如何确定函数的解析式

二次函数内容很丰富，它可以和方程、坐标、几何综合起来，涉及的知识也很多。尤其是确定二次函数解析式是相当重要的一个内容。我们如何利用二次函数所具备的三个条件来待定解析式y ax bx c =++2中三个参数a b c 、、的值，是我们掌握的必备知识和方法。 下面我们仅举以下例题：学习如何确定函数的解析式；使同学悟出其中的道理及思想。

重点、难点：

重点：函数有关概念的应用。

难点：函数的概念的灵活运用，解决有关问题。

1. 求满足下列条件的二次函数解析式：

例1. 已知：二次函数y ax bx c a =++≠20()，当x =

32时，有最小值-34

，又方程ax bx c 20++=两根为x x 12，且满足x x 13239+=。 分析：已知x =32函数有最小值-34，说明抛物线顶点坐标为()3234

，-，所以设二次函数解析式为顶点式比较方便。又知x x 13239+=，显然要用韦达定理待定系数。

解：设二次函数解析式为y a x ax ax a =--=-+-()()323439434

22 则x x x x a 1212394341+=⋅=-⎧⎨⎪⎩

⎪() 由x x x x x x x x 132312122

1239+=++-⋅=()[()]

将()1式代入计算求得a =3

∴二次函数解析式为y x x =-+3962

例2. 抛物线的顶点坐标为()-23，，且与x 轴交于()()x x 1200，，且||x x 126-=。 分析：本题的条件与例1基本相同，方法也大致类似，同学们可以自己完成。 解：设y a x ax ax a =++=+++()2344322 ||()x x x x x x x x x x a 1212212121246

443-=+-=+=-⋅=+⎧⎨⎪⎩

⎪ 代入后，解得a =-

13

∴二次函数解析式为y x x =-

-+134353

2 例3. 抛物线经过()()-1121，，且与x 轴只有一个公共点。

分析：已知抛物线过两点，可以设一般式，后将两点代入，再由抛物线与x 轴只有一个公共点说明∆=0，列a b c 、、的三元方程组来求参数值。

解：设二次函数为y ax bx c =++2

代入()()-1121，，，后得

a b c a b c b ac -+=-+=-=⎧⎨⎪⎩

⎪1421402

解方程组为a b c =

=-=494919

，， ∴=-+y x x 4949192 小结：这种方法虽然正确，但运算较大，我们分析两点的特点，当x =-1时，y =1，x =2时，y =1，说明这两点关于抛物线对称轴对称，则对称轴可求得x =

12

，即顶点的横坐标为x =12

，纵坐标为0，这样可以设顶点式为好。 解法2：设抛物线解析式为y a x =-()12

2 将()-11，代入，求得a =49

∴=-=-+y x x x 491249491922()

例4. 二次函数在y 轴上的截距为-6，而当-≤≤31x 时，y ≤0。

分析：由已知-≤≤31x ，则y ≤0，说明当x =-3时，y =0，x =1时y =0，可以设解析式为二根式，又过()06，-点，问题可以解决。

解：设抛物线的解析式为y a x x =+-()()31

将()06，-代入后，-=-36a ，a =2

∴解析式为y x x =+-231()()

即y x x =+-2462