数列求和习题及答案.docx

§

数列求和

（ ： 45

分 分： 100

分）

一、 ( 每小 7

分，共 35 分 )

*

1

1．在等比数列 {a n } (

n ∈ N ) 中，若 a 1＝ 1， a 4＝ 8， 数列的前

10 和 (

)

A ． 2－ 18

B ． 2－ 19

2 2 C ． 2－

1

10

D ． 2－

1

11

2

2

2．若数列 {a n } 的通 公式

a n ＝2n ＋ 2n － 1， 数列 {a n } 的前 n 和 (

)

n

2 n ＋ 1

2

A ． 2 ＋ n －1

B ． 2 ＋ n － 1

C ． 2n ＋

1＋ n 2－ 2

D ． 2n ＋ n － 2

3．已知等比数列 {a

n } 的各 均 不等于 1 的正数， 数列 {b } 足 b ＝ lg

a ，

b ＝ 18，b ＝ 12，

n

n

n

3

6

数列 {b n } 的前 n 和的最大 等于 ( )

A ． 126

B ． 130

C ． 132

D ． 134

4．数列 {a } 的通 公式

n － 1 ·(4 n － 3) ， 它的前 100 之和 S

等于 (

)

n a ＝ ( － 1)

n

100

A ． 200

B ．－ 200

C ． 400

D ．－ 400

5．数列 1·n , 2(n －1),3(n

－2) ，⋯， n ·1的和 ( )

n(n ＋ 1)(n ＋ 2) n(n ＋ 1)(2n ＋ 1) n(n ＋ 2)(n ＋ 3)

n(n ＋ 1)(n ＋ 2)

二、填空 ( 每小 6 分，共 24 分 )

6．等比数列 {a } 的前 n 和 n

2 2

2

S ＝2 － 1， a

＋ a ＋⋯＋ a

＝ ________.

n n

1

2

n

7．已知数列 {a } 的通 a

与前 n 和 S

之 足关系式

S ＝ 2－ 3a ， a ＝ __________.

n

n

n

n

n

n

8．已知等比数列 {a } 中， a 1＝ 3，a 4＝ 81，若数列 {b

} 足 b ＝log 3a ， 数列

的前 n

n

n

n

n

1

b b

n ＋ 1

n 和 S ＝ ________.

n

9． 关于 x 的不等式 x 2－ x<2nx (n ∈ N * ) 的解集中整数的个数

a n ，数列 {a n } 的前 n 和

S n ， S 100 的 ________．

三、解答 ( 共 41 分 )

10． (13 分 ) 已知数列 n

n

和， 于任意的

*

{a } 的各 均 正数， S 其前 n

n ∈N 足关系式

2S n ＝ 3a n －3. (1) 求数列 {a } 的通 公式；

n

(2) 数列 {b

} 的通 公式是 b ＝

1 ，前 n 和 T ，求 ： 于任意的

n

n

n

log 3a n ·log 3a n ＋ 1

正数 n ， 有 T n <1.

} 足 a ＋ a ＋ a ＝ 28，且 a ＋ 2 是 a ， a 的等差

11． (14 分) 已知 增的等比数列 {a

n

2

3

4

3

2 4

中．

(1)求数列 {a n} 的通公式；

(2) 若 b n＝ a n log 1n＋1

成立的最小正整数n 的．

a n，S n＝ b1＋b2＋⋯＋

b n，求使S n＋ n·2 >50

2

12． (14 分 ) 已知等差数列 {a} 的首 a ＝ 1，公差 d>0，且第二、第五、第十四分

n1

是一个等比数列的第二、第三、第四．

(1)求数列 {a n} 的通公式；

n1*n n

，是否存在最大的整数t ，使得任意(2)b＝n(a n＋3) (n ∈N) ，S ＝ b1＋b2＋⋯＋ b

n t

成立？若存在，求出t ；若不存在，明理由．

的 n 均有 S >36答案

1 n

7.1 3 n－1

8.

n

100

6. 3(4－ 1) 2 4＋ 1

n

2S＝ 3a－3，

10. (1)n n( n≥2) ．

解由已知得n n

－ 3

2S－1＝ 3a－1

故2(S n－S n－1) ＝2a n＝ 3a n－ 3a n－1，即 a n＝ 3a n－1 (n ≥2) ．故数列 {a n} 等比数列，且公比q＝ 3.

又当 n＝ 1 ， 2a1＝ 3a1－ 3，∴ a1＝3. ∴ a n＝ 3n.

(2) 明

1

∵ b n＝n( n＋ 1)

＝1－1.

n n＋1

∴ T n＝ b1＋b2＋⋯＋ b n

111

＋⋯＋11

＝ 1－＋－

3－

n＋1

22n

1

＝ 1－n＋1<1.

11 解 (1) 此等比数列a1，a1q， a1q2， a1q3，⋯，其中 a1≠0， q≠ 0.

11213

＝ 28，①由意知： a q＋ a q ＋ a q

a1q＋ a1q3＝ 2(a 1q2＋ 2) ．②

②× 7－①得 6a 13121

q －15a q＋ 6a q＝0，

1

即2q2－ 5q＋ 2＝ 0，解得 q＝ 2 或 q＝ .

2

∵等比数列 {a n} 增，∴ a1＝ 2， q＝2，∴ a n＝ 2n.

n

(2) 由 (1) 得 b n＝－ n·2，