一元二次方程知识点大全
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
第十七章_一元二次方程知识点
第十七章 一元二次方程知识点第一节 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二节 一元二次方程的解法知识点1 特殊的一元二次方程的解法直接开平方法运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±mx+n ）2=p（p ≥0），那么mx+n=±因式分解法知识点2 一般的一元二次方程的解法1． 配方法：解方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的一般步骤是：2.一元二次方程的求根公式问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -，x 2=由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．3 .一元二次方程根的判别式求根公式：b 2-4ac>0以一元一次方程的x 1=2b a -x 1=2b a-，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -，x 2=2b a -．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=2b a．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．第三节一元二次方程的应用知识点1二次三项式的因式分解1、二次三项式形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式2、二次三项式因式分解的公式如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则．从而得到二次三项式因式分解公式：ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)条件对于二次三项式当△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．3、用公式法分解二次三项式的步骤(1)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．(2)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)即可．说明：(1)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．(2)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．(3)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．1、二次三项式的因式分解例1、；(2)－4y2＋8y－1．分析：这两个二次三项式都需要用公式法分解因式．解：(1)方程的根是(2)方程－4y2＋8y－1=0的两根是点拨：(1)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；(2)写出二次三项式的分解因式时，不要漏掉第一个因数“－4”．(3)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化，要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变．2、形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解例2、分解因式5x2－2xy－y2分析：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，我们可以选择其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，就可将多项式Ax2＋Bxy＋Cy2看作二次三项式来分解，如本题可看作关于x的二次三项式，其中a=5，b=－2y，c=－y2．解：关于x的方程5x2－2xy－y2=0的根是．．点拨：本题将y视为常数，是利用公式法分解因式的需要，即把x视为主元，称为“主元法”，这样便于用公式解题．例3、分解因式3x2y2－10xy＋4；分析：将3x2y2－10xy＋4转化为关于xy为元的二次三项式，实际上是利用换元法进行因式分解．解：关于xy的方程3(xy)2－10xy＋4=0的根是，．3、二次三项式因式分解的灵活运用例4、二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(1)在实数范围内能分解；(2)不能分解；(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？分析：(1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根，即△=b2－4ac≥0；(2)不能分解的条件是△＜0；(3)△=0时，二次三项式是完全平方式．解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k(1)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；(3)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．当时，例5、已知二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式，试求m的值．分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其判别式△=0．解：对于二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2，其中a=9，b=－(m＋6)，c=m－2，∴△=b2－4ac=[－(m＋6)]2－4×9×(m－2)=m2－24m＋108．∵原二次三项式是一个完全平方式，∴△=0，即m2－24m＋108=0，解得m1=6，m2=18．故当m=6或m=18时，二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式．点悟：解题规律是：若b2－4ac=0，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)是完全平方式；反之，若ax2＋bx ＋c(a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0．知识点2 实际应用。
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。
初三数学一元二次方程知识点
初三数学一元二次方程知识点一元二次方程知识点概述一、一元二次方程的定义一元二次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
一般形式为：\[ ax^2 + bx + c = 0 \]其中，\( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是已知的实数，且 \( a \neq 0 \)。
二、解的性质1. 判别式：\[ \Delta = b^2 - 4ac \]- 当 \( \Delta > 0 \) 时，方程有两个不相等的实数根。
- 当 \( \Delta = 0 \) 时，方程有两个相等的实数根（重根）。
- 当 \( \Delta < 0 \) 时，方程没有实数根，有一对共轭复根。
2. 根与系数的关系- 和的关系：\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)- 积的关系：\( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)三、解法1. 配方法- 将方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 通过配方，转化为 \( (x + h)^2 = k \) 的形式，进而求得方程的根。
2. 公式法- 使用一元二次方程的求根公式：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]其中，\( \Delta = b^2 - 4ac \)。
3. 因式分解法- 当方程能够分解为两个一次因式的乘积，即 \( (mx + n)(px + q) = 0 \)，可以通过设置 \( mx + n = 0 \) 和 \( px + q = 0 \) 来求解。
4. 完全平方法- 类似于配方法，但适用于更广泛的情况，通过将方程左边变为完全平方的形式求解。
四、实际应用1. 面积问题- 利用一元二次方程解决实际问题中的面积最值问题。
2. 速度与加速度问题- 在物理学中，一元二次方程可以用来描述物体在一定加速度下的速度变化。
3. 几何图形的对称性- 通过一元二次方程分析抛物线的对称性等几何特性。
一元二次方程总复习全章知识点梳理.
一元二次方程总复习考点 1:一元二次方程的概念一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:ax 2+bx+c=0(a≠ 0 。
注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。
考点 2:一元二次方程的解法1. 直接开平方法2. 配方法:3.公式法:4. 因式分解法:因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。
5.一元二次方程的注意事项:⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a ≠ 0.因当 a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定 a , b ,c 的值;②若 b 2 -4ac <0,则方程无解.★⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4 2 =3 (x +4中,不能随便约去 x +4。
⑷注意:解一元二次方程时一般不使用配方法 (除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:开平方法→因式分解法→公式法.6.一元二次方程解的情况⑴ b 2-4ac ≥ 0⇔方程有两个不相等的实数根;⑵ b 2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;⑶ b 2-4ac ≤ 0⇔方程没有实数根。
解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根”时,往往首先考虑用b 2-4ac 解题。
主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
考点 3:根与系数的关系 :韦达定理对于方程 ax 2+bx+c=0(a≠ 0 利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形。
解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理。
二、经典考题剖析:【易错】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(A. 02=++c bx axB. 0652=++k x kC. 01232=++xx x D. 012 3(22=+++x x k 1、 (2009成都若关于 x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是(A.k>-1B. k>-1且k ≠ 0C. k<1D. k<1且k ≠ 02、解方程:(1 1(2 1(3-=-y y y y (20862=+-x x3、 (2009鄂州关于 x 的方程 kx 2+(k+2x+4k=0有两个不相等的实数根,(1求 k 的取值范围;(2是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在求出 k 的值;不存在说明理由。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:2、配方法:移项 化1 配方 开方3、公式法一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△<0时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b叫做一次项系数；c 叫做常数项。
3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
(2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△<0时，一元二次方程没有实数根5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。
一元二次方程知识点
一元二次方程一、相关概念1.定义：把含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2、一般形式： ax 2 +bx+c=0(a ≠0).（1.判断一个方程是否是一元二次方程抓住的五点: “化简后”；“一个未知数”； “未知数的最高次数是2” ； “二次项系数不等于0” ； “整式方程”.2.确定一元二次方程各项的系数的方法是：将一元二次方程化成一般形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0)..） 二、直接开平方法1.利用直接开平方法求一元二次方程的解时,必须把方程化为x ²=a(a ≥0),(x-a)²=b(b ≥0)的形式,否则不能用直接开平方法求一元二次方程的解. 三、配方法1. 配方法: 通过配成完全平方公的形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.2. 解二次项系数是1的方程的具体配方方法是:方程两边同时加上一次项系数一半的平方,使方程左边化为完全平方,右边化为非负数.（1、注意学生对求一个数的一半的方法逐一的要求,检查是否达到目的. 2.用配方法解一元二次方程时,最关键的一步是必须把二次项的系数化为1;再把方程化为(x-a)²=b(b ≥0)的形式后,就可用直接开平方法求一元二次方程的解.3.一次项系数的符号决定了左边的完全平方式是完全平方和或完全平方差.4.配方作为一种求解的方法,比其它方法要复杂,为此,一般不用该方法,除非是题目指明用配方法,但配方法是一种重要的数学方法,应用较广,应掌握好.）四、公式法1. 判别式ac b 42-=∆判断方程的根的情况（1）ac b 42-=∆＞0⇔方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根. （2）ac b 42-=∆=0⇔方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相等的实数根.（3）ac b 42-=∆＜0⇔方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实数根. （4）ac b 42-=∆≥0⇔方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为x 1,x 2,aac b b x 2421-+-=,aac b b x 24-22--=（1.用公式解方程时,在教学中应注意两个问题:①a ≠0,②Δ=b ²-4ac ≥0. 2.代入公式时一定先把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0),才能准确的确定a 、b 、c 的符号.3.学生容易把表示的字母都写成x ，如解方程t 2+2t=3，写成x 1=1,x 2=-3.4.当Δ=b ²-4ac=0时,,方程的根要写成x 1=x 2= 的形式,从而说明方程有两个根,而不是一个根.）五、因式分解法解方程的步骤: 1. 因式分解法:将一个一元二次方程化为两个一次因式的积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法. ①移项使方程的右边为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的积;③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.展开方程(x-x 1)(x-x 2)=0得x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0,其中p=-( x 1+x 2),q= x 1x 2.实际上x 1,x 2是方程x 2+px+q=0的两根.即x 1+x 2 =-p , x 1x 2= q 用十字相乘法解一元二次方程我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
一元二次方程 知识点总结
一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 首先看方程是否为整式方程。
- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。
例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。
- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 步骤：- 确定a、b、c的值。
- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。
- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)
一元二次方程专题复习考点一、概念(1）定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2"：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+xx C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习: ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 .★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是（ ） A 。
m=n=2 B 。
m=2,n=1 C 。
n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根,则m 的值为 .针对练习：★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ，另一根是 .★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
一元二次方程知识点总结
考点四、一元二次方程根与系数的关系
两边同时除于 a ，展开后可得：
x2
b c x 0 x 2 ( x1 x2 ) x x1 x2 0 a a
2
b c x1 x2 ； x1 x2 a a
法 3：如果一元二次方程 ax bx c 0 ( a 0) 定的两个根为 x1 , x2 ；那么
（4）因式分解法：提公因式，平方公式，平方差，十字相乘法
步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字 相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 如： ax bx 0( a, b 0) x( ax b) 0
2
此类方程适合用提供因式，而且其中一个根为 0
b b 2 4ac b b 2 4ac (b) 2 ( b 2 4ac ) 2 4ac c 2 2a 2a a (2a) 2 4a
2
法 2：如果一元二次方程 ax bx c 0 ( a 0) 定的两个根为 x1 , x2 ；那么
ax 2 bx c 0 a ( x x1 )( x x2 ) 0
4 x 2 12 x 9 0 (2 x 3) 2 0 2 x 2 5 x 12 0 (2 x 3)( x 4) 0
考点三、一元二次方程解的情况，即根的判别式
一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 中， b 2 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的根的 判别式，通常用“ ”来表示，即 b 2 4ac
（完整版）一元二次方程知识点总结
（完整版）⼀元⼆次⽅程知识点总结⼀元⼆次⽅程1、⼀元⼆次⽅程：含有⼀个未知数，并且未知数的最⾼次数是2的整式⽅程叫做⼀元⼆次⽅程。
2、⼀元⼆次⽅程的⼀般形式：，它的特征是：等式左边⼗⼀个关)0(02≠=++a c bx ax 于未知数x 的⼆次多项式，等式右边是零，其中叫做⼆2ax 次项，a 叫做⼆次项系数；bx 叫做⼀次项，b 叫做⼀次项系数；c 叫做常数项。
3.⼀元⼆次⽅程的解法(1)直接开平⽅法:利⽤平⽅根的定义直接开平⽅求⼀元⼆次⽅程的解的⽅法叫做直接开平⽅法。
直接开平⽅法适⽤于解形如的⼀元⼆次⽅程。
根据b a x =+2)(平⽅根的定义可知，是b 的平⽅根，当时，，a x +0≥b b a x ±=+，当b<0时，⽅程没有实数根。
b a x ±-=(2)配⽅法:配⽅法的理论根据是完全平⽅公式，把公式中的a 看222)(2b a b ab a +=+±做未知数x ，并⽤x 代替，则有。
222)(2b x b bx x ±=+±配⽅法的步骤：先把常数项移到⽅程的右边，再把⼆次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的⼀半的平⽅，最后配成完全平⽅公式(3)公式法:公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。
⼀元⼆次⽅程的求根公式：)0(02≠=++a c bx ax )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把⼀元⼆次⽅程的各系数分别代⼊，这⾥⼆次项的系数为a ，⼀次项的系数为b ，常数项的系数为c(4)因式分解法:因式分解法就是利⽤因式分解的⼿段，求出⽅程的解的⽅法，这种⽅法简单易⾏，是解⼀元⼆次⽅程最常⽤的⽅法。
分解因式法的步骤：把⽅程右边化为0，然后看看是否能⽤提取公因式，公式法（这⾥指的是分解因式中的公式法）或⼗字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式4.⼀元⼆次⽅程根的判别式:⼀元⼆次⽅程中，叫做⼀)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-元⼆次⽅程的根的判别式，通常⽤“)0(02≠=++a c bx ax ”来表⽰，即?acb 42-=?I 当△>0时，⼀元⼆次⽅程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，⼀元⼆次⽅程有2个相同的实数根；III 当△<0时，⼀元⼆次⽅程没有实数根5.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系如果⽅程的两个实数根是，那么，)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，ab x x -=+21。
(完整版)一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或（3） 法（4） 法，其中求根公式是 根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根。
（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用 （2）（3）可用于解决实际问题的步骤 （4） （5）（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是一元二次方程2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程知识点与考点
一元二次方程知识点与考点(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一元二次方程复习考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax例1、当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
练习：1、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 .考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
(完整版)一元二次方程知识点总结
一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。
注意：若b<0,方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3）配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x m)2 n(n 0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当n 0时，方程无解(4)公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)2af(x)的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i 和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；X i?X2 = 2a a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
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一元二次方程知识点小结
1. 一元二次方程的定义及一般形式：
（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数
式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，
b 为一次项系数，
c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整
式方程。
2. 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：
形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得
x a +=或者x a +=∴x a =-±
注意：若b<0，方程无解
（2）因式分解法：
一般步骤如下：
①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3） 配方法:
用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤
①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为
2()(0)x m n n +=≥的形式；
④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解
（4） 公式法：
一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-
0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =（240b ac -≥）0∆=⇔方程有两个相等的实根
0∆<⇔方程无实根
3. 韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则
1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：
1x +2x ＝b a -
； 1x •2x ＝c a
4.一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似
①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知
数的等式，即方程。
④“解”就是求出说列方程的解；
⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
五．典型例题
1、下列方程中，是一元二次方程的是：（ ） A 、2x +3x +y=0 ； B 、 x+y+1=0 ；
C 、 213122+=+x x ；
D 、0512=++x x
2、关于x 的方程（2a +a －2）2x +ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）
A 、a ≠0 ；
B 、 a ≠－2 ；
C 、 a ≠－2且 a ≠1 ；
D 、a ≠1
3、一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数
为 。
4、方程2x = 225的根是 。
5、方程32x －5 x=0的根是 。
6、（2x －24x + ） =（x － ）2。
7、一元二次方程a 2x +bx +c=0（a ≠0）有一个根为1，则a+b +c= 。
8、关于x 的一元二次方程m 2x －2x +1= 0有两个相等实数根，则
m= 。
9、已知1x ,2x 是方程22x +3x －4=0的两个根，那么1x + 2x = , 1x
× 2x = 。
10、若三角形其中一边为5cm ，另两边长是01272=+-x x 两根，则三角形面积
为 。
11、用适当的方法接下列方程。
（1）用配方法解方程3x 2－6x+1=0 （2）用换元法解（
1x x +）2+5（1
x x +）－6=0；
（3）用因式分解法解3x （x ）－x ； （4）x －2）2－4＝0．
（5）（2x-1）2 + 3（2x-1）+2=0 （6）用公式法解方程2x （x －3）=x －3
（7）()()2232-=-x x x （8）（2x －3）2－2（2x －3）－3＝0
12.若方程x 2=0的两根是a 和b （a>b ），方程x-4=0的正根是
c ，试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不
存在，说明理由．
13、若两个连续偶数的积是288，求这两个偶数。
14.从一块长80cm ，宽60cm 的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？
15、已知关于x 的方程
03522=-++p x x 的一个根是4-，求方程的另一个根和p 的值．
16.已知：关于x 的方程x 2+（8－4m ）x+4m 2=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值，并求出这时的根．
（2）问：是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于136；若存在，•请求出满足条件的m 值；若不存在，请说明理由．
17.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？。