高中人教A版数学选修2-2测试题及答案

高中人教A 版数学选修2-2测试题

一、选择题

1．曲线y ＝x

x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )

A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝－2x －3

D ．y ＝－2x －2

2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的减区间为( )

A ．(2，＋∞)

B ．(－∞，2)

C ．(0,2)

D ．(－∞，0)

3．i 是虚数单位，复数3＋i 1－i

等于( ) A ．1＋2i B ．2＋4i

C ．－1－2i

D ．2－i

4．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )

A ．(0,1]

B ．[1，＋∞)

C ．(－∞，－1]，(0,1)

D ．[－1,0)，(0,1]

6．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数

列{b n }中，若b n >0，q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )

A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7

B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8

C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8

D ．b 4＋b 5>b 7＋b 8

7．在复平面内，复数i 1＋i

＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

8．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为( )

A ．②①③

B ．③①②

C ．①②③

D ．②③①

9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范

围

是

( )

A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

B ．[－3，3]

C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D ．(－3，3)

10．函数f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5在[－4,1]上的最大值和最小值分别是( )

A ．13，9527

B ．4，－11

C ．13，－11

D ．13，最小值不确定

11．类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是( )

①平行于同一直线的两条直线平行；

②垂直于同一直线的两条直线平行；

③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ④如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．

A ．①②④

B ．①③

C ．②④

D ．①③④

12．若0

，则2x 与3sin x 的大小关系( ) A ．2x >3sin x B ．2x <3sin x

C ．2x ＝3sin x

D ．与x 的取值有关

二、填空题

13．函数y ＝x e x ＋1的单调减区间为________．

14．考查下列例子：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝

72，……得出的结论是________________________．

15.

从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为______．

16.定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc ，则复数⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1＋i －1 2 3i 的共轭复数是__________． 三、解答题

17．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y >2，求证：1＋y x 和1＋x y

中至少有一个小于2.

18．已知a >0，b >0，方程x 2＋(a ＋b i)x ＋1＋a i ＝0有实根，求a 的最小值，并求a

取最小值时b 的值，并解此方程．

19.已知实数a ≠0，函数f (x )＝ax ·(x －2)2 (x ∈R )有极大值32，求a 的值．

20．已知函数f (x )＝12x 2＋ln x . (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：x >1时，12x 2＋ln x <23

x 3.

21.今欲制作一个容积为V 的无盖圆柱形的桶，底用铝板，侧壁用木板，已知每平 方米铝板价钱是木板价钱的5倍，则怎样才能使材料费用最少？

22．已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n 2n －12·2n ＋1

2，…，S n 为该数列的前n 项

和，

计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081

. 观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明．

高中人教A 版数学选修2-2测试题答案

一、选择题

1．A 2．C 3．A 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D

9．B 10．C 11．B 12．D

二、填空题

13．(－∞，－1)

14．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2

15.13

16．－1－3i

三、解答题

17．证明 反证法．

假设1＋y x ≥2，1＋x y

≥2， 即1＋y ≥2x,1＋x ≥2y .

∴2＋x ＋y ≥2x ＋2y .即x ＋y ≤2.

这与x ＋y >2矛盾．

∴1＋y x 和1＋x y

中至少有一个小于2. 18．解 设方程有实根x 0，

则x 20＋(a ＋b i)x 0＋1＋a i ＝0，

即(x 20＋ax 0＋1)＋(bx 0＋a )i ＝0.

∵a ，b ，x 0∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋ax 0＋1＝0，bx 0＋a ＝0. ①②

∵b >0，∴x 0＝－a b

.

将其代入①得b 2－a 2b ＋a 2＝0.③

∵b >0，∴Δ≥0，即a 4－4a 2≥0，a 2≠0，

∴a 2≥4，又a >0，∴a ≥2.

故a 的最小值为2，所以b ＝2.

∴x 0＝－1.

原方程的解集为{－1}．

19．解 f (x )＝ax (x －2)2＝a (x 3－4x 2＋4x )．

∴f ′(x )＝a (3x 2－8x ＋4)＝a (3x －2)(x －2)．

由f ′(x )＝0，得x ＝23

或x ＝2； 当a >0时，f (x )在x ＝23

处，取极大值；