随堂练习第6讲一元二次方程

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一元二次方程讲义

地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）第6讲判别式和根与系数的关系【学习目标】1、使学生会运用根与系数关系解题2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=∆，（1）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，aacb b x 242-±-=；（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==；（3）当042<-ac b 时，方程无实数解。

2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式aacb b x x 24221-±-==，有a b x x -=+21，a c x x =⋅21 3、常见的形式：（1）212212214)()(x x x x x x -+=- （2）)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+（3）21221214)(x x x x x x -+±=-【典型例题】例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。

地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）例3、已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值：（1）2221x x + + 21x x （2）1221x x x x +例4、已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ，求 ①m 的值； ②求x 12+x 22的值.例5、已知关于x 的方程（1）03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x的方程（2）01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程（1）有整数解？【经典练习】姓名：成绩：一、选择题1、方程012=--kx x 的根的情况是（）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、没有实数根D 、与k 的取值有关地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）2、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(22=+--k x k 的两根互为倒数，则k 的取值是( ). A 、2±B 、2C 、 2-D 、03、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ,那么q 的值等于( ). A 、32-B 、-2C 、91D 、92-4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±15、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫⎝⎛22，则方程的两根之比为（）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶3 二、填空题1、已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += _____，21x x = _____2、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b3、已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k=4、（1）已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 05242=++mx x 的一个根是另一个根的5倍，则m= ； 5、以数21,21+-为根构造一个一元二次方程三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。

【初高中衔接】第6讲一元二次方程根与系数的关系(含答案)

【第6讲】一元二次方程根与系数的关系【基础知识回顾】知识点1 一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= (1) 当240b ac ->时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bx a =-(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=- 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12bx x a +=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+---⋅=⋅===韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b c x x x x a a +=-=【合作探究】探究一 ∆与根个数之间的关系【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)22310x x -+= (2)24912y y +=(3)25(3)60x x +-=归纳总结：【练习1-1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【练习1-2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．探究二一元二次方程的根与系数的关系【例2-1】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．归纳总结：【练习2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【例2-2】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．探究三一元二次方程的根的范围【例3-1】若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。

21.3+实际问题与一元二次方程+随堂练习+2024—2025学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程随堂练习一、选择题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（）A ．（3+x ）（4﹣0.5x ）＝15B ．（x+3）（4+0.5x ）＝15C ．（x+4）（3﹣0.5x ）＝15D ．（x+1）（4﹣0.5x ）＝152．如图，在高3m ，宽4m 的长方形墙面上有一块长方形装饰板(图中阴影部分)，装饰板的上面和左右两边都留有宽度为()m x 的空白墙面.若长方形装饰板的面积为24m ，则以下方程正确的是（）A ．()()344x x --=B ．()()3424x x --=C ．()()3244x x --=D ．()()32424x x --=简称：用主客场赛制(也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛).2022−2023CBA 常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（）A ．80个B ．120个C ．15个D ．16个4．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（）A ．（3+x ）（4-0.5x ）=15B ．（x+3）（4+0.5x ）=15C ．（x+4）（3-0.5x ）=15D ．（x+1）（4-0.5x ）=155．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（）元．A ．3320B ．3440C ．3450D ．34566．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（）A ．()22891256x -=B ．()22561289x -= C ．()28912256x -= D ．()25612289x -= 7.北京时间2月6日，土耳其、叙利亚遭遇严重地震，中国政府在第一时间启动紧急人道主义援助机制，彰显了大国担当．救援物资登机前，救援队临时搭建了长100米、宽80米的存储救援物资的矩形仓库，阴影部分是等宽的人、车通道，若除通道外，设道路宽为x 米，则可列方程为（）A ．（100+x ）（80+2x ）＝7178B ．（100+2x ）（80+x ）＝7178C ．（100﹣x ）（80﹣2x ）＝7178D ．（100﹣2x ）（80﹣x ）＝71788.如图，面积为50m 2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m 长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m 宽的门（门的材料另计）（m ），则所列方程正确的是（）A ．（22+1﹣x ）x ＝50B ．（22﹣1﹣x ）x ＝50C ．（22+1﹣2x ）x ＝50D ．（22﹣1﹣2x ）x ＝509．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为220m 的矩形空地.设原正方形空地的边长为xm ，则下面所列方程正确的是（）A ．()()x 3x 220--=B ．()()x 3x 220++=C ．2x 3x 2x 20--=D ．2x 3220-⨯=10．如图1，矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，点P 沿BC 从点B 运动到点C ，设B P ，两点间的距离为x PA PE y -=，，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则BC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题 1.电流通过导线时会产生热量，设电流是I(安培)，导线电阻为R(欧姆)，t 秒产生的热量为Q(焦)，根据物理公式Q=I ²Rt ，如果导线的电阻为5欧姆，2秒时间导线产生60焦热量，则电流I 的值是安培．2．已知直角三角形两条的边长是方程27120x x -+=的两个根，则这个直角三角形的面积为．3.有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，若要求出未知数x ，则应列出方程：（列出方程即可，不要解方程）．4.春节期间，某超市举办了“2023年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为a 元的商品降价%x 销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价%x ，此时售价共降低了b 元，则b = ．5.若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x 2−6x +8=0的两根，则这个等腰三角形的周长是．6.某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出 x 个小分支，那么依题意可得方程为 .7.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为2116y x =-，当水面离桥顶的高度OH 为4m 时，水面的宽度AB 为 m ．8.2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A '、B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面米．三、解答题1.我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．某非法传销组织现有一名头目计划每人发展若干数目的下线，每个下线再发展同样数目的下线成员．经过两轮发展后，非法传销组织成员共有57人，间每个人计划发展下线多少人？2.已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程210 24mx mx-+-=的两个实数根．(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？3.甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．(1)求甲工程队每小时修的路面长度；(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(25m+)小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．4.甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a万元，且每天多挖1 24a．乙每合格完成1米隧道施工成本增加13a万元，且每天多挖18a米．若最终每天实际总成本比计划多11242a⎛⎫+⎪⎝⎭万元，求a的值．5.某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）（元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求出y与x的函数关系式；（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价，请说明理由．。

一元二次方程的解法-公式法1(整理2019年11月)

2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
4a2 0 当 b2 4ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即 x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
特别提醒
一元二次方程的求根公式
b b2 4ac x
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解：化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） 0 2 3
x
3
21
2
即： x1 x2 3
b b2 4ac x
；
出版社，1 第二阶段：根据设计说明书进行编码电机系统仿真。特别是输入和输出特性。109 图形学基本原理 ③ 第四节衡量学习是否达到目标的标准：车间动力电气平面布线图接地技术杨兴华.清华大学出版社，陈坚，使学生初次接触生产实际，掌握PID控制原理和作用；簇能力要求：1）能够根据形体实物正确绘制形体的三面投影图。6 25 代表了未来仪器的发展方向，75 指导教师根据电机拖动的运动控制方式出题，掌握 2.3）通过习题、课外作业等，1)执行器气开/气关的形式及其选择原则 1.通过实验巩固和验证所学理论，重点与难点：过程控制专业词汇和阅读（2）谢存禧、张铁，第六节 5 第三节教学目的：按其幅频特性可分为低通、高通、带通

九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程课时2应用一元二次方程(二)作业课件(新版)北师大

3. [2022包头青山区模拟]某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出,每天可售出 200件,如果这种商品每件的售价每提高0.5元,其销售量就减少10件. (1)应将每件的售价定为多少元,才能使每天的利润为640元? (2)店主想要获得每天800元的利润,小红同学认为不可能.你同意小红同学的说法吗?请说明理由.
知识点1 平均变化率问题
4. [2021东营中考]“杂交水稻之父” —袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现了水稻亩产量700公斤的目标,第三阶段实现了水稻亩产量1 008公斤的目标. (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率; (2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200公斤,请通过计算说明他们的目标能否实现.
课时2 应用一元二次方程(二)
知识点1 平均变化率问题
1. [2021湘潭中考]为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为64元,求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为x,可列方程得 ( ) A.100(1-x)2=64 B.100(1+x)2=64 C.100(1-2x)=64 D.100(1+2x)=64
D答.3案4 395+36 833+36 833(1+x)=40 454
知识点1 平均变化率问题
3. [2022武汉江夏区期末]某种产品预计两年内成本将下降36%,则年平均下降率
为
.
答案
3. 20% 设成本为1,年平均下降率为x,依题意列方程,(1-x)2=1-36%,解得 x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去).
答案
知识点2 销售问题

-一元二次方程的解法(全)

2 2 2 配方，得x 4 x 3 1 1. 2 3 5 32 5 2 xx 1. x .所以 2）即x 即 4x 4 1. 所以（ 2 4 2 2 所以x 2 1或x 2 1. 3 5 所以 x 所以x1 3或 x2 2 1. 2 . 3 5 3 5 即x1 ，x1 . 2 2
2
此方程无解。
方程
ax c 0 a 0 一定有解吗?
2
2
c a0 x a ;
1当
c a
0时，方程的根是 x ;
c a
2当
c a
0时，原方程无实数根。
2 2
提问：下列方程有解吗？
(1) x 4 3; (2) 3x 1 3;
2
可见，上面的 2 x 4 实际上就是求4的平方根。
x 4 x 2 x1 2 ; x2 2
以上解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
初试锋芒
用直接开平方法解下列方程：
（1） y 121 0 ;
2
将方程化成
（2） x 2 0 (3)
2
x b
2
(b≥0）的形式,再求解
归纳小结
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x b b 0 或
2
x a
2
b b 0 .
根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，当b<0时，原方程无解。
（第2课时）
知识回顾
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x b b 0 或
共同回顾:一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

新高一数学第6讲-一元二次不等式的解法

主题一元二次不等式的解法教学内容1. 掌握一元二次不等式的解法；2. 学会用区间表示集合；3. 通过利用二次函数的图像来求解一元二次不等式的解集，培养数形结合的数学思想。

一、一元二次不等式的解法：探究：我们来考察它与其所对的二次函数25y x x =-及二次方程250x x -=的关系：（1）当0x <或5x >时，0y >，即在x 轴上方；（2）当0x =或5x =时，0y =，即在x 轴上；（3）当05x <<时，0y <，即在x 轴下方.其中0x =，5x =是二次函数25y x x =-与x 轴的交点，是二次方程250x x -=的两根.探究得出：结合图像知不等式250x x -≤的解集是 {}05x x ≤≤ 那么对于一般的不等式 20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>又怎样去寻求解集呢？请同学们思考下列问题：如果相应的一元二次方程02=++c bx ax 分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像与x 轴的位置关系如何？可以提问程度较好的学生【答】二次函数c bx ax y ++=2的图像开口向上且分别与x 轴交于两点，一点及无交点。

现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。

ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像02=++c bx ax 的根 ab x 22,1∆±-=ab x x 221-== ∅02>++c bx ax 的解集 02<++c bx ax 的解集【答】02>++c bx ax 的解集依次是{}.R ;2R ;21⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈><a b x x x x x x x x 但或 02<++c bx ax 的解集依次是{}.;;21∅∅<<x x x x它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。

第6讲一元二次函数的图象和性质

第六讲二次函数的图象和性质【趣题引路】例生产某商品xt需费用1000+5x+110x2元,出售该商品xt时的价格是每吨a+xb元,其中a,b是常数,如果生产出的商品都能卖掉,并且当产量是150t时利润最大,•这时的价格是每吨40元,求a,b的值.解析设卖出xt的利润是y元,则y=x(a+xb)-(1000+5x+110x2)=(1b-110)x2+(a-5)x-1000.又由题设知,当x=150时,y最大,因此5150,112()1015040.abab-⎧-=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩即30035,15040. abab⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得 a=45,b=-30.当b=-30时, 1b-110<0,∴函数有最大值.∴a=45,b=-30为所求.点评这是一个关于商品的利润问题,解决此类问题的关键是函数建模,使之转变为函数问题,利用一元二次函数的性质求解.二次函数的研究通常和一元二次方程、一元二次不等式等联系起来.【知识延伸】例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是(8,0),顶点坐标是(6,-12),求这个二次函数的解析式.解析方法一:由题意可列方程组 22880,6,212.4a b c b a b c a⎧⎪⨯+⨯+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 解得a=3,b=-3b,c=96.故函数解析式为y=3x 2-36x+96;方法二:设所求解析式为y=a(x-6)2-12.又图象过(8,0),∴a(8-6)2-12=0,∴a=3,故函数解析式为y=3x 2-36x+96;方法三:函数图象关于直线x=6对称,因此图象一定通过点(8,0)和点(4,0),即4,8是方程ax 2+bx+c=0的两个根,因而二次函数可以写成y=a(x-4)(x-8).又函数图象过(6,-12),∴a(6-4)(6-8)=-12.∴a=3.故函数解析式为y=3x 2-36x+96.点评在求二次函数解析式时,若已知抛物线上任意三点,常设一般式:y=a x 2+bx+c(•a ≠0);若已知顶点或对称轴,常设顶点式:y=a(x+m)2+n,其中(-m,n)为顶点;若已知抛物线与x 轴交点的坐标时,常设交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0).例2 已知抛物线y=x 2+px+q 上有一点M(x 0,y 0)位于x 轴下方,(1)求证:已知抛物线与x 轴有两个交点A(x 1,0),B(x 2,0),其中x 1<x 2;(2)求证:x 1<x 0<x 2;(3)当点M•为(1,-1999)时,求整数x 1,x 2.解析 (1)由已知,得022200000,4().24y p p q y x px q x <⎧⎪⎨-=++=+-⎪⎩ △=p 2-4q=4(x 0+2p )2-4y 0>0,即△>0, ∴方程x 2+px+q=0有两个实根,且不相等.不妨设x 1<x 2,抛物线与x 轴有两个交点A(x 1,0),B(x 2,0);(2)由韦达定理1212,.x x p x x q +=-⎧⎨=⎩又y0=x02+px0+q<0,即x02-(x1+x2)x0+x1x2<0,(x0-x1)(x0-x2)<0,即x1<x0<x2;(3)当点M为(1,-1999)时有x0=1,y0=-1999,则由x1,x2为整数,(x1-1)(x2-1)也为整数,且x1-1>x2-1,得1211999, 11,x x -=⎧⎨-=-⎩或1211,11999.xx-=⎧⎨-=-⎩解得122000, 0,x x =⎧⎨=⎩或122,1998.xx=⎧⎨=-⎩点评此题“△”的求值较新颖,值得借鉴;第(3)•问利用二次三项式的因式分解过渡自然.【好题妙解】佳题新题品味例设抛物线y=a x2+bx+c开口向下,与x轴交于-1与3处,试判断下列关系式哪些是正确的?(1)abc>0;(2)a+b+c=0;(3)a=-12b;(4)3b=2c;(5)a-b+c>0;(6)5a+b+c>0;(7)•c>2b;(8)9a+3b+c=0.解析由开口向下知,a<0.由于抛物线与x轴交于x1=-1与x2=3处.∴y=a(x-x1)(x-x2)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.即b=-2a,c=-3a.由此可知abc=6a3<0表明(1)错;a+b+c=-4a>0表示(2)错;b=-2a表明(3)对;3b=-6a,•2c=•-6a表示(4)对;a-b+c=0表明(5)错;5a+b+c=0表明(6)错;c-2b=a<0,(7)错;9a+3b+•c=0,(8)对.中考真题欣赏例(2003年北京市中考题)已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴一个交点为A(-1,0).(1)求抛物线与x轴另一个交点B的坐标;(2)D是抛物线与y轴交点,C是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线解析式;(3)E是第二象限内到x轴,y轴的距离之比为5:2的点,如果点E在(2)•中的抛物线上,且它与点A在抛物线对称轴同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,•使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由已知,-1为方程ax2+4ax+t=0的一根,设另一根为x2,则-1+x2=-4aa=-4∴x2=-3,即抛物线与x轴另一交点为(-3,0);(2)由(1)知(-1)·x2=t a∴ t=3a.则抛物线解析式为y=ax2+4ax+3a,∴D为(0,3a).又AB∥CD ∴C为(-4,3a),∴│AB│=2,│CD│=4,梯形高为│3a│.∴9=242.3│a│,求得a=±1.故所求抛物线为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3;(3)设E(x0,y0)则y0= -52x0(x0<0).(i)若a=-1,则y0=-x02-4x0-3即-52x0=-x02-4x0-3,而此方程无实根;(ii)若a=1,则y0=x02+4x0+3,解方程-52x0=x02+4x0+3,得x01=-12,x02=-6(舍去).∴E(-12,54)∵AE长度一定,只须PA+AE最小.又点A关于x=-2的对称点为B(-3,0),∴PA+PE=PB+PE≥BE.∴P为BE与x=-2的交点时满足题设要求.不难求得BE解析式为y=12x+32,令x=-2,得y=1 2 ,∴P(-2, 1 2 ).即存在这样的点P(-2, 12)满足(3)要求.点评本题难点在(3),关键是将△APE周长最小的条件转化为B、P、E三点共线,•从而求点P.竞赛样题展示例1 (1997年陕西数学竞赛题)若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)•的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),则S=a+b+c 的值的变化范围是( )A.0<S<1B.0<S<2C.1<S<2D.-1<S<1解析将(0,1),(-1,0)代入y=ax 2+bx+c 得1,0.c a b c =⎧⎨-+=⎩即1, 1.c a b =⎧⎨=-⎩ ∴S=a+b+c=2b.∵二次函数y=ax 2+bx+c 顶点在第一象限,∴-2b a>0,又a=b-1, ∴-2(1)b b ->0,即2b(b -1)<0. ∴0<b<1,即0<S<2.选B.点评本题只给出两点,不能求出a 、b 、c 具体的值，只能求出a 、b 、c 之间的关系，•据此再求Ｓ的取值范围.例2 (1993年江苏初中数学竞赛试题)已知mn 是两位数,二次函数y=x 2+mx+n •的图象与x 轴交于不同的两点,这两点间距离不超过2.(1)求证:0<m 2-4n≤4;(2)求出所有这样的两位数mn .解析 (1)设y=x 2+mx+n 的图象与x 轴的两交点为A(x 1,0),B(x 2,0),x 1•≠x 2,•则x 1,x 2为方程x 2+mx+n=0的两个不同实根.∴x 1+x 2=-m,x 1·x 2=n.又0<│x 1-x 2│≤2 即0<(x 1+x 2)2-4x 1x 2≤4,也即0<m 2-4n≤4;(2)∵m,n 为整数(m≠0),∴m 2-4n=1,2,3,4,而m 2被4除余0或1,故m 2-4n 被4除也余0或1,从而只能有m 2-•4n=1或m 2-4n=4.解这两个不定方程,得:1,0,m n =⎧⎨=⎩ 3,2,m n =⎧⎨=⎩ 5,6,m n =⎧⎨=⎩ 2,0,m n =⎧⎨=⎩ 4,3,m n =⎧⎨=⎩ 6,8.m n =⎧⎨=⎩ ∴所求两位数为10,32,56,20,43,68.点评一元二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴两交点的横坐标即是方程ax 2+bx+c=0的两根,利用韦达定理即可求解.全能训练A 卷1.已知函数y=(m 2+m)x 2+mx+4,(1)m 是何值时,y 是x 的一次函数?(2)m •是何值时,y 是x 的二次函数?2.已知抛物线y=23x 2与直线y=x+k 有交点,求k 的取值范围.3.已知二次函数的图象经过点(1,0)和(-1,8),且与抛物线y=2x2•的开口方向及形状相同.(1)求此二次函数解析式;(2)求其顶点坐标和与x轴交点坐标;(3)若将此抛物线绕顶点旋转180°后,求旋转后的抛物线的解析式.4.二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移三个单位,•得到二次函数y=x2-2x+1,求b,c的值.5.已知抛物线y=x2+2x+(m-2),问:当m取何值时,抛物线与y轴的交点在x•轴的上方,在x轴的下方,抛物线过原点?6. 如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,则下列关系成立的是( )A.abc>0B.a+b+c<0C.a2<ab-acD.以上均不对A卷答案1.(1)m=-1时,y是x的一次函数;(2)m≠0,且m≠1时,y是x的二次函数.2.k≥-3 83.(1)y=2x2-4x+2. (2)(1,0),(1,0) (3)y=-2x2+4x-24.b=-6,c=6.5.在y=x2+2x+(m-2)中,令x=0,则y=m-2.当m-2>0,即m>2时,抛物线与y轴交于x轴上方;当m-2<0,即m<2时,抛物线与y轴交于x轴下方;当m-2=0,即m=2时,抛物线过原点.6.DB 卷1.设一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为98,99,在二次函数y=x 2+bx+c 中,若x 取0,1,2,…,100,曲则y 的值能被6整除的个数是( )A.33B.34C.65D.672.二次函数y=a 2x 2-4x+1有最小值-1,则a 的值是( ).A. B.D.±2 3.如图,已知抛物线y=12x 2+(k+12)x+(k+1)(k 为常数),与x 轴交于A(x 1,0),•B(x 2,0)(x 1<0<x 2)两点,与y 轴交于C 点,且满足(OA+OB)2=OC 2+16.(1)求此抛物线解析式;(2)设M 、N 是抛物线在x 轴上方的两点,且与x 轴的距离均为1,点P •是抛物线顶点,问:过M 、N 、C 三点的圆与直线CP 是否只有一个公共点C?试证明你的结论.PN M y x O CB A4.已知抛物线y=13x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),与y轴交于点E(0,-1).(1)求此二次函数的解析式;(2)若点Q(m,n)在此抛物线上,且-3≤m≤3,求n的取值范围;(3)设点B是此抛物线与x轴的另一个交点,P是抛物线上异于点B的一个动点,•连结BP交y轴于点N(点N在点E的上方),若△AOE∽△BON,求点P的坐标.5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是C,它与x轴有两个不相同的交点A和B.(1)若点C的横坐标是3,A,B两点的距离是8,求方程ax2-(6a-b)x+9a-3b+c=0的根;(2)若点C到x轴的距离等于A、B两点距离的k倍,求证:b2-4ac=16k2.B卷答案1.D 由已知可得b=-197,c=98×99,则y=x2-197x+98×99=x(x+1)-198x+98×99.要使6|y,则6|x(x+1).又2|x(x+1),只须3|x(x+1),则3|x或3|x+1.当3|x时，共有[1013]+1=34个，当3|x+1时，共有[1003]=33个。

九年级数学下册第6讲一元二次方程知识点总结

在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.
知识点三：一元二次方程的应用
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运的常见变形：
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, 等.
失分点警示
3.根的判别式
(1)当Δ＝ >0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝ =0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝ <0时，原方程没有实数根．
例：方程的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程的判别式等于－8，故该方程没有实数根.
*4.根与系数的关系
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.

第6讲一元二次方程及其应用(3～9分)

12．(2019·安阳二模)《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一根竖立着的
木柱，在木柱上端系着绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，
牵着绳索退行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为 x
尺，根据题意，可列方程为( C )
A．82＋x2＝(x－3)2
x1，x2，则
x1＋x2＝⑫
－－ba
，
x1x2＝⑬ a .
3．以两个数 x1，x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是⑭ x2x－2－(x(1x＋＋xx2))xx＋＋xxx1x＝2
0 ＝0
．
一元二次方程的实际应用
1．实际问题常见类型类型
数量间的相等关系
增长率＝增基长础数数量量×100%
B．40%
C．18%
D．36%
11．(2019·三门峡一模)学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式(每两队之间赛一
场)．计划安排 21 场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛．根据题意，
下面所列方程正确的是( B )
A．x2＝21
B．12x(x－1)＝21
C．12x2＝21
D．x(x－1)＝21
A．x1≠x2
B．x21－2x1＝0
C．x1＋x2＝2
D．x1·x2＝22
3．若一元二次方程 x2－2kx＋k2＝0 的一个根为 x＝－1，则 k 的值为( A )
A．－1
B．0
C．1 或－1
D．2 或 0
4．若方程 x2－2x－4＝0 的两个实数根为 α，β，则 α2＋β2 的值为( A )
A．12
【变式训练】 2．已知关于 x 的一元二次方程 3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( B ) A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定

一元二次方程的解法(配方法)

一元二次方程的解法(配方法)教学目标:1.了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程.2.经历用配方法解一元二次方程的认识过程,培养学生发现问题,观察问题,解决问题的能力.3.结合生活实际学习数学,并通过用数学知识解决生活中的问题.重点难点重点:掌握配方法的解题步骤.难点:把常数项移到等号的右边后,两边加上的常数是一次项系数的一半的平方.教学准备:多媒体课件.教学方法:讲练结合教学过程:一.知识回顾.二.新知探究.对于形如X2=9的一元二次方程,我们可以通过求一个正数的平方根来求解,我们称之为这种解一元二次的方法叫做直接开平方法.练一练(1)X2=25 (2)X2-0.81=0(3) 3(X+1)2=48 (4)2(X-2)2=4想一想师:你还记得我们学过的一元二次方程吗?生:a2±2ab+b2=(a±b)2填一填:(1)X2+2X+_=(X+_)2(2)X2-8X+_=(X-_)2(3)X2+5X+_=(X+_)2(4)X2-X+_=(X+_)2思考:怎样解一元二次方程X2+2X-1=0?分析:如果把方程的左边化为完全平方形式,我们就可以直接开平方求解.把常数项移到等号右边,得:X2+2X=1对等号左边配方,得X2+2X+1=1+1即(X+1)2=2直接开平方,得:X+1=±2所以原方程的根为:X1=2-1 X2=-2-1思考:什么叫做配方法?用配方法解一元二次方程有哪些步骤?利用完全平方公式对一元二次方程的左边进行变形,使方程左边成为完全平方式后,再直接开平方来解的方法,叫做配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:1.把常数项移到方程右边,再把二次项系数化为12.将方程左边配成一个完全平方式.(两边都加上一次项系数一半的平方)3.用直接开平方法解出方程的解。

例题讲解：1。

用配方法解下列方程（1）X 2-4X-1=0 （2）2X 2-3X-1=0随堂练习：1.用配方法解下列方程（1）X 2-4X+3=0 （2）X 2-3X-3=0（2）2X 2-X-1=0 （4）3X 2-X-2=02.用配方法解下列方程，配方有错的是（）（A ）X 2-2X-99=0化为（X-1）2=100（B ）2X 2-3X-2=0化为（X-43）2=1625 （C ）X 2+8X+9=0化为（X+4）2=25（D ）3X 2-4X=2化为（X-32）2=910 3.对于任意的实数，代数式X 2-5X+10的值是一个（）（A ）非负数（B ）正数（C ）整数（D ）不能确定的数小结与反思：1.本节课你学习了哪些主要内容？（1）什么叫做配方法？（2）用配方法解一元二次方程的步骤。

一元二次方程求解

等量关系：总收入—成本—各种费用=总利润设储藏x个星期出售这批农产品可获利122000元（80-2x）（1200+200x） — 1600x— 64000=122000
x1 x2 15
前测
研讨
中测
研讨
小结
布置作业
后测
• 中测7：某宾馆有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客
房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有一间客房空闲.对有游客入住的客房，宾馆还需要对每个房间支出20元/天的维修费用.设每间客房的定价提高了 x元 . (1)填表（不需化简）
等量关系：每张贺卡利润×售出贺卡数量=总利润
设降价为x元，（0.3-x）（500+200× 0.05 ）=180 设降x个0.05元，（0.3-0.05x）（500+200x）=180
x
x1 0.1, x2 0.075 （舍）
x1 2, x2 1.5 （舍）
前测
研讨
中测
研讨
小结
售价销量 200 200+10x 800-200-（200+10x）
第一个月第二个月
清仓
80 80-x 40
（2）如果这次销售活动中，商家欲想获利9000元的利润，第二个月应降价多少元？
80 ×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]=9000
x1 30, x2 10（舍）
— 20（60-
（舍） x1 100, x2 320
前测
研讨
中测
研讨
小结
布置作业
后测

【人教版】数学九年级全一册一元二次方程根的判别式随堂练习(课件版)

计算判别式的值，判断方程根的情况【例 1】不解方程，判断方程 x2－3x－1＝0 根的情况．
解：a＝____1____，b＝__－__3__，c＝__－__1__， ∴Δ＝b2－4ac＝___(_－__3_)2_－__4_×__1_×__(－__1_)__ ＝__________1_3__________． ∵Δ___＞___0， ∴方程有两个_不_等__的__实数根．
8.若 a，b，c 分别是三角形的三边，判断方程(a＋b)x2 ＋2cx＋(a＋b)＝0 的根的情况．
解：Δ＝(2c)2 －4(a ＋b )(a ＋b )＝4c 2－4(a ＋b )2 ＝4(c＋a＋b)(c－a－b). ∵a，b，c 分别是三角形的三边， ∴a ＋b ＞c. ∴c＋a ＋b ＞0，c－a －b ＜0. ∴Δ＜0. ∴方程没有实数根．
9.已知关于 x 的一元二次方程 2x2－(4k＋3)x＋2k2＋k ＝0. (1)当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)在(1)的条件下，若 k 是满足条件的最小整数，求方程的根．
(1)当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
解：∵关于 x 的一元二次方程 2x2－(4k＋3)x＋ 2k2＋k＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(4k＋3)]2－4×2×(2k 2＋k ) ＝16k ＋9＞0. 解得 k＞－ 9 .
16 ∴当 k＞－ 9 时，方程有两个不相等的实数根．
16
(2)在(1)的条件下，若 k 是满足条件的最小整数，求方程的根．
根据题意，得 k＝0， ∴原方程为 2x2－3x＝0，即 x(2x－3)＝0. 解得 x1＝0，x2＝32 . ∴方程的根为 x1＝0，x2＝32 .
证明：a ＝1，b ＝m ，c＝－6，由题意，得Δ＝m 2－4×1×(－6)＝m 2＋24. ∵m 2≥0，∴m 2＋24＞0，即Δ＞0. ∴方程总有两个不相等的实数根．

一元二次方程的整数根

第6讲一元二次方程的整数根精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。

我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习。

-----阿贝尔知识方法扫描1．当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。

然后利用其根是整数的要求来解不定方程。

此时因参数k 的条件不同，常有两种处理方法。

其一是k 为整数，这时只需注意分式形式的解中，分子是分母的倍数即可；其二是k 为实数，此时应该消去参数k ，得到关于两根的关系式，也就是关于两根的不定方程，再解此不定方程即可。

2．我们知道一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有实数根x ＝ab 2∆±-。

所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.故处理此类问题，常可用判别式来解决。

又可细分为两类：（1）先求参数范围。

可利用题设参数的范围，直接求解；也可由不等式△≥0求出参数的范围.再求解。

（2）再设参数法，即设△＝k 2（k 是整数）。

当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解.此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的。

3．韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有：（1）从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.（2）利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解。

4．在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法。

（1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解。

上教版八年级数学(上)暑假讲义第6讲--一元二次方程的应用

未来的你，一定会感谢现在努力的自己第六讲一元二次方程的应用【知识精讲】1、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：．【精讲提升】【例1】在实数范围内不能分解因式的是（）A ．B ．C ．D ．【例2】方程的两个实数根是，则把这个二次三项式进行因式分解的结果是________________________．【例3】将在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A ．B ．C ．D ．【例4】若二次三项式在实数范围内可分解因式为，则一元二次方程的值分别为________________．2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --26x --25211x x -+2422x x --20(0)ax bx c a ++=¹12x x ==2ax bx c ++229136a b a +--(31)(31)a a -+-(31)(31)a a --+(31)(31)a a --(31)(31)a a +++2x bx c ++(x x -b c ，【例5】在实数范围内分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【例6】在实数范围内分解因式：（1）；（2）．【例7】在实数范围内分解因式：（1）；（2）．228x -3(1)5(1)x x ---272x x -++22430x x --285x x -+261y y -+2285x x -+221x --【例8】在实数范围内分解因式：（1）；（2）；（3）．【例9】在实数范围内分解因式：（1）；（2）．【例10】在实数范围内分解因式：（1）；（2）；（3）．【例11】二次三项式，当a 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）能分解成两个相同的因式；（3）不能因式分解．2241x y xy ++222x y --221342x y xy --+422772x x +-4241036y y --+222m mn n --22311x y ++22621x y xy +-2(21)(1)a x a --+-【例12】已知可以分解得到，求实数的值．【例13】多项式是完全平方式，求证：．224x kxy y ++(22)()x y mx ny ++k m n ，，2221244x a ab b -+-+-2b a =师生总结1、因式分解常用的方法有哪些？2、二次三项式可以进行因式分解的条件是什么？【知识框架】【知识精讲】1、数字问题：对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x 、y 、 z ，那么这个三位数则可以表示为．【精讲提升】【例1】已知两个连续奇数的积是，求这两个数．【例2】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．10010x y z ++323模块一：数字问题【例3】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．【例4】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．818552522、增长率问题基本公式：，表示增长前的数，表示增长率，表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出、．如果是降低率，则为．【例5】甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价；乙超市一次性降价；丙超市第一次降价，第二次降价，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是哪家？【例6】某钢铁厂去年月份钢的产量为吨，月份上升到吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？()21a x b +=a x b a b ()21a x b -=m 20%40%30%10%1500037200 模块二：增长率问题例题解析【例7】某商场今年一月份销售额万元，二月份销售额下降，进入月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．【例8】某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）【例9】某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？10010%3129.6150183.7053、利润问题：总利润单件利润总件数；总利润总售价总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．【例10】某商店购进一种商品，进价元．试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价 (元)满足关系：，若商店每天销售这种商品要获得元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【例11】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为只，且每日产出的产品全部售出，已知生产只熊猫的成本为（元），售价每只为（元），且、与的关系式分别为，．（１）当日产量为多少时每日获得的利润为元？（２）若可获得的最大利润为元，问日产量应为多少？=´=-30P X 1002P X =-20040X R P R P X =500+30R X 1702P X =-17501950模块三：利润问题知识精讲例题解析【例12】某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？【例13】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商品要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【例14】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少元？405050011080001050012060002040481200【例15】商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？【例16】某汽车销售公司月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出辆汽车，则该汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内（含辆），每辆返利万元，销售量在辆以上，每辆返利万．（1）若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为万元/辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）612710.110100.5101328124、几何面积问题：对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．【例17】一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，两条直角边的长分别是____________．【例18】一个菱形两条对角线长的和是，面积是，菱形的周长是-________．（结果保留根号）【例19】若把一个正方形的一边增加，另一边增加，得到的矩形面积的倍比正方形的面积多，则原正方形的边长为______．【例20】如图，有一面积是平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．求鸡场的长和宽各多少米？x 14cm 224cm 10cm 212cm 2cm 1cm 2211cm cm 15018233模块四：面积问题知识精讲例题解析【例21】如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是．【例22】台门中学为美化校园，准备在长米，宽米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下图），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？（1）甲方案图纸为图1，设计草坪总面积平方米．（2）乙方案图纸为图，设计草坪总面积平方米．（3）丙方案图纸为图，设计草坪总面积平方米．20m 30m 2551m 322054025403570Í¼2Í¼120Í¼3【例23】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，①的面积等于平方厘米？②五边形的面积最小？最小值是多少？传播问题5、传播问题（1）送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了张，总共有个人所以列式为；（2）而握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为．这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．ABCD 6AB cm =8BC cm =P A AB B 1Q B BC C 2P Q A B ，PBQ D 8APQCD 1x -x ()1930x x -=(1)1052x x -= 模块五：传播问题知识精讲【例24】圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？【例25】参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛场比赛，共有多少个队参加比赛？【例26】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，这个小组共有多少名同学？【例27】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？93045182105例题解析【例28】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？【例29】有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【习题1】两个连续奇数的积是63，则这两个奇数是_________．【习题2】长方形的长比宽多，面积是，则它的长是_________．【习题3】某厂今年利润为元，计划今后每年增长，两年后利润是_________．【习题4】若正方形的边长增加为两倍，它的面积就增加48，则原来的边长为________.【习题5】某农场的总产值预计今年比前年翻一番，那么平均每年总产值约增长_____（精确到0.01）.【习题6】张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多米，现已购买这种铁皮每平方米需元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了元钱911214cm 260cm a %m 2cm cm %115220随堂检测【习题7】有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为4，如果把十位数字与个位数字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数得403，设原来的数的个位数是，则可得方程是（）.A. B. C. D.【习题8】某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出，若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而利润大，每床每晚应提高（）.A.4元和6元B.4元C.6元D.8元【习题9】某工厂今年月份产品数是万件，要求月份达到万件，求这个工厂月份和月份的月平均增长率．【习题10】西瓜经营户以的价格购进一批小型西瓜，以的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？x (94)(409)403x x +-=(94)(409)403x x --=(4)(4)403x x x x -×-=(94)(49)403x x +-=150360.5232元/千克3元/千克2000.1元/千克4024200【习题11】某商场销售一批名牌鞋子，平均每天可售出双，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施，经调查发现，如果每双鞋子降价一元，商场平均每天可多售出件．（1）商场平均每天要盈利元，每双鞋子应降价多少元？（2）商场平均每天盈利为，则每双鞋子降价多少元时，商场或利最大？最大值是多少？【课后作业】【作业1】从正方形的铁片上，截去宽为2厘米的一个长方形，余下的面积是48平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是________．【作业2】有46米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长25米）的矩形鸡场，其面积是260平方米，则鸡场的长为______米，宽为______米．【作业3】在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号）204021200Y 2mF E A BC D【作业4】如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为4500，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度CF ：BF =1：2，迎水坡度1：1=DE ：AE精确到0.1m ）【作业5】某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌?【作业6】从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数?【作业7】为了测定一个矿井的深度，把一块石头从井口丢下去，7.26秒后听到它落地的声音，已知音速为330米每秒，石头从井口落下的距离s 与时间t 的关系式为（g =10米每二次方秒），求这个矿井的深度．3m 10.049»212s gt =【作业8】某同学在初二年级末，将500元班费存入了半年期的定期储蓄，到期后取出240元，其余的继续存半年定期，毕业时正好到期，取到本利和272.68，购买纪念品．求这种储蓄半年期的获利率?（只列方程并化成一般式，不需要求解）【作业9】将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为9000元，售价应该定为多少?【作业10】百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元?（2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元?未来的你，一定会感谢现在努力的自己21/ 21ABCDLP【作业11】等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，CD⊥ AB，垂足为D，CD=2，P是AB 上的一动点(不与A、B重合)，且AP=x，过点P作直线l与AB垂直．（1）设三角形ABC位于直线l左侧部分的面积为S，写出S与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，直线l将三角形ABC的面积分成1:3的两部分．。

公式法解一元二次方程

b 4ac
2
2a
例用公式法解 2 x 4 x 1
2 2 解：方程化为一般形式 2 x 4 x 1 0
a 2

2
b 4
2
c 1
b 4 ac （ 4 ） 4 2 1 ） 24 （
即 b 4 a c > 0
2

x
（-4 ） 2 2
执教人：马玲琍
复习导入
一、用配方法解一元二次方程 2
2x 4x 1
x 2x
2
解：
1
2 1 2 2 2 x 2x 1 1 2 3 2 ( x 1) 2 6 6 x2 1 x1 1 2 2
二、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
用配方法解一般形式的一元二次方程
2
2a
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根
b x1 x 2 2a
（3）当b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) （没有）实数根
谈谈你的收获
1、本节课你学到了哪些知识？
2、你对这堂课有什么好的建议？
独立作业
1、不解方程，判断下列方程是否有解：（1）3x2+5x-2=0 （2）x2+2x+2=0 （3）4x² +1=-4x 2、P42 1 3、预习P 43、44 除了配方法或公式法以外，能否找到第三种方法解一元二次方程？
x + 1 . 5 = - 3 x
2
2
（2） x 2
2 x +
1 2
=0
（3） 4 x - 3 x + 2 = 0