数列求和习题及答案.docx

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高考数学一轮复习《数列求和》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列求和》练习题（含答案）一、单选题1．已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30S =（） A ．351 B ．353C ．531D ．5332．已知)*n a n N =∈，则12380a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．7B ．8C ．9D ．103．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +=++，令nn a b n=，若对于任意*N n ∈，不等式142t n b +<-恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(],1-∞-C ．(],0-∞D ．(],1-∞4．数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数.已知数列{}n a 满足21a =，且121(1)2n n n n a na +++-=，若[]lg n n b a =数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021T =（） A ．3950B ．3953C ．3840D ．38456．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010117．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12πcos 3n n n n a a a ++++=，11a =，则2023S =（）A ．0B ．12C ．lD ．328．已知函数0()e ,xf x x =记函数()n f x 为(1)()n f x -的导函数(N )n *∈，函数()n y f x =的图象在1x =处的切线与x 轴相交的横坐标为n x ，则11ni i i x x +==∑（）A ．()132n n ++B ．()33nn +C ．()()23nn n ++D ．()()123n n n +++9．数列{}n a 中，12a =，且112n n n n n a a a a --+=+-（2n ≥），则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为（） A ．20211010B ．20211011C ．20191010D ．4040202110．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．20202019B ．20212020C ．20192020D ．2020202111．已知数列{an }的前n 项和Sn 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为Tn ，n ∈N *.则使得T 20的值为（） A ．1939B ．3839C ．2041D ．404112．已知数列{}n a 满足()22N n n n a a n *++=∈，则{}n a 的前20项和20S =（）A ．20215-B ．20225-C ．21215-D ．21225-二、填空题13．等差数列{}n a 中，11a =，59a =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n S ，则10S =___________. 14．已知数列{}n a 满足，()2*111,(1)2,n n n a a a n n n N -=--=-⋅≥∈，则20a =__________.15．在等差数列{}n a 中，72615,18a a a =+=，若数列{}(1)nn a -的前n 项之和为n S ，则100S =__________．16．若数列{}n a 满足()1*1(1)2n n n n a a n ++=-+∈N ，令1351924620,S a a a a T a a a a =++++=++++，则=TS__________.三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且32a =，47S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求{}n a 通项公式；（2）设11n n n b a a +=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．19．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a +==，数列{}n b 满足*111,2,n n b b b n +=-=∈N .(1)求数列{}n a 及{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .20．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足1341n n n a a a +=+. (1)证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)若12311112022na a a a ++++<，求正整数n 的最大值.21．已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-. （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S .22．已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+，数列{}n b 满足1142,4b a b a ==，221,.n n n b b b n N *++=∈(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记21(67),83log ,nnn n n b n S c b n +-⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，若不等式24(1)41n nn T n λ-+<+对一切n N *∈恒成立，求λ的取值范围．23．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足___________.给出下列三个条件： ①48a =，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥；②()1n n S pa p =-∈R ；③()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题： (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()22121log n n b n a =+⋅，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1132n T ≤<.24．已知数列{}n a 的各项均为正整数，11a =.(1)若数列{}n a 是等差数列，且101020a <<，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ；(2)若对任意的*n ∈N ，都有2112112n n n n a a a a +++-<+，求证：12n na a +=参考答案1．B2．B3．D4．D5．D6．C7．C8．B9．B10．D11．C12．D 13．102114．210 15．100 16．2317．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由32a =，47S =，可得1122,43472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111,2a d ==，所以数列{}n a 的通项公式为()111122n n a n +=+-=. （2）由（1）知12n n a +=，则11221141212n n n b a a n n n n +⎛⎫==⋅=- ⎪++++⎝⎭，故111111114442233412222n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 18．（1）当2n ≥时，2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+=，当1n =时，由113a S ==，符合上式.所以{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）∵21n a n =+， ∴()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， ∴1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 19．（1）由已知111,2n n a a a +==所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a -=数列{}n b 满足111,2n n b b b +=-=所以{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列 21n b n =-（2）()11132212n n S n -=⨯+⨯++-①对上式两边同乘以2，整理得()221232212n n S n =⨯+⨯++-②①-②得()()2112222212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---()2323n n =---所以()2323nn S n =⋅-+20．（1）易知{}n a 各项均为正，对1341n n n a a a +=+两边同时取倒数得1111433n n a a +=⋅+，即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为1121a -=，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）知11111233n n n a --⎛⎫-==⎪⎝⎭，即11123n n a -=+，所以()12311311113122112313n n n f n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=+- ⎪⎝⎭-，显然()f n 单调递增，因为()10101011313110102021.52022,(1011)2023.520222323f f =-<=-⋅>，所以n 的最大值为1010. 21．（1）数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-. 由n n b a n =+，那么111n n b a n ++=++， ∴1112112n n n n n n b a n a n n b a n a n+++++-++===++；即公比2q，1112b a =+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得2nn b =，∴2nn a n +=，那么数列{}n a 的通项公式为：2nn a n =-，数列{}n a 的前n 项和为232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()2121222(123)2222nn n n n +=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=---.22．（1）解：因为22n n S a n =+，当n =1时，得11a =，当2n ≥时，21121n n S a n --=+-，所以22121n n n a a a -=-+，即221(1)n n a a -=-，又因为数列{}n a 为递增数列，所以11n n a a --=，数列{}n a 为等差数列， 11a =，d =1, 所以n a n =；所以1142841,b a b a ====，又因为221,.n n n b b b n N *++=∈ 所以数列{}n b 为等比数列，所以33418b b q q ===，解得2q，所以12n n b -=.（2）由题意可知：(1)2n n n S +=，所以()2167,83log ,n n n n n b n c S b n +⎧-⎪=-⎨⎪⎩为奇数为偶数,故2(67)2,443,n n n n c n n n n -⎧-⎪=+-⎨⎪⎩１为奇数为偶数，设{}n c 的前2n 项和中，奇数项的和为n P ，偶数项的和为n Q 所以135212462=,=,n n n n P c c c c Q c c c c -++++++++当n 为奇数时，()()2)2123(67)2(67222=,4432321n n n n n n n c n n n n n n --+----==-+-++-１１１１所以42220264135221222222==5195132414329n n n n P n c c c n c --⎛⎫⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫++++-+-+-++ ⎪ ⎪⎭-- ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,44411=412=1n nn n --++ 当n 为偶数时n c n =，所以()()246222==246212n n n nQ c c c c n n n +++++++++==+，故()2,4=4=111n n n n T n n P Q n -++++故24(1)41n nn T n λ-+<+，即()()111144(1)(1)4141n nnn n n n n n n λλ-+<-+-++⇒-+<++当n 为偶数时，21n n λ<+-对一切偶数成立，所以5λ<当n 为奇数时，21n n λ<+--对一切奇数成立，所以此时1λ>- 故对一切n N *∈恒成立，则15λ-<< 23．（1）若选①，因为()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥，所以()2112n n n a a a n -+=≥，所以数列{}n a 是等比数列设数列{}n a 的公比为q ，0q >由33418a a q q ===得2q所以12n n a -=若选②，因为()1n n S pa p =-∈R ，当1n =时，1111S pa a =-=，所以2p =，即21n n S a =- 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以()122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=若选③，因为()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R ，当1n =时，11222a k =⋅=，所以1k =，即()12323412n n a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当2n ≥时，()1123123412n n a a a na n --+++⋅⋅⋅+=-⋅，所以()()()11122n n n a n n -+=+⋅≥，即()122n n a n -=≥，当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=（2）由（1）得()()()221111121log 212122121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+⋅+⋅--+⎝⎭所以()111111111233521212221n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-++⎝⎭ ∵*N n ∈，∴()10221n >+，∴()11122212n T n =-<+ 易证*n ∈N 时，()112221n T n =-+是增函数，∴()113n T T ≥=.故1132n T ≤<24．(1)解：设数列{}n a 的公差为d ，由10101920a d <=+<，可得1919d <<，又由数列{}n a 的各项均为正整数，故2d =，所以21n a n =-，于是()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+，所以111111111121335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. (2)解：因为{}n a 各项均为正整数，即1n a ≥，故112nna a ≥+，于是()211112122112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++-=-≥-++，又因为21121<12n n n n a a a a +++-+，所以121n n a a +-<，由题意12n na a +-为整数，所以只能120n n a a +-=，即12n n a a +=。

小学数学《数列求和》练习题(含答案)

小学数学《数列求和》练习题（含答案）【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）3、4、5、6、……、76、77、78（3）4、7、10、13、……、40、43、46（4）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。

（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。

对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。

（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。

当然，我们还可以有其他的配组方法。

（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。

这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。

希望教师能帮助孩子牢固掌握。

【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100（2）2＋5+8+…＋23+26＋29分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。

数列求和汇总例题与答案)

数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn例1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。

解：2222222212345699100-+-+-+--+()()()()2222222221436510099=-+-+-++-()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+3711199=+++＋由等差数列的求和公式得()50503199S 50502＋＝＝二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.例2求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例3求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….① 将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.52、求和：222222222222222101109293832921101++++++++++四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x解:原式=()nxx x x ++++ 32⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++n y y y 1112 =()yy y xx x n n1111111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- =nn n n y y y x x x --+--++1111 练习：求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n a a S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

数列求和(含解析)

数列求和班级___________ 姓名_____________ 学号__________层级一学业水平达标1．已知a n ＝(－1)n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( ) A ．1,1 B ．－1，－1 C ．1,0D ．－1,02．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 3．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前10项和等于( ) A ．130 B ．120 C ．55D ．504．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值( )A ．13B ．－76C ．46D ．765．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为( ) A ．2100－101 B ．299－101 C ．2100－99D ．299－996．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为________．7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .10．在等差数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝a n2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .层级二应试能力达标1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n项的和为( )A ．4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1B ．4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋13．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )A ．11×(1.15－1)a 亿元B ．10×(1.15－1)a 亿元C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元4．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 0585．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________.6．已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1＝0，公差d ≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .8．在数列{a n }中，a 1＝－12，2a n ＝a n －1－n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝a n ＋n .(1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{nb n }的前n 项和T n ；(3)若c n ＝⎝⎛⎭⎫12n －a n ，P n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n 的前n 项和，求不超过P 2 018的最大的整数．答案解析1．已知a n＝(－1)n，数列{a n}的前n项和为S n，则S9与S10的值分别是() A．1,1B．－1，－1C．1,0D．－1,0解析：选D S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.2．数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数为()A．11B．99 C．120D．121解析：选C∵a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1，令n＋1－1＝10，得n＝120.3．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，b n＝log2a n，则数列{b n}的前10项和等于() A．130B．120C．55D．50解析：选C在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，即a n＋1a n＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以a n＝2×2n－1＝2n.所以b n＝log22n＝n.则数列{b n}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C.4．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值()A．13B．－76C．46D．76解析：选B∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29.S22＝(－4)×11＝－44.S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为()A．2100－101B．299－101C．2100－99D．299－99解析：选A 由数列可知a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以，前99项的和为S 99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝2(1－299)1－2－99＝2100－101.6．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为________．解析：∵等比数列{a n }中，a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，∴3q 2＝2q ＋q 3.又∵q ≠1，∴q ＝2，∴a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1是首项为12，公比为14的等比数列， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1441－14＝85128.答案：851287．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析：S 6S 3＝3，故q ≠1，∴a 1(1－q 6)1－q ×1－q a 1(1－q 3)＝1＋q 3＝3，即q 3＝2.所以S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q ×1－q a 1(1－q 6)＝1－231－22＝73.答案：738．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，d >0.由题意得(2＋d )2＝2＋3d ＋8，解得d ＝2. 故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n . (2)∵b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n ) ＝(2＋4＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n ) ＝(2＋2n )·n 2＋4·(1－4n )1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43.10．在等差数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝a n2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为d ＝a 7－a 37－3＝1，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝n ＋1. (2)b n ＝a n 2n －1＝n ＋12n －1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋12n －1.①12T n ＝22＋322＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，② 由①－②得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋1－n ＋12n＝1－12n1－12＋1－n ＋12n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1－n ＋12n ＝3－n ＋32n ，所以T n ＝6－n ＋32n －1.层级二应试能力达标1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1解析：选B 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以由S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，整理得3S n＝2S n ＋1，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，故S n＝⎝⎛⎭⎫32n －1.2．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n项的和为( )A ．4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1B ．4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1解析：选A ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.3．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )A ．11×(1.15－1)a 亿元B ．10×(1.15－1)a 亿元C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元解析：选A 由题意可知，今年年末的总产值为1.1a ，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a ，公比为1.1.所以其前5项和为S 5＝1.1a (1－1.15)1－1.1＝11×(1.15－1)a 亿元，故选A.4．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 5．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋16．已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1＝0，公差d ≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，则{a n }的前三项分别为1，q ，q 2，{b n }的前三项分别为0，d,2d ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝0，d ＝1(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，d ＝－1.于是新数列的前10项和为(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 10＋b 10)＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝1－2101－2＋10×0＋10×(10－1)2×(－1)＝978. 答案：9787．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13. (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n＝2n －12n －1，S n ＝1＋32＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.8．在数列{a n }中，a 1＝－12，2a n ＝a n －1－n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝a n ＋n .(1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{nb n }的前n 项和T n ；(3)若c n ＝⎝⎛⎭⎫12n－a n ，P n为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n 的前n 项和，求不超过P 2 018的最大的整数．解：(1)证明：由2a n ＝a n －1－n －1两边加2n 得， 2(a n ＋n )＝a n －1＋n －1，所以a n ＋n ＝12[a n －1＋(n －1)]，即b n ＝12b n －1.因为b 1＝a 1＋1＝－12＋1＝12，所以数列{b n }是首项、公比均为12的等比数列，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . (2)nb n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝n 2n .T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①12T n ＝122＋223＋324＋425＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n .(3)由(1)得a n ＝⎝⎛⎭⎫12n－n ，所以c n ＝n .c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n ＝n 2＋n ＋1n 2＋n ＝1＋1n (n ＋1)＝1＋1n －1n ＋1. P 2 018＝⎝⎛⎭⎫1＋11－12＋⎝⎛⎭⎫1＋12－13＋1＋13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12 018－12 019＝2 019－12 019. 所以不超过P 2 018的最大的整数是2 018.。

数列求和Word版含答案

数列求和【课前回顾】1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．【课前快练】1．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0172 018，则项数n 为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017解析：选D 因为a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0172 018，所以n ＝2 017.2．数列{1＋2n -1}的前n 项和为( ) A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n -1·n ，则S 17＝________. 解析：S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案：9考点一公式法、分组转化法求和方法(一) 公式法求和几类可以使用公式法求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘(－1)n 等．1．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9. 解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.方法(二) 分组转化法求和 1．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型2．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，那么S 100的值为( ) A ．2 500 B ．2 600 C ．2 700D ．2 800解析：选B 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，所以a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，所以a n ＝n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，n ，n 为偶数，于是S 100＝50＋(2＋100)×502＝2 600.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1＝1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.考点二错位相减法求和1．掌握解题“3步骤”2．注意解题“3关键”(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．3．谨防解题“2失误”(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．【典型例题】(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[思维路径](1)可利用已知条件a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3列出关于首项a 1和公比q 的两个方程，解方程可得a 1，q ，从而求得通项公式．(2)由S 2n ＋1＝b n b n ＋1，利用求和公式及性质，推出数列{b n }的通项公式，结合(1)进而求出⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的通项公式，观察其特点用错位相减法求和即可．解：(1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n . (2)由题意知，S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1 ＝32＋1－⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ＋12n ＋1 ＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n. 【针对训练】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1，又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.考点三裂项相消法求和1．裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．2．常见数列的裂项方法角度(一) 形如a n ＝1n (n ＋k )型1．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋1角度(二) 形如a n ＝1n ＋k ＋n型2．(2018·江南十校联考)已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 018＝( )A. 2 017－1B. 2 018－1C. 2 019－1D. 2 019＋1解析：选C 由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 018－2 017)＋( 2 019－ 2 018)＝ 2 019－1. 角度(三) 形如a n ＝n ＋1n 2(n ＋2)2型3．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n<564. 解：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，故b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.【针对训练】(2018·天一大联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且S 2 0182 018－S 2 0172 017＝1. (1)求S n ； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n S n ＋1的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，因为S n n ＝na 1＋n (n －1)2dn ＝a 1＋(n －1)d2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为一个等差数列，所以S 2 0182 018－S 2 0172 017＝d2＝1，所以d ＝2，故S nn ＝n ，所以S n ＝n 2. (2)因为1S n S n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 【课后演练】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49D ．56解析：选C 设S n ＝An 2＋Bn ，由题知⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9，S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，∴S 7＝49.2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝⎛⎭⎫15n，则其前20项和为( ) A ．380－35⎝⎛⎭⎫1－1519 B ．400－25⎝⎛⎭⎫1－1520 C ．420－34⎝⎛⎭⎫1－1520 D ．440－45⎝⎛⎭⎫1－1520 解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝⎛⎭⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×(20＋1)2－3×15⎝⎛⎭⎫1－15201－15＝420－34⎝⎛⎭⎫1－1520.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( )A ．16B ．20C ．33D ．120解析：选C 由已知得a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.4． 5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A ．－2120 B ．－2 C ．－2110D ．－215解析：选C 由题意可设这5个数分别为a ，－2a,4a ，－8a,16a ，故奇数项和与偶数项和的比值为a ＋4a ＋16a －2a －8a＝－2110，故选C.5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.6．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2解析：选D 因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，① 2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，②所以①－②得，－S n ＝n －(2＋22＋23＋…＋2n )＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2. 7．已知数列：112，214，318，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________．解析：设所求的前n 项和为S n ，则S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12n ＋1. 答案：n (n ＋1)2－12n ＋1 8．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．答案：n (n ＋1)9．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.答案：3n －110．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________. 解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，② 由①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2＝3·21 009－3.答案：3·21 009－311．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n －1 C.1－4n3D.4n －13解析：选B 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， ∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，。

数列求和(含解析)

数列求和一、公式法(1)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式①当q ＝1时，S n ＝na 1；②当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝5a 1－a n q1－q .还要记住一些正整数的幂和公式22233332222)1(41]2)1([321)12)(1(61321+=+=++++++=++++n n n n n n n n n 例1 已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．解 (1)在11n n n n a b b nb +++=中选1n =，得1221a b b b +=，即11111,233a a +==．又因为{}n a 是公差为3的等差数列，所以23(1)31n a n n =+-=-．（2）由（1）得()1131n n n n b b nb ++-+=，即113n n b b +=，得{}n b 是以1为首项，13为公比的等比数列，得113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以{}n b 的前n 项和111313122313n n n S --==-⋅-．练习1 (1) 等差数列{a n }中，a 6 + a 35 = 10，则S 40 =_________. 200 (2）等比数列{a n }中，a 1 = 2 , a 2a 6 = 256，则S 5 =_________. 62或22 二、倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．例2 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值答案：289 练习2（选做）求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S ．解显然，这些既约分数为31,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m有 )31()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S也有 )31()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+= 三、分组求和法把一个数列分成几个可以直接求和的数列．一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．例3 (1) 求和：112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n . (2) 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2(x ≠0). 解析： (1) 求和：112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n . 答案 112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n . 梳理分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和. (2) 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2(x ≠0). 解当x ≠±1时，S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n . 综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ，x ≠±1且x ≠0.反思与感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和. 练习3 (1) 求数列{1＋2n －1}的前n 项和 . 解析 ∵a n ＝1＋2n －1，∴S n ＝n ＋1－2n 1－2＝n ＋2n －1.(2) 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .解由数列的前几项可归纳出a n ＝3n ＋2n －1，∴S n ＝(3＋2－1)＋(6＋22－1)＋(9＋23－1)＋...＋(3n ＋2n －1) ＝(3＋6＋9＋...＋3n)＋(2＋22＋...＋2n )－(1＋1＋ (1)＝n (3＋3n )2＋2(2n －1)2－1－n ＝3n 2＋n 2＋2n ＋1－2.(3) 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5①求{a n }的通项公式；①设b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2，求数列{b n }的前n 项和T n . [思路探索] (1)设出公比q ，根据条件列出关于a 1与q 的方程(组)，求得a 1与q ，可求得数列的通项公式．(2)由(1)中求得的数列通项公式，可求出{b n }的通项公式，由其通项公式可知其和可分成两个等比数列与一常数列分别求和．解 ①设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝⎛⎭⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4.化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1＞0，故q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1.②由①知，b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋4＋ (4)－1)＋⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋14n －1＋2n ＝4n －14－1＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.(3) 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.答案：n n n a n ++=23322)2()1()321()321(3)321(2222223333++=++++++++++++++=n n n n n n S（4）数列{a n }中，a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n+2 – a n = 1 + (–1)n ，则S 100 =__________。

数列求和-简单(含答案)

.数列求和1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，))(1(31*∈-=N n a S n n （1）求21,a a ；（2）求知数列{}n a 的通项公式。

【答案】（1）12-，14（2）n n a 21-=【解析】（1）由))(1(31),1(311111*∈-=-=N n a a a S 得211-=∴a 又)1(3122-=a S即41),1(312221=-=+a a a a 得,当)1(31)1(31211---=-=≥--n n n n n a a S S a n 时，得211-=-n n a a所以 21-=q 公比，n n a 21-=考点：求数列通项 2．已知等差数列{}n a 满足：52611,18a a a =+=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n a b 3+=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）2323212-+-+=n n n n S ．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由18,11625=+=a a a 得⎩⎨⎧=+=+186211411d a d a ，解得13,2,a d ==所以21n a n =+；（Ⅱ）由12+=n a n 得213nn b n =++．]()()123357213333nn S n =++++++++++⎡⎤⎣⎦L L ()12231333221322n n n n n n +-=++=+-+-考点：1．等差数列；2．等比数列求和；3．分组转化法求和． 3．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且，，，．（Ⅰ）求{}n b 通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c -=，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，则，所以，，所以．设等比数列的公比为，因为，，所以，即，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以．从而数列的前项和．4．已知数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，且，，，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n b a c +=，求数列{}n c 的前n 项和{}n T ．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公差为，的公比为，由，，得，，即有，，则，故．（2）由（1）知，,∴……．5．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且12a =，1a ,5a ,17a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（１）1n a n =+；（2）n T ()21242n n n n ++=++-..【解析】（１）设等差数列{}n a 的公差为d , 由1a ,5a ,17a 成等比数列得:25117a a a =⋅,即()()2242216d d +=⨯+, 整理得()10d d -=, 0d ≠Q ,1d ∴=,∴ ()2111n a n n =+-⨯=+．（2）由（1）可得+12+1n n b n =+．所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+()()()()234121122123121n n +++=++++++++++L()()23412222123n n n +=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++()211222122n n n n +⨯+-⨯=++-()21242n n n n ++=++-考点：等差数列和等比数列的性质，等差数列的通项公式，分组求和法，等差等比数列的求和公式.6．已知数列{}n a 的前n 项和2*,2n n nS n N +=∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n ann n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）数列{}n a 的通项公式为n a n =；（Ⅱ）数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+- 【解析】（Ⅰ）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=，故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(1)n nn b n =+-⋅，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(222)(12342)n n T n =++++-+-+-+L L ，记122222,12342nA B n =+++=-+-+-+L L ，则2212(12)2212n n A +-==--， (12)(34)[(21)2]B n n n =-++-++--+=L ，故数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+- 7．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n ．【答案】（Ⅰ）32n a n =-+；（Ⅱ）当c ＝1时，S n ＝()312n n -＋n ＝232n n+；当c ≠1时，S n ＝()312n n -＋11nc c--．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得113a d =-⎧⎨=-⎩∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2．（Ⅱ）∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，∴a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1． ∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋cn －1)＝()312n n -＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)．当c ＝1时，S n ＝()312n n -＋n ＝232n n+；当c ≠1时，S n ＝()312n n -＋11n c c--．考点：1.数列的通项公式；2.数列的求和；3.等差数列和等比数列的性质应用.8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-,12n n b -= (2)122n n T n+=--【解析】（Ⅰ ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时，111a S == 亦满足上式，故21n a n =-（*n N ∈）．又数列{}n b 为等比数列，设公比为q ∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =．∴ 12n n b -= （*n N ∈）．（Ⅱ）2121n nn b n c a b ==-=-．123n n T c c c c =+++L12(21)(21)(21)n=-+-++-L 12(222)nn =++-L 2(12)12n n -=--．所以 122n n T n +=--．考点：等差数列，等比数列，求和9．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求n a 及n S ；.（2）令n b =211n a -(n N *∈)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n+1n a =；n S =2n +2n 。

数列求和解答题50道(解析版)

数列求和解答题50道1.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 和S n 满足4S n =(a n +1)2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =a n +2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)∵4S n =(a n +1)2(n ∈N *)，n ≥2时，4S n-1=(a n -1+1)2，相减可得：4a n =(a n +1)2-(a n -1+1)2，化为：(a n +a n -1)(a n -a n -1-2)=0，∵a n +a n -1>0，∴a n -a n -1-2=0，即a n -a n -1=2，∴数列{a n }是公差为2的等差数列，n =1时，4S 1=4a 1=(a 1+1)2，解得a 1=1．∴a n =1+2(n -1)=2n -1．(2)b n =a n +2a n =2n -1+22n -1=2n -1+12×4n ．∴数列{b n }的前n 项和T n =n (1+2n -1)2+12×4(4n -1)4-1=n 2+2(4n -1)3．2.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n >1，且6S n =(a n +1)(a n +2)，n ∈N *．(1)求{a n }的通项公式：(2)设数列{b n }满足b n =a n ，n 是奇数2n ，n 是偶数，并记T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．【解析】(1)由a 1=S 1=16(a 1+1)(a 1+2)，整理可得：a 21-3a 1+2=0，结合a 1=S 1>1，解得a 1=2由a n +1=S n +1-S n =16(a n +1+1)(a n +1+2)-16(a n +1)(a n +2)得(a n +1+a n )(a n +1-a n -3)=0，又a n >0，得a n +1-a n =3从而{a n }是首项为2公差为3的等差数列，故{a n }的通项公式为a n =3n -1．(2)T 2n =(a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n )=n (2+6n -4)2+4(1-4n )1-4=4n +1-43+3n 2-n ． 3.已知数列{a n }满足a 1-12+a 2-122+⋯+a n -12n =n 2+n (n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n }的前n 项和S n ．【解析】(Ⅰ)∵a 1-12+a 2-122+⋯+a n -12n =n 2+n ，(n ∈N +)①∴a 1-12+a 2-122+⋯+a n -1-12n -1=(n -1)2+n -1=n 2-n (n ≥2，n ∈N +)，②由①-②得：a n -12n =2n ，∴a n =n •2n +1+1，n≥2，n ∈N +，③在①中，令n =1，得a 1=5，适合③式，∴a n =n •2n +1+1，n ∈N +．(Ⅱ)设b n =n •2n +1，其前n 项和为T n ，则：T n =1×22+2×23+⋯+n ×2n +1，①2T n =1×23+2×24+⋯+n ×2n +2，②②-①，得T n =-22-23-⋯-2n +1+n •2n +2=(n -1)•2n +2+4．∴S n =T n +n =(n -1)•2n +2+n +4．4.已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (k ∈N )，且S n 的最大值为8(1)确定常数k ，求a n ；(2)设b n =1a n a n +1，若数列{b n }的前n 项和为T n ，T n >m 恒成立，求m 的取值范围．【解析】(1)数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (k ∈N )，即为S n =-12(n -k )2+k 22，可得当n =k 时，取得最大值k 22，即有k 22=8，解得k =4；则S n =-12n 2+4n ，a 1=S 1=72，n ≥2时，a n =S n -S n -1=-12n 2+4n --12(n -1)2+4(n -1) =92-n ，上式对n =1也成立，则a n =92-n ；(2)b n =1a n a n +1=4(9-2n )(7-2n )=212n -9-12n -7，可得前n 项和为T n =21-7-1-5+1-5-1-3+⋯+12n -9-12n -7=21-7-12n -7 ，当n ≤3时，T n 增大；当n ≥4时，T n 增大，由T 1=435，T 4=-167，可得T n 的最小值为-167，∵T n >m 恒成立，可得m <-167．5.已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn ，k ∈N +，且S n的最大值为8．(1)确定k 的值；并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列9-2a n2n 的前n 项和T n ．证明：T n <4．【解析】(1)∵S n =-12n 2+kn =-12(n -k )2+12k 2，又n ，k ∈N +，所以当n =k 时，(S n )max =12k 2，由题设12k 2=8，故k =4，可得S n =-12n 2+4n ；当n =1时，a 1=S 1=72；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-12n 2+4n --12(n -1)2+4(n -1) =92-n ，上式也满足n =1，即a n =92-n ，n ∈N +；(2)证明：a n =92-n ，9-2a n 2n =n 2n -1，故前n 项和T n =1•12 0+2•12 1+⋯+n •12 n -1，12T n =1•12 +2•12 2+⋯+n •12 n ，两式相减可得12T n =1+12+12 2+⋯+12 n -1-n •12 n =1-12n 1-12-n •12 n ，化简可得T n =4-(n +2)•12 n -1，则T n <4．6.已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (其中k ∈N +)，且S n 的最大值为8．(Ⅰ)确定常数k ，并求a n ；(Ⅱ)求数列9-2a n2n 的前n 项和T n ．【解析】(Ⅰ)数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (其中k ∈N +)，且S n 的最大值为8，当n =k 时，S n 取得最大值，则12k 2=8，解得k =4，可得S n =-12n 2+4n ，a 1=S 1=4-12=72，n ≥2时，a n =S n -S n -1=-12n 2+4n +12(n -1)2-4(n -1)=92-n ，上式对n =1也成立，则a n =92-n ；(Ⅱ)数列9-2a n 2n ，即为数列n 2n -1 ，则前n 项和T n =1•12 0+2•12 1+3•122+⋯+n •12n -1，12T n =1•12 +2•12 2+3•123+⋯+n •12n，两式相减可得，12T n =1+12 1+122+⋯+12 n -1-n •12 n =1-12 n1-12-n •12 n，化简可得T n =4-(n +2)•12n -1．7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知a 3=5，S 7=49．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =1a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1由题意可得a 1+2d =57a 1+7×62d =49，解得a 1=1d =2 ，所以{a n }的通项公式为a n =2n -1．(2)由(1)得b n =1a n a n +1=1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ，从而T n =121-13+13-15 +⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1 =n 2n +1．8.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2n -1．数列b 1=2，b n +1-2b n =8a n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2n-1．当n =1时，解得a 1=1，当n ≥2时，S n -1=2n -1-1，所以a n =S n -S n -1=2n -1(首项符合通项)，故a n =2n -1，数列b 1=2，b n +1-2b n =8a n =2n +2，所以b n +12n +1-b n 2n=2(常数)，所以数列b n2n 是以b 121=1为首项，2为公差的等差数列．所以b n =(2n -1)⋅2n ，则T n =1⋅21+3⋅22+⋯+(2n -1)⋅2n ①，2T n =1⋅22+3⋅23+⋯+(2n -1)⋅2n +1②，①-②得-T n =2(2+22+⋯+2n )-2-(2n -1)⋅2n +1，解得T n =(2n -3)⋅2n +1+6．9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S l 5=225，a 3+a 6=16．(Ⅰ)证明：{S n }是等差数列；(Ⅱ)设b n =2n⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(Ⅰ)设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S l 5=225，a 3+a 6=16．则：S 15=225a 3+a 6=16 解得：a 1=1，d =2，所以：S n =1+3+⋯+(2n -1)=n 2，则：S n =n ，所以：S n -S n -1=n -n +1=1(常数)．故：数列{S n }是等差数列；(Ⅱ)由已知条件b n =2n⋅a n =(2n -1)⋅2n，所以：T n =1⋅21+3⋅22+⋯+(2n -1)⋅2n①2T n =1⋅22+3⋅23+⋯+(2n -1)⋅2n +1②，①-②得：T n =(2n -3)⋅2n +1+6．10.已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=3，a 1•a 4=a 22．(1)求{a n }的通项公式及a n 的前n 项和S n 的通项公式；(2)b n =1S 1+1S 2+⋯+1S n，求数列{b n }的通项公式，并判断b n 与23的大小．【解析】(1)设a 1=a ，公差为d ，则a (a +3d )=(a +d )2，解得d =a =3，所以a n =3n ，S n =3n (n +1)2．(2)1S n =23⋅1n (n +1)=231n -1n +1，从而b n =1S 1+1S 2+⋯+1S n=231-12+12-13+⋯+1n -1n +1 =231-1n +1 =23-23(n +1)<23，故b n <23．11.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列log 13a n是公差为-1的等差数列，且a 2+2是a 1，a 3的等差中项．(1)证明数列{a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若T n 是数列1a n的前n 项和，若T n <M 恒成立，求实数M 的取值范围．【解析】【解答】(1)证明：∵数列log 13a n 是公差为-1的等差数列，∴log 13a n =log 13a 1-(n -1)，∴a na 1=3n -1．∴n ≥2时，a n a n -1=3n -13n -2=3，数列{a n }是以3为公比的等比数列．∴a 2=3a 1，a 3=9a 1．∵a 2+2是a 1，a 3的等差中项，∴2(a 2+2)=a 1+a 3，∴2(3a 1+2)=a 1+9a 1，解得a 1=1．∴数列{a n }是以3为公比，1为首项的等比数列．∴a n =3n -1．(2)解：1a n =13n -1．∴T n =1-13 n1-13=321-13 n．∵T n <M 恒成立，∴M ≥32．∴实数M 的取值范围是32，+∞ ．12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8=S 3，a 4=2a 2-2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =1S n +2，其前n 项和为T n ，证明：T n <12．【解析】(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 1+7d =3a 1+3da 1+3d =2(a 1+d )-2，解得：a 1=4d =2 ，∴a n =4+2(n -1)=2n +2；(2)证明：由(1)得：S n =(4+2n +2)n2=n 2+3n ，∴b n =1S n +2=1n 2+3n +2=1(n +1)(n +2)=1n +1-1n +2，∴T n =12-13 +13-14+⋯+1n +1-1n +2 =12-1n +2<12．13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n -S n =1(n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =log 2(1+S n )，求数列1b n b n +1的前n 项和T n ．【解析】(Ⅰ)∵2a n -S n =1，令n =1，解得a 1=1，n≥2，又2a n -1-S n -1=1，两式相减，得a n =2a n-1，∴{a n }是以a 1=1为首项，q =2为公比的等比数列，∴a n =2n -1；(Ⅱ)∵1+S n =2n ，∴b n =log 2(1+S n )=log 22n=n ，1b n b n +1=1n (n +1)=1n -1n +1∴T n =11×2+12×3+⋯+1n (n +1)=1-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1=1-1n +1=nn +1．14.已知正项等比数列{a n }满足a 1=2，a 3a 7=322，数列b n 的前n 项和为S n ，b n =2n -2．(Ⅰ)求{a n }的通项公式与S n ；(Ⅱ)设c n =a n +1S n +1，求数列{c n }的前n 项和T n ．【解析】(Ⅰ)根据题意，a 1=2，a 25=322，∴a 1=2，a 5=32，∴q =2，所以a n =2n ，因为b n =2n -2，数列{b n }为公差2，首项为0的等差数列，∴S n =n (0+2n -2)2=n 2-n ；(Ⅱ)根据题意，c n =a n +1S n +1=2n +1(n +1)n=2n +1n -1n +1所以T n =2(1-2n )1-2+1-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1 =2n +1-1-1n +1．15.在等差数列{a n }中，a 1=-8，a 2=3a 4．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =4n (12+a n )(n ∈N *)，T n 为数列{b n }的前n项和，若T n =95，求n 的值．【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差是d ，由a 1=-8，a 2=3a 4得：-8+d =3(-8+3d )解得d =2，所以a n =-10+2n ；(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n =-10+2n ，∴b n =4n (12+a n )=4n (2n +2)=21n -1n +1 ，所以T n=211-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1 =2n n +1，由T n =95解得n =9．16.等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 5=14，a 23=a 1a 11．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n =1a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解析】(1)∵{a n }是等差数列，公差d ≠0，a 5=14，a 23=a 1a 11，可得a 1+4d =14，(a 1+2d )2=a 1(a 1+10d )，解得a 1=2，d =3，所以{a n }的通项公式；a n =a 1+(n -1)d =3n -1；(2)bn=1a n a n +1=1(3n -1)(3n +2)=1313n -1-13n +2，数列{b n }的前n 项和S n =1312-15+15-18+⋯+13n -1-13n +2=1312-13n +2 =16-19n +6=n 6n +4．17.在等差数列{a n }中，已知a 2=3，a 7=8．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列1a n a n +1 的前n 项和为S n ，若S n =512，求n 的值．【解析】(1)设公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 2=3，a 7=8．所以a 7-a 2=5d =5，解得d =1，由于a 2=a 1+d ，所以a 1=2．故a n =n +1．(2)由于a n =n +1，所以1a n a n +1=1(n +1)(n +2)=1n +1-1n +2，则S n =12-13+13-14+⋯+1n +1-1n +2=512，整理得12-1n +2=512，解得n =10．18.已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 3=9，a 2是a 1，a 7的等比中项．(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n =1n (a n +7)，求{b n }的前n 项和S n ．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则a 1+2d =9(a 1+d )2=a 1⋅(a 1+6d )解得d =4或d =0(舍去)，a 1=1，∴a n =1+4(n -1)=4n -3．(2)∵b n =1n (a n +7)=141n -1n +1 ，∴Sn=b 1+b 2+b 3+⋯+b n =1411-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1 =141-1n +1 =n 4n +4．19.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =3a n +4n -7．(1)证明：数列{a n -2}为等比数列；(2)若b n =a n -2(a n +1-1)(a n -1)，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】【解答】证明：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =3a n +4n -7①．当n =1时，解得：a 1=3，当n ≥2时，2S n -1=3a n -1+4n -11②．①-②得：a n =3a n -1-4，整理得：a n -2a n -1-2=3(常数)所以：数列{a 2-2}是以a 1-2=1为首项，3为公比的等比数列．(2)由于：数列{a 2-2}是以a 1-2=1为首项，3为公比的等比数列，故：a n -2=3n -1，所以：b n =a n -2(a n +1-1)(a n -1)=3n -1(3n +1)(3n -1+1)=1213n -1+1-13n +1，所以：Tn=12130+1-131+1+⋯+13n -1+1-13n +1=1212-13n +1．20.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在直线y =2x -2上，n ∈N *(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n =n +(a n -1)log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在直线y =2x -2上，n ∈N *所以：S n =2a n -2①，当n =1时，a 1=2a 1-2，解得：a 1=2．当n ≥2时，S n -1=2a n -1-2②，①-②得：a n =2a n -2a n -1，整理得：an a n -1=2(常数)，故：数列的通项公式为：a n =2⋅2n -1=2n (首项符合通项)．故：a n =2n ．(2)b n =n +(a n -1)log 2a n =n •2n，所以T n =1⋅21+2⋅22+⋯+n ⋅2n ①，2T n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n +1②，①-②得：-T n =21+22+⋯+2n -n ⋅2n +1，整理得：T n =(n -1)⋅2n +1+2．21.已知{a n }是等差数列，且lg a 1=0，lg a 4=1．(1)求数列{a n }的通项公式(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，求k 的值及数列{a n +b n }的前n 项和．【解析】(1)数列{a n }是等差数列，设公差为d ，且lg a 1=0，lg a 4=1．则：a 1=1a 1+3d =10 ，解得：d =3所以：a n =1+3(n -1)=3n -2．(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，则：a 2k=a 1⋅a 6，整理得：a k =3k -2，解得：k =2；所以：等比数列{b n }的公比为q =4．所以：b n =4n -1．则a n +b n =3n -2+4n -1，故：S n =(1+1)+(4+41)+⋯+(3n -2+4n -1)=n (3n -1)2+4n -14-1=32n 2-12n +13(4n-1)．22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2=4，2S n =(n +1)a n (n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =(a n +1)2S n，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(Ⅰ)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2=4，2S n =(n +1)a n (n ∈N *)．当n =2时，2S 2=3a 2，整理得a 1=2．所以2S n =(n +1)a n ，故2S n -1=(n +1-1)a n-1，两式相减得(n -1)a n =na n -1，所以a n =a na n -1⋅a n -1a n -2⋯a2a 1⋅a 1=2n (首项符合通项)．故a n =2n ．(Ⅱ)由于a n =2n ，所以b n =(a n +1)2S n=4n 2+4n +1n (n +1)=4+1n (n +1)=4+1n -1n +1．故T n =b 1+b 2+⋯+b n =4n +1-12+12-13+⋯+1n -1n +1 =4n +1-1n +1．23.已知数列{a n }满足a n +2=qa n (q 为实数，且q ≠1)n ∈N *，a 1=1，a 2=2，且a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列．(Ⅰ)求q 的值和{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =log 2a 2n -1a 2n，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．【解析】(Ⅰ)数列{a n }满足a n +2=qa n (q 为实数，且q ≠1)n ∈N *，a 1=1，a 2=2，且a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列，所以(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4)，即a 4-a 2=a 5-a 3．所以a 2(q -1)=a 3(q -1)，由于q ≠1，所以a 3=a 2=2，解得q =2．①当n =2k -1时，a n =a 2k -1=2n -12，②当n =2k 时，a n =a 2k =2n2．所以数列的通项公式为：an=2n -12(n 为奇数)2n 2(n 为偶数)．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n =log 2a 2n -1a 2n =n -12n，所以T n =021+122+⋯+n -12n ①，则12T n =022+123+⋯+n -12n +1，②①-②得12T n =141-12n -11-12-n -12n +1，整理得T n =1-n +12n ．24.已知公差不为0的等差数列{a n }与等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 4=b 3．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设T n =a 1b n +a 2b n -1+⋯+a n b 1，求T n ．【解析】(1)设公差为d 且不为0的等差数列{a n }与公比为q 的等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 4=b 3．故a n =a 1+(n -1)d ，b n =b 1⋅q n -1，所以1+d =q 1+3d =q 2 ，解得d =1，q =2．故a n =n ，b n =2n -1．(2)由于a n =n ，b n =2n -1，所以T n =1⋅2n -1+2⋅2n -2+⋯+n ⋅20①，12T n =1⋅2n -2+2⋅2n -3+⋯+n ⋅20-1②①-②得：12T n =2n -1+2n -2+⋯+2+1-n2=2n -1-n2．所以T n =2n +1-(n +2)．25.已知等比数列{a n }是首项为1的递减数列，且a 3+a 4=6a 5．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)由a 3+a 4=6a 5，得6q 2-q -1=0，解得q=12或q =-13．∵数列{a n }为递减数列，且首项为1，∴q =12．∴a n =1×12 n -1=12n -1．(2)∵T n =1⋅12 0+2⋅12 1+3⋅122+⋯+n⋅12 n -1，∴12T n =1⋅12 1+2⋅12 2+3⋅12 3+⋯+n ⋅12 n ．两式相减得12T n =12 0+12 1+12 2+⋯+12 n -1-n ⋅12n =1-12 n1-12-n 12 n =2-2⋅12 n -n ⋅12 n=2-n +22n，∴T n =4-n +22n -1．26.已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n =a n a n +2(n ∈N *)，T n =b 1+b 2+⋯+b n ，求证：T n<34．【解析】(1)数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n ①，当n ≥2时，a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n -1)a n -1=n -1②，①-②得：a n =1n，当n =1时，a 1=1(首项符合通项)，故：a n =1n．(2)由于：a n =1n，所以：b n =a n a n +2=1n (n +2)=121n -1n +2 ，所以：T n =121-13+12-14+⋯+1n -1n +2 =121+12-1n +1-1n +2 <34．27.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=3，且a 1+1，a 2+1，a 4+1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =1a n a n +1，n ∈N *，S n 是{b n }的前n 项和，求使S n <113成立的最大的正整数n ．【解析】(1)公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=3，且a 1+1，a 2+1，a 4+1成等比数列．则：(a 2+1)2=(a 1+1)(a 4+1)，解得：d =4或0(舍去)，故：a n =3+4(n -1)=4n -1，(2)由于：a n =4n -1，所以：a n +1=4n +3，所以：b n =1a n a n +1=1(4n -1)(4n +3)=1414n -1-14n +3，故：S n =1413-17+17-111+⋯+14n -1-14n +3 =1413-14n +3 =n 12n +9，所以：要使S n <113成立整理得：1413-14n +3 <113，解得：n <9由于n 为自然数，所以：n 的最大值为8．28.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =3a n -1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n -a n }是等差数列，且b 1=2，b 3=14，求数列{b n }的前n 项和T n ⋅【解析】(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =3a n-1①．当n =1时，解得：a 1=1．当n ≥2时，2S n -1=3a n -1-1②，①-②得：a n =3a n -1，故：an a n -1=3(常数)，所以：数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列．所以：a n =3n -1(首项符合通项)，故：a n =3n -1．(2)数列{b n -a n }是等差数列，且b 1=2，b 3=14，所以：设c n =b n -a n ．c 1=b 1-a 1=1，c 3=b 3-a 3=14-9=5，则：公差d =c 3-c 12=5-12=2，所以：c n =2n -1．则：b n =a n +c n =3n -1+2n -1，故：T n =(30+31+⋯+3n -1)+(1+3+⋯+2n -1)=(3n -1)3-1+n (2n -1+1)2=3n -12+n 229.设数列{a n }满足a 1=2，a n +1=2a n ，数列{b n }的前n 项和S n =12(n 2+n )．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．【解析】(1)数列{a n }满足a 1=2，a n +1=2a n ，则：a n +1a n=2(常数)所以：数列{a n }是以a 1=2为首项，2为公比的等比数列．故：a n =2⋅2n -1=2n ，由于：数列{b n }的前n 项和S n =12(n 2+n )．当n =1时，解得：b 1=1，当n ≥2时，b n =S n -S n -1=12(n 2+n )-12(n-1)2-12(n -1)=n ．由于首项符合通项，故：a n =n ．(2)由(1)得：c n =a n b n =n ⋅2n ，所以：T n =1⋅21+2⋅22+⋯+n ⋅2n ①，2T n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n +1②，①-②得：-T n =(21+22+⋯+2n )-n ⋅2n +1，解得：T n =(n -1)⋅2n +1+2．30.已知首项为1的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3为a 4与a 5的等差中项．数列{b n }满足b n =2S n +n2n．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n •b n }的前n 项和为T n ．【解析】(1)设公差为d ，首项为1的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3为a 4与a 5的等差中项．则：2(3+3d )=1+3d +(1+4d )，解得：d =4，故：a n =1+4(n -1)=4n -3，所以：S n +n 2n =n (1+4n -3)2+n 2n =n ．故：数列{b n }满足b n =2S n +n2n=2n ．(2)根据已知条件：a n ⋅b n =(4n -3)⋅2n ，则：T n =1⋅21+5⋅22+⋯+(4n -3)⋅2n ①，2T n =1⋅22+5⋅23+⋯+(4n -3)⋅2n +1②，①-②得：T n =(4n -3)⋅2n -4(22+23+⋯+2n )-2，整理得：T n =(4n -7)•2n +1+14．31.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =2a n -1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =a n +1(a n +1-1)(a n +2-1)，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =2a n -1．①当n =1时，解得：a 1=1．当n ≥2时，S n -1=2a n -1-1．②①-②得：a n =2a n -2a n -1，整理得：a n =2a n -1，故：an a n -1=2(常数)，所以：数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．故：a n =1⋅2n -1=2n -1(首项符合通项)．故：a n =2n -1，(2)由于b n =a n +1(a n +1-1)(a n +2-1)=2n (2n -1)(2n +1-1)=12n -1-12n +1-1，所以：T n =121-1-122-1+⋯+12n -1-12n +1-1=1-12n +1-1．32.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=4，S 6=27．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n ，记T n 为数列{b n }的前n 项和．若T m =124，求m ．【解析】【解答】(本小题满分12分)解：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知得a 1+2d =46a 1+15d =27，解得a 1=2d =1．所以a n =a 1+(n -1)d =n +1．(2)由(1)可得b n =2n +1，∴{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则T n =4(1-2n)1-2=4(2n -1)．由T m =124，得4(2m -1)=124，解得m =5．33.已知数列{a n }的首项a 1>0，前n 项和为S n ，且满足a 1a n =S 1+S n ．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =a n +1S n ⋅S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(Ⅰ)数列{a n }的首项a 1>0，前n 项和为S n ，且满足a 1a n =S 1+S n ．当n =1时，解得：a 1=2．当n ≥2时，2a n =2+S n ，①2a n -1=2+S n -1，②①-②得：a n =2a n -1，整理得：a n a n -1=2(常数)，所以：a n =2⋅2n -1=2n ，(Ⅱ)由于S n =2(2n -1)2-1=2⋅(2n -1)，b n =a n +1S n ⋅S n +1=2n +12(2n -1)(2n +1-1)=1212n -1-12n +1-1，所以：T n =121-13 +⋯+12n-1-12n +1-1=121-12n +1-134.已知{a n }是公差不为0的等差数列，且满足a 1=2，a 1，a 3，a 7成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =a n +2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解析】(Ⅰ)设{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以a 23=a 1a 7．所以(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d )．所以4d 2-2a 1d =0．由d ≠0，a 1=2得d =1，所以a n =n +1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n =a n +2a n =n +1+2n +1，所以S n =[2+3+4+⋯+(n +1)]+(22+23+24+⋯+2n +1)=n (n +3)2+4(1-2n)1-2=2n +2+n 2+3n -82．35.在数列{a n }中，已知a n >0，a 1=1，a n +21-a n 2-a n +1-a n =0．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =1S n，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】【解答】证明：(1)由a 2n +1-a 2n -a n +1-a n =0，得(a n +1-a n -1)(a n +1+a n )=0，因为a n >0，所以a n +1-a n =1，又因为a 1=1，所以数列{a n }是首项为a 1=1，公差为1的等差数列．解：(2)由(1)可得，S n =na 1+12n (n -1)d =n +12n (n -1)=n (n +1)2．∴b n =1S n =2n (n +1)=21n -1n +1 ．∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =211-12+12-13+⋯++1n -1n +1=21-1n +1 =2nn +1．36.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1-2，b n =a n(4n 2-1)2n．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)数列{a n }的前n 项和S n =2n +1-2，当n =1时，a 1=S 1=2，当n ≥2时，则：a =S n -S n -1=2n +1-2-2n +2=2n ．由于n =1时，符合通项，故：a n =2n ．(2)由于：a n =2n ，故：bn=a n (4n 2-1)2n =14n 2-1=1(2n +1)(2n -1)=1212n -1-12n +1 ．所以：T n =b 1+b 2+⋯+b n =121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1 =n 2n +1．37.已知数列{a n }的前n 项和是S n ，若a n +1=a n +1(n ∈N *)，S 3=12．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =1a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(Ⅰ)因为a n +1=a n +1(n ∈N *)，所以数列{a n }是公差为1的等差数列．又因为S 3=12，则a 1=3，所以，a n =a 1+(n -1)d =n +2(n ∈N *)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n =1a n a n +1=1(n +2)(n +3)=1n +2-1n +3，则T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =13-14+14-15+15-16+⋯+1n +2-1n +3=13-1n +3=n 3n +9(n ∈N *)38.设数列{a n }满足：a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n -1a n =n 3，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =n ，n 为奇数1a n，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解析】(1)数列{a n }满足：a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n -1a n =n3①，当n ≥2时，数列{a n }满足：a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n -2a n -1=n -13②，①-②得：3n -1a n =13，所以：a n =13n ，当n =1时，a 1=13(符合通项)，故：a n =13n ．(2)由于b n =n ，n 为奇数1a n，n 为偶数，所以：b n =n ，n 为奇数3n ，n 为偶数，①当n 为奇数时：S n =1+32+3+34+⋯+3n -1+n=(n +1)2⋅(1+n )2+99n -12-1 9-1=n 2+2n +14+9(3n -1-1)8．②当n 为偶数时，S n =1+32+3+34+⋯+(n -1)+3n=n 2⋅(1+n -1)2+99n 2-1 9-1=n 24+9(3n -1)8．39.在数列{a n }中，a 1=3，a n =2a n -1+(n -2)(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n +n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的与前n 项和S n ．【解析】(1)证明：∵a 1=3，a n =2a n -1+(n -2)(n ≥2，n ∈N *)．∴a n +n =2(a n -1+n -1)，∴数列{a n +n }是等比数列，首项为4，公比为2．∴a n =4×2n -1-n =2n +1-n ．(2)解：数列{a n }的与前n 项和S n =(22+23+⋯+2n +1)-(1+2+⋯+n )=4(2n -1)2-1-n (1+n )2=2n +2-4-n 2+n 2．40.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=6，S 6=42．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式(Ⅱ)设b n =a n ，n 为奇数2a n2，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和.【解析】(Ⅰ)设首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n}的前n 项和为S n ，由a 3=6，S 6=42得a 1+2d =66a 1+6×52d =42，解得a 1=2d =2 ，所以a n =2+2(n -1)=2n ．(Ⅱ)由于a n =2n ，所以设b n =a n ，n 为奇数2a n2，n 为偶数=2n (n 为奇数)2n(n 为偶数) ，所以T n =[2+6+10+14+⋯+2(2n -1)]+(22+24+⋯+22n )=2n 2+434n -141.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S nn是等差数列，a 1=2，a 2=4．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n =1(a n -1)(2n +1)，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)由题意得S 11=1，S22=3，设等差数列S nn 的公差为d ，则d =S 22-S 11=1．∴Sn n=2+(n -1)×1=n +1，∴S n =n (n +1)，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n ，经检验a 1=2也满足上式，∴a n =2n (n ∈N *)，(2)b n =1(a n -1)(2n +1)=1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1，∴T n =n2n +1．42.已知正项等差数列{a n }满足：S n 2=a 31+a 32+⋅⋅⋅+a n 3，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =(-1)n 4n(2a n -1)(2a n +1)(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2n ．【解析】(1)正项等差数列{a n }满足：S n 2=a 31+a 32+⋅⋅⋅+a n 3，①，当n =1时，解得a 1=1；当n =2时，S 22=a 31+a 32，整理得a 22-a 2-2=0，解得a 2=2或-1(负值舍去)，故公差d =a 2-a 1=1，故a n =n ．(2)由(1)得：b n =(-1)n4n(2a n -1)(2a n +1)=(-1)n4n(2n -1)(2n +1)=(-1)n12n -1+12n +1 ，所以T 2n =-1-13+13+15+...+14n -1+14n +1=14n +1-1=-4n4n +143.已知数列{a n }满足：a 1=12，数列1a n 的前n 项和S n =3n 2+n2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n =a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)当n ≥2时，S n -1=3(n -1)2+(n -1)2=3n 2-5n +22，则1a n =S n -S n -1=3n 2+n 2-3n 2-5n +22=3n -1．又当n =1时，1a 1=2满足上式，所以1a n =3n -1，则a n =13n -1．(2)又(1)可知b n =a n a n +1=1(3n -1)(3n +2)=1313n -1-13n +2，所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n -1+b n =1312-15+15-18+18-111+⋯+13n -4-13n -1+13n -1-13n +2 =1312-13n +2 =n 6n +4．所以数列{b n }的前n 项和T n =n 6n +4．44.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=2S n +1(n ∈N +)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n =3b n-1，求数列b n a n 的前n 项和T n ．【解析】(1)当n =1时，a 2=2a 1+1，当n ≥2时，a n +1-a n =2S n -2S n -1=2a n ，即a n +1=3a n ，∴等比数列{a n }的公比是3，∴a 2=3a 1，即2a 1+1=3a 1，故a 1=1，故数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n -1；(2)由(1)知，a n =3n -1，又a n =3b n -1，∴b n -1=n -1，故b n =n ，∴b n a n =n3n -1，则T n =130+231+332+⋅⋅⋅+n -23n -3+n -13n -2+n 3n -1，①，13T n =131+232+333+⋅⋅⋅+n -23n -2+n -13n -1+n 3n，②两式相减得：23T n =130+131+132+⋅⋅⋅+13n -3+13n -2+13n -1-n 3n =1-13n1-13-n 3n =32-2n +32×3n，∴T n =94-2n +34×3n -1．45.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 均满足S 12+S 222+S 323+⋅⋅⋅+S n 2n =n -1+12n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =2n S n S n +1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥20212022的最小正整数n 的值．【解析】(1)当n =1时，S 12=12，得S 1=1．当n ≥2时，由S 12+S 222+S 323+⋅⋅⋅+S n2n =n -1+12n ①，得S 12+S 222+S 323+⋅⋅⋅+S n -12n -1=(n -1)-1+12n -1②，①-②得S n 2n =1-12n (n ≥2)，∴S n =2n -1(n ≥2)，当n =1时，得a 1=S 1=1；当n ≥2时，由a n =S n -S n -1=2n -1-2n -1+1=2n -1．又a 1=1也满足上式，所以a n =2n -1．(2)由(1)得b n=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1，所以S n=12-1-122-1+122-1-123-1+⋯+12n-1-1 2n+1-1=1-12n+1-1，由1-12n+1-1≥20212022得2n+1-1≥2022，即2n+1≥2023，因为210<2023<211，所以n+1≥11，即n≥10，故满足T n≥20212022的最小正整数为10．46.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n-S n=1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+1(a n+1-1)(a n+2-1)，数列{b n}的前n项和为T n，求证：23≤T n<1．【解析】(1)由2a n-S n=1(n∈N*)，可得2a1-S1= 2a1-a1=1，即a1=1，当n≥2时，2a n-1-S n-1=1，又2a n-S n=1，相减可得2a n-2a n-1=a n，即a n=2a n-1，则a n=2n-1；(2)证明：b n=a n+1(a n+1-1)(a n+2-1)=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1，T n=1-13+13-17+17-115+...+12n-1-1 2n+1-1=1-12n+1-1，由{T n}是递增数列，可得T n≥T1=23，且T n<1．所以23≤T n<1．47.已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=16，a22=a1a5．(1)求数列{a n}的通项公式a n和S n；(2)若b n=1a n a n+1，数列{b n}的前n项和T n满足T n≥48101，求n的最小值．【解析】(1)设数列{a n}的公差为d，由题意知4a1+6d=16，(a1+d)2=a1(a1+4d)，解得a1=1，d=2，所以a n=1+(n-1)×2=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2．(2)由(1)得，b n=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1，所以T n=121-13+13-15+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1，令n2n+1≥48101，得n≥485，又n∈N*，所以n的最小值为10．48.公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1，a2，a6成等比数列，S6=51．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1(n∈N*)，数列{b n}的前n项和记为T n，求证：T n<13．【解析】(1)设{a n}公差为d，∵a1，a2，a6成等比数列，S6=51，∴a1⋅a6=a22a1+a2+a3+a4+a5+a6=51，即a1(a1+5d)=(a1+d)26a1+6×52d=51，解得a1=1，d=3，∴a n=3n-2，(2)证明：b n=1a n a n+1=1(3n-2)(3n+1)=1313n-2-13n+1，∴T n=131-14+14-17+⋅⋅⋅+13n-2-13n+1=131-13n+1=13-133n+1<13，∴T n<13．49.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n=S n+n-1．(1)求证：{a n+1}为等比数列；(2)设b n=2n(a n+2)(a n+1+2)，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1．【解析】【解答】证明：(1)当n=1时，2a1=a1+1-1，解得a1=0，当n≥2时，2a n-2a n-1=S n+n-1-(S n-1+n-2)，化为：a n=2a n-1+1．变形为：a n+1=2(a n-1+1)，a1+1=1，∴{a n+1}为等比数列，首项为1，公比为2．(2)由(1)可得：a n+1=2n-1，∴a n=2n-1-1．∴b n=2n(a n+2)(a n+1+2)=2n(2n-1+1)(2n+1)=212n-1+1-12n+1，∴数列{b n}的前n项和为T n=2120+1-121+1++⋯⋯+12n-1+1-12n+1=212-12n+1<1，∴T n<1．50.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n(n∈N*)．(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；(2)设b n=2na n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【解析】(1)当n=1时，a1+1=2a1得a1=1．当n≥2时，S n+n=2a nS n-1+n-1=2a n-1，两式相减得a n=2a n-1+1(n≥2)，即a n+1=2(a n-1+1)(n≥2)，所以数列{a n+1}是以2为公比，以2为首项的等比数列，(2)由(1)知a n+1=2n(n∈N*)，即a n=2n-1(n∈N*)．∵b n=2na n a n+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1，则T n=b1+b2+⋯+b n=1-13+13-17+⋯+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1．。

数列求和专题(必考必练,方法全面,有答案)

数列求和专题一.公式法（已知数列是等差或等比数列可以直接使用等差或等比的求和公式求和）二.分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例1：求数列11111246248162n n ++L ，，，，，…的前n 项和n S ．- 23411111111(2462)(1)222222n n n S n n n ++⎛⎫=+++++++++=++- ⎪⎝⎭L L ．例2：求数列5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n解：因为55…5=)110(95-n 所以 S n =5+55+555+...+55 (5)=[])110()110()110(952-+⋅⋅⋅+-+-n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n n 110)110(1095 =815095108150--⨯n n 练习：、求数列11111,2,3,4,392781L 的前n 项和。

解：211223nn n ++-⋅三．错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例：求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………（0x ≠）解：当x=1时，23121315171(21)1135(21)n n S n n n -=+∙+∙+∙+⋅⋅⋅+-∙=++++-=当x ≠1时， 132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………. ① ①式两边同乘以x 得n xS = 231135(23)(21)n n x x x n x n x -+++⋅⋅⋅+-+-………② （设制错位）①－②得 n n n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+n练习： 1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 1224-+-=n n n S2. 已知数列.}{,)109()1(n n nn S n a n a 项和的前求⨯+=四．裂项相消法常见的拆项公式有：1()n n k =+111()k n n k -+=1k，1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+，等. 例1：求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S. 解：∵)2(1+n n =211(21+-n n ）S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =42122143+-+-n n 例2：设9)(2+=x x f ,（1）若;),2(),(,111n n n u n u f u u 求≥==-（2）若;}{,,3,2,1,11n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=+解：（1）}{),2(9122121n n nu n u u u ∴⎩⎨⎧≥+==- 是公差为9的等差数列，,89,0,892-=∴>-=∴n u u n u n n n（2）),8919(9119891--+=++-=k k k k a k);119(91)]8919()1019()110[(91-+=--+++-+-=∴n n n S n练习： 1、求数列2112+，2124+，2136+，2148+，…的前n 项和n S .2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.五．倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例1：求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5例2：求222222222222123101102938101++++++++的和．解：设222222222222123101102938101S =++++++++ 则222222222222109811012938101S =++++++++．两式相加，得 2111105S S =+++=∴=，．练习：设221)(xx x f +=，求：⑴)4()3()2()()()(111f f f f f f +++++； ⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ 【解题思路】观察)(x f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1的特点，发现1)1()(=+xf x f 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .例6：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ cos(180)cos n n -=- （找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0练习：已知：n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 .求n S .（⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=)(2)(21为正偶数为正奇数n n n n S n ）。

数列求和专项练习(含答案)

数列求和专项练习1.在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和。

2.已知等差数列{}n a 的公差是正数，且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。

3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n )，求前m+n 项和S n+m4.设y x ≠，且两数列y a a a x ，，，，321和4321b y b b x b ，，，，，均为等差数列，求1243a a b b --5.在等差数列{}n a 中，前n 项和S n ,前m 项和为S m ，且S m =S n , n m ≠，求S n+m6.在等差数列{}n a 中，已知1791,25S S a ==，问数列前多少项为最大，并求出最大值。

7.求数列的通项公式：(1){}n a 中，23,211+==+n n a a a(2){}n a 中，023,5,21221=+-==++n n n a a a a a9.求证：对于等比数列前n 项和S n 有)(32222n n n n n S S S S S +=+10. 已知数列{}n a 中，前n 项和为S n ，并且有1),(241*1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列；(2)设),(2*N n a c nn ∈=求证{}n b 是等差数列；11.设数列满足，（Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列的前n 项和.【规范解答】（Ⅰ)由已知，当时，而，满足上述公式，所以的通项公式为. （Ⅱ）由可知，①从而 ②①②得{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•++•23572121222322n n n s +=•+•+•++•-3521212(12)22222n n n n s -+-=++++-•即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-13.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ，可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n qa a . （Ⅰ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ，又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 15.知等差数列满足：，，的前n 项和为．（1）求及；（2）令(n N *)，求数列的前n 项和．【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】（1）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有，解得，所以；==. （2）由（1）知，所以b n ===，所以==，即数列的前n 项和=.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =211n a -∈{}n b n T n a nS n b {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-（n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n4(n+1){}n b n T n4(n+1)。

数列求和综合练习题(含答案)

数列求和综合练习题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（） A.172 B.192C.10D.12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于( )A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（） A.1- B.1 C.2- D.29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于（）A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（）A ．-76B ．76C ．46D ．1312．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122nn S ，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）求数列}{n b 的通项n b ；（3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n an 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。

数列求和经典练习题(含答案解析)

1.在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34 得4a 1＋38d ＝34＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17 S 20＝1702.已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4 再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二由等差数列的性质可得： a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4 又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知： a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2又＝＋×S 20a d 20120192解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 41111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列 ∴a 3＝－6，a 7=23. 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一设{a n }的公差d 按题意，则有=－(m ＋n)解法二设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m ∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1 故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n) 即S m+n ＝－(m ＋n)4.设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝S na d m S ma d n (m n)a d =n mn 1m11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n++=++++-=+++-+12121211()()()()()Am Bm n An Bn m22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321--5.在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．且S m ＝S n ，m ≠n∴S m+n ＝06. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等分析解 d =y x 51(1)=y x52(2)可采用＝由a a m na ab b m n ----------21433264(2)(1)÷，得b b a a 432183--=解 S (m n)a (m n)(m n 1)d(m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d(m n)a (m n)(m n 1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∵a 1＝25，S 9＝S 17∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169．解法三利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0 而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14 ∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0 ∴S 13=169最大．解法四根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的n ． ∵{a n }是等差数列 ∴可设S n ＝An 2＋Bn二次函数y=Ax 2＋Bx 的图像过原点，如图3．2－1所示∵S 9＝S 17，∴取n=13时，S 13＝169最大差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩∴对称轴 x =9+172=137．求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到+2说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．8. 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----⇒aq 2=4a ＋②解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．9.证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n )类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n )说明本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 10．数列{a n }是等比数列，其中S n =48，S 2n =60，求S 3n ．解法一利用等比数列的前n 项和公式若q=1，则S n =na 1，即na 1=48，2na 1=96≠60，所以q ≠1①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq＋＋．S S =S (S S )n 22n 2n 2n 3n ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )]=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n2n 2nS (S S )=S [S (1q )S (1q q )]=S (22q q )S S =S (S S )n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2nn 22n 2n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋∵S =a (1q )1n 1n --q=S n (1＋q n ＋q 2n )解法二利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列 ∴ (60－48)2=48·(S 3n －60) ∴ S 3n =63．解法三取特殊值法取n=1，则S 1=a 1=48，S 2n =S 2=a 1＋a 2=60 ∴ a 2=12∵ {a n }为等比数列S 3n =S 3=a 1＋a 2＋a 3=6311．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n ＋2(n ∈N*)，a 1=1(1)设b n =a n+1－2a n (n ∈N*)，求证：数列{b n }是等比数列；解 (1)∵ S n+1=4a n ＋2 S n+2=4a n+1＋2S =a (1)a (1)(1+)1q 2n 11--=--=+q qq q S q nn n n n 211()∴q =14S =a (1q )1qn 3n 13n --=-++-a q q q qn n n 12111()()∴S =48(1+116)=633n +14∴ q =a a a =3213=14(2)c =a 2(n N*){c }n nnn 设∈，求证：数列是等差数列．两式相减，得S n+2－S n+1=4a n+1=4a n (n ∈N*) 即：a n+2=4a n+1－4a n变形，得a n+2－2a n+1=2(a n+1－2a n ) ∵ b n =a n+1－2a n (n ∈N*) ∴ b n+1=2b n由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．由S 2=a 1＋a 2=4a 1＋2，a 1=1 可得a 2=5，b 1=a 2－2a 1=3 ∴ b n =3·2n-1将b n =3·2n-1代入，得说明利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决(2) c =a 2(n N*)c =b 2n nnn+1n n+1∵∈∴-=-=-++++c a a a a n n n n n n nn 11112222c c =34(n N*)n+1n －∈由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故＋－·即：{c }d =34c =a 2c =(n 1)C =34n 11n n =-12123414n。

(完整版)数列求和合集例题与标准答案)

数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和地最基本最重要地方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 例1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32地前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+地和.解：2222222212345699100-+-+-+--+()()()()2222222221436510099=-+-+-++-()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+3711199=+++＋由等差数列地求和公式得 ()50503199S 50502＋＝＝二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列地前n 项和公式时所用地方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }地前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.例2求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }地通项是等差数列{2n －1}地通项与等比数列{1-n x }地通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列地求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项地和.解：由题可知，{n n 22}地通项是等差数列{2n}地通项与等比数列{n 21}地通项之积设n n n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） 1122212+---=n n n ∴1224-+-=n n n S 三、反序相加法求和这是推导等差数列地前n 项和公式时所用地方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例3求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++地值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.52、求和：222222222222222101109293832921101++++++++++四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见地数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 解:原式=()n x x x x ++++ 32⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n y y y 1112 =()yy y x x x n n1111111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- =nn n n y y y x x x --+--++1111练习：求数列地前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 地前n 项和. 解：n n n n n n n n S 211)1(21)21212121()321()21(81341221132-++=+•••+++++•••+++=++•••+++= 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中地具体应用.裂项法地实质是将数列中地每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和地目地.通项分解（裂项）如：例5求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 地前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n练习：求13，115，135，163之和. 解：94)911(21)9171()7151()5131()311(21)9171(21)7151(21)5131(21)311(2197175153131163135115131=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-=-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯=+++六、合并法求和针对一些特殊地数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊地性质，因此，在求数列地和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .例6、数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a＝5练习：在各项均为正数地等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求地值. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列地性质q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数地运算性质N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列地通项求和先根据数列地结构及特征进行分析，找出数列地通项及其特征，然后再利用数列地通项揭示地规律来求数列地前n 项和，是一个重要地方法.例7、求5，55，555，…，地前n 项和.解：∵a n =59(10n -1)∴S n =59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n -1)=59[（10+102+103+……+10n ）-n]=（10n ＋1-9n-10）练习：求数列：1，，，地前n 项和.解：==版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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数列求和综合练习题(含答案)

小学数学《数列求和》练习题(含答案)(1)

小学数学《数列求和》练习题（含答案）【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）1、3、5、7、……、87、89、91（3）3、4、5、6、……、76、77、78（4）4、7、10、13、……、40、43、46（5）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。

（2）配组：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（87、88）、（89、90）、（91、92），1—92有92项，每组2项，那么可以得到92÷2=46组，所以原数列有46项。

（3）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。

对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。

（4）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。

当然，我们还可以有其他的配组方法。

（5）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。

这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。

数列求和方法(带例题和练习题)(可编辑修改word版)

2 n数列求和主要思路：数列的求和1. 求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2. 求和过程中注意分类讨论思想的运用；3. 转化思想的运用；数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式： S = n (a 1 + a n ) = na + n (n -1) dn 2 ⎧ na 1 1 2(q = 1) 2、等比数列求和公式： S= ⎪a (1 - q n ) a - a q n ⎨ 1 = 1 n (q ≠ 1) ⎩⎪ 1 - q1 - q n13、S n = ∑S n = ∑ k = 1+ 2 + 3 + + + n …= n (n +1)4、k =1k 2 = 12 + 22 + 32 + + n 2= 1n (n +1)(2n +1) 6k =1n⎡ n (n +1) ⎤25、 S n = ∑ k 3 == 13 + 23 + 33 + + n 3 = ⎢ ⎥k =1⎣ 2 ⎦ 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数 n 的值；（2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。

例 1．求和1 + x + x 2 + + x n -2 ( n ≥ 2, x ≠ 0 )二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前 n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例 2．求和： S = 1 + 3x + 5x 2 + 7x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + (2n - 1)xn -1例 3．求数列 2 , 4 2 22, 6 ,⋅ ⋅ ⋅, 232n ,⋅ ⋅ ⋅前 n 项的和. 2n 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前 n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前 n 项和就是此法推导的例 4．求sin 2 1 + sin 2 2 + sin 2 3 + ⋅⋅⋅ + sin 2 88 + sin 2 89 的值例 4 变式训练 1：求 cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例 4 变式训练 2：数列{a n }： a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 2, a n +2 = a n +1 - a n ，求 S 2002.例 4 变式训练 3：在各项均为正数的等比数列中，若 a 5 a 6 = 9, 求log 3 a 1 + log 3 a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + log 3 a 10 的值.nn +1 + nn + 1 n n n n 1 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 5．已知数列{a } 的通项公式 a = 3n + 2n-1，求数列{a } 的前 n 项和S 。

数列求和专项复习答案

数列求和专项复习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列各项为正，，，记，，则
A． B．
C． D．
2．已知数列满足，则（）
A． B． C． D．
二、填空题
3．已知数列中，，，前n项和为 .若，则数列的前15项和为______.
①当为偶数时，；
由得：，又，；
②当为奇数时，；
综上所述：满足的最小正整数的值为 .
10．(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由题知，进而结合得数列是等差数列，进而得答案；
（2）结合（1）得，进而根据错位相减法求解即可.
（1）
解：（），
当时，，∴ ，
当时，由，得 ①
（2）结合（1）写出的表达式，利用裂项相消的方法求出，即可证明结论.
（1）
(i）证明：∵数列均为正项数列，其中，
且满足成等比数列，成等差数列，
∴ ， ,
∴ ， ,
∴ ，，即，
∴ ，，
∴{ }是等差数列．
（ii）∵ ，，∴ ，
∴ ，
∴ ．
．
（2）
证明：∵
，
∴
，
∴ ．
12．答案见解析
若补充条件②：，
由，即，又，
所以，
所以，
由于该数列是递减数列，所以不存在k，使得取最小值，故实数λ不存在．
若补充条件③：，
由，得，
又，所以，
所以，
由等差数列的前n项和存在最小值，则，

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§
数列求和
（： 45
分分： 100
分）
一、 ( 每小 7
分，共 35 分 )
*
1
1．在等比数列 {a n } (
n ∈ N ) 中，若 a 1＝ 1， a 4＝ 8，数列的前
10 和 (
)
A ． 2－ 18
B ． 2－ 19
2 2 C ． 2－
1
10
D ． 2－
1
11
2
2
2．若数列 {a n } 的通公式
a n ＝2n ＋ 2n － 1，数列 {a n } 的前 n 和 (
)
n
2 n ＋ 1
2
A ． 2 ＋ n －1
B ． 2 ＋ n － 1
C ． 2n ＋
1＋ n 2－ 2
D ． 2n ＋ n － 2
3．已知等比数列 {a
n } 的各均不等于 1 的正数，数列 {b } 足 b ＝ lg
a ，
b ＝ 18，b ＝ 12，
n
n
n
3
6
数列 {b n } 的前 n 和的最大等于 ( )
A ． 126
B ． 130
C ． 132
D ． 134
4．数列 {a } 的通公式
n － 1 ·(4 n － 3) ，它的前 100 之和 S
等于 (
)
n a ＝ ( － 1)
n
100
A ． 200
B ．－ 200
C ． 400
D ．－ 400
5．数列 1·n , 2(n －1),3(n
－2) ，⋯， n ·1的和 ( )
n(n ＋ 1)(n ＋ 2) n(n ＋ 1)(2n ＋ 1) n(n ＋ 2)(n ＋ 3)
n(n ＋ 1)(n ＋ 2)
二、填空 ( 每小 6 分，共 24 分 )
6．等比数列 {a } 的前 n 和 n
2 2
2
S ＝2 － 1， a
＋ a ＋⋯＋ a
＝ ________.
n n
1
2
n
7．已知数列 {a } 的通 a
与前 n 和 S
之足关系式
S ＝ 2－ 3a ， a ＝ __________.
n
n
n
n
n
n
8．已知等比数列 {a } 中， a 1＝ 3，a 4＝ 81，若数列 {b
} 足 b ＝log 3a ，数列
的前 n
n
n
n
n
1
b b
n ＋ 1
n 和 S ＝ ________.
n
9．关于 x 的不等式 x 2－ x<2nx (n ∈ N * ) 的解集中整数的个数
a n ，数列 {a n } 的前 n 和
S n ， S 100 的 ________．
三、解答 ( 共 41 分 )
10． (13 分 ) 已知数列 n
n
和，于任意的
*
{a } 的各均正数， S 其前 n
n ∈N 足关系式
2S n ＝ 3a n －3. (1) 求数列 {a } 的通公式；
n
(2) 数列 {b
} 的通公式是 b ＝
1 ，前 n 和 T ，求：于任意的
n
n
n
log 3a n ·log 3a n ＋ 1
正数 n ，有 T n <1.
} 足 a ＋ a ＋ a ＝ 28，且 a ＋ 2 是 a ， a 的等差
11． (14 分) 已知增的等比数列 {a
n
2
3
4
3
2 4
中．
(1)求数列 {a n} 的通公式；
(2) 若 b n＝ a n log 1n＋1
成立的最小正整数n 的．
a n，S n＝ b1＋b2＋⋯＋
b n，求使S n＋ n·2 >50
2
12． (14 分 ) 已知等差数列 {a} 的首 a ＝ 1，公差 d>0，且第二、第五、第十四分
n1
是一个等比数列的第二、第三、第四．
(1)求数列 {a n} 的通公式；
n1*n n
，是否存在最大的整数t ，使得任意(2)b＝n(a n＋3) (n ∈N) ，S ＝ b1＋b2＋⋯＋ b
n t
成立？若存在，求出t ；若不存在，明理由．
的 n 均有 S >36答案
1 n
7.1 3 n－1
8.
n
100
6. 3(4－ 1) 2 4＋ 1
n
2S＝ 3a－3，
10. (1)n n( n≥2) ．
解由已知得n n
－ 3
2S－1＝ 3a－1
故2(S n－S n－1) ＝2a n＝ 3a n－ 3a n－1，即 a n＝ 3a n－1 (n ≥2) ．故数列 {a n} 等比数列，且公比q＝ 3.
又当 n＝ 1 ， 2a1＝ 3a1－ 3，∴ a1＝3. ∴ a n＝ 3n.
(2) 明
1
∵ b n＝n( n＋ 1)
＝1－1.
n n＋1
∴ T n＝ b1＋b2＋⋯＋ b n
111
＋⋯＋11
＝ 1－＋－
3－
n＋1
22n
1
＝ 1－n＋1<1.
11 解 (1) 此等比数列a1，a1q， a1q2， a1q3，⋯，其中 a1≠0， q≠ 0.
11213
＝ 28，①由意知： a q＋ a q ＋ a q
a1q＋ a1q3＝ 2(a 1q2＋ 2) ．②
②× 7－①得 6a 13121
q －15a q＋ 6a q＝0，
1
即2q2－ 5q＋ 2＝ 0，解得 q＝ 2 或 q＝ .
2
∵等比数列 {a n} 增，∴ a1＝ 2， q＝2，∴ a n＝ 2n.
n
(2) 由 (1) 得 b n＝－ n·2，
2 n
．
∴ S ＝ b ＋b ＋⋯＋ b ＝－ (1 ×2＋2×2 ＋⋯＋ n ·2)
n 12
n
n
2
n
T ＝1×2＋2×2 ＋⋯＋ n ·2，③
2
3
n ＋ 1
2T n ＝1×2＋2×2＋⋯＋ n ·2 . ④
由③－④，得－
n
2 ＋⋯＋ n
n ＋ 1
T ＝1×2＋1×2
1·2 － n ·2
n ＋1
n ＋ 1
n ＋1
＝ 2 － 2－ n ·2 ＝ (1
－ n) ·2 － 2，
∴－ T n ＝－ ( n －1) ·2n ＋
1－ 2.
∴ S n ＝－ ( n －1) ·2n ＋
1－ 2.
n ＋1
要使 S n ＋n ·2
>50 成立，
n ＋ 1
n ＋1
>50，即 n
即－ (n －1) ·2 － 2＋n ·2
2 >26.
4
5
x
是增函数，
∵2＝ 16<26,2 ＝ 32>26，且 y ＝ 2 ∴ 足条件的 n 的最小 5.
12 解 (1)
由意得 (a 1＋ d)(a 1＋ 13d) ＝ (a 1 ＋ 4d) 2，
整理得 2a 1d ＝ d 2.
∵ a 1＝ 1，解得 d ＝2， d ＝ 0( 舍 ) ．
∴ a n ＝ 2n － 1 (n ∈N * ) ．
(2)b n ＝
1
＝ 1 ＝ 1 1 1
n ( a n ＋
3) ＋ 1) 2 n － n ＋ 1 ，
2n ( n
∴ S ＝ b ＋b ＋⋯＋ b n
n 1 2
1 1 1 1
1
1
＝ 2
1－ 2 ＋ 2
－ 3
＋ n
－
n ＋1
1
1
＝
2(
n
＝ 2
1－
n ＋ 1
＋ 1) .
n
t
假存在整数 t 足 S n >36 成立，
n ＋ 1 －
2(
n ＝
2(
1
＋ 1)
>0，
又 S n ＋1－ S n ＝ 2(
n ＋ 2)
n ＋ 1) n ＋ 2)(
n
∴数列 {S n } 是增的．
1
t 1
∴ S 1＝ 4 S n 的最小，故 36<4，即 t<9.
又∵ t ∈Z ，∴适合条件的 t 的最大 8.。

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