数学红宝书3训练题
高数红宝书——第一章_函数与极限
同理：在连续，在左连续。 在分界点： 所以为第一类跳跃间断点。
【】
解：
【】 解：
【】 解：
【例12】 求 的反函数。（提示：设） 解
故
【例13】 设 解：令
技巧：利用函数表示法的无关特性。 【例14】 设 （x≠0,1） 求。
解：令
………………① 再令 ………………② 由原式和①、②联立即可得到
1.4 复合函数，一般形式为：，指自变量为函数的函数。
1.4 反函数，存在一一映射的情况下，二者互为反函数，关于反函数 具有下列重要性质：
★ 若为的反函数，则在某些场合，常把的反函数记为或，此时已重新 把视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记
号。
★ 改变记号后，互为反函数的两个函数和的曲线关于直线对称；没有 改变记号，互为反函数的两个函数和的曲线重合。
考试要求
1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极
第一篇 高等数学
第一章 函数与极限
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数 和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及 其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有 界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
考研数学三(解答题)专项练习试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）专项练习试卷10(题后含答案及解析)题型有：1.1．证明：D=正确答案：涉及知识点：线性代数2．设袋中有7红6白13个球，现从中随机取5个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这5个球为3红2白的概率(写出计算式即可)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计3．设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b．正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+f”(ξ)(x一c)2，(*)其中ξ=c+θ(x一c)，0f”(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+f”(ξ2)(1一c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)一f(0)=f，(c)+[f”(ξ2)(1一c)2一f”(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)一f(0)+[f”(ξ1)c2一f”(ξ2)(1一c)2]，两端取绝对值并放大即得其中利用了对任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c．于是(1一c)2+c2≤1．解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f’(c)｜≤2a+，自然联想到将f(x)在点x=c 处展开．知识模块：微积分4．设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx 的值．正确答案：令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2,两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=，即2∫x2xf(u)du=+xf(x)．令x=1，得2∫12f(u)du=]．故∫12f(x)dx=．涉及知识点：一元函数积分学5．计算不定积分正确答案：涉及知识点：微积分6．设y’＝arctan(x一1)2，y(0)＝0，求∫01y(x)dx．正确答案：∫01y(x)dx＝xy(x)｜01－∫01xarctan(x－1)2dx＝y(1)－∫01(x－1)arctan(x－1)2d(x－1)－∫01arctan(x－1)2dx＝∫01arctan(x－1)2d(x－1)2＝∫01arctantdt 涉及知识点：微积分7．设a1=2，证明：正确答案：(1)显然an＞0(n=1，2，…)，由初等不等式：对任意的非负数x，y必有x+y≥易知因此{an}单调递减且有下界，故极限存在．涉及知识点：无穷级数8．正确答案：涉及知识点：微积分一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)．已知X和Y的联合分布函数为9．问X与Y是否相互独立?正确答案：解一设X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则故当x≥0，y≥0时，有FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)．而当x＞0或y＜0时，有Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)，所以对任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，则X与Y独立．解二先求出(X，Y)的联合概率密度函数f(x，y)及边缘密度fX(x)，fY(y)．当x≥0，y≥0时，有于是有因而同理，可求得易验证对x≥0，y≥0，均有f(x，y)=fX(x)fY(y)．对x对任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互独立对任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．涉及知识点：概率论与数理统计10．求两个部件的寿命都超过100小时的概α．正确答案：解一α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1) (因X，Y 相互独立) =[1－P(X≤0．1)][1－P(Y≤0．1)]=[1－FX(0．1)][1－FY(0．1)] =e0.05·e0.05=e－0.1．解二因X，Y相互独立，故解三由上题的解一知，X，Y相互独立，且均服从参数为λ=0．5的指数分布．利用命题3．2．3．2(4)即得α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1) =e－λx．eλx=(e －0.5×0.1)2=e－0.5×2e－0.1．上述三种求法都用到了X，Y的独立性．下述两种算法可以不用．解四由得所求概率为解五利用下述结论求之．对任意(x1，y1)，(x2，y2)，x10．1，Y>0．1)=P(0．10，a>0，则P(X>a)=e －λa，P(X－λa．涉及知识点：概率论与数理统计。
高中数学红宝书：知识点梳理精讲贯通
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
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内容摘要
《高中数学红宝书：知识点梳理精讲贯通》是一本旨在帮助高中生全面理解和掌握数学知识的辅 导书籍。本书按照高中数学的教学大纲和考试要求，系统地梳理了高中数学的核心知识点，并通 过精讲贯通的方式，帮助学生建立起完整、系统的数学知识体系。 本书首先对数学的基础知识进行了详尽的梳理，包括代数、几何、三角函数、概率统计等各个方 面。每个知识点都按照定义、性质、公式、应用等层次进行展开，使学生能够清晰地掌握每个知 识点的内涵和外延。 在梳理知识点的基础上，本书通过大量的例题和练习题，对每个知识点进行了深入的讲解和训练。 例题的选择既注重典型性，又注重实用性，旨在帮助学生理解数学知识的实际应用。同时，练习 题的设计也充分考虑了学生的不同层次和需求，既有基础题，也有提高题，还有综合题，使学生 能够循序渐进地提高自己的数学水平。
这本书的开篇就清晰地列出了高中数学的主要知识点，从基础知识到高级概 念，内容全面且详实。每个知识点都配有详细的解释和实例，使读者能够迅速把 握其要点和难点。对于那些在数学学习中感到迷茫的学生来说，这本书无疑是一 个极佳的引导。
书中对于每个知识点的讲解都采用了精讲的方式，避免了冗长和繁琐的叙述， 直击要点，使读者能够在短时间内掌握大量的数学知识。同时，作者还通过实例 和练习题的方式，帮助读者巩固所学知识，提高解题能力。
数学红宝书2训练题
4 ．如图 4 ， EF 是平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的垂直平分线， EF 与边 AD 、 BC 分别交于点 E 、 F ． （ 1 ）求证：四边形 BFDE 是菱形； （ 2 ）若 E 为线段 AD 的中点，求证： AB ⊥ BD . 图4
5 ．已知：如图 5 ，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC ＝ 90 °， DE 是直角边 AB 的垂直平分线，∠ DBA ＝∠ ABC ，连接 AD ． 求证： (1) 四边形 ABCD 是梯形； （ 2 ） AD
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
这是华东师大出版社《红宝书·数学》配套的 40 张小卷子的 24---29，每张 30 分钟。
考典 26
几何画图、计算题
1 ．如图 1 ，在单位长度为 1 的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交 点 A、 B、 C． （ 1 ）请完成如下操作： ①以点 O 为原点，网格边长为单位长，建立平面直角坐标 系； ②根据图形提供的信息， 标出该圆弧所在圆 的圆心 D ，并连结 AD 、 CD ． （ 2 ）请在（ 1 ）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标： C _______ 、 D _______ ； ②⊙ D 的半径 = _______ ； （ 3 ）求∠ ACO 的正弦值． 图１
（ 1 ）在这个统计中，众数是
，中位数是
；
（ 2） 请 你 估 算 该 区 预 备 年 级 的 学 生 中 ， 每 学 年 参 加 社 会 实 践 活 动 时 间不少于 10 天的大约有 人； （ 3） 如果该年级的学生到初二学年时每人平均参加社会实践活动时间减少 到 6.4 天，求平均每学年学生减少参加社会实践活动时间的百分率．
3 ．如图 3 ，已知 △ ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别是 线段 AC 、 BC 、 AD 的中点，连 FE 、 ED ， BF 的延长 线交 ED 的延长线于点 G ，联结 GC ． 求证：四边形 CEFG 为梯形． 图3
考研数学三练习题
考研数学三练习题一、选择题1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 0B. 2C. 4D. 62. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)的值为：A. 1B. 2C. 4D. 8二、填空题3. 计算定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是______。
4. 若\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)收敛，则其和为______。
三、解答题5. 求函数\( g(x) = \ln(x) \)在区间[1, e]上的最大值和最小值。
6. 证明：若数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 0 \)，且对任意的正整数\( n \)，有\( a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n} \)，则数列\( \{a_n\} \)是单调递增的。
四、证明题7. 证明：若函数\( f(x) \)在区间[0, 1]上连续，且\( \int_{0}^{1} f(x) dx = 0 \)，则存在\( c \)属于[0, 1]，使得\( f(c) = 0 \)。
8. 证明：对于任意的正整数\( n \)，有\( 1^3 + 2^3 + \ldots +n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)。
五、应用题9. 某工厂生产一种产品，其成本函数为\( C(x) = 100 + 30x \)，销售价格为\( P(x) = 150 - 3x \)，其中\( x \)表示生产数量。
求该工厂生产多少产品时，可以获得最大利润，并计算最大利润。
10. 一个圆的半径为3，圆心位于原点。
求圆上任意一点到点A(4,0)的距离的最小值。
结束语以上练习题覆盖了考研数学三的多个知识点，包括函数、极限、积分、级数、微分、不等式等。
数学红宝书3训练题
第三部 压轴题的满 攻略压轴题多练一道就自信一 因 要加强压轴题的规律性训练最 两道压轴题是选拔性的题目 要挑战满 或者冲 校的 学需要在这两道题目 多加训练把最 两题 通读一遍 如果时间 够用的话 你一定要拿 的是哪几个小题最值得提醒你的是 要急于在答题纸 写 胸有成竹了 写好 用3 钟压轴题的书写空间是很有限的 一道4—5 的 类讨论题 要演算一个 面的 你需要写 去的 只是两 行写少了丢 写多了空间 够 如何做好书写的层次性、简洁性、规范性 怎样写最好 挑战中考数学压轴题 附 盘 一书是最好的范例考典30 等腰三角形的存在性问题1 如图1 抛物线y ax2 bx c 过A( 1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3) 点 直线l是抛物线的对 轴1 求抛物线的函数关系式2 在直线l 是否 在点M 使△MAC为等腰 角形 若 在 求所有符合条件的点M的坐标 若 在 请说明理由图12 如图2 点A在x轴 OA 4 将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置1 求点B的坐标2 求 过A、O、B的抛物线的解析式3 在 抛物线的对 轴 是否 在点P 使得以点P、O、B为 点的 角形是等腰 角形 若 在 求点P的坐标 若 在 请说明理由图23 如图3 在△ABC 中 AB AC 10 53cos =B 点D 在AB 边 点D 点A B 重合 DE ∥BC 交AC 边于点E 点F 在线段EC且AE EF 41= 以DE 、EF 为邻边作平行四边形DEFG 联结BG1 当EF FC 时 求△ADE 的面2 如果△DBG 是以DB 为腰的等腰 角形求AD 的值 图34 如图4 已知 方形OABC 的边长为2 点A 、C 别在x 、y 轴的 半轴 M 是BC 的中点 P (0,m )是线段OC一动点 C 点除外 直线PM 交AB 的延长线于点D1 求点D 的坐标 用含m 的代数式表示2 当△APD 是等腰 角形时 求m 的值图4考典31 相似三角形的存在性问题1 如图1 平面直角坐标系xOy 中 已知点A (2 3) 线段AB 垂直于y 轴 垂足为B 将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90° 点B 落在点C 处 直线BC x 轴的交于点D1 试求出点D 的坐标2 试求 过A 、B 、D 点的抛物线的表达式 并写出其 点E 的坐标3 在 2 中所求抛物线的对 轴 找点F 使得以点A 、E 、F 为 点的 角形△ACD 相似图12 如图2 已知直线112y x =+ x 轴交于点A y 轴交于点B 将△AOB 绕点O 顺时针旋转90° 使点A 落在点C 点B 落在点D 抛物线y ax 2 bx c 过点A 、D 、C 其对 轴 直线AB 交于点P1 求抛物线的表达式2 点M 在x 轴 且△ABM △APD 相似求点M 的坐标图23 如图3 在矩形ABCD中 AB 12cm BC 8cm 点E、F、G 别从A、B、C 点 时出发 沿矩形的边按逆时针方向运动 点E、G的速度均为 秒2cm 点F的速度为 秒4cm 当点F追 点G(即点F 点G重合)时 个点随之停 运动 设运动的时间为t秒钟 若点F在矩形的边BC 移动 当t为何值时 以E、B、F为 点的 角形 以F、C、G为 点的 角形相似请说明理由 图34 如图4 AB⊥BC AD//BC AB 3 AD 2 点P在线段AB 联结PD 过点D作PD的垂线 BC相交于点C 设线段AP的长为x当△APD∽△DPC时 求线段BC的长图4考典32 直角三角形的存在性问题1 如图1 已知抛物线y x2 bx c x轴交于A、B两点 点A在点B左侧 y轴交于点C(0 3) 对 轴是直线x 1 直线BC 抛物线的对 轴交于点D1 求抛物线的函数表达式2 求直线BC的函数表达式3 点E为y轴 一动点 CE的垂直平 线交交抛物线于P、Q两点 且点P在第 象限 当以C、D、E为 点的 角形是直角 角形时 请直接写出点P的坐标图12 如图2 在平面直角坐标系中 O是坐标原点 点A的坐标为( 4 0) 点B的坐标为(0 b)(b 0) P是直线AB 的一个动点 作PC⊥x轴 垂足为C 记点P关于y轴的对 点为P′ 点P′ 在y轴 联结PP′、P′A、P′C 设点P的横坐标为a 是否 时 在a、b 使△P′CA为等腰直角 角形 若 在 请求出所有满足要求的a、b的值 若 在 请说明理由图23 如图1 抛物线233384y x x =−−+ x 轴交于A 、B 两点 点A 在点B 的左侧 y 轴交于点C1 求点A 、B 的坐标2 若直线l 过点E (4, 0) M 为直线l 的动点当以A 、B 、M 为 点所作的直角 角形有且只有个时 求直线l 的解析式图14 在平面直角坐标系中 反比例函数 二次函数y k (x 2 x 1)的图 交于点A (1,k )和点B( 1, k ) 设二次函数的图 的 点为Q 当△ABQ 是以AB 为斜边的直角 角形时 求k 的值考典33 平行四边形的存在性问题1 在平面直角坐标系中 已知抛物线y x2 2x c 过点A -1,0 直线l 343+−=x y x 轴交于点B y 轴交于点C 抛物线的对 轴交于点M 抛物线的 点为D1 求抛物线的解析式及 点D 的坐标2 若N 为直线l 一动点 过点N 作x 轴的垂线 抛物线交于点E .问 是否 在这样的点N 使得以点D 、M 、N 、E 为 点的四边形为平行四边形若 在 求出点N 的横坐标 若 在 请说明理由 图12 已知平面直角坐标系xOy 如图2 一次函数334y x =+的图 y 轴交于点A 点M 在 比例函数32y x =的图 且MO MA 二次函数y x 2 bx c 的图 过点A 、M1 求线段AM 的长2 求这个二次函数的解析式3 如果点B 在y 轴 且位于点A 方 点C在 述二次函数的图 点D 在一次函数334y x =+的图 且四边形ABCD 是菱形 求点C 的坐标 图23 将抛物线c1 2y=x轴翻折 得到抛物线c2 如图3所示1 请直接写出抛物线c2的表达式2 现将抛物线c1向左平移m个单位长度 平移 得到新抛物线的 点为M x轴的交点从左到右依次为A、B 将抛物线c2向右也平移m个单位长度 平移 得到新抛物线的 点为N x轴的交点从左到右依次为D、E 在平移过程中 是否 在以点A、N、E、M为 点的四边形是矩形的情形 若 在 请求出 时m的值 若 在 请说明理由图34 如图1 在Rt△ABC中 ∠C 90° AC 6 BC 8 动点P从点A开始沿边AC向点C以 秒1个单位长度的速度运动 动点Q从点C 开始沿边CB向点B以 秒2个单位长度的速度运动 过点P作PD//BC 交AB于点D 联结PQ 点P、Q 别从点A、C 时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停 运动 设运动的时间为t秒 t≥01 直接用含t的代数式 别表示 QB _______ PD _______2 是否 在t的值 使四边形PDBQ为菱形若 在 求出t的值 若 在 说明理由 并探究如何改变点Q的速度 匀速运动 使四边形PDBQ在某一时 为菱形 求点Q的速度图1考典34 梯形的存在性问题1 如图1 把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中 使直角边OB、OD在x轴 已知点A(1 2) 过A、C两点的直线 别交x轴、y轴于点E、F 抛物线y ax2 bxc 过O、A、C 点1 求该抛物线的函数解析式2 点P为线段OC 的一个动点 过点P作y轴的平行线交抛物线于点M 交x轴于点N问是否 在这样的点P 使得四边形ABPM为等腰梯形 若 在 求出 时点P的坐标 若 在请说明理由 图12 已知二次函数的图象 过A 2 0 、C(0 12) 两点 且对 轴为直线x 4 设 点为点P x轴的另一交点为点B1 求二次函数的解析式及 点P的坐标2 如图2 在直线y 2x 是否 在点D 使四边形OPBD为等腰梯形 若 在 求出点D的坐标 若 在 请说明理由图23 已知平面直角坐标系xOy 中 如图3 抛物线y ax 2 (a 1)x 直线y kx 的一个公共点为A(4 8)1 求 抛物线和直线的解析式2 记 1 中抛物线的 点为M 点N 在 抛物线 若四边形AOMN 恰好是梯形 求点N 的坐标及梯形AOMN 的面图34 已知 矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图4所示 点A 的坐标为(4,0) 点C 的坐标为)20(− 直线x y 32−= 边BC 相交于点D (1)求点D 的坐标(2)抛物线c bx ax y ++=2 过点A 、D 、O 求 抛物线的表达式 (3)在这个抛物线 是否 在点M 使以O 、D 、A 、M 为 点的四边形是梯形 若 在 请求出所有符合条件的点M 的坐标 若 在 请说明理由图4考典35 相 的存在性问题1 如图1 已知 方形ABCD 中 AB 8 点O 为边AB 的一个动点 设BO x 以O 为圆心 OB 为半径作⊙O 以点A 为圆心 OA 为半径作⊙A 讨论⊙O ⊙A 的位置关系 并写出相应的x 的取值范围图12 如图2 在等腰 角形ABC 中 AB AC 10cm 4cos 5B =点G 是△ABC 的重心 动点E 从点A 出发沿着射线AG 以 秒1cm 的速度移动 动点F 从点C 出发沿着射线CA 以 秒2cm 的速度移动 点E 和点F 时出发 设它们运动的时间为t 秒1 求点A 到点G 的距离2 在移动的过程中 是否 在以点G 为圆心、GE 为半径的圆 以点C 为圆心、CF 为半径的圆外 若 在 求出t 的值 若 在请说明理由 图23 如图3 A( 5 0) B( 3 0) 点C在y轴的 半轴 ∠CBO 45° CD//AB ∠CDA 90° 点P从点Q(4,0)出发 沿x轴向左以秒1个单位长的速度运动 运动时间为t秒1 求点C的坐标2 以点P为圆心 PC为半径的⊙P随点P的运动而变化 当⊙P 四边形ABCD的边 或边所在的直线 相 时 求t的值 图34 已知 方形ABCD的边长为1 射线AE 射线BC交于点E 射线AF 射线CD交于点F ∠EAF 45°1 如图4 当点E在线段BC 时 试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数 关系 并证明你的猜想2 当点E在射线BC 运动时 含端点B 点F在射线CD 运动 试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系图4考典36 面积的存在性问题1 如图1 在平面直角坐标系中放置一直角 角板 其 点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0) 将 角板绕原点O逆时针旋转90° 得到 角形A′B′O1 一抛物线 过点A′、B′、B 求该抛物线的解析式2 设点P是第一象限内抛物线 的一个动点 是否 在点P 使四边形PB′A′B的面 是△A′B′O面 的4倍 若 在 请求出点P的坐标 若 在 请说明理由图12 如图2 在平面直角坐标系xOy中 直角梯形OABC的 点O为坐标原点 点A、C 别在x轴、y轴的 半轴 CB∥OA OC 4 BC3 OA 5 点D在边OC CD 3 过点D作DB的垂线DE 交x轴于点E1 求点E的坐标2 二次函数y x2 bx c的图 过点B和点E求二次函数的解析式和它的对 轴如果点M在它的对 轴 且位于x轴方 满足S△CEM 2S△ABM 求点M的坐标图23 如图3 已知 抛物线y x2 bx 3 x轴相交于A、B两点 y轴相交于点C 并且OA = OC1 求这条抛物线的解析式2 过点C作CE // x轴 交抛物线于点E 设抛物线的 点为点D 试判断△CDE的形状 并说明理由3 设点M在抛物线的对 轴l 且△MCD的面 等于△CDE的面 请写出点M的坐标 无需写出解题 骤图34 如图4 在△ABC中 ∠C 90° A C 3 BC 4 若点F在直角边AC 点F A、C 重合 点E在斜边AB 移动 设AE x 试问 是否 在直线EF将△ABC的周长和面 时平 若 在直线EF 求出x的值 若 在直线EF 请说明理由图4考典37 抛物线的平移问题1 如图1 已知直线112y x =−+交坐标轴于A 、B 两点 以线段AB 为边向 作 方形ABCD 过点A 、D 、C 的抛物线 直线另一个交点为E1 请直接写出点C 、D 的坐标2 求抛物线的解析式3 若 方形以 秒AB 滑 直至点D 落在x 轴 时停 抛物线也随着 方形一起平移 时停 求抛物线 C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面图12 如图2 已知一次函数12y x m =−+的图象 过点A( 2,3) 并 y 轴相交于点B 二次函数y ax 2 bx 2的图象 过点A 和点B1 别求这两个函数的解析式2 如果将二次函数的图象沿y 轴向 平移 平移 的图象 一次函数的图象相交于点P y 轴相交于点Q 当PQ // x 轴时 试问二次函数的图象平移了几个单位图23. 如图3 已知直线33y=−+ 别交x轴、y轴于A、B两点 线段4OA 有一动点P由原点O向点A运动 速度为 秒1个单位长度 设运动时间为t秒 过点P作x轴的垂线交直线AB于点C 以C为 点的抛物线y (x m)2 n 直线AB的另一个交点为D1 求CD的长2 设△COD的OC边 的高为h 当t为何值时 h的值最大图34 如图4 已知在直角坐标平面内 点A的坐标为 3 0 第一象限内的点P在直线y 2x ∠PAO = 45°1 求点P的坐标2 如果二次函数的图 过P、O、A 点 求这个二次函数的解析式 并写出它的图 的 点坐标M3 如果将第 2 小题的二次函数的图 向 或向 平移 使它的 点落在直线y 2x 的点Q处 求△APM △APQ的面 之比图4考典38 由比例线段产生的函数关系问题1 如图1 已知半圆O的半径OA 4 P是OA延长线 一点 过线段OP的中点B做垂线交⊙O于点C 射线PC交⊙O于点D 联结OD AD 时 设PA x CD y 求y x的函数关系式及自变 x 若点C在的取值范围图12 如图2 ⊙O的半径为6 线段AB ⊙O相交于点C、D AC 4 ∠BOD ∠A OB ⊙O相交于点E 设OA x CD y1 求BD长2 求y关于x的函数解析式 并写出定义域图23 如图3 在Rt △ABC 中 ∠C 90° AC 6 53sin =B 点O 是边AB 的动点 点N 是边BC 的动点 如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外 设NB y OA x 求y 关于x 的函数关系式及定义域图34 如图1 △ABC 中 ∠ABC 90° AB BC 4 点O 为AB 边的中点 点M 是BC 边 一动点 点B 、C 重合 AD ⊥AB 垂足为点A 联结MO 将△BOM 沿直线MO 翻折 点B 落在点B ′处 直线MB ′AC 、AD 别交于点F 、N 设BM x CMF y ANF =△的周长△的周长求y 关于x 的函数关系式 并写出自变 x 的取值范围图1考典39 由面积产生的函数关系问题1 如图1 抛物线213922y x x =−− x 轴交于A 、B 两点 y 轴交于点C 联结BC 、AC1 求AB 和OC 的长2 点E 从点A 出发 沿x 轴向点B 运动 点E 点A 、B 重合 过点E 作BC 的平行线交AC 于点D 设AE 的长为m △ADE 的面 为s 求s 关于m 的函数关系式 并写出自变 m 的取值范围图12 如图2 △ABC 中 AB BC 5 AC 6 过点A 作AD //BC 点P 、Q 别是射线AD 、线段BA 的动点 且AP BQ 过点P 作PE //AC 交线段AQ 于点O 联接PQ 设△POQ 面 为y AP x1 用x 的代数式表示PO2 求y x 的函数关系式 并写出定义域图23 如图3 已知 过原点的抛物线y 2x2 4x x轴的另一个交点为A 现将它向右平移m(m>0)个单位 所得抛物线 x轴交于C、D两点 原抛物线交于点P1 求点A的坐标 并判断△PCA 在时它的形状 要求说明2 在x轴 是否 在两条相等的线段 若 在 请一一找出 并写出它们的长度 可用含m的式子表示 若 在 请说明理由3 设△CDP的面 为S 求S关于m的关系式图34 如图4 在半径为2的扇形AOB中 ∠AOB 90° 点C是 AB 的一个动点 点A、B重合 OD⊥BC OE⊥AC 垂足 别为D、E1 当BC 1时 求线段OD的长2 在△DOE中是否 在长度保持 变的边如果 在 请指出并求其长度 如果 在 请说明理由3 设BD x △DOE的面 为y 求y关于x的函数关系式 并写出它的定义域图42122考典40 几何计算说理与说理计算问题1 如图1 在平面直角坐标系中 二次函数y ax2 6x c 的图 过点A (4, 0)、B ( 1,0) y 轴交于点C 点D 在线段OC OD t 点E 在第二象限 ∠ADE 90° 1tan 2DAE ∠= EF ⊥OD 垂足为F 1 求这个二次函数的解析式2 求线段EF 、OF 的长 用含t 的代数式表示3 当∠ECA ∠OAC 时 求t 的值图12 如图2 已知△ABC 中 ∠ACB 90° 点P 到∠ACB 两边的距离相等 且PA PB1 用尺规作出符合要求的点P 保留作图痕迹 需要写作法 然 判断△ABP 的形状 并说明理由2 设PA m PC n 试用m 、n 的代数式表示△ABC 的周长和面3 设CP AB 交于点D 试探索当边AC 、BC 的长度变化时 BCCD AC CD +的值是否发生变化 若 变 试求出这个 变的值 若变化 试说明理由 图2B233 在△ABC 中 ∠BAC 90° AB AC M 是BCMN ⊥BC 交AC 于点N 动点P 从点B 出发沿射线BA 以 秒厘米的速度运动 时动点Q 从点N 出发沿射线NC 运动 且始终保持MQ ⊥MP 设运动时间为t 秒 t 01 △PBM △QNM 相似吗 以图3为例说明理由2 若∠ABC 60° AB =求动点Q 的运动速度设△APQ 的面 为S (平方厘米) 求St 的函数关系式3 探求BP 2、PQ 2、CQ 2 者之间的数 关系 以图3为例说明理由图34 在Rt △ABC 中 AB BC 4 ∠B 90° 将一直角 角板的直角 点放在斜边AC 的中点M 处 将 角板绕点M 旋转 角板的两直角边 别 边AB 、BC 或其延长线 交于D 、E 两点(假设 角板的两直角边足够长) 如图4、图5表示 角板旋转过程中的两种情形1 直角 角板绕点M 旋转过程中 当BE 时 △MEC 是等腰 角形2 直角 角板绕点M 旋转到图1的情形时 求证 MD ME3 如图6 若将直角 角板的直角 点M 在斜边AC 移动 设AM∶MC m ∶n (m 、n 为 数) 试判断MD 、ME 的数 关系 并说明理由图4 图5 图6。
智轩考研数学红宝书2010精华习题完全解答---概率论与数理统计第1章 随机事件与概率
第一章 随机事件与概率精华习题一、填空题1．已知()()0.4, 0.5P A P C ==，A B Ì，, A C 独立，则()|P A C AB C -+=______。
2．设A ，B 满足11(),(),(|)(|)1,23P A P B P A B P A B ==+=且则()P A B +=_________。
3．4数n 567 1 2（（3（（C ）AD 与B D - （D ）A C +与BD [ ] 4．设A ，B ，C 为任意三个事件，则下列事件中一定独立的是（A ）()()()()A B A B A B A B ++++与AB （B ）A -B 与C（C ）AC 与C （D ）AB 与B+C [ ]5．设事件A ，B ，C 满足P(AB)=P(A) P(B)，0< P(B)，P(C)<1，则有（A ）P(AB|C)=P(A|C)P(B|C) (B)(|)(|)(|)P A B P A B P C C += （C ）(|)(|)(|)P A B P A B P C C += （D ）(|)(|)P A B P A B = [ ] 6．下列命题一定正确的是（A ）若P(A)=0，则A 为不可能事件（（（7（（8（9（（1． 2（13（1（24．设某人的眼镜第一次落地打破的概率为310，第二次落地打破的概率为410，第三次落地打破的概率为910，求眼镜次落地3次被打破的概率。
5．甲、乙两人轮流射击，先击中目标者为胜。
设甲、乙击中目标的概率分别为,a b 。
甲先射，求甲、乙分别为胜者的概率。
6．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为：0.8，0.1和0.1。
一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，由售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率a；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率b。
数学红宝书3训练题
压轴题多练一道就自信一分，因此要加强压轴题的规律性训练．最后两道压轴题是选拔性的题目，要挑战满分或者冲刺名校的同学需要在这两道题目上多加训练．把最后两题先通读一遍，如果时间不够用的话，你一定要拿下的是哪几个小题？最值得提醒你的是，不要急于在答题纸上写字，胸有成竹了，写好不用3分钟．压轴题的书写空间是很有限的，一道4—5分的分类讨论题，要演算一个页面的，你需要写上去的，只是两三行．写少了丢分，写多了空间不够．如何做好书写的层次性、简洁性、规范性，怎样写最好？《挑战中考数学压轴题（附光盘）》一书是最好的范例．考典30 等腰三角形的存在性问题1．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图12．如图2，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图23．如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，53cos =B ，点D 在AB 边上（点D 与点A ，B 不重合），DE ∥BC 交AC 边于点E ，点F 在线段EC 上，且AE EF 41=，以DE 、EF 为邻边作平行四边形DEFG ，联结BG ．（1）当EF ＝FC 时，求△ADE 的面积；（2）如果△DBG 是以DB 为腰的等腰三角形，求AD 的值． 图34．如图4，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．图4考典31 相似三角形的存在性问题1．如图1，平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D．（1）试求出点D的坐标；（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F，使得以点A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似．图12．如图2，已知直线112y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A、D、C，其对称轴与直线AB交于点P．（1）求抛物线的表达式；（2）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标．图23．如图3，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向运动．点E、G的速度均为每秒2cm，点F的速度为每秒4cm．当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止运动．设运动的时间为t秒钟．若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．图34．如图4，AB⊥BC，AD//BC，AB＝3，AD＝2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．图4考典32 直角三角形的存在性问题1．如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．图1 2．如图2，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b＞0)．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），联结PP′、P′A、P′C．设点P的横坐标为a．是否同时存在a、b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a、b的值；若不存在，请说明理由．图23．如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图14．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图像交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．设二次函数的图像的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．考典33 平行四边形的存在性问题1．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 过点A （-1,0），直线l ：343+-=x y 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ；抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标．（2）若N 为直线l 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E .问：是否存在这样的点N ，使得以点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由． 图12．已知平面直角坐标系xOy （如图2），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标． 图23．将抛物线c1：2=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图3y x33所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图34．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C 开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．图1考典34 梯形的存在性问题1．如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．图12．已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图2，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图23．已知平面直角坐标系xOy 中（如图3）， 抛物线y ＝ax 2－(a ＋1)x 与直线y ＝kx 的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积．图34．已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图4所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使以O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4考典35 相切的存在性问题1．如图1，已知正方形ABCD中，AB＝8，点O为边AB上的一个动点，设BO＝x，以O为圆心，OB为半径作⊙O，以点A为圆心，OA为半径作⊙A，讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的x的取值范围．图12．如图2，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10cm，4cos5B ，点G是△ABC的重心．动点E从点A出发沿着射线AG以每秒1cm的速度移动，动点F从点C出发沿着射线CA以每秒2cm的速度移动，点E和点F同时出发，设它们运动的时间为t秒．（1）求点A到点G的距离；（2）在移动的过程中，是否存在以点G为圆心、GE为半径的圆与以点C为圆心、CF为半径的圆外切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图23．如图3，A(－5，0)，B(－3，0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图34．已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°．（1）如图4，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想．（2）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动，试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系．图4考典36 面积的存在性问题1．如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图12．如图2，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图23．如图3，已知：抛物线y＝x2＋bx－3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA = OC．（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C作CE // x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）．图34．如图4，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，设AE＝x．试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图4考典37 抛物线的平移问题1．如图1，已知直线112y x=-+交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线另一个交点为E．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿直线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，抛物线也随着正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．图12．如图2，已知一次函数12y x m=-+的图象经过点A(－2,3)，并与y轴相交于点B，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象经过点A和点B．（1）分别求这两个函数的解析式；（2）如果将二次函数的图象沿y轴向上平移，平移后的图象与一次函数的图象相交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ // x轴时，试问二次函数的图象平移了几个单位？图23. 如图3，已知直线33y=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，线段4OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，以C为顶点的抛物线y＝(x＋m)2＋n与直线AB的另一个交点为D．（1）求CD的长；（2）设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？图34．如图4，已知在直角坐标平面内，点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y＝2x上，∠PAO = 45°．（1）求点P的坐标；（2）如果二次函数的图像经过P、O、A三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标M；（3）如果将第（2）小题的二次函数的图像向上或向下平移，使它的顶点落在直线y＝2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．图4考典38 由比例线段产生的函数关系问题1．如图1，已知半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B做垂线交⊙O于点C，射线PC交⊙O于点D，联结OD．若点C在AD上时，设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x 的取值范围．图12．如图2，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．（1）求BD长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图23．如图3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，点O 是边AB 上的动点，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图34．如图1，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝4，点O 为AB 边的中点，点M 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），AD ⊥AB ，垂足为点A ．联结MO ，将△BOM 沿直线MO 翻折，点B 落在点B ′处，直线MB ′与AC 、AD 分别交于点F 、N ．设BM ＝x ，CMF y ANF =△的周长△的周长，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．图1考典39 由面积产生的函数关系问题1．如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．图12．如图2，△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC ＝6，过点A 作AD //BC ，点P 、Q 分别是射线AD 、线段BA 上的动点，且AP ＝BQ ，过点P 作PE //AC 交线段AQ 于点O ，联接PQ ，设△POQ 面积为y ，AP ＝x ．（1）用x 的代数式表示PO ；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出定义域．图23．如图3，已知经过原点的抛物线y＝－2x2＋4x与x轴的另一个交点为A，现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说明）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．图34．如图4，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．图4考典40 几何计算说理与说理计算问题1．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋6x ＋c 的图像经过点A (4, 0)、B (－1,0)，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD ＝t ，点E 在第二象限，∠ADE ＝90°，1tan 2DAE ∠=，EF ⊥OD ，垂足为F ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当∠ECA ＝∠OAC 时，求t 的值．图12．如图2，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 到∠ACB 两边的距离相等，且PA ＝PB ．（1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；（2）设PA ＝m ，PC ＝n ，试用m 、n 的代数式表示△ABC 的周长和面积；（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BC CD AC CD +的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由． 图2 CBA3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同时动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图3为例说明理由；（2）若∠ABC＝60°，43AB 厘米．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S(平方厘米)，求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图3为例说明理由．图34．在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，∠B＝90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点M处，将三角板绕点M旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点(假设三角板的两直角边足够长)，如图4、图5表示三角板旋转过程中的两种情形．（1）直角三角板绕点M旋转过程中，当BE＝时，△MEC是等腰三角形；（2）直角三角板绕点M旋转到图1的情形时，求证：MD＝ME；（3）如图6，若将直角三角板的直角顶点M在斜边AC上移动，设AM∶MC＝m∶n(m、n为正数)，试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．图4 图5 图6。
智轩考研数学红宝书2010精华习题完全解答---概数第3章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布精华习题一、填空题1． 设123123~(0, 2), ~(1, 3), ~(0, 6), , , X N X N X N X X X 且相互独立，则 123(2328)P X X X £++£=_________。
2．3． 则4． 5． 67． 8． 则9． 10 1, 2X X ï>ïî12．设, X Y 相互独立，且都服从()0, 1U ，则U XY =，V X Y =-的概率密度()()U V f u f v =_______。
二、选择题1．设X ，Y 均服从分布101212555X p -æöç÷ç÷ç÷èø，已知{}01P X Y +==，则{}P X Y ==[ ] ()()()()43215555A B C D345．0=中t670, 0.Y y <î （A ）11e -- （B ）21e -- （C ）1112e -- （D ）212e -- [ ]8. 设X 与Y 相互独立，11~(), ~1344X P Y l -æöç÷ç÷èø，Z XY =，则{}{}22P Z P Z =-=-=()()()()2211112244A eB eC eD e l l l l l l l l ---- 三、解答题12 3 4．率P 561Z7 8．设()()24, 0, ~, , , , 0, x e y x XX Y f x y U X V X Y W Y other-ì<<==-=+=íî，求概率密度()()()(), , , , U V W F u F v F w F u w 。
考研数学三(填空题)专项练习试卷7(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷7(题后含答案及解析)题型有：1.1．若在区间(0，1)上随机地取两个数μ，ν，则关于x的一元二次方程x2一2νx+μ=0有实根的概率是________．正确答案：解析：设事件A表示“方程x2—2νx+μ=0有实根”，因μ，ν是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(μ，ν)与正方形区域D内的点一一对应，其中D={(μ，ν)｜0＜μ＜1，0＜ν＜1}．事件A={(μ，ν)｜(2ν)2一4μ≥0，(μ，ν)∈D}，有利于事件A的样本点区域为图1．2中阴影部分D1，其中D1={(μ，ν)｜ν2≥μ，0＜μ，ν＜1}．依几何型概率公式，有P(A)=．知识模块：概率论与数理统计2．=________．正确答案：一2．解析：知识模块：函数、极限、连续3．设f(x)＝可导，则a＝______，b＝______．正确答案：3，－2解析：f(1－0)＝f(1)＝a＋b，f(1＋0)＝1，因为f(x)在x＝1处连续，所以a ＋b＝1．，且f(x)在x＝1处可导，所以a＝3．故a＝3，b＝－2．知识模块：微积分4．=_____正确答案：解析：x-lnx.sinx=x-lnx.sinx→+∞，于是知识模块：函数、极限、连续5．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：线性代数6．设生产函数为Q=ALαKβ，其巾Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A、α、β均为大于零的参数，则Q=1时K关于L的弹性为________.正确答案：-α/β涉及知识点：一元函数积分学7．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学8．将f(χ)＝展开为χ的幂级数_______．正确答案：f(χ)＝(－1)n-1n(χ＋1)n-1 －2＜χ＜0 涉及知识点：微积分9．∫0+∞x7e-x2dx=__________．正确答案：3解析：∫t33e-tdt=e-t(at3+bt2+dt+e)+C，两边求导得t3e-t=e-t[一at3+(3a—b)t2+(2b—d)t+d—e]，比较两边t的同次幂项的系数得a=一1，b=一3，d=一6，e=一6．于是知识模块：微积分10．已知方程组无解，则a＝_______．正确答案：－1 涉及知识点：线性代数11．设f(x)=则∫-20f(x+1)dx=______．正确答案：解析：作定积分换元x+1=t，有原积分=∫-11f(t)dt=∫-10(t+1)dt+∫01t2dt= 知识模块：微积分12．= ________ ．正确答案：2(e2+1)解析：知识模块：微积分13．设η为非零向量，A=，为方程组AX=0的解，则a=________，方程组的通解为________．正确答案：3，k(一3，1，2)T解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是A=方程组AX=0的通解为k(一3，1，2)T．知识模块：线性代数14．已知n阶矩阵则r（A2一A）=________。
考研数学三(选择题)专项练习试卷49(题后含答案及解析)
考研数学三（选择题）专项练习试卷49(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)=sin(cos x)，φ(x)=cos(sin x)，则在区间内( )A．f(x)是增函数，φ(x)是减函数B．f(x)，φ(x)都是减函数C．f(x)是减函数，φ(x)是增函数D．f(x)，φ(x)都是增函数正确答案：B解析：注意在(0，)内，sin x是增函数，cos x是减函数．任取x1，x2∈(0，)，且x1＜x2，有cos x1＞cos x2，所以sin(cos x1)＞sin(cos x2)，即f(x)是减函数；由于sin x1＜sin x2，所以cos(sin x1)＞cos(sin x2)，φ(x)是减函数．知识模块：微积分2．f(x)=|xsinx|ecosx(x∈R)是( )A．有界函数．B．单调函数．C．周期函数．D．偶函数．正确答案：D解析：因f(一x)=|(一x)sin(一x)|ecos(-x)=|xsinx|ecosx=f(x)，故f(x)为偶函数，应选D．知识模块：函数、极限、连续3．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解．其中正确的是( ) A．①④B．①②C．②③D．③④正确答案：B解析：当Anx=0时，易知An+1x=A(Anx)=0，故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误．当An+1x=0时，假设Anx≠0，则有x，Ax，…，．Anx均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，…，Anx是线性无关的．由于x，Ax，…，Anx均为n维向量，而n+1个n维向量都是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必有Anx=0．可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，故②正确，④错误．故选(B)．知识模块：线性代数4．设函数F(x)=则F(x)( )A．不是任何随机变量的分布函数B．是某连续型随机变量的分布函数C．是某随机变量的分布函数D．无法确定正确答案：C解析：由函数F(x)的表达式可知，F(x)是单调非减的；F(x)是有界的；F(x)是右连续的(主要在x=0和x=2这两点处)，即F(x)满足分布函数的三条基本性质，所以F(x)一定是某个随机变量的分布函数。
考研数学三(选择题)专项练习试卷5(题后含答案及解析)
考研数学三（选择题）专项练习试卷5(题后含答案及解析)题型有：1.1．设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是( ) A．若｜A｜＞0，则｜B｜＞0B．如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=EC．如果A≌E，则｜B｜≠0D．存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B正确答案：A解析：两矩阵等价的充要条件是秩相同．当A可逆时，有r(A)=n，因此有r(B)=n，也即B是可逆的，故B－1B=E，可见(B)中命题成立．A≌E的充要条件也是r(A)=n，此时也有r(B)=n，故｜B｜≠0，可见(C)中命题也是成立的．矩阵A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的．故唯一可能不成立的是(A)中的命题．事实上，当｜A｜＞0时，我们也只能得到r(B)=n，也即｜B｜≠0，不一定有｜B｜＞0．故选(A)．知识模块：线性代数2．设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=O是其第一类间断点，则是A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在x=0间断的奇函数．D．在x=0间断的偶函数．正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学3．已知n维向量的向量组α1，α2，…，αs线性无关，则向量组αˊ1，αˊ2，…，αˊs可能线性相关的是( )A．αˊi(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量加到第2个分量得到的向量B．αˊi(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C．αˊi(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量改为0的向量D．αˊi(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第n个分量后再增添一个分量的向量正确答案：C解析：将一个分量均变为0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关．(A)，(B)属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D)增加向量分量也不改变线性无关性．知识模块：线性代数4．已知α1=[－1，1，a，4]T，α2=[－2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T 是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为( ) A．a≠5B．a≠－4C．a≠－3D．a≠－3且a≠－4正确答案：A解析：α1，α2，α3是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由知a ≠5．故应选(A)．知识模块：线性代数5．设随机变量X～N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，则对任意常数a，有( )．A．F(a＋μ)＋F(a－μ)＝1B．F(μ＋a)＋F(μ－a)＝1C．F(a)＋F(－a)＝1D．F(a－μ)＋F(μ－a)＝1正确答案：B解析：因为X～N(μ，σ2)，所以F(a＋μ)＋F(μ－a)＝＝1，选(B)．知识模块：概率论与数理统计6．向量组α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，-1，-3，4)T，α3=(6，4，4，6)T，α4=(7，7，9，1)T，α5=(3，2，2，3)T的极大线性无关组是( ) A．α1，α2，α5B．α1，α3，α5C．α2，α3，α4D．α3，α4，α5正确答案：C解析：对向量组的列向量作初等行变换，有可见秩r(α1，α2，α3，α4，α5)=3又因为三阶子式所以α2，α3，α4是极大线性无关组，所以应选C．知识模块：向量设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：7．f(x)在x=0处三阶可导，且则下列说法正确的是A．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点B．f(0)是f(x)的极小值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(0)是f(x)的极大值正确答案：C解析：由条件及f’(x)在x=0连续即知用洛必达法则得型未定式的极限因若f”(0)≠0，则J=∞，与J=1矛盾，故必有f”(0)=0．再由f’”(0)的定义知因此，(0，f(0))是拐点．选C．知识模块：一元函数微分学8．f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且则下列说法正确的是A．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点B．f(0)是f(x)的极小值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(0)是f(x)的极大值正确答案：B解析：已知f’(O)=0，现考察f”(0)．由方程得利用当x→0时的等价无穷小关系并求极限即得又f”(x)在x=0连续，故f”(0)=3＞0．因此f(0)是f(x)的极小值．应选B．知识模块：一元函数微分学9．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m ×n矩阵，下列选项正确的是A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs。
考研数学三(解答题)专项练习试卷36(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）专项练习试卷36(题后含答案及解析)题型有：1.1．求数列极限：正确答案：(Ⅰ)存在自然数k，k≥M，使(Ⅱ)由于{xn}有界，故，由题(Ⅰ)的结论及夹逼定理知涉及知识点：函数、极限、连续2．求正确答案：涉及知识点：一元函数微分学3．设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时|f(x)|≤M0，|f’”(x)|≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f”(x)在(0，+∞)上有界．正确答案：分别讨论x＞1与0两式相加并移项即得f”(x)=f(x+1)+f(x一1)一2f(x)+[f’”(η)一f’”(ξ)]，故当x＞1时有|f”(x)|≤4M0+M3．2)当0＜x≤1时对f”(x)用拉格朗日中值定理，有f”(x)=f”(x)一f”(1)+f”(1)=f’”(ξ)(x一1)+f”(1)，其中ξ∈(x，1)．从而|f”(x)|≤|f’”(ξ)||x一1|+|f”(1)|≤M3+|f”(1)| (x∈(0，1])．综合即知f”(x)在(0，+∞)上有界．涉及知识点：一元函数微分学4．设事件A，B独立．证明：事件A，都是独立的事件组．正确答案：由A，B独立，得P(AB)＝P(A)P(B)，由P(A)＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P()，得A，独立，同理可证，B独立；由P＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＋P(AB)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝P独立．涉及知识点：概率论与数理统计5．设a0，a1，an－1是n个实数，方阵(1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn－1]T是A的对应于特征值λ的特征向量；(2)若A有n 个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使Pλ1AP=A．正确答案：(1)λ是A的特征值，则λ应满足｜λE－A｜=0，即｜λE－A｜==0．将第2列乘λ，第3列乘λ2，…，第n列乘λn－1加到第1列，再按第1列展开，得即λn+aiλi=0，即λ应满足关系λn=aiλi．得证ξ=[1，λ，λ2，…，λn－1]T是A的对应于λ的特征向量．(2)因λ1，λ2，…，λn互异，故特征向量ξ1，ξ2，…，ξn线性无关，取可逆阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，得P－1AP=其中ξi=[1，λi，λi2，…，λin－1]T，i=1，…，n．涉及知识点：线性代数6．有甲、乙两个口袋，两袋中都有3个白球2个黑球，现从甲袋中任取一球放人乙袋，再从乙袋中任取4个球，设4个球中的黑球数用X表示，求X的分布律．正确答案：设A=(从甲袋中取出黑球)，X的可能取值为0，1，2，3，令{X=i}=Bi(i=0，1，2，3)，则P(X=0)=P(B0)－P(A)P(B0｜A)+P(X=1)=P(B1)－P(A)P(B1｜A)+P(X=2)=P(B2)－P(A)P(B2｜A)+P(X=3)=P(B3)－P(A)P(B3｜A)+所以X的分布律为涉及知识点：随机变量及其分布7．求解y”=e2y+ey，且y(0)=0，y’(0)=2．正确答案：令y’=p(y)，则，代入方程，有p2=e2y+2ey+C，即y’2=e2y+2ey+C．又y(0)=0，y’(0)=2，有C=1，所以y’2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，因此y’=ey+1(y’(0)=2＞0)，即有y-ln(ey+1)=x+C1．代入y(0)=0，得C1=一ln 2，所以，该初值问题的解为y-ln(1+ey)=x—ln 2．涉及知识点：微积分设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为其中0＜0＜1．分别以υ1，υ1表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求8．未知参数θ的最大似然估计量；正确答案：求参数θ的最大似然估计量，样本X1，X2，…，Xn中1，2和3出现的次数分别为υ1，υ2和n一υ1一υ2，则似然函数和似然方程为L(θ)=θ2υ1[2θ(1一θ)]υ2(1一θ)2(n-υ1-υ2)=2υ2θ2υ1+υ2(1一θ)2n-υ1-υ2，ln L(θ)=ln 2υ2+(2υ1+υ2)lnθ+(2n—2υ1一υ2)ln(1一θ)，似然方程的唯一解就是参数θ的最大似然估计量涉及知识点：概率论与数理统计9．未知参数θ的矩估计量；正确答案：求参数θ的矩估计量，总体X的数学期望为EX=θ2+4θ(1—θ)+3(1一θ)2．在上式中用样本均值估计数学期望EX，可得θ的矩估计量涉及知识点：概率论与数理统计10．当样本值为1，1，2，1，3，2时的最大似然估计值和矩估计值．正确答案：对于样本值1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值涉及知识点：概率论与数理统计。
考研数学三(解答题)专项练习试卷20(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）专项练习试卷20(题后含答案及解析)题型有：1.1．设总成本关于产量x的函数为C(x)=400+3x+x2，需求量x关于价格P 的函数为P=．求边际成本，边际收益，边际利润以及收益对价格的弹性．正确答案：由边际成本的定义知，边际成本MC=C’(x)=3+x．又因总收益函数R=Px=．从而边际利润ML=MR—MC=一x一3．由于函数P=，由此可得收益对价格的弹性涉及知识点：微积分2．设函数f（x）在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f（0）f’（0）≠0，当h→0时，若af（h）+bf（2h）一f（0）=o（h），试求a，b的值。
正确答案：由题设条件知[af（h）+bf（2h）—f（0）]=（a+b—1）f（0）。
由于f（0）≠0，故必有a+b—1=0。
又由洛必达法则因f’（0）≠0，则有a+2b=0。
综上，得a=2，b=—1。
涉及知识点：微积分3．，αTβ=aibi≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．正确答案：令αTβ=k，则A2=kA，设AX=λX，则A2X=λ2X=kλX，即λ(λ一k)X=0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k，由λ1+…+λn=tr(A)且tr(A)=k得λ1=…=λn一1=0，λn=k，因为r(A)=1，所以方程组(0E 一A)X=0的基础解系含有n一1个线性无关的解向量，即λ=0有n一1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．涉及知识点：线性代数4．设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．正确答案：涉及知识点：微积分5．已知矩阵B＝相似于对角矩阵．(1)求常数a的值；(2)用正交变换化二次型f(X)＝XTBX为标准形，其中X(χ1，χ2，χ3)T为3维向量．正确答案：(1)B的特征值为6，6，－2，由B可相似对角化，有1＝r(6E－A)＝，则a＝0．(2)f的矩阵为A＝，所求正交矩阵可取为P＝，它使PTAP＝，故f在正交变换X＝PY下化成的标准形为f＝6y12＋7y22－3y32．涉及知识点：线性代数6．设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z=f(2x—y)+g(x，xy)，求正确答案：涉及知识点：微积分7．求幂级数的和函数．正确答案：涉及知识点：微积分8．求幂级数的收敛域．正确答案：由=3得收敛半径为发散，所以级数的收敛域为涉及知识点：无穷级数已知是矩阵的一个特征向量．9．试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值；正确答案：设ξ是属于特征值λ0的特征向量，由定义得到解之得λ0=－1，a=－3，b=0．涉及知识点：线性代数10．问A能否相似于对角矩阵?并说明理由．正确答案：因为故A的特征值为λ1=λ2=λ3=－1．因所以秩(E－A)=2，从而A的属于三重特征根λ=－1的线性无关的特征向量只有n－秩(－E－A)=3－2=1个，由命题2．5．3．2(3)知，A不能相似对角化．注：命题2．5．3．2 (3)n阶矩阵A可相似对角化的另一充要条件是A的ni重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数ni，即n－秩(λiE－A)=ni，亦即秩(riE－A)=n－ni，其中ni为特征值λi的重数，从而将A是否可相似对角化的问题转化为特征矩阵riE－A的秩的计算问题．涉及知识点：线性代数。
考研数学三(选择题)专项练习试卷25(题后含答案及解析)
考研数学三（选择题）专项练习试卷25(题后含答案及解析)题型有：1.1．若an收敛，则级数A．丨an丨收敛B．（-1）nan收敛C．anan+1收敛D．(an+an+1)/2收敛正确答案：D 涉及知识点：无穷级数2．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且秩=秩(A)，则线性方程组A．AX=α必有无穷多解B．AX=α必有惟一解C．仅有零解D．必有非零解正确答案：D解析：方程组=0是λ+1元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩=An ×m的秩≤n＜n+1，故该λ+1元齐次线性方程组必有非零解。
于是知(D)正确。
知识模块：线性代数3．设f(x)是不恒为零的奇函数，且f′(0)存在，则A．在x=0处无极限B．x=0为其可去间断点C．x=0为其跳跃间断点D．x=0为其第二类间断点正确答案：B解析：因为f′(0)存在，所以f(x)在x=0处连续，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然x=0为g(x)的间断点，因为所以x=0为g(x)的可去间断点，选(B)．知识模块：函数、极限、连续4．使不等式成立的x的范围是( )A．(0，1)B．C．D．(π，+∞)正确答案：A解析：令，则原问题可转化为求函数f(x)＞0成立时x的取值范围。
即由，得0＜x＜1，即当x∈(0，1)时，f(x)＞0。
故选A。
知识模块：一元函数积分学5．设随机变量x的密度函数为f(x)=，则概率P{λ＜X＜λ+a}(a＞0)的值( )A．与a无关随λ的增大而增大．B．与a无关随λ的增大而减小．C．与λ无关随a的增大而增大．D．与λ无关随a的增大而减小．正确答案：C解析：概率P{λ＜X＜λ+a}(a＞0)，显然与a有关，固定λ随a的增大而增大，因而选C．事实上，由于1=∫-∞+∞f(x)dx=A∫λ+∞e-xdx=Ae-λ;A=eλ，概率P{λ＜X＜λ+a}=A∫Aλ+ae-xdx=eλ(eλ一e-λ-a)=1一e-a，与λ无关随a的增大而增大，故选项C正确．知识模块：概率论与数理统计6．设某商品的需求函数为Q=160—2P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）A．100B．200C．300D．400正确答案：D解析：商品需求弹性的绝对值等于=1，因此得P=40，故选D。
考研数学三(填空题)专项练习试卷20(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷20(题后含答案及解析)题型有：1.1．已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数an(x-3)n 的收敛域为______.正确答案：(1,5] 涉及知识点：无穷级数2．函数f(x)=的连续区间是______．正确答案：(-∞，1)∪(1，+∞)．解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(-∞，1)∪(1，+∞)．知识模块：函数、极限、连续3．设y=aretanx，则y(4)(0)=__________．正确答案：0解析：因y=arctanx是奇函数，且y具有任何阶连续导数，从而y’，y’’是偶函数，y’’，y(4)是奇函数，故y(4)(0)=0．知识模块：微积分4．若向量组α1=(1，1，λ)T，α2=(1，λ，1)T，α3=(λ，1，1)T线性相关，则λ=_______．正确答案：1或－2．解析：由行列式|α1 α2 α3|=－(λ－1)2(λ+2)=0，λ=1或λ=－2．知识模块：线性代数5．连续函数f(x)满足f(x)＝3∫0xf(x－t)dt＋2，则f(x)＝______．正确答案：2e3x解析：由∫0xf(x－t)dt∫x0f(u)(－du)＝∫0xf(u)du得f(x)＝3∫0xf(u)du＋2，两边对x求导得f’(x)－3f(x)＝0，解得f(x)＝＝Ce3x，取x＝0得f(0)＝2，则C ＝2，故f(x)＝2e3x．知识模块：微积分6．=__________．正确答案：解析：知识模块：微积分7．设y=y(x)二阶可导，且=(4—y)yβ(β＞0)，若y=y(x)的一个拐点是(x0，3)，则β=__________．正确答案：3．解析：由于y(x)二阶可导，(x，3)是拐点，则y(x0)=3，y”(x0)=0．得[4一y(x0)]β—y(x0)=0，即β=3．知识模块：微积分8．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则=_______(结果用标准正态分布函数φ(x)表示)．正确答案：解析：由于Xn相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，DXn=，根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有知识模块：概率论与数理统计9．∫0+∞x7dx=___________．正确答案：3解析：令x2=t，则知识模块：微积分10．A是3阶矩阵，它的特征值互不相等，并且｜A｜=0，则r(A)=________．正确答案：2解析：A的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是A的特征值，为3个互不相等数．其中有一个为0(因为｜A=0)，则r(A)=2．知识模块：线性代数11．广义积分正确答案：解析：利用凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式求解。
考研数三专项训练
考研数三专项训练考研数学三（简称数三）是针对经济管理类考生的数学科目，其内容主要包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计。
为了帮助考生更好地准备考研数学三的专项训练，以下是一些建议和训练方法：一、熟悉考试大纲首先，考生需要熟悉考研数学三的考试大纲，了解考试范围和重点，这有助于考生有针对性地复习。
大纲中通常会列出考试的主要内容和分值比例，考生可以根据这些信息来安排自己的复习计划。
二、基础知识复习数三的基础知识包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计的基本概念、定理和公式。
考生需要对这些基础知识有扎实的掌握，这是解决复杂问题的基础。
可以通过以下方式来复习基础知识：- 阅读教材，理解概念和定理的内涵。
- 做课后习题，加深对知识点的理解和应用。
- 总结公式和定理，形成自己的知识体系。
三、专项训练专项训练是指针对数三中的特定题型或知识点进行集中训练。
以下是一些专项训练的建议：1. 高等数学专项训练：- 函数、极限、连续性、导数、微分、积分等基本概念和运算。
- 解决实际问题的能力，如物理、经济等领域的应用题。
2. 线性代数专项训练：- 矩阵运算、行列式、线性方程组、向量空间、特征值和特征向量等。
- 解决线性代数中的证明题和计算题。
3. 概率论与数理统计专项训练：- 随机事件的概率、条件概率、独立性、随机变量及其分布、大数定律、中心极限定理等。
- 解决概率论与数理统计中的证明题和计算题。
四、解题技巧训练解题技巧是提高解题效率和正确率的关键。
考生可以通过以下方式来训练解题技巧：- 学习并掌握常见的解题方法和思路。
- 分析历年真题，总结考试中的常见题型和解题策略。
- 通过模拟考试来检验自己的解题技巧。
五、模拟考试模拟考试可以帮助考生适应考试环境，检验自己的复习效果。
考生应该：- 定期进行模拟考试，模拟真实考试的时间和环境。
- 分析模拟考试中的错误，找出自己的薄弱环节。
- 根据模拟考试的结果调整复习计划。
六、心态调整考研过程中，保持良好的心态是非常重要的。
考研数学三(解答题)专项练习试卷7(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）专项练习试卷7(题后含答案及解析)题型有：1.1．证明：当x＞1时，正确答案：对x≥1引入函数则f(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时从而f(x)在[1，+∞)单调增加，又f(1)=0，所以当x＞1时f(x)＞f(1)=0，即令则g(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时故g(x)在区间[1，+∞)上单调减少，又g(1)=0，所以当x＞1时g(x)＜g(1)=0，即当x＞1时成立．涉及知识点：一元函数微分学2．设B是可逆阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=O．证明：A和A+B 都是可逆阵，并求A－1和(A+B)－1．正确答案：由题设：A2+AB+B2=O，得A(A+B)=－B2．①①式右乘(－B2)－1，得A(A+B)(－B2)－1=E，得A可逆，且A－1=(A+B)(－B2)－1．①式左乘(－B2)－1，得(－B2)－1A(A+B)=E，得A+B可逆，且(A+B)－1=(－B2)－1A．涉及知识点：线性代数3．一半径为3 m的球形水箱内有一半容量的水，现要将水抽到水箱顶端上方7m高处，问需要作多少功?正确答案：如图24所示，以球心为原点，建立坐标系，球的大圆为x2＋y2＝32＝9，即涉及知识点：综合4．设随机变量X，Y相互独立，且X～N(0，)，Y～N(0，)，Z＝｜X－Y｜，求E(Z)，D(Z)．正确答案：令U＝X－Y，因为X，Y相互独立，且X～NE(Z2)＝E(U2)＝D(U)＋[E(U)]2＝D(Z)＝E(Z2)－[E(Z)]2＝1－涉及知识点：概率论与数理统计5．设y=y（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求正确答案：分别在z= xf（x+y）和F（x，y，z）=0的两端对x求导，得涉及知识点：微积分6．求定积分的值正确答案：涉及知识点：微积分7．设an=∫0nπx｜sinx｜dx，n=1，2，…，试求的值．正确答案：令x=nπ－t，则an=－∫nπ0(nπ－t)｜sint｜dt=nπ∫0nπ｜sinx｜dx－∫0nπ｜sinx｜dx，所以an=∫0nπ｜sinx｜dx=∫0πsinxdx=n2π，n=1，2，…．记S(x)=∑，n2xn，－1＜x＜1，因为，－1＜x＜1，逐项求导，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．再次逐项求导，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．从而涉及知识点：无穷级数8．一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为Y－y＝y’(X－x)，令X＝0，则Y＝y－xy’，切线与y轴的交点为(0，y－xy’)，由题意得x2＋x2y’2＝4，解得y’＝，变量分离得dy＝dx，积分得因为曲线经过点(2，0)，所以C＝0，故曲线为y ＝±．涉及知识点：微积分假设随机变量X与Y同分布，X的概率密度为9．已知事件A={X＞a}和B={Y＞a}独立，且P(A+B)=3／4，求常数a；正确答案：因X与Y同分布，故其概率密度相同，因而与概率密度有关的量也应相等，于是P(A)=P(X＞a)=P(y＞a)=P(B)．又A和B独立，故P(AB)=P(A)P(B)，于是P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=2P(A)-P(A)2=3／4，①解之得P(A)=1／2(或P(A)=3／2＞1，舍去)，则因f(x)为分段函数，需确定a的取值范围，从而确定被积函数f(x)．结论是a∈(0，2)，这是因为若a≤0，则则由式①得到P(A+B)=1．这与P(A+B)=3／4矛盾．若a＞2，则这也与P(A+B)=3／4矛盾．综上所述，得到a∈(0，2)．于是由式②得到涉及知识点：概率论与数理统计10．求1／X2的数学期望．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计。
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4 ．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 y ＝ k ( x 2 ＋ x － 1) 的图 像交于点 A (1, k ) 和点 B( － 1, － k ) ．设二次函数的图像的顶点为 Q ，当△ ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值．
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考典 31
相似三角形的存在性问题
1 ．如图 1 ，平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (2 ， 3) ，线段 AB 垂直 于 y 轴，垂足为 B ，将线段 AB 绕点 A 逆时针方向旋转 90 °，点 B 落在点 C 处，直线 BC 与 x 轴的交于点 D ． （ 1 ）试求出点 D 的坐标； （ 2 ）试求经过 A 、 B 、 D 三点的抛物线的 表达式，并写出其顶点 E 的坐标； （ 3 ）在（ 2 ）中所求抛物线的对称轴上找 点 F ， 使得 以点 A 、 E 、 F 为 顶点 的三角 形与 △ ACD 相似． 图1
图1
2 ．如图 2 ， 点 A 在 x 轴上， OA ＝ 4 ，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 °至 OB 的位置． （ 1 ）求点 B 的坐标； （ 2 ）求经过 A 、 O 、 B 的抛物线的解析式； （ 3 ）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P ，使得以点 P 、 O 、 B 为 顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由．
考典 33
平行四边形的存在性问题
1 ．在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ＝－ x 2 ＋ 2 x ＋ c 过点 A（ - 1,0 ） ， 直线 l ： y
3 x 3 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 4
C ，与抛物线的对称轴交于点 M ；抛物线的顶点为 D ． （ 1 ）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标． （ 2 ）若 N 为直线 l 上 一动点，过点 N 作 x 轴 的 垂线与抛物线交于点 E . 问：是否存在这样的点 N ，使 得以点 D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出点 N 的横坐标；若不存在，请说明理由 ．
图1
2 ．已知平面直角坐标系 xOy （如图 2 ） ，一次函数 y y 轴交于点 A ，点 的图像与 4
3 x 的图像上，且 2
MO ＝ MA ．二次函数 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c 的图像经过 点 A 、M ． （ 1 ）求线段 AM 的长； （ 2 ）求这个二次函数的解析式； （ 3 ）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图像上， 点 D 在一次函数 y
图1
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考典 34
梯形的存在性问题
1 ．如图 1 ，把两个全等的 Rt △ AOB 和 Rt △ COD 方别置于平面直角坐 标系中，使直角边 OB 、OD 在 x 轴上．已知点 A (1 ，2) ，过 A 、C 两点的直 线分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ．抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 经过 O 、 A 、 C 三点． （ 1 ）求该抛物线的函数解析式； （ 2 ）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物 线于点 M ，交 x 轴于 点 N ， 问是否存在这样的点 P ，使得四边形 ABPM 为等腰 梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由． 图1
考典 32
直角三角形的存在性问题
1 ．如图 1 ，已知抛物线 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c 与 x 轴交 于 A 、 B 两点（点 A 在 点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C (0 ，－ 3) ，对称轴是直线 x ＝ 1 ，直线 BC 与抛 物线的对称轴交于点 D ． （ 1 ）求抛物线的函数表达式； （ 2 ）求直线 BC 的函数表达式； （ 3 ）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 交抛物线于 P 、Q 两点，且点 P 在第三象限．当以 C 、 D 、 E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出 点 P 的坐标． 图1
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第三部分
压轴题的满分攻略
压轴题多练一道就自信一分，因此要加强压轴题的规律性训练． 最后两道压轴题是选拔性的题目，要挑战满分或者冲刺名校的同学需 要在这两道题目上多加训练． 把最后两题先通读一遍，如果时间不够用的话，你一定要拿下的是哪 几个小题？ 最值得提醒你的是，不要急于在答题纸上写字，胸有成竹了，写好不 用 3 分钟． 压轴题的书写空间是很有限的，一道 4 — 5 分的分类讨论题，要演算 一个页面的，你需要写上去的，只是两三行． 写少了丢分，写多了空间不够．如何做好书写的层次性、简洁性、规 范性，怎样写最好？《挑战中考数学压轴题（附光盘） 》一书是最好的范例．
图2
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3． 如图 3 ， 在矩形 ABCD 中， AB ＝ 12cm， BC ＝ 8cm ． 点 E 、F 、G 分别从 A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按 逆时针方向运动．点 E 、 G 的速度均为每秒 2cm， 点 F 的速度为每秒 4cm ． 当点 F 追上点 G ( 即点 F 与点 G 重合 ) 时，三个点随之停止运动．设运动的时间为 t 秒钟．若 点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以 E 、 B 、 F 为顶点的三角形与以 F 、C 、G 为顶点的三角形相似？ 请说明理由． 图3
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考典 30
等腰三角形的存在性问题
1 ．如图 1 ，抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 经过 A ( － 1,0) 、B (3, 0) 、C (0 ,3) 三点， 直线 l 是抛物线的对称轴． （ 1 ）求抛物线的函数关系式； （ 2 ）在直线 l 上是否存 在点 M ，使△ MAC 为等腰三角形，若存在， 求所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
图2
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3 3 3 ．如图 1 ，抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 8 4
B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C ． （ 1 ）求点 A 、 B 的坐标； （ 2） 若直线 l 过点 E (4, 0) ， M 为直线 l 上的动点， 当以 A 、 B 、 M 为顶点所作的直角三角形 有且只有 三 ．．．． 个时，求直线 l 的解析式． 图1
2 ．如图 2 ，已知直线 y
1 x 1 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，将 2
△ AOB 绕点 O 顺时针旋转 90 °，使点 A 落在点 C ，点 B 落在点 D ，抛物 线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 过点 A 、 D 、 C ，其对称轴与直线 AB 交于点 P ． （ 1 ）求抛物线的表达式； （ 2） 点 M 在 x 轴上， 且 △ ABM 与△ APD 相似， 求点 M 的坐标．
1 AE ， 以 DE 、 EF 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 4 DEFG ，联结 BG ． （ 1 ）当 EF ＝ FC 时，求△ ADE 的面积； （ 2 ）如果△ DBG 是以 DB 为腰的等腰三角形， 求 AD 的值．
且 EF
图3
4 ．如图 4 ，已知正方形 OABC 的边长为 2 ，顶点 A 、 C 分别在 x 、 y 轴 的正半轴上，M 是 BC 的中点．P (0, m ) 是线段 OC 上 一动点（ C 点除外） ，直线 PM 交 AB 的延长线 于点 D． （ 1 ）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ； （ 2 ）当△ APD 是等腰三角形时，求 m 的值． 图4
图2
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3 ，点 D 在 AB 边上 5 （点 D 与点 A ，B 不重合） ， DE ∥ BC 交 AC 边于点 E ，点 F 在线段 EC 上，
3 ．如图 3 ，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 10 ， cos B
图3
4 ．如图 1 ，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90 °， AC ＝ 6 ， BC ＝ 8 ，动点 P 从 点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD // BC ， 交 AB 于点 D ，联结 PQ ．点 P 、 Q 分别从点 A 、 C 同时出发，当其中一点 到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（ t ≥ 0 ） ． （ 1 ）直接用含 t 的代数式分别表示： QB ＝ _______ ， PD ＝ _______ ； （ 2 ）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？ 若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究 如何改变点 Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度．
2 ．已知二次函数的图象经过 A（ 2 ， 0 ） 、 C (0 ， 12) 两点，且对称轴为 直线 x ＝ 4 ，设顶点为点 P ，与 x 轴的另一交点为点 B ． （ 1 ）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标； （ 2 ）如图 2 ，在直线 y ＝ 2 x 上是否存在点 D ，使四边形 OPBD 为等腰 梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．