数学红宝书3训练题

图3
4 ．如图 1 ，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90 °， AC ＝ 6 ， BC ＝ 8 ，动点 P 从 点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD // BC ， 交 AB 于点 D ，联结 PQ ．点 P 、 Q 分别从点 A 、 C 同时出发，当其中一点 到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（ t ≥ 0 ） ． （ 1 ）直接用含 t 的代数式分别表示： QB ＝ _______ ， PD ＝ _______ ； （ 2 ）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？ 若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究 如何改变点 Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度．
考典 32
直角三角形的存在性问题
1 ．如图 1 ，已知抛物线 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c 与 x 轴交 于 A 、 B 两点（点 A 在 点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C (0 ，－ 3) ，对称轴是直线 x ＝ 1 ，直线 BC 与抛 物线的对称轴交于点 D ． （ 1 ）求抛物线的函数表达式； （ 2 ）求直线 BC 的函数表达式； （ 3 ）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 交抛物线于 P 、Q 两点，且点 P 在第三象限．当以 C 、 D 、 E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出 点 P 的坐标． 图1
考典 33
平行四边形的存在性问题
1 ．在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ＝－ x 2 ＋ 2 x ＋ c 过点 A（ - 1,0 ） ， 直线 l ： y
3 x 3 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 4
C ，与抛物线的对称轴交于点 M ；抛物线的顶点为 D ． （ 1 ）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标． （ 2 ）若 N 为直线 l 上 一动点，过点 N 作 x 轴 的 垂线与抛物线交于点 E . 问：是否存在这样的点 N ，使 得以点 D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出点 N 的横坐标；若不存在，请说明理由 ．
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第三部分
压轴题的满分攻略
压轴题多练一道就自信一分，因此要加强压轴题的规律性训练． 最后两道压轴题是选拔性的题目，要挑战满分或者冲刺名校的同学需 要在这两道题目上多加训练． 把最后两题先通读一遍，如果时间不够用的话，你一定要拿下的是哪 几个小题？ 最值得提醒你的是，不要急于在答题纸上写字，胸有成竹了，写好不 用 3 分钟． 压轴题的书写空间是很有限的，一道 4 — 5 分的分类讨论题，要演算 一个页面的，你需要写上去的，只是两三行． 写少了丢分，写多了空间不够．如何做好书写的层次性、简洁性、规 范性，怎样写最好？《挑战中考数学压轴题（附光盘） 》一书是最好的范例．
图1
2 ．如图 2 ， 点 A 在 x 轴上， OA ＝ 4 ，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 °至 OB 的位置． （ 1 ）求点 B 的坐标； （ 2 ）求经过 A 、 O 、 B 的抛物线的解析式； （ 3 ）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P ，使得以点 P 、 O 、 B 为 顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由．
图2
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3 3 3 ．如图 1 ，抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 8 4
B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C ． （ 1 ）求点 A 、 B 的坐标； （ 2） 若直线 l 过点 E (4, 0) ， M 为直线 l 上的动点， 当以 A 、 B 、 M 为顶点所作的直角三角形 有且只有 三 ．．．． 个时，求直线 l 的解析式． 图1
3 x 3的 4
图2
图像上，且四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标．
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3 ．将抛物线 c 1 ： y 3x2 3 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c 2 ，如图 3 所示． （ 1 ）请直接写出抛物线 c 2 的表达式； （ 2 ）现将抛物线 c 1 向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的 顶点为 M ，与 x 轴的交 点从左到右依次为 A 、 B ；将抛物线 c 2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N ，与 x 轴的交点从左到右 依次为 D 、 E ．在平移过程中，是否存在以点 A 、 N 、 E 、 M 为顶点的四边 形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由．
图2
4
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3． 如图 3 ， 在矩形 ABCD 中， AB ＝ 12cm， BC ＝ 8cm ． 点 E 、F 、G 分别从 A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按 逆时针方向运动．点 E 、 G 的速度均为每秒 2cm， 点 F 的速度为每秒 4cm ． 当点 F 追上点 G ( 即点 F 与点 G 重合 ) 时，三个点随之停止运动．设运动的时间为 t 秒钟．若 点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以 E 、 B 、 F 为顶点的三角形与以 F 、C 、G 为顶点的三角形相似？ 请说明理由． 图3
2 ．已知二次函数的图象经过 A（ 2 ， 0 ） 、 C (0 ， 12) 两点，且对称轴为 直线 x ＝ 4 ，设顶点为点 P ，与 x 轴的另一交点为点 B ． （ 1 ）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标； （ 2 ）如图 2 ，在直线 y ＝ 2 x 上是否存在点 D ，使四边形 OPBD 为等腰 梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
4 ．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 y ＝ k ( x 2 ＋ x － 1) 的图 像交于点 A (1, k ) 和点 B( － 1, － k ) ．设二次函数的图像的顶点为 Q ，当△ ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值．
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2 ．如图 2 ，在平面直角 坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标为 ( － 4 ， 0) ，点 B 的坐标为 (0 ，b )( b ＞ 0) ．P 是直线 AB 上的一个动点，作 PC ⊥ x 轴， 垂足为 C ．记点 P 关于 y 轴的对称点为 P ′ （点 P ′ 不在 y 轴上） ，联结 PP ′ 、 P ′ A 、P ′ C ．设点 P 的横 坐标为 a ．是否同时存在 a 、b ，使△ P ′ CA 为等腰直 角三角形？若存在，请求出所有满足要求的 a 、b 的值；若不存在，请说明 理由．
4 ．如图 4 ， AB ⊥ BC ， AD // BC ， AB ＝ 3 ， AD ＝ 2 ．点 P 在线段 AB 上， 联结 PD ，过点 D 作 PD 的垂线，与 BC 相交于点 C ．设线段 AP 的长为 x ． 当 △ APD ∽△ DPC 时，求线段 BC 的长．
图4
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2 ．如图 2 ，已知直线 y
1 x 1 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，将 2
△ AOB 绕点 O 顺时针旋转 90 °，使点 A 落在点 C ，点 B 落在点 D ，抛物 线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 过点 A 、 D 、 C ，其对称轴与直线 AB 交于点 P ． （ 1 ）求抛物线的表达式； （ 2） 点 M 在 x 轴上， 且 △ ABM 与△ APD 相似， 求点 M 的坐标．
图1
2 ．已知平面直角坐标系 xOy （如图 2 ） ，一次函数 y y 轴交于点 A ，点 M 在正比例函数 y
3 x wk.baidu.com 的图像与 4
3 x 的图像上，且 2
MO ＝ MA ．二次函数 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c 的图像经过 点 A 、M ． （ 1 ）求线段 AM 的长； （ 2 ）求这个二次函数的解析式； （ 3 ）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图像上， 点 D 在一次函数 y
图2
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3 ，点 D 在 AB 边上 5 （点 D 与点 A ，B 不重合） ， DE ∥ BC 交 AC 边于点 E ，点 F 在线段 EC 上，
3 ．如图 3 ，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 10 ， cos B
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考典 30
等腰三角形的存在性问题
1 ．如图 1 ，抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 经过 A ( － 1,0) 、B (3, 0) 、C (0 ,3) 三点， 直线 l 是抛物线的对称轴． （ 1 ）求抛物线的函数关系式； （ 2 ）在直线 l 上是否存 在点 M ，使△ MAC 为等腰三角形，若存在， 求所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
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考典 31
相似三角形的存在性问题
1 ．如图 1 ，平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (2 ， 3) ，线段 AB 垂直 于 y 轴，垂足为 B ，将线段 AB 绕点 A 逆时针方向旋转 90 °，点 B 落在点 C 处，直线 BC 与 x 轴的交于点 D ． （ 1 ）试求出点 D 的坐标； （ 2 ）试求经过 A 、 B 、 D 三点的抛物线的 表达式，并写出其顶点 E 的坐标； （ 3 ）在（ 2 ）中所求抛物线的对称轴上找 点 F ， 使得 以点 A 、 E 、 F 为 顶点 的三角 形与 △ ACD 相似． 图1
图1
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考典 34
梯形的存在性问题
1 ．如图 1 ，把两个全等的 Rt △ AOB 和 Rt △ COD 方别置于平面直角坐 标系中，使直角边 OB 、OD 在 x 轴上．已知点 A (1 ，2) ，过 A 、C 两点的直 线分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ．抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 经过 O 、 A 、 C 三点． （ 1 ）求该抛物线的函数解析式； （ 2 ）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物 线于点 M ，交 x 轴于 点 N ， 问是否存在这样的点 P ，使得四边形 ABPM 为等腰 梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由． 图1
1 AE ， 以 DE 、 EF 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 4 DEFG ，联结 BG ． （ 1 ）当 EF ＝ FC 时，求△ ADE 的面积； （ 2 ）如果△ DBG 是以 DB 为腰的等腰三角形， 求 AD 的值．
且 EF
图3
4 ．如图 4 ，已知正方形 OABC 的边长为 2 ，顶点 A 、 C 分别在 x 、 y 轴 的正半轴上，M 是 BC 的中点．P (0, m ) 是线段 OC 上 一动点（ C 点除外） ，直线 PM 交 AB 的延长线 于点 D． （ 1 ）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ； （ 2 ）当△ APD 是等腰三角形时，求 m 的值． 图4