试验有k个处理， 每个处理有 n 个观察值，共有 nk 个观测值。这类试验资料的数据 模式如表3-2所示。
表3-2 每处理具n个观测值的k组数据的符号表
处理
1 x11
2 x21 x22 … x2j
… … … … …
i xi1 xi2 …
… … … … …
k
xk1
xk2 … xkj
观 察 值
B C D
E
21 22 19
15
19 23 20
16
18 22 19
16
18 20 18
17
76 87 76
64
19.00 21.75 19.00
16.00
T=392 x..=19.6
解：
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1）， 计算组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。
p25作业
4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统 工艺提取率为91%。现有一新的提取 工艺，用新工艺重复8次提取试验，得 平均提取率=95%，标准差S=7%。试 检验新工艺与传统工艺在提取率上有 无显著性差异？
解： （1）提出假设 H0:μ=μ0=91%；即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。 HA:μ≠μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
第03章 方差分析ppt课件
观
测
要素效应(treatment effect)：
值
程度不同引起
不
同
的
原
实验误差：实验过程中偶尔性
因
要素的干扰和丈量误差所致。
;
方差分析的根本思想
因
总
试
素
变
验
效
异
误
应
差
;
方差分析的目的
确定各种缘由在总变异中所占的重要程度。
要素效应 实验误差
相差不大，阐明实验处置对目的影 响不大。
相差较大，即要素效应比实验误差 大得多，阐明实验处置影响是很大 的，不可忽视。
检验P值
当 H 0 为真时，F 的值应在1 的周围动摇； 反之，F的值有增大的趋势。 检验p值为 pPH0(Ff)
f 为由观测数据求得的统计量F的观测值。
;
例1
测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5个地域黄鼬冬季针 毛的长度，每个地域随机抽取4个样本，测定的结果如表， 试比较各地域黄鼬针毛长度差别显著性。
2453.16
贵州 22.3 22.5 22.9 23.7 91.4 22.85
2089.64
合计
530.5 26.53
14258.21
〔1〕首先计算出 x ，及 x2 ，并列于表中。
〔2〕计算出离均差平方和与自在度：
SST 18.76
SSA 173.71
;
40
SE SSTSSA S＝186.7-173.71＝12.99
n-1=(a-1)+(n-a)
;
统计性质
▪ 无偏论 估计H 0；成立与否，SSE/(na)总是 2 的一个无 ▪ H 0为真时，SSA/(a1) 为 2 的一个无偏估计。
第三章 试验的方差分析讲解
值为yij（i=1,2,…n；j=1,2,…m0），则可将数据以下表形式表达：
yij
i 1
j 1 jm0
m0
Ti yi j j 1
m0
Ri yi2j
j 1
1 m0
yij
m0
yij
j 1
y11 y1 j y1m0
0.003688
SS因
n i 1
(
mi j 1
yij
)2
T
2
mi
N
0.451393
2.7592 17
0.003624
SSe SST SSA 0.000064
18
3.3 双因素试验的方差分析
fT N 1 16 fA n 1 51 4
303.6 4
75.9
Ve
SSe fe
50.0 10
5.0
13
3.2 单因素试验的方差分析
FA
VA Ve
75.9 5.0
15.2
从F分布表中查取临界值
F0.05 (4,10) 3.48, F0.01(4,10) 5.99
因为 FA F0.01(4,10) 5.99
60℃ 65 ℃ 70℃ 75℃ 80 ℃
1
90
97
96
84
84
2
92
93
96
83
86
3
88
92
93
88
82
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
σ = ˆ
t 0 .975
132 / 4 = 5.74 ， 。 ( 4 ) = 2 . 7764
μ 3⋅2
的0.95的置信区间是：
68 ± 2.7764 × 5.74 / 1.8 = 68 ± 11.9 = (56.1,79.9)
贡献率分析
当试验指标不服从正态分布时， 进行方差分析的依据就不充分，此 时可以通过比较个因素的“贡献率” 衡量因素作用的大小。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
ˆ ˆ μ = y = 50 ， a3 = T13 − y = 61 − 50 = 11 ，
ˆ c 2 = T32 − y = 57 − 50 = 7 ，
•A3C2 水平组合下指标均值的无偏估计可以取为： ˆ ˆ ˆ ˆ μ 3⋅2 = μ + a3 + c 2 = 50+11+7=68。
区间估计
… Continue
因子水平表 因子 A：反应温度（℃） B：反应时间（分） C：加碱量（%） 水平 一 80 90 5 二 85 120 6 三 90 150 7
试验计划与试验结果
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因子 反应温度 ℃ （1）80 （1）80 （1）80 （2）85 （2）85 （2）85 （3）90 （3）90 （3）90 反应时间 分 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 （1） 90 （2）120 （3）150 加碱量 试验结果 y % 转化率(%) （1）5 31 （2）6 54 （3）7 38 （2）6 53 （3）7 49 （1）5 42 （3）7 57 （1）5 62 （2）6 64
第三章 单因素方差分析
i 1
j 1
i 1
i 1
a
r
2
a
ri• ( yij / ri• ) 2Ny ri• yi• / N Ny 2
i 1
j 1
i 1
a
Ti • 2
i 1
/ ri•
Ny 2
a
Ti • 2
i 1
/ ri•
T2 N
ar
a
Se ST SA
yij2 Ti•2 / ri•
5
i1 j1
i1
合成物产出量数据表
水平
次数
A1 A2 A3
1
2
3
4
74
69
73
67
79
81
75
78
82
85
80
79
试判断:在显著水平a=0.05下触煤用量对合成物产出量有无显著影响?
8
解: a=3 , r1=r2=r3=r=4, N=ar=12 (1) 方差齐性。由极差均值法：
R1=7 ，R2=6, R3=6
R R1 R2 R3 6.33 3
A
121.5833
Ve
Se
e
8.055556
FA
VA Ve
15.0931
10
(4) 判断.对a=0.05, 查F分布分位数表得:
F0.05( A, e ) F0.05(2,9) 4.26
而
FA
VA Ve
15.0931
所以 FA Fa (2,9).
推断因素A是显著的,即三种触煤用量水平对合成物产出量的影响 是有显著差异的
yij2 71156
i1 j1
a Ti2 71083.5
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿一、引言方差分析是统计学中一种重要的分析方法，用于比较两个或多个样本均数之间的差异。
在实际应用中，我们常常需要比较多组数据的均数，这时就需要运用多组均数间比较的方差分析方法。
本文将详细介绍多组均数间比较的方差分析方法及其应用。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较因素（例如不同的处理组）对应的样本均数的差异来判断这些因素是否具有统计学上的显著性差异。
方差分析的核心概念是组内变异和组间变异。
组内变异是指同一处理组内观测值之间的差异，反映了同一处理组内个体间的差异。
组间变异是指不同处理组之间的观测值之间的差异，反映了不同处理组之间的差异。
方差分析的目标是确定组间变异相对于组内变异的大小，以便评估处理组间的差异是否具有统计学上的显著性。
三、多组均数间比较的方差分析步骤多组均数间比较的方差分析步骤如下：1.明确研究目的：确定需要比较的多个处理组以及需要比较的指标。
2.样本数据收集：收集每个处理组的样本数据。
3.建立假设：建立零假设（处理组均数之间没有显著差异）和备择假设（处理组均数之间存在显著差异）。
4.计算总变异度：计算总平方和（总变异度），表示总的数据变异情况。
5.计算组间变异度：计算组间平方和（组间变异度），表示不同处理组之间的差异情况。
6.计算组内变异度：计算组内平方和（组内变异度），表示同一处理组内个体间的差异情况。
7.计算F值：计算F值，用于检验处理组均数之间的差异是否具有统计学上的显著性。
8.判断显著性：根据计算得到的F值和相应的显著性水平，判断处理组均数之间的差异是否显著。
9.进行多重比较：如果处理组均数之间的差异显著，进一步进行多重比较。
四、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，例如医学、生物学、经济学等。
在医学领域，方差分析可以用于比较不同药物对疾病治疗效果的影响；在生物学领域，方差分析可以用于比较不同肥料对植物生长的影响；在经济学领域，方差分析可以用于比较不同市场策略对销售额的影响等。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第3章 试验的方差分析知识讲解
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA） 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性
试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数
因素（experimental factor） 影响试验指标的条件 可控因素（controllable factor）
④计算均方
MS A
SS A df A
SS A r 1
MSB
SSB df B
SSB s 1
MSe
SSe dfe
(r
SSe 1)(s 1)
⑤F检验
FA
MS A MSe
FB
MSB MSe
FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布；
FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布；
对于给定的显著性水平 ，查F分布表：
下的试验结果服从正态分布 在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验 判断因素A对试验结果是否有显著影响
（3） 单因素试验数据表
试验次数 A1
A2
…
1
x11
x21
…
2
x12
x22
…
…
…
…
…jBiblioteka x1jx2j…
…
…
…
…
ni
x1n1
x2n2
…
Ai
…
Ar
xi1
…
xr1
xi2
…
xr2
… ……
xij
1 r s
x rs
i 1
xij
j 1
Ai水平时 ：
xi•
1 s
s
xij
j 1
stat_2015_第三章.方差分析
xij x•• (xij x••) x•• (xi• x••) (x•j x••) (xij xi• x•j x••)
xij
A i
B j
ij
§ 3.2 多因素方差分析
F ( , a 1, (a 1)(b 1))
FB MSB MSe
F ( , b 1, (a 1)(b 1))
§ 3.2 多因素方差分析
[例] 考察不同催化剂，不同温度对某一合成反应收率的影响，用3种 催化剂，4种温度进行试验，其因素随机化（按随机数表安排试验） 问3种催化剂，4种温度对反应收率的影响有无显著性差别。
变差来源 平方和 自由度 观测方差 方差比
SS
V
MS
F
临界值
结论
催化剂 42.65 2
21.3 2.78 F(0.05,2,6)=5.14
温度 208.2 3
69.4
9.05
F(0.05,3,6)=4.76 F(0.01,3,6)=9.78
*
误差 46.1 6
7.68
总计 296.9 11
§ 3.2 多因素方差分析
§ 3.1 单因素方差分析
自由度和方差：
T N 1 A e A a 1 e N a
MSA SSA
A
F MSA MSe
MSe SSe
e
F ( , a 1, N a)
§ 3.1 单因素方差分析
水平效应（组间效应）
固定（效应）模型
随机（效应）模型
2.303 20.664 21.2145
第三章多组均数间比较的方差分析
第三章多组均数间比较的方差分析在统计学中，方差分析是一种用来比较两个或更多组之间均数差异的方法之一、它可以用于分析实验设计或观察研究中的多组数据，并确定这些组之间的差异是否显著。
本文将重点介绍第三章多组均数间的方差分析。
方差分析有两种类型：单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（自变量）在不同组之间的均数差异，而多因素方差分析则用于比较多个因素对组间均数的影响。
在多组均数间的方差分析中，我们首先要确定所要比较的多个组是否具有显著的差异，这可以通过计算组间差异的方差来实现。
如果组间差异显著，则说明这些组有明显的均数差异，可以进一步进行事后的比较。
进行多组均数间的方差分析时，首先需要建立一个原假设和备择假设。
原假设通常是假定多个组之间没有均数差异，而备择假设则认为至少有一组与其他组有显著的均数差异。
在进行方差分析之前，还需要进行一些前提检验，如正态性检验和方差齐性检验，以确保数据符合进行方差分析的假设。
接下来，可以使用各种统计软件进行方差分析的计算。
常见的方差分析方法包括单因素方差分析、双因素方差分析和重复测量方差分析等。
这些方法的具体计算过程和统计指标略有不同，但都可以提供组间差异的显著性水平。
在进行多组均数间的方差分析时，还需要注意事后比较的问题。
如果方差分析结果显示组之间有显著差异，那么需要进一步比较各个组之间的均数差异。
常用的事后比较方法包括Tukey HSD法、Duncan法和Bonferroni法等。
这些方法可以提供详细的组间均数差异情况，帮助研究者更好地理解结果。
总之，多组均数间的方差分析是一种常用的统计方法，可以用于比较多个组之间的均数差异。
通过进行方差分析，我们可以确定这些组之间是否存在显著差异，并进行事后的比较分析。
研究者在进行多组均数间分析时，需要注意数据的前提检验以及使用合适的方法和指标进行分析。
方差分析-1
第一节 方差分析的基本原理和方法
上述总变异的自由度和平方和可分解为组间和组内两个 部分。组间变异即k个平均数的变异，故其自由度为k－1， 平方和 SSt 为：
SSt n ( xi x )
2
组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组 具有n－1个自由度，平方和为 ( xij xi ) 2 ，而总共有k 组资料， 故组内自由度为k（n－1），而组内平方和SSe为：
第一节 方差分析的基本原理和方法
1. 自由度和平方和的分解 2. F分布(F Distribution) 3. 多重比较(multiple comparisons) 4. 方差分析的基本假定 5. 数据转换
第一节 方差分析的基本原理和方法
1、自由度和平方和的分解
设有K组样本，每样本均具有n个观察值，则该资料共有 nk个观察值，数据如下表。 表 每组具n个观察值的k组样本的符号表
xi
xk
T xij x
x
Xij，i=1,2,……k，j=1,2,……n。
第一节 方差分析的基本原理和方法
总平方和 (SST) 总变异是nk个观察值的变异，故其自由度为 nk－1，平方和SST为：
SST ( x x ) 2 x 2 ( x ) 2 nk (T ) 2 x2 nk
( xij x ) 2 n ( xi x ) 2 [ ( xij xi ) 2 ]
1 i 1 i 1 j 1
nk
k
k
n
第一节 方差分析的基本原理和方法
均方的计算：
SST S nk 1 SSt 2 St k 1 SS e 2 Se k (n 1)
第三章 方差分析
3 方差分析
= 15368.7 − 15169.03 = 199.67
• 处理间平方和
SSt = 1 1 xi .2 − C = (155.9 2 + 131.4 2 + 123.7 2 + 139.8 2 ) − C n 5 = 15283.3 − 15169.03 = 114.27
– 将分子─总平方和，分解成处理间平方和 将分子─总平方和， 与处理内平方和两部分； 与处理内平方和两部分； – 将分母─总自由度，分解成处理间自由度 将分母─总自由度， 与处理内自由度两部分。 与处理内自由度两部分。
2.1 总平方和的分解
(1) 总变异 • 即总平方和是各观测值xij 与总平均数的离均 与总平均数的离均 平方和， 差平方和，记为SST 即：
2.3 方差的计算
• 各部分平方和除以各自的自由度便得到各自 方差或 均方. 方差或称均方 • 总变异，处理间均方、处理内均方 误差均 总变异，处理间均方、处理内均方(误差均 方)，分别记为MST、MSt和MSe。即 ，
MS T =
2 ST
= SS T / df T
MSt =
2 St
= SSt / df t
温 度 60℃ A1） 60℃（A1） 70℃（A2） 70℃ A2） 80℃ A3） 80℃（A3） 90℃ A4） 90℃（A4） 合 计 1 31.9 24.8 22.1 27.0 次 2 27.9 25.7 23.6 30.8 数（xij） 3 4 31.8 28.4 26.8 27.9 27.3 24.9 29.0 24.5 合计xi. 平均xi. 5 35.9 26.2 25.8 28.5 155.9 131.4 123.7 139.8 139.8 550.8 31.18 26.28 24.74 27.96
第三章_单因素方差分析与多重比较
第三章_单因素方差分析与多重比较1.引言在统计学中，方差分析是一种用于比较不同组之间差异的方法。
它可以帮助我们确定不同因素之间是否存在显著差异，以及哪些因素对结果有重要影响。
在实际应用中，我们常常需要使用单因素方差分析，即只考虑一种因素对结果的影响。
本章将介绍单因素方差分析的基本原理和方法，以及如何进行多重比较来进一步分析不同组之间的差异。
2.单因素方差分析的基本原理在单因素方差分析中，我们假设只有一个因素对结果有影响，而其他因素对结果没有影响。
我们通过计算组内变异和组间变异来判断不同组之间是否存在显著差异。
组内变异表示同一组内部个体之间的差异，而组间变异表示不同组之间的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，则可以认为不同组之间存在显著差异。
为了进行单因素方差分析，我们需要满足以下几个前提条件：1）样本来自正态分布总体；2）各个组的方差相等；3）各个组的观测值之间相互独立。
3.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤通常包括以下几个步骤：1）建立假设：根据实际问题，我们需要建立相应的零假设和备择假设。
零假设通常表示不同组之间没有显著差异，而备择假设表示不同组之间存在显著差异。
2）计算统计量：根据计算公式，计算组内平方和和组间平方和，进而计算F值。
3）判断显著性：根据给定的显著性水平，查表或计算P值，判断F 值是否显著。
4）做出结论：根据显著性检验的结果，决定是否接受零假设，进而得到结论。
4.多重比较在单因素方差分析中，如果我们得到了显著的F值，说明不同组之间存在差异，但是并不能告诉我们具体是哪些组之间存在差异。
这时候，我们可以进行多重比较来进一步分析不同组之间的差异。
多重比较可以帮助我们确定哪些组之间存在显著差异，以及差异的大小。
常用的多重比较方法包括Bonferroni法、Tukey法和Duncan法等。
这些方法都可以通过计算置信区间来确定差异的显著性。
多重比较的步骤通常包括以下几个步骤：1）计算均值差异：首先计算不同组之间的均值差异，可以通过计算置信区间来确定差异的显著性。
《试验设计与数据处理》第3章_试验的方差分析
（4）计算均方—— 离差平方和/自由度
因素A的均方
MS A
SS A r 1
误差的均方：
因素B的均方
A×B的均方
MSB
SSB s 1
MS AB
(r
SS AB 1)(s 1)
MSe
SSe rs(c 1)
22
(5) F检验
FA
MS A MSe
xij
i 表示因素A对应的水平
j 表示因素B对应的水12 平
双因素无重复试验的方差分析的基本步骤：
（l）计算平均值 • Ai水平时所有试验值的算术平均值:
1 s
xi
s
xij
j 1
• Bj水平时所有试验值的算术平均值:
x j
1 r
r j 1
xij
• 所有试验值的总平均值:
1 r s
1r
1s
11
3.2 双因素试验的方差分析 ——讨论两个因素对试验结果有无显著性影响的问题
3.2.1 双因素无重复试验的方差分析 • 设在某试验中，有两个因素A和B在变化：
A有r 种水平A1，A2，…，Ar B有s 种水平B1，B2，…，Bs • 在每一种组合水平（Ai，Bj）上做1次试验; • 试验结果为xij（i=1，2，…，r；j = 1，2，…，s）; • 所有xij相互独立，且服从正态分布。
(4) 计算平均平方 • 用离差平方和除以自由度得平均平方，简称均方 • 组间均方：MSA SSA / dfA • 组内均方(又称为误差均方)： MSe SSe / dfe
9
(5) F检验
• 组间均方和组内均方之比F是一个统计量:
第三章方差分析（11.18）
第三章⽅差分析（11.18）第三章⽅差分析在⽣产、研究等⼯作中经常要对在不同条件下进⾏观察或试验得到的数据进⾏分析，以判断不同条件对结果有⽆影响。
这时，就需要进⾏⽅差分析。
第⼀节⽅差分析的基本问题⼀、⽅差分析研究的问题⽅差分析是检验若⼲个具有相同⽅差的正态总体的均值是否相等的⼀种假设检验⽅法。
例如，我们要研究不同化肥品种（甲种、⼄种）与某农作物的关系，测定是否不同化肥的增产效果也不同。
则通过⽐较不同品种组的平均数的差异来反映分组变量（如化肥）对因变量（如农作物产量）的影响和作⽤，这就是⽅差分析要解决的内容。
在⽅差分析中，常常⽤到以下术语：响应，是指观察指标的结果或试验结果为响应。
如农作物的产量为响应。
因⼦（因素），是指在观察中或在试验中改变其状态时对响应产⽣影响的因素，也称为因⼦。
如⽤来进⾏分组研究的变量化肥就是因素或因⼦。
⽔平，是指因⼦（因素）在观察或试验中所取的状态称为因⼦（因素）的⽔平。
如化肥的种类甲种、⼄种就是因素的⽔平。
⽅差分析主要有两种。
如果⽅差分析只针对⼀个因素进⾏，称为单因素⽅差分析。
如果同时对多个因素进⾏，称为多因素分析。
在⽅差分析中，通常假定在同⼀条件下的试验结果是来⾃正态总体的⼀个样本；不同条件下的正态总体是相互独⽴的，它们的期望可能不同，但⽅差相同。
要判断不同条件对响应有⽆影响就是要检验各个正态总体的均值是否相等。
在实际应⽤时，⼀般应近似地符合上述要求。
⼆、⽅差分析的基本思想从⽅差分析的⽬的看，是要检验各个正态总体的均值是否相等，⽽实现这个⽬的的⼿段是通过⽅差的⽐较。
我们知道，观察值之间存在着差异，差异的产⽣来⾃于两个⽅⾯，⼀⽅⾯是由因素中的不同⽔平造成的，称为系统性差异；另⼀个⽅⾯是由于抽选样本的随机性⽽产⽣的差异。
两个⽅⾯产⽣的差异可以⽤两个⽅差来计量，⼀个称为⽔平之间的⽅差，⼀个称为⽔平内部的⽅差。
前者既包括系统性因素，也包括随机性因素。
后者仅包括随机性因素。
如果不同⽔平对结果没有影响，那么在⽔平之间的⽅差中，就仅仅有随机因素的差异，⽽没有系统性差异，它与⽔平内部⽅差就应该近似，两个⽅差的⽐值就会接近于1；反之，如果不同的⽔平对结果产⽣影响，在⽔平之间的⽅差中就不仅包括了随机性差异，也包括了系统性差异。
第三章 方差分析
N 报纸 广播 宣传品 体验 Total 36 36 36 36 144
Mean 73.2222 70.8889 56.5556 66.6111 66.8194
Std. Error 1.62232 2.16127 1.93647 2.24961 1.12732
Minimum 54.00 33.00 33.00 37.00 33.00
df1 3
df2 140
Sig. .515
分析：统计量值为0.765， P=0.515>0.5, 不拒绝原假设， 即可以认为方差齐的。
(因为已证明了各水平既服从正态分布又是方差齐的，所以可以进 行方差分析）
方差分析表
A N OV A 销售额 Sum of Squares 5866.083 20303.222 26169.306 df 3 140 143 Mean Square 1955.361 145.023 F 13.483 Sig. .000
√
勾选“Descriptive”、 “Homogeneity-of-variance”、 “Means plot”三项。 点击“Continue”钮返回
点击“OK”钮输出结果
结果输出和讨论：
D e sc r i p ti v e s 销售额 Std. Deviation 9.73392 12.96760 11.61881 13.49768 13.52783 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound 69.9287 76.5157 66.5013 75.2765 52.6243 60.4868 62.0442 71.1781 64.5911 69.0478
将“销售额[sale]”加入“Depedent”框；“广告形式[ad 加入“Factor List”框。 选择“Normality ….”(正态性检验）
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Aa
N (a, 2 )
ya1, ya2 , , yana
令εij=yij-μi,称εij为随机误差，则εij ~N(0,σ2)
则有(相当于个回归模型)
yij i ij , j 1 ~ ni , i 1 ~ a
ij
~
N
(0,
2
),
且诸 相互独立 第三章 方i差j 分析
(3.1)
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称
n
n i 1
ni为总容量;
1 n
n i 1
ni i
为总平均;
i i , i 1 ~ a 为水平Ai的效应(影响度)
反映了因素A的第i水平Ai对Y的影响大小且满足
a
nii 0
模型(3.1)可改写为: i1
yij i ij , j 1 ~ ni , i 1 ~ a
ij ~ N (0, 2 ),且诸ij相互独立
样本：在同样条件下得到不同的实验结果每个结果，称为样本。
第三章 方差分析
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B1,B2,B3,B4
3.1 单因素方差分析
方差分析中，Y是某个数量指标是计量变量， 对Y的取值可能会产生影响的定性变量为因素， 用A,B,C表示.
因素水平:各因素所处的不同状态;
因素A的a个水平: A1, A2 , , Aa
例如某农作物产量Y, 作物品种A, 化肥品种B
A1, A2 , A3 B1, B2 , B3, B4
思想：显著性检验, 即 Y的总变化量=各因素各水 平及交互影响+随误影响，通过比较二者的相对 大小来确定各因素及交互作用对Y影响是否显著
第三章 方差分析
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3.1.1. 单因素方差分析模型
(3.2)
a
nii 0
i 1
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（一）参数估计
即通过实验估计μ和{ai}，其估计量记为和μ和{ai} 令
则
i
1 ni
ni
ij
j 1
1 ani
a i 1
ni
ij
j 1
Xi
1 ni
ni j 1
X ij
1 ni
ai ij ai i
X 1 ani
某种新药与其它一些传统药物对病人进行分组实验来 考查不同的药物与治愈率有否明显不同，这里我们考 查的对象，原料，药物称为因素.
当考查的因素只有一个时我们称为单因素问题。如果 同时考虑两个或更多的因素问题，则称多因素方差分 析（这时计算起来很复杂）。
第三章 方差分析Βιβλιοθήκη 2021/3/64
例：考查温度对某一化工厂产品得率的影响，选了五种不 同温度，同一温度做了三次试验，测得结果如下：
上例全部15个数据参差不齐，它们的差异叫总变差。产生总变差 的原因有两个
1) 随机误差 2) 系统误差
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方差分析解决这类问题的思想是：
l 由数据的总变差中分离出随机误差和系统误差。
l 用系统误差和随机误差在一定条件下进行比较，如差异不大 则认为系统误差对指标的影响不大，如系统误差比随机误差大的 多，则说明条件的影响很大。以上面的例子说明即温度的变化对 得率的影响很大，因此调整温度对产量的影响很大。
l 选择较好的工艺条件或确定进一步的实验方案。
这里介绍几个方差分析术语：
因素：实验中的每一个条件，如上例的温度便是一个因素。
水平：因素在实验中的等级称为水平，如上例中因素温度分为五 个水平：60℃65℃，70℃，75℃，80℃。如果把因素记为A，则 相应地把水平记为A1, A2, A3, A4, A5.
有相同的方差，因素A的各水平的影响只体现在 各总体均值的差异上。
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i 1~a
• 假设如下表: (各样本独立, 同方差)
yij ~ N(i , 2 )
因素A的水平 总 体
样本
A1 A2
N (1, 2 ) N (2, 2 )
y11, y12 , , y1n1 y21, y22 , , y2n2
a i 1
ni j 1
ai ij
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取 X 是μ的一个无偏估计。
a aˆ 类似地可以推出 i 的无偏估计是 i
aˆi X i X
此时方差分析模型可以改写为：
Xij X aˆi lij
l aˆ l ij 反映了误差 ij 。由于 X ij，X ， i 均为已知故 ij
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现在分析温度的变化对得率的影响。从平均得率来看，好象温度 对得率是有一定的影响，但详细观察一下数据就会发现问题，表现 在：
（1）同一温度下得率并不完全一样，产生这种差异的原因是由于 试验过程中各偶然因素的干扰及测量误差所致，这一类误差称为试 验误差，或随机误差。
（2）两种温度的率不同的试验中的倾向有所差别。如65℃与 70℃相比，第一产65℃比70℃好，而后二次70℃比65℃好。产生 这种矛盾现象，显然也可能是由于随机误差的干扰。由于随机误差 的存在，对于不同温度下的得率的差异自然要提出疑问，这差异是 随机误差造成的呢，还是温度不同的影响。由于温度的不同而引起 得率的差异我们称为组间误差或系统误差。
定性变量的取值只能用语言或代号标明它的 属性或者即使给这些就是赋予数值，只是为 标记方便，称为因素
基于不同的数据分析目的，可将定量变量转 化为定性变量。
方差分析: 因素取不同状态时, 对因变量的影 响是否显著.
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经常遇到这样的问题，有几种不同的原料，要考查它 们对产品质量有没有显著的影响。
单因素方差分析即只考虑一个因素情况下的 方差分析方法.
设所关心变量为Y,影响的因素为A,有a个水平 A1,A2,…,Aa,在A的各水平上对Y进行独立观测， 在Ai上对Y独立观测ni次，观测值为yi1,…,yini,并 设其独立同分布于某个正态分布。
不同水平上的各组观测值被认为是来自不
同正态总体的一个样本，并假定除A可在其水平 上变动外，其他条件不变，进一步假设各总体具
第三章 方差分析
第三章 方差分析
3.1 单因素方差分析 3.1.1. 单因素方差分析模型 3.1.2. 因素效应的显著性检验 3.1.3. 因素各水平均值的估计与比较
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3.1 单因素方差分析
变量分为两大类：定量变量与定性变量;
定量变量就是它的取值可以量化，分为取值 连续的计量变量和取值离散的计数变量；