概率论与数理统计第二章答案
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案
（2）Y 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
且 P{Y
= 0} =
6 62
=
6 36
， P{Y
= 1} =
5×2 62
=
10 36
，
P{Y
=
2}
=
4×2 62
=
8 36
，
P{Y
=
3}
=
3× 2 62
=
6 36
，
1
P{Y
=
4}
=
2×2 62
=
4 36
，
P{Y
=
5}
=
1× 2 62
=
⎟⎞ ⎠
3
× ⎜⎛ ⎝
5 ⎟⎞1 6⎠
=
20 1296
，
P{X
=
4} =
⎜⎜⎝⎛
4 4
⎟⎟⎠⎞
×
⎜⎛ ⎝
1 6
⎟⎞ ⎠
4
× ⎜⎛ ⎝
5 ⎟⎞0 6⎠
=
1 1296
，
故 X 的概率分布列为
X0 1 2 3 4 P 625 500 150 20 1 ．
1296 1296 1296 1296 1296
6． 从一副 52 张的扑克牌中任取 5 张，求其中黑桃张数的概率分布． 解：设 X 表示黑桃张数，有 X 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
2 36
，
故 Y 的分布列为
Y0 1 2 3 4 5 P 6 10 8 6 4 2 ．
36 36 36 36 36 36
3． 口袋中有 7 个白球、3 个黑球． （1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数 X 的概率分布列； （2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时 X 的概率分布列如何．
概率论与数理统计第二章答案
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0X0 P2、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
） x1 2 O P（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k － k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计第二章课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ，k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1)(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C ,m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得24(1),9p -= 即1.3p =从而465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得25e 2(5)0.00185!P X -=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++ 213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰ (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x -=-故1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3）F （x ）. 【解】（1）15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d xf t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰故1001,100()0,x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xxxx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1）求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2）确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1）23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭ 1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩ （1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2）2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时00()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰ 当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1）f (x )=a e - |x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故2a λ=即密度函数为e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时00()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1）()0.01P X z α>=即1()0.01z αΦ-= 即()0.09z αΦ= 故 2.33z α=（2）由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即/2()0.9985z αΦ= 查表得/2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-= 2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度； （2）求Y =2X 2+1的概率密度； （3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故d ()()d Y Y X X f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1）Y =e X的分布函数及密度函数； （2）Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1）(01)1P X <<=故(1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰ 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
概率论与数理统计（经管类）第二章课后习题答案
习题2.11.设随机变量X 的分布律为P{X=k}=,k=1, 2,N,求常数a.aN 解:由分布律的性质=1得∑∞k =1p kP(X=1) + P(X=2) +…..+ P(X=N) =1N*=1,即a=1aN 2.设随机变量X 只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为,,求常数c.12c 34c ,58c ,716c 解:12c +34c +58c +716c =1C=37163.将一枚骰子连掷两次,以X 表示两次所得的点数之和,以Y 表示两次出现的最小点数,分别求X,Y 的分布律.注: 可知X 为从2到12的所有整数值．可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36）＝1/18(两种组合(1,2)(2,1))P(X=4)=3*(1/36）＝1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36)＝5/36P(X=9)=4*(1/36)＝1/9P(X=10)=3*(1/36)＝1/12P(X=11)=2*(1/36)＝1/18P(X=12)=1*(1/36)＝1/36以上是X 的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即Y 的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一个是2,另一个是大于等于2的5个值P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一个是3,另一个是大于等于3的4个值P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6以上是Y 的分布律了.4.设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后不放回.以X 表示取出的次品的个数,求X 的分布律.解:X=0,1,2X=0时,P=C 313C 315=2235X=1时,P=C 213∗C 12C 315=1235X=2时,P=C 013∗C 22C 315=1355.抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为,连续抛掷8次,以X 表示出现正面的次数,求23X 的分布律.解:P{X=k}=, k=1, 2, 3, 8C k 8(23)k (13)8‒k 6.设离散型随机变量X 的分布律为X -123P141214解:求P {X ≤12}, P {23<X ≤52}, P {2≤X ≤3}, P {2≤X <3}P {X ≤12}=14P {23<X ≤52}=12P {2≤X ≤3}=12+14=34P {2≤X <3}=127.设事件A 在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号,求:(1)进行5次独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率.解:设X 为事件A 发生的次数,(1)P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=C 35(0.3)3(0.7)2+C 45(0.3)4(0.7)1+C 55(0.3)5(0.7)0=0.1323+0.02835+0.00243=0.163(2) P{X≥3}=1‒P{X=0}‒P{X=1}‒P{X=2}=1‒C07(0.3)0(0.7)7‒C17(0.3)1(0.7)6‒C27(0.3)2(0.7)5=1‒0.0824‒0.2471‒0.3177=0.3538.甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率.解:设X表示各自投中的次数P{X=0}=C03(0.6)0(0.4)3∗C03(0.7)0(0.3)3=0.064∗0.027=0.002P{X=1}=C13(0.6)1(0.4)2∗C13(0.7)1(0.3)2=0.288∗0.189=0.054P{X=2}=C23(0.6)2(0.4)1∗C23(0.7)2(0.3)1=0.432∗0.441=0.191P{X=3}=C33(0.6)3(0.4)0∗C33(0.7)3(0.3)0=0.216∗0.343=0.074投中次数相等的概率= P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.3219.有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松分布定理计算)解:设X表示该段时间出事故的次数,则X~B(1000,0.0001),用泊松定理近似计算=1000*0.0001=0.1λP{X≥2}=1‒P{X=0}‒P{X=1}=1‒C01000(0.0001)0(0.9999)1000‒C11000(0.0001)1(0.9999)999=1‒e‒0.1‒0.1e‒0.1=1‒0.9048‒0.0905=0.004710.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别,求:(1)每分钟恰有8次呼唤的概率;(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率.解: (1) P{X=8}=P{X≥8}‒P{X≥9}=0.051134‒0.021363=0.029771(2) P{X>10}=P{X≥11}=0.002840习题2.21.求0-1分布的分布函数.解:F(x)={0, x<0q, 0≤x<11,x≥12.设离散型随机变量X的分布律为:3 OF 18X -123P0.250.50.25求X 的分布函数,以及概率,.P {1.5<X ≤2.5} P {X ≥0.5}解:當x <‒1時,F (x )=P {X ≤x }=0;當‒1≤x <2時,F (x )=P {X ≤x }=P {X =‒1}=0.25;當2≤x <3時,F (x )=P {X ≤x }=P {X =‒1}+P {X =2}=0.25+0.5=0.75;當x ≥3時,F (x )=P {X ≤x }=P {X =‒1}+P {X =2}+P {X =3}=0.25+0.5+0.25=1;则X 的分布函数F(x)为:F (x )={0, x <‒10.25, ‒1≤x <20.75, 2≤x <31, x ≥3P {1.5<X ≤2.5}=F (2.5)‒F (1.5)=0.75‒0.25=0.5 P {X ≥0.5}=1‒F (0.5)=1‒0.25=0.753.设F 1(x),F 2(x)分别为随机变量X 1和X 2的分布函数,且F(x)=a F 1(x)-bF 2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.证: F (+∞)=aF (+∞)‒bF (+∞)=1,即a ‒b =14.如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:(1)F 1(x )={0, x <‒212, ‒2≤x <02, x ≥0(2)F 2(x )={0, x <0sinx, 0≤x <π1, x ≥π(3)F 3(x )={0, x <0sinx, 0≤x <π21, x ≥π2(4)F 4(x )={0, x <0x +13, 0<x <121, x ≥125.设随机变量X 的分布函数为F(x) =a+b arctanx ,‒∞<x <+∞,求(1)常数a,b;(2) P {‒1<X ≤1}解: (1)由分布函数的基本性质 得:F (‒∞)=0,F (+∞)=1{a +b ∗(‒π2)=0a +b ∗(π2)=1of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy5 OF 18解之a=, b=121π(2)P {‒1<X ≤1}=F (1)‒F (‒1)=a +b ∗π4‒(a +b ∗‒π4)=b ∗π2=12(将x=1带入F(x) =a+b arctanx )注: arctan 为反正切函数,值域(), arctan1=‒π2,π2 π46.设随机变量X 的分布函数为F (x )={0, x <1lnx, 1≤x <e1, x ≥e求P {X ≤2},P {0<X ≤3},P {2<X ≤2.5}解: 注: P {X ≤2}=F(2)=ln2 F(x)=P {X ≤x }P {0<X ≤3}=F (3)‒F (0)=1‒0=1;P {2<X ≤2.5}=F (2.5)‒F (2)=ln2.5‒ln2=ln2.52=ln1.25习题2.31.设随机变量X 的概率密度为:f (x )={acosx, |x |≤π20, 其他.求: (1)常数a; (2);(3)X 的分布函数F(x).P {0<X <π4}解:(1)由概率密度的性质∫+∞‒∞f (x )dx =1,∫π2‒π2acosxdx =a sinx |π2‒π2=asin π2‒asin (‒π2)=asin π2+asin π2=a +a =1A =12(2)P {0<X <π4}=(12)sin(π4)‒(12)sin (0)=12∗22+12∗0=24一些常用特殊角的三角函数值正弦余弦正切余切0010不存在π/61/2√3/2√3/3√3π/4√2/2√2/211of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, full of humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy(3)X 的概率分布为:F (x )={0, x <‒π212(1+sinx ), ‒π2≤x <π21, x ≥π2 2.设随机变量X 的概率密度为f (x )=ae ‒|x |, ‒∞<x <+∞,求: (1)常数a; (2); (3)X 的分布函数. P {0≤X ≤1}解:(1),即a=∫+∞‒∞f(x)dx =∫0‒∞ae x dx +∫+∞ae ‒x dx =a +a =112(2)P {0≤X ≤1}=F (1)‒F (0)=12(1‒e ‒1)(3)X 的分布函数F (x )={12e x, x ≤01‒12e ‒x, x >03.求下列分布函数所对应的概率密度:(1)F 1(x )=12+1πarctanx , ‒∞<x <+∞;解:(柯西分布)f 1(x )=1π(1+x 2)(2)F 2(x )={1‒e ‒x 22, x >00, x ≤0π/3√3/21/2√3√3/3π/210不存在0π-1不存在7 OF 18解:(指数分布) f 2(x )={x e ‒x 22, x >00, x ≤0(3)F 3(x )={0, x <0sinx , 0≤ x ≤π21, x >π2解: (均匀分布)f 3(x )={cosx , 0≤ x ≤π20, 其他4.设随机变量X 的概率密度为f (x )={x, 0≤x <12‒x, 1≤ x <20, 其他.求: (1); (2)P {X ≥12} P {12<X <32}.解:(1)P {X ≥12}=1‒F (12)=1‒1222=1‒18=78(2)(2)P {12<X <32}=F(32)‒F(12)=(2∗32‒1‒3222)‒(3222)=345.设K 在(0,5)上服从均匀分布,求方程(利用二次式的判别式)4x 2+4Kx +K +2=0有实根的概率.解: K~U(0,5)f (K )={15 , 0≤x ≤50, 其他方程式有实数根,则Δ≥0,即(4K)2‒4∗4∗(K +2)=16K 2‒16(K +2)≥02≤K ≤‒1故方程有实根的概率为:P {K ≤‒1}+P {K ≥2}=∫5215dx =0.66.设X ~ U(2,5),现在对X 进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.解:P {K >3}=1‒F (3)=1‒3‒25‒2=23至少有两次观测值大于3的概率为:C 23(23)2(13)1+C 33(23)3(13)0=20277.设修理某机器所用的时间X 服从参数为λ=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.解: P {X ≤1}=F (1)=1‒e‒0.58.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从参数为λ=的指数分布,某顾客在窗口等待159 OF 18服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y 的分布律,并求P {Y ≥1}.解:“未等到服务而离开的概率”为P {X ≥10}=1‒F (10)=1‒(1‒e‒15∗10)=e ‒2P {Y =k }=C k 5(e ‒2)k(1‒e ‒2)5‒k , (k =0,1,2,3,4,5)Y 的分布律:Y 012345P0.4840.3780.1180.0180.0010.00004P {Y ≥1}=1‒P {Y =0}=1‒0.484=0.5169.设X ~ N(3,),求:22(1);P {2<X ≤5}, P {‒4<X ≤10}, P {|X |>2}, P {X >3}(2).常数c,使P {X >c }=P {X ≤c }解: (1)P {2<X ≤5}=Φ(5‒32)‒Φ(2‒32)=Φ(1)‒[1‒Φ(12)]=0.8413‒(1‒0.6915)=0.5328P {‒4<X ≤10}=Φ(10‒32)‒Φ(‒4‒32)=Φ(3.5)‒[1‒Φ(3.5)]=0.9998‒0.0002=0.9996 P {|X |>2}= 1‒P {‒2≤X ≤2}=1‒[Φ(2‒32)‒Φ(‒2‒32)]=1‒(0.3085‒0.0062)=0.6977P {X >3}= P {X ≥3}=1‒Φ(3‒32)=1‒Φ(0)=1‒0.5=0.5(2)P {X >c }=P {X ≤c }P {X >c }=1‒P {X ≥c }P {X >c }+P {X ≥c }=1Φ(c ‒32)+Φ(c ‒32)=1Φ(c ‒32)=0.5经查表,即C=3c ‒32=010.设X ~ N(0,1),设x 满足P {|X |>x }<0.1.求x 的取值范围.解:P {|X |>x }<0.12[1‒Φ(x )]<0.1‒Φ(x )<‒1920Φ(x )≥1920Φ(x )≥0.95经查表当 1.65时x ≥Φ(x )≥0.95即 1.65时x ≥P {|X |>x }<0.111.X ~ N(10,),求:22(1)P {7<X ≤15};(2)常数d,使P {|X ‒10|<d }<0.9.解: (1)P {7<X ≤15}=Φ(15‒102)‒Φ(7‒102)=Φ(2.5)‒[1‒Φ(1.5)]=0.9938‒0.0668=0.927(2)P {|X ‒10|<d }=P {10‒d <X <10+d }<0.9=Φ(10+d ‒102)‒Φ(10‒d ‒102)<0.9=Φ(d2)<0.95经查表,即d=3.3d2=1.6512.某机器生产的螺栓长度X(单位:cm)服从正态分布N(10.05,),规定长度在范围10.050.12内 0.062±为合格,求一螺栓不合格的概率.解:螺栓合格的概率为:P {10.05‒0.12<X <10.05+0.12}=P {9.93<X <10.17}=Φ(10.17‒10.050.06)‒Φ(9.93‒10.050.06)=Φ(2)‒[1‒Φ(2)]=0.9772∗2‒1=0.9544螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.045613.测量距离时产生的随机误差X(单位:m)服从正态分布N(20,).进行3次独立测量.求:402(1)至少有一次误差绝对值不超过30m 的概率;(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解:(1)绝对值不超过30m的概率为:P{‒30<X<30}=Φ(30‒2040)‒Φ(‒30‒2040)=Φ(0.25)‒[1‒Φ(1.25)]=0.4931至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为:1−C 03(0.4931)0(1‒0.4931)3=1‒0.1302=0.8698(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率为:C13(0.4931)1(1‒0.4931)2=0.3801习题2.41.设X的分布律为X-2023P0.20.20.30.3求(1)的分布律.Y1=‒2X+1的分布律; (2)Y2=|X|解: (1)的可能取值为5,1,-3,-5.Y1由于P{Y1=5}=P{‒2X+1=5}=P{X=‒2}=0.2P{Y1=1}=P{‒2X+1=1}=P{X=‒2}=0.2P{Y1=‒3}=P{‒2X+1=‒3}=P{X=2}=0.3P{Y1=‒5}=P{‒2X+1=‒5}=P{X=3}=0.3从而的分布律为:Y1X-5-315Y10.30.30.20.2(2)的可能取值为0,2,3.Y2由于P{Y2=0}=P{|X|=0}=P{X=0}=0.2P{Y2=2}=P{|X|=0}=P{X=‒2}+P{X=2}=0.2+0.3=0.5P{Y2=3}=P{|X|=3}=P{X=3}=0.3从而的分布律为:Y2X023Y20.20.50.32.设X的分布律为X-1012P0.20.30.10.411 OF 18求Y=(X‒1)2的分布律.解:Y的可能取值为0,1,4.由于P{Y=0}=P{(X‒1)2=0}=P{X=1}=0.1P{Y=1}=P{(X‒1)2=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7P{Y=4}=P{(X‒1)2=4}=P{X=‒1}=0.2从而的分布律为:YX014Y0.10.70.23.X~U(0,1),求以下Y的概率密度:(1)Y=‒2lnX; (2)Y=3X+1; (3)Y=e x.解: (1) Y=g(x)=‒2lnX, 值域為(0,+∞),X=ℎ(y)=e‒Y2, ℎ'(y)=12e‒Y2 f Y(y)=f x(ℎ(y))| ℎ'(y)|=1∗12e‒Y2=12e‒Y2.即f Y(y)={12e‒Y2, y>0,0, y≤0(2) Y=g(x)=3X+1,值域為(‒∞,+∞), X=ℎ(y)=Y‒13, ℎ'(y)=13f Y(y)=f x(ℎ(y))| ℎ'(y)|=1∗13=13即f Y(y)={13, 1< y<4,0, 其他注: 由X~U(0,1),,当X=0时,Y=3*0+1=1; ,当X=1时,Y=3*1+1=4 Y=3X+1(3) Y=g(x)=e x, X=ℎ(y)=lny, ℎ'(y)=1yf Y(y)=f x(ℎ(y))| ℎ'(y)|=1∗1y=1y即f Y(y)={1y, 0< y<e,0, 其他注: ,当X=0时,; ,当X=1时,Y=e0=0 Y=e1=e4.设随机变量X的概率密度为f X(x)={32x2, ‒1<x<00, 其他.of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy13 OF 18求以下Y 的概率密度:(1)Y=3X; (2) Y=3-X; (3)Y =X 2.解: (1) Y=g(x)=3X,X =ℎ(y )=Y 3, ℎ'(y)=13f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=Y 26∗13=Y218即f Y (y )={Y 218, ‒3< y <0,0, 其他(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y,-1ℎ'(y)=f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=32∗(3‒Y)2+1=3(3‒Y)22即f Y (y )={3(3‒Y)22, 3< y <4,0, 其他(3), X=h(y)=,Y =g(x)=X 2Y ℎ'(y)=12Y,即f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=3Y 22∗1 2Y=3Y4f Y (y )={3Y4, 0< y <1,0, 其他5.设X 服从参数为λ=1的指数分布,求以下Y 的概率密度:(1)Y=2X+1; (2)(3) Y =e x; Y =X 2.解: (1) Y=g(x)=2X+1,X =ℎ(y )=Y ‒12, ℎ'(y )=12X 的概率密度为:f X (x )={λe ‒λx, x >0,0, x ≤0f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=λe ‒λ∗Y ‒12∗12=12e ‒Y ‒12即f Y (y )={12e ‒Y ‒12, y >00, 其他(2)Y =g (x )=e x , X =ℎ(y )=lnY,ℎ'(y )= 1Y注意是绝对值 ℎ'(y)of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, full of humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happyf Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=e‒lnY∗1Y =1e lnY ∗1Y =1Y ∗1Y =1Y 2即f Y (y )={1Y2, y >10, 其他(3)Y =g (x )=X 2,X =ℎ(y )=Y , ℎ'(y )=12Y,,f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=e ‒Y∗12Y=12Ye ‒Y即f Y (y )={12Ye ‒Y, y >00, 其他6.X~N(0,1),求以下Y 的概率密度:(1) Y =|X |; (2)Y =2X 2+1解: (1) Y =g (x )=|X |, X =ℎ(y )=±Y, ℎ'(y )=1f X (x )=12πσe‒(x ‒μ)22σ2‒∞<x <+∞当X=+Y 时:f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe‒y 22当X=-Y 时: f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe ‒y 22故f Y (y )=12πe ‒y 22+12πe‒y 22=22πe ‒y 22=42πe‒y 22=2πe ‒y 22f Y (y )={2πe ‒y 22, y >00, y ≤0(2)Y =g (x )=2X 2+1, X =ℎ(y )=Y ‒12,ℎ'(y )=12Y ‒12永远大于0.e x 当x>0是,>1e xof backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. 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B.F 1(x )=11+x 2, ‒∞<x <+∞F 2(x )={0, x ≤0x 1+x , x >0C.D.F 3(x )=e ‒x, ‒∞<x <+∞F 4(x )=34+12πarctanx, ‒∞<x <+∞5.设随机变量X 的概率密度为 则常数a= A .f (x )={a x 2, x >100, x ≤10A. -10B.C.D. 10解: F(x) =‒15001500∫+∞‒∞a x2dx =‒ax =16.如果函数是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间[a,b]可以是 C f (x )={x, a<x <b0, 其他A. [0, 1]B. [0, 2]C. D. [1, 2][0,2]不晓得为何课后答案为Dof backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy7.设随机变量X 的取值范围是[-1,1],以下函数可以作为X 的概率密度的是 A A. B. {12, ‒1< x <10, 其他{2, ‒1< x <10, 其他C.D. {x, ‒1< x <10, 其他{x 2, ‒1< x <10, 其他8.设连续型随机变量X 的概率密度为 则= B .f (x )={x2, 0< x <20, 其他P{‒1≤ X ≤1}A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1解:P {‒1≤ X ≤1}=∫1‒1x2dx =x 24|1‒1=149.设随机变量X~U(2,4),则= A . (需在区间2,4内)P{3< x <4}A. B. P{2.25< x <3.25}P{1.5< x <2.5}C. D. P{3.5< x <4.5}P{4.5< x <5.5}10. 设随机变量X 的概率密度为 则X~ A .f (x )=122πe ‒(x ‒1)28A. N (-1, 2)B. N (-1, 4)C. N (-1, 8)D. N (-1, 16)11.已知随机变量X 的概率密度为fx(x),令Y=-2X,则Y 的概率密度fy(y)为 D .A.B.C.D. 2f X (‒2y)f X (‒y2)12f X(‒y2)12f X (y 2)二,填空题1.已知随机变量X 的分布律为X 12345P2a0.10.3a0.3则常数a= 0.1 .解:2a+0.1+0.3+a+0.3=12.设随机变量X 的分布律为X 123P162636记X 的分布函数为F(x)则F(2)=.解: 1216+263.抛硬币5次,记其中正面向上的次数为X,则=.P{ X ≤4}3132解:P { X ≤4}=1‒P { X =5}=1‒C 55(12)5(12)自己算的结果是12f X(‒y2)17 OF 184.设X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,且,则λ= 2 .P { X =0}=12P { X =2}解:分别将.P { X =0},P { X =2}帶入P k =P { X =k }=λk k!e ‒λ5.设随机变量X 的分布函数为F (x )={0, x <a0.4, a ≤x <b1, x ≥b其中0<a<b,则= 0.4.P {a2<X <a +b 2}解:P { a 2<X <a +b 2}=F (a +b 2)‒F (a 2)=0.4‒0=0.46.设X 为连续型随机变量,c 是一个常数,则= 0.P { X =c }7. 设连续型随机变量X 的分布函数为F (x )={13e x, x <013(x +1), 0≤x <21, x ≥2则X 的概率密度为f(x),则当x<0是f(x)=.13e x 8. 设连续型随机变量X 的分布函数为其中概率密度为f(x),F (x )={1‒e ‒2x , x >00, x ≤0则f(1)= .2e ‒29. 设连续型随机变量X 的概率密度为其中a>0.要使,则常数a=f (x )={12a, ‒a < x <a 0, 其他P { X >1}=13 3 .解:P { X >1}=1‒P { X ≤1}=13,P { X ≤1}=23=12a10.设随机变量X~N(0,1),为其分布函数,则= 1 .Φ(x)Φ(x )+Φ(‒x)11.设X~N ,其分布函数为为标准正态分布函数,则F(x)与之间的关系是(μ,σ2)F (x ),Φ(x)Φ(x)=.F (x )Φ(x ‒μσ)12.设X~N(2,4),则= 0.5 .P { X ≤2}13.设X~N(5,9),已知标准正态分布函数值,为使,则Φ(0.5)=0.6915P { X <a }<0.6915常数a< 6.5. 解:, F (a )=Φ(a ‒μσ)=a ‒53a ‒53<0.514. 设X~N(0,1),则Y=2X+1的概率密度= .f Y (y )122πe‒(Y ‒1)28解:Y =g (x )=2X +1, X =ℎ(y )=Y ‒12,ℎ'(y )=12f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe‒(Y ‒12)22∗12=122πe‒(Y ‒1)28三.袋中有2个白球3个红球,现从袋中随机地抽取2个球,以X 表示取到红球的数,求X 的分布律.解: X=0,1,2当X=0时,P { X =0}=C 03∗C 22C 25=110当X=1时,P { X =1}=C 13∗C 12C 25=610当X=2时,P { X =2}=C 23∗C 02C 25=310X 的分布律为:X 012P110610310四.设X 的概率密度为求: (1)X 的分布函数F(x);(2).f (x )={|x|, ‒1≤ x ≤10, 其他 P { X <0.5},P { X >‒0.5}解: (1)当x <-1时. F(x)=0;;当‒1≤x <0时,F(x)=∫x‒1‒x dx =‒x 22|x ‒1=12‒x 22当0≤x <1时,F (x )=1‒ 1∫xx dx =1‒x 22|1x =12+x 22当x ≥1时. F(x)=1F (X )={0, X <‒112‒x22, ‒1≤X <012+x22, 0≤X <11, X ≥1(2)P { X <0.5}=F (0.5)=12+0.522=58;P { X >‒0.5}=1‒F (‒0.5)=1‒(12‒0.522)=58五.已知某种类型电子组件的寿命X(单位:小时)服从指数分布,它的概率密度为f (x )={12000e ‒x 2000, x >00, x ≤0We will continue to improve the company's internal control system, and steady improvement in ability to manage and control, optimize business processes, to ensure smooth processes, responsibilities in place; to further strengthen internal controls, play a control post independent oversight role of evaluation complying with third-party responsibility; to actively make use of internal audit tools detect potential management, streamline, standardize related transactions, strengthening operations in accordance with law. Deepening the information management to ensure full communication "zero resistance". To constantly perfect ERP, and BFS++, and PI, and MIS, and SCM, information system based construction, full integration information system, achieved information resources shared; to expand Portal system application of breadth and depth, play information system on enterprise of Assistant role; to perfect daily run maintenance operation of records, promote problem reasons analysis and system handover; to strengthening BFS++, and ERP, and SCM, technology application of training, improve employees application information system of capacity and level. Humanistic care to ensure "zero." To strengthening Humanities care,continues to foster company wind clear, and gas are, and heart Shun of culture atmosphere; strengthening love helped trapped, care difficult employees; carried out style activities, rich employees life; strengthening health and labour protection, organization career health medical, control career against; continues to implementation psychological warning prevention system, training employees health of character, and stable of mood and enterprising of attitude, created friendly fraternity of Humanities environment. To strengthen risk management, ensure that the business of "zero risk". To strengthened business plans management, will business business plans cover to all level, ensure the business can control in control; to close concern financial, and coal electric linkage, and energy-saving scheduling, national policy trends, strengthening track, active should; to implementation State-owned assets method, further specification business financial management; to perfect risk tube control system, achieved risk recognition, and measure, and assessment, and report, and control feedback of closed ring management, improve risk prevention capacity. To further standardize trading, and strive to achieve "according to law, standardize and fair." Innovation of performance management, to ensure that potential employees "zero fly". To strengthen performance management, process control, enhance employee evaluation and levels of effective communication to improve performance management. To further quantify and refine employee standards ... Work, full play party, and branch, and members in "five type Enterprise" construction in the of core role, and fighting fortress role and pioneer model role; to continues to strengthening "four good" leadership construction, full play levels cadres in enterprise development in theof backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy19 OF 18一台仪器装有4个此种类型的电子组件,其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作,假设4个电子组件损坏与否相互独立.试求: (1)一个此种类型电子组件能工作2000小时以上的概率;(2)一台仪器能正p 1常工作2000小时以上的概率.p 2解: (1)P 1=P {X ≥2000}=∫+∞200012000e‒x 2000dx=12000∗‒2000∗e‒x2000|+∞2000=‒e‒x 2000|+∞2000=0‒(‒e ‒1)=e ‒1(2)因4个电子组件损坏与否相互独立,故:P 2=P 14=(e ‒1)4=e ‒4当+∞带入‒x2000时变成负无穷大,e ‒∞=0。
概率论及数理统计第二章答案
k 001.1,0,1,2...,315221()13113lim ()1132132=313kk k k k k C C C C ∞=∞→∞=ξξ=ξ=1⋃ξ=2ξ≤ξ≤2ξ≥====-ξ⋃ξξξ⨯∑∑2设随机变量的分布列为P(=k)=C()求：（1）C 的值 （2）P() (3)P(<<)(4)P(1) (5)P(1)解：（1） 由正则性可得：即解得 C （2） P(=1=2)=P(=1)+P(=2)=()121201218)()333271521218(3)()(1)(2)()()223333278(4)(12)(1)(2)272115(1)1(1)1(0)1()333P P P P P P P P P (+⨯=<ξ<=ξ=+ξ==⨯+⨯=≤ξ≤=ξ=+ξ==ξ≥=-ξ<=-ξ==-⨯=P972.4解：ξ的取值为3,4,5 P (ξ=3)=c351=101, P (ξ=4)=c c 3523=103, P (ξ=5)=cc3524=53 所以，ξ的分布列为：k a-7015716702.9a a a =70.999k 70.9975930.999!70,9990410.999!K k k k k e e k e k ξξξξλ=-=-=≤≤≥≥!≈<≈>∑∑∑解,设此种商品当月销售量为件，每月进货件，则当是就不会脱销.则有： P （）0.999 又已知服从7的泊松分布.因此有： 则至少应进16件此种商品.P982.10解：设x 为时间t 内通过交叉路口的汽车数量，则()^()!tt k p x k e k λλ-==(0)λ> 0,1,2,3k =1t =时，(0)0.2p x e λ-===，即ln 5λ= 2t ∴=时，2ln 5t λ=，2ln 5(1)25p x ==(0)0.04p x ==又(1)1(0)(1)p x p x p x >=---= 2ln 5(1)0.9625p x ∴>=-即在两分钟内有多余一辆车通过的概率为2ln 50.9625-.()()500500335002.111/500,.()(,500,1/500)500b K,500,1/500)=1/500499/500,n p np=5001/5001K K K KP K b K P K ξξξξ==-≥==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⨯=∑∑解：由题意已知在指定的一页上出现一个错误的概率为设在指定一页上出现的错误个数为则：P(3)=又其中（直接计算（3）过于麻烦，且很大，很小.这时有很210=np=np b n p 3)10.08032(0.08032KK e K P e λλλξξ--=≈!≥<≈-=∑小，可以近似利用泊松定理取 1，由于不太大时，（K;;) 有（3）=1-P(查表）即在指定的一页上至少有三个错误的概率为2.13解：边际分布列：0(1)()!()!!(1)!!()!!(0,1,2,0)nn m n m nm mm nn nm n m m p p P n p e m n m e n p p e n m n m n n λλλλξλλλ--=---=-====--=-=>∑∑∑……(1)()()(,)!()!(0,1,n)pmm n n m m n m n e p p p e P m p n m m n m m m λλλληξη-∞--==-======-=∑∑……，2.15解：由题意44444444(,,)0.50.30.24!0.50.30.2(,,0,1,2,3,44)(4)!!()0.50.5,0,1,2,3,4()0.30.7,0,1,2,3,4()0.20.8,0,1,2,3,4m nm n k m m n k mm m n n n k k k p m n k C C m n k m n k m m p m C m p n C n p k C k ξηζξηζξηζ----======++=-=========其中且、、的分布列分别为2.17解：1212121212121212121212()1p(0,0 )(0,1)(0,2)(1,0)(2,0)1(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)p p p p p p p p p ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ=∴==+==+==+==+===∴===========∴的联合分布列：∴p(1ξ=2ξ)=02.18证：由题意设η所有的可能取值为1231,,...,n n a a a a a -（n ∈R ）其中P(ξ=a ，η=i a )=i p 则对于任意的i ∈R ，而p(=a ξ)p(i a η=)=1*i p 所以P(ξ=a ，η=i a )= p(=a ξ)p(i a η=) 所以ξ与任意的离散型随机变量η相互独立2.19 解:法一：由题意得:若ξ与η相互独立，则P(ξ=2,η=2)=P(ξ=2)P(η=2) P(ξ=2，η=3)=P(ξ=2)P(η=3)所以 a=(1/9+a)(1/3+a+b)B=(1/18+b)(1/3+a+b)1/3+1/3+a+b=1 a=2/9 b=1/9所以a=2/9,b=1/9时ξ与η相互独立法二：解：由归一性可知 α+β=31因为ξ,η相互独立，所以P （i ξi η）=P （i ξ）P （i η） （i=1,2 j=1,2,3） 所以 P （1ξ)P(1η)=61 P （1ξ)P(2η)=91 P （1ξ)P(3η)=181 所以 P(1η):P(2η):P(3η)=3:2:1又因为 P （2ξ)P(1η)=31P （2ξ)P(2η)=α P （2ξ)P(3η)=β所以有 31：α：β=3:2:1所以 α=92 β=91则2ηε=的分布列为分布列。
概率论与数理统计-第二章习题附答案
概率论与数理统计-第二章习题附答案习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律. 解X0 1P1-p p2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为c c c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P .解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++= 所以3716c =.所求概率为P {X <1| X≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P .3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9=, 求{P Y ≥1}. 解 注意p{x=k}=kk n knC p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==- 故213q p =-=. 从而{P Y≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解 由泊松分布的分布律可知6=λ.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解 X 的分布律是X3 4 5 P 110 31035 习题2-3X -1 01P0.15 0.200.65求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2},P {-2≤X <1}.解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1;(4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩(2){11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242ππππ=+⋅---= 3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0, 01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.习题2-41. 选择题(1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数.(A) 13. (B) 12. (C) 1. (D) 32. 本题应选(C ).(2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1. 本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它. (B) 1,2,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C)22()2,0,()20,0.≥x x f x x μσπσ--=<⎧⎪⎨⎪⎩ (D)e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩本题应选(D).(6) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1<μ2. (D) μ1 >μ2.答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) 2u α . (B) 21α-u . (C) 1-2u α.(D)α-1u .答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ? 解X 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k kP k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它,要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?解 由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是34d 0.5ax x =⎰, 因此42a =. 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 由()()F x f x '=得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝ 2,01,0,x x ⎧⎨⎩ ≤≤ 其它,求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}. 解{P X≤12201112d 2240}x x x ===⎰; 1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===⎰.6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得1222011201111d ()d []122x x A x x x Ax x A =+-=+-=-⎰⎰, 于是 2A =； (2) 由公式()()d x F x f x x -∞=⎰可得（过程简略）220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解 2115{1}(1)d 48P X x x >=+=⎰.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256C C +=.8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程24420x Xx ++=有实根的概率.解 若方程有实根, 则 21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{22}P X =--<<21d 5x =-215=-10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解 因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--, 于是22()10.3Φσ-=, 从而2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=.习题2-52. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度.解 若随机变量2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,2μσ==所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z =2(5)16,4x x π---∞<<+∞. 3. 已知随机变量X 的分布律为X-1137P 0.37 0.05 0.2 0.13 0.25(1) 求Y ＝2－X 的分布律； (2) 求Y ＝3＋X 2分布律.解 (1)2－X-5 -1 1 2 3P 0.25 0.13 0.2 0.05 0.37 (2) 3＋X 23 4 12 52P 0.05 0.57 0.13 0.254. 已知随机变量X 的概率密度为()X f x ＝1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩， ， ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解 )(y F Y={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y -1{2}P X y =-<-=1-2()d yX f x x--∞⎰. 于是可得Y 的概率密度为121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解 因为对于0<y <4,(){Y F y P Y=≤2}{y P X =≤}{y P y =-X y ()()XX F y F y =--.于是随机变量2Y X =的概率密度函数为()Y f y ()22X X f y f y yy=-0 4.4y y=<< 即 ()04,40,.其它f y y y=<<⎩。
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
于是， X 的分布律为
P ( X k ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ， k 2,3, ．
7．随机变量 X 服从泊松分布，且 P ( X 1) P ( X 2) ，求 P ( X 4) 及 P ( X 1) ．
3
解： P ( X 1) P ( X 2) ，
(3) 方法 1： P (1 X 3) P ( X 1) P ( X 1) P ( X 2) 1 ． 方法 2： P (1 X 3) F (3) F (1 0) 1 0 1 ． 4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的 概率都是 0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达 40000 元；当第二组成 功时，每年的销售额可达 60000 元，若失败则分文全无．以 X 记这两种新药 的年销售额，求 X 的分布律． 解：设 Ai {第 i 组取得成功}， i 1,2 ， 由题可知， A1 ， A2 相互独立，且 P ( A1 ) P ( A2 ) 0.4 ． 两组技术人员试制不同类型的新药， 共有四种可能的情况：A1 A2 ，A1 A2 ，A1 A2 ，
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ，
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律． 解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…， 设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
1 ln 3) ；(3) 分布函数 F ( x) ． 2
概率论与数理统计答案第2章
P{ X = −3} =
2 1 3 1 1 = ， P{ X = 1} = = ， P{ X = 2} = ， 6 3 6 2 6 1 1 2 2⎞ 1⎟； ⎟ 6⎠ 1 ， 3 1 1 5 + = ， 3 2 6
⎛− 3 故 X 的分布列为 X ~ ⎜ 1 ⎜ ⎝ 3
当 x < −3 时，F (x) = P{X ≤ x} = P (∅) = 0， 当 −3 ≤ x < 1 时， F ( x) = P{ X ≤ x} = P{ X = −3} =
k 故概率为 P{ X ≤ 3} = ∑ P{ X = k} = ∑ C100 ⋅ 0.01k ⋅ 0.99100− k = 0.9816 ． k =0 k =0 3 3
2
注：此题 n = 100 很大，p = 0.01 很小，n p = 1 较小，可用泊松分布近似计算， 取λ = n p = 1， X ~ & P (1) ，查表得 P{X ≤ 3} = 0.9810． 9． 假设一小时内进入学校图书馆的学生人数服从泊松分布， 已知一小时无学生进入图书馆的概率为 0.01， 求一小时内至少有 2 名学生进入图书馆的概率． 解：设 X 表示一小时内进入图书馆的学生人数，有 X ~ P (λ )，且 P{X = 0} = e −λ = 0.01， 则λ = − ln0.01 = 4.6052， 故概率为 P{X ≥ 2} = 1 − P{X = 0} − P{X = 1} = 1 − e −λ − λ e −λ = 1 − 0.01 − 0.0461 = 0.9439． 注：此题查表可得此概率的近似值，由 X ~ P (λ )，且 P{X = 0} = 0.01，查表可得λ ≈ 4.5， 故 P{X ≥ 2} = 1 − P{X ≤ 1} = 1 − 0.0611 = 0.9389．
概率论与数理统计第2章复习题解答
《概率论与数理统计》第二章复习题解答1. 将4只球（1-4号）随机放入4只盒子（1-4号）中去，一只盒子只放一球. 如一只球装入了与之同号的盒子, 称形成了一个配对. 记X 为总的配对数, 求X 的分布律. 解：241!41)4(===X P ； 0)()3(===ΦP X P ——因为当3个球形成配对时，另1个球一定也形成配对；41!41)2(24=⨯==C X P ——当4个球中的某2个形成配对时，另2个球（标号a,b ）都不形成配对的放法只1种，即分别放入标号b,a 的盒中；31!42)1(14=⨯==C X P ——当4个球中的某1个形成配对时，另3个球都不形成配对的放法只2种：以abc 记3个空盒的号码排列，则3个球只能以bca 或cab 的次序对应放入3个盒中；249314102411)0(=----==X P . 于是，分布律为2. 盒中装有10个大小相等的球, 编号为0-9. 从中任取一个, 在号码“小于5”、“等于5”、“大于5”三种情况下，分别记随机变量.2,1,0=X 求X 的分布律、分布函数、分析2)1(-=X Y 服从什么分布.解：（1）10个球中号码“小于5”、“等于5”、“大于5”分别有5、1、4个，于是X 的分布律为（2）X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=2,1 21 ,6.010 ,.500 ,0 )(x x x x x F X ； （3）2)1(-=X Y 分布律为即2)1(-=X Y 服从参数为0.9的0-1分布.3. 设随机变量X 的分布密度为∞<<∞-=-x Aex f x X ,)(. 求（1）A 的值;（2）)21(<<-X P ;（3）X的分布函数;（4）21X Y -=的分布密度. 解：（1）122)(0===⎰⎰∞-∞∞-A dx Ae dx x f x X , 21=∴A ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=∴-0,21 0,21)(x e x e x f x x X ； （2）)(2112121)21(212001----+-=+=<<-⎰⎰e e dx e dx e X P x x ； （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=+<===--∞-∞-∞-⎰⎰⎰⎰0 ,21121210 ,2121 )()(00x e dt e dt e x e dt e dt t f x F x x t t x x t xX X ； （4）)1(1)1()1()()(222y X P y X P y X P y Y P y F Y -<-=-≥=≤-=≤=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-<<---=1 ,01 1,)11(1y y y X y P ⎪⎩⎪⎨⎧≥<--+--=1 ,11,)1()1(1y y y F y F X X 求导得⎪⎩⎪⎨⎧≥<---+-=1 ,0 1,121)]1()1([)(y y y y f y f y f X X Y⎪⎩⎪⎨⎧≥<-+=----1 ,0 1 ,121]2121[11y y y e e y y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--1 ,01,1211y y e y y .4. 根据历史资料分析, 某地连续两次强地震间隔的年数X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0 ,00,1)(1.0x x e x F x ，现在该地刚发生了一次强地震，求（1）今后3年内再发生强地震的概率；（2）今后3-5年内再发生强地震的概率；（3）X 的分布密度)(x f ，指出X 服从什么分布.解：（1）26.01)3()3(31.0=-==≤⨯-e F X P ；（2）13.0)1()1()3()5()53(31.051.0=---=-=≤<⨯-⨯-e eF F X P . （3）X 的分布密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤>=--0,0 0,1010 ,0 0,1.0)(1011.0x x e x x e x f x x ，故X 服从参数为10的指数分布. 5.（1）设),2(~p b X , ),3(~p b Y , 且95)1(=≥X P , 求)1(≥Y P .（2）设)(~λP X , 且)2()1(===X P X P , 求)4(=X P .（3）设),(~2σμN X ，试分析当↑σ时，概率)(σμ<-X P 的值将如何变化. 解：（1）),2(~p b X ，95)1(1)0(1)1(2=--==-=≥∴p X P X P ，故321=-p ，31=p . 从而)31,3(~b Y , 2719)32(1)1(1)0(1)1(33=-=--==-=≥∴p Y P Y P . （2）)(~λP X , 且)2()1(===X P X P , 即λλλλ--=e e !2!121, 亦即λλ22=, 又0>λ, 2=∴λ.从而)2(~P X , 2!2)(-==e k k X P k, .2,1,0 =k 于是22432!42)4(--===e e X P . （3）),(~2σμN X ，故6826.01)1(2)1()1()()(=-Φ=-Φ-Φ=+<<-=<-σμσμσμX P X P . 故当↑σ时，概率)(σμ<-X P 的值.6. 设某城市男子的身高(单位:cm))6,170(~2N X .（1）应如何设计公共汽车的车门高度, 才能使该地男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182cm, 求100个男子中会与车门碰头的人数至多是1的概率.解：（1）设公共汽车的车门高度应为x cm. 则 要使01.0)6170(1)(1)(<-Φ-=≤-=>x x X P x X P , 只须)33.2(99.0)6170(Φ=>-Φx , 从而只要33.26170>-x , 于是98.183>x 即可.（2）若车门高度为182cm, 则1个男子会与车门碰头的概率为 0228.0)2(1)6170182(1)182(1)182(=Φ-=-Φ-=≤-=>=X P X P p 设100个男子中会与车门碰头的人数为Y , 于是)0228.0,100(~b Y , 从而34.09772.00228.09772.00228.0)1()0()1(991110010000100=+==+==≤C C Y P Y P Y P .7. 设带有3颗炸弹的轰炸机向敌人的铁路投弹, 若炸弹落在铁路两旁40米以内, 即可破坏铁路交通. 记弹落点与铁路的距离为X (单位: 米), 落在铁路一侧时X 的值为正, 落在另一侧时为负. X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它 ,0 1000 ,100001000100,10000100)(x x x x x f若3颗炸弹全部使用, 求敌人铁路交通受到破坏的概率.解：1颗炸弹落在铁路两旁40米以内的概率为64.01000010010000100)()40(4000404040=-++==<=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x f X P p 设3颗炸弹中落在铁路两旁40米以内的颗数为Y , 则)64.0,3(~b Y ，从而至少1颗炸弹落在铁路两旁40米以内（可破坏铁路交通）的概率为95.0)64.01(1)0(1)1(3=--==-=≥Y P Y P8. 设),(~b a U X , 证明: 当0>k 时, l kX Y +=仍服从均匀分布.证明：),(~b a U X ，⎪⎩⎪⎨⎧<<-=∴其它,0 ,1)(b x a a b x f X ，而)()()()()(k l y F k l y X P y l kX P y Y P y F X Y -=-≤=≤+=≤= 求导得k k l y f y f X Y 1)()(-=. 又因为⇔≠-0)(k l y f X l bk y l ak b kl y a +<<+⇔<-<，故 ⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-=其它,0 ,)(1)(l bk y l ak ka b y f Y . 即当0>k 时, l kX Y +=在),(l bk l ak ++上服从均匀分布. 证毕.9.（1）设X 的分布密度⎩⎨⎧<<--=其它 ,0 11,1)(x x x f X , 用分布函数法求X Y =的分布密度；（2）设)1,0(~U X , 用公式法求XY +=11的分布密度. 解：（1）⎩⎨⎧≤>--=<<-=≤=≤=0 ,00,)()()()()()(y y y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y , 求导得 ⎩⎨⎧≤>-+=0 ,0 0,)()()(y y y f y f y f X X Y 注意到当且仅当10<<y 时)(),(y f y f X X -取非零表达式，故⎩⎨⎧<<-=--+-=其它 ,010),1(2)1()1()( y y y y y f Y （2）)1,0(~U X ，⎩⎨⎧<<=∴其它,0 10,1 )(x x f X ，而当10<<x 时x y +=11单调可导；反函数为11)(-=y y h ，21)('y y h -=；21)1(,1)0(==y y ，由定理知⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,0 121 ,)('))(()( y y h y h f y f X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,0 121 ,12y y 10. 试证明：若 ,3,2,1,)1()(1=-==-k p p k X P k , 则)()(t X P s X t s X P >=>+>, 其中t s ,是非负整数.（即几何分布具有“无记忆性”) 证明：t t t k k t k k p p p p p p p p t X P )1()1(1)1()1()1()(1111-=---=-=-=>∑∑∞+=-∞+=-， )()()(),()(s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P >+>=>>+>=>+>，由上一步结果知 t s ts p p p s X t s X P )1()1()1()(-=--=>+>+，故)()(t X P s X t s X P >=>+>对任意非负整数t s ,成立. 即几何分布与指数分布一样，具有“无记忆性”. 证毕.第 1 页：第二章 随机变量及其分布习 题 课**************************************************第二章随机变量及其分布习 题 课第 2 页：**************************************************随 机 变 量离 散 型随机变量连 续 型随机变量分 布 函 数分 布 律密 度 函 数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的函数的分布定义知识结构特征数第 3 页：随机变量与普通的函数不同**************************************************随机变量与普通的函数不同随机变量随机变量的取值具有一定的概率规律设 ={}为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数 X=X() 为随机变量.用来表示随机现象结果的变量。
李贤平 《概率论与数理统计 第二章》答案
第2章 条件概率与统计独立性1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。
3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。
5、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。
6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。
10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。
以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。
试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。
11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。
若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
概率论与数理统计第二章课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ，k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1)(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C ,m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得24(1),9p -= 即1.3p =从而465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得25e 2(5)0.00185!P X -=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++ 213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰ (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x -=-故1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3）F （x ）. 【解】（1）15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d xf t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰故1001,100()0,x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xxxx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1）求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2）确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1）23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭ 1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩ （1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2）2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时00()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰ 当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1）f (x )=a e - |x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故2a λ=即密度函数为e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时00()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1）()0.01P X z α>=即1()0.01z αΦ-= 即()0.09z αΦ= 故 2.33z α=（2）由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即/2()0.9985z αΦ= 查表得/2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-= 2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度； （2）求Y =2X 2+1的概率密度； （3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故d ()()d Y Y X X f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1）Y =e X的分布函数及密度函数； （2）Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1）(01)1P X <<=故(1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰ 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
概率论与数理统计第二章习题与答案
概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ， 或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
陈国华等主编概率论与数理统计第二章习题解答
∫ π 2 cos dx =
−
1
2
sin x + 1 2
当x≥
π
2
时， F ( x) = P ( X ≤ x) =
∫
2 −∞
−
π x 1 1 1 cos xdx + ∫ 2π cos xdx + ∫π cos xdx = 1 − 2 2 2 2 2
⎧ Ax 2 e − λx 6．设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x) = ⎨ ⎩ 0
∫
k
0
λ × e −λ × x dx =
1 2
解之得 k=
ln 2
λ
1. 已知离散随机变量 X 的分布列为 X -2 -1 0 1 1/5 1/6 1/5 P 2 试求Y=X 与Z=|X|的分布列.
答案：解：由题意得：
3
1/15
11/30
x P
2
0 1/5 0 1
1 7/30 2 1/5
4 17/30 3 11/30
1
P=0.02,
39
λ = n × P = 0 .8 .
=1- C 40 × (0.02) × (0.98) (2) P(X>=2)=1-P(X=1)-P(X=0) =1-
0 − C 40 × (0.98) 40 =
0.8 −1 (0.8) 0 ×e − × e 0 = 0.192 1! 0!
已知某商场一天来的顾客数 X 服从参数为λ的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概 2、 率为 p,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp 的泊松分布. 答案：证明：已知 X~P( λ )，设购物的顾客数为 Y,由题设知
（3）
1 P (0 < X < )
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案
2× 2 4 1× 2 2 = ， P{Y = 5} = 2 = ， 2 6 36 6 36 故 Y 的分布列为 P{Y = 4} =
Y P
0 6 36
1 10 36
2 8 36
3 6 36
4 4 36
5 2 ． 36
3． 口袋中有 7 个白球、3 个黑球． （1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数 X 的概率分布列； （2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时 X 的概率分布列如何． 解： （1）X 的全部可能取值为 1, 2, 3, 4，
且 P{ X = 1} =
X P
1 2 3 4 ． 0.7 0.24 0.054 0.006
4． 有 3 个盒子，第一个盒子装有 1 个白球、4 个黑球；第二个盒子装有 2 个白球、3 个黑球；第三个盒 子装有 3 个白球、2 个黑球．现任取一个盒子，从中任取 3 个球．以 X 表示所取到的白球数． （1）试求 X 的概率分布列； （2）取到的白球数不少于 2 个的概率是多少？ 解：设 A1 , A2 , A3 分别表示“取到第一个、第二个、第三个盒子” ， （1）X 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3， 且 P{X = 0} = P (A1) P{X = 0 | A1} + P (A2) P{X = 0 | A2} + P (A3) P{X = 0 | A3}且 P{ X = 1}Fra bibliotek=X P
1 11 36
2 9 36
3 7 36
4 5 36
5 3 36
6 1 ； 36
（2）Y 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5， 且 P{Y = 0} =
6 6 5 × 2 10 = ， P{Y = 1} = 2 = ， 6 2 36 6 36 4× 2 8 3× 2 6 P{Y = 2} = 2 = ， P{Y = 3} = 2 = ， 6 36 6 36
概率论与数理统计练习册-第二章答案
第二章 随机变量及其分布基础训练Ⅰ一、选择题1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。
A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布。
A ）2B ）1C ）1/2D ）33、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ）A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/25、设随机变量),(~2σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ）A) 0 B)μ C) μ- D) σ二、填空题1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。
2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5.03.02.0210，则P (X ≤1.5) = 0.5 。
3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1,1/2）内的概率为 1 / 4 。
4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为0.6 。
5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论与数理统计 第二章习题附答案
习题4-11. 设随机变量求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +.解 由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=;8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E .2. 设随机变量X 的概率密度为,0,()0,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤求Xe Z X Y 22-==和的数学期望.解 0()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞-====⎰e d ,2201()()3X x x E Z E e e e dx ∞---==⋅=⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为1,060,()600,.x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤因此, 6001()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞===⎰⎰()5255560525551(5)(25)(55)(65)60x dx x dx x dx x dx =-+-+-+-⎰⎰⎰⎰=11.67(分钟)..习题4-21. 选择题(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)]()E X -=.(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36.应选(D).(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).(A) 10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.应选(C).(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ, 则有( ).(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.(C) ()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.选(D).(4) 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若~(,),().X B n p E X np =则(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.选(B).2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ). 解 由数学期望和方差的性质有E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,(32)9()4()D X Y D X D Y -=+ })]([)({4})]([)({92222Y E Y E X E X E -⨯+-⨯= 13)45(4)45(9=-⨯+-⨯=. 5. 设随机变量]2,1[~-U X , 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1X X X Y求期望()E Y 和方差)(Y D .解 因为X 的概率密度为1,12,()30,.X x f x -=⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它于是Y 的分布率为--11{1}{0}31()d d 3X P Y P X f x x x ∞=-=<===⎰⎰, {0}{0}0P Y P X ====,+22{1}{0}31()d d 3X P Y P X f x x x ∞==>===⎰⎰. 因此121()1001333E Y =-⨯+⨯+⨯=,222212()(1)001133E Y =-⨯+⨯+⨯=.故有 2218()()[()]199D Y E Y E Y =-=-=.习题4-31. 选择题(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.选(D).(2) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).(A) X 与Y 一定独立. (B) (X , Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.选(A).(3) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量.(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 选(D)2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .解 (32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-)()(126449Y D X D XY ⨯⨯-⨯+⨯=ρ 727.24626.0122436≈⨯⨯⨯-+=.3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22()()2E X E Y ==, 求2[()]E X Y +.解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++42420.526.XY ρ=+=+⨯⨯=4. 设随机变量(X , Y )若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 解 首先由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+得=b于是 故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=.7．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X 与Y 不相关.证 首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的. 事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±. 因此()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ⇔=⇔=.其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.进而0XY ρ==, 即X 与Y 不相关.最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XY ρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.。
概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案
2.设离散型随机变量X的分布律为:
X
-1
2
3
P
0.25
0.5
0.25
求X的分布函数,以及概率 , .
解:
则X的分布函数F(x)为:
3.设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数,且F(x)=a F1(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.
证:
4.如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:
注:可知X为从2到12的所有整数值．
可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故
P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)
P(X=3)=2*(1/36）＝1/18(两种组合(1,2)(2,1))
P(X=4)=3*(1/36）＝1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))
求: (1) ; (2)
解:
(1)
(2)(2)
5.设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程 (利用二次式的判别式)
解: K~U(0,5)
方程式有实数根,则
故方程有实根的概率为:
6.设X ~ U(2,5),现在对X进行
解:
至少有两次观测值大于3的概率为:
7.设修理某机器所用的时间X服从参数为λ=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.
(1)Y=2X+1; (2) (3)
解: (1)Y=g(x)=2X+1,
X的概率密度为:
即
(2)
即
(3)
,
即
6.X~N(0,1),求以下Y的概率密度:
(1)
解: (1)
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第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,1013、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表X ： 0， 1， 2P ：351,3512,35224、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。
假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
（1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律。
（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。
以Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y 的分布律。
（3）求试飞次数X 小于Y 的概率；求试飞次数Y 小于X 的概率。
解：（1）X 的可能取值为1，2，3，…，n ，…P {X=n }=P {前n －1次飞向了另2扇窗子，第n 次飞了出去}=31)32(1⋅-n ， n=1，2，……（2）Y 的可能取值为1，2，3P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=31P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去}=312132=⨯P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}=31!3!2=∑∑===<===<==<3231}|{}{}|{}{}{)3(k k k Y Y X P k Y P k Y Y X P k Y P Y X P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==<0}1|{Y Y X P 全概率公式并注意到278313231313131}{}{32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯=<==∑=k k X P k Y P }{}|{,k X P k Y Y X P Y X <==<独立即注意到同上，∑======31}|{}{}{k k Y Y X P k Y P Y X P81192743192313131}{}{31=⨯+⨯+⨯====∑=k k X P k Y P 故8138){}{1}{==-<-=<Y X P Y X P X Y P 6、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？0729.0)9.0()1.0()2(322525225=⨯⨯===-C q p C X P（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≥C C C X P（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(⨯⨯+⨯⨯+=≤C C C X P99954.0)9.0()1.0(2335=⨯⨯+C（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？ 40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥X P X P7、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号。
（1）进行了5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率 。
（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率解： 设X 为 A 发生的次数。
则()0.3,.X B n : n=5，7 B:“指示等发出信号“ ① (){}3P B P X =≥55530.30.70.163k k k k C-===∑②(){}3P B P X =≥={}{}7231k P X K P X K ===-=∑∑71622510.70.30.70.30.70.353G G =--⋅⨯-⨯≈ 8、甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。
求 （1）二人投中次数相等的概率。
记X 表甲三次投篮中投中的次数 Y 表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。
P (X =Y )=P (X =0, Y=0)+P (X =2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X =0) P (Y=0)+ P (X =1) P (Y=1)+ P (X =2) P (Y=2)+ P (X =3) P (Y=3)= (0.4)3× (0.3)3+ [])3.0(7.0[])4.0(6.0213213⨯⨯⨯⨯⨯C C 3223223)6.0(]3.)7.0([]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯+C C 321.0)7.0(3=⨯（2）甲比乙投中次数多的概率。
P (X>Y )=P (X =1, Y=0)+P (X =2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2) =P (X =1) P (Y=0) + P (X =2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2)=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯82233213)3.0(]4.0)6.0([)3.0(])4.0(6.0[C C 3213223)6.0(])3.0(7.0[]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯C C 321333)6.0(])3.0(7.0[)6.0()3.0(+⨯⨯⨯+⨯C 243.0]3.0)7.0([223=⨯⨯⨯C9、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率解：X 表示10件中次品的个数，Y 表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故X~B （10，0.1），Y~B （5，0.1）（近似服从） （1）P {X =0}=0.910≈0.349（2）P {X ≤2}=P {X =2}+ P {X =1}=581.09.01.09.01.0911082210≈+C C （3）P {Y =0}=0.9 5≈0.590（4）P {0<X ≤2，Y=0} ({0<X ≤2}与{ Y=2}独立) = P {0<X ≤2}P {Y=0} =0.581×0.590≈0.343 （5）P {X =0}+ P {0<X ≤2，Y=0} ≈0.349+0.343=0.69210、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。
如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。
（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。
他连续试验10次，成功3次。
试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。
）解：（1）P (一次成功)=701148=C（2）P (连续试验10次，成功3次)= 100003)7069()701(73310=C 。
此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。
11. 尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的。
但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章。
设某地区每年撰写此类文章的篇数X 服从参数为6的泊松分布。
求明年没有此类文章的概率。
解： ().6~πX Θ6=λ{}0025.01066≈===∴-e e X P 12. 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布。
求（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。
（2）某一分钟的呼唤次数大于3的概率。
()4~πX 4=λ（1）{}∑∑∞=∞=--⋅-⋅==899484!!8r r r e r e X P λλ 029771.0021363.0051134.0=-= （2）566530.0}4{}3{=≥=>X P X P13. 某一公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。