7大学物理习题及综合练习答案详解

7大学物理习题及综合练习答案详解

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

库仑定律

7-1 把总电荷电量为Q 的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀

分布在月球上，使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，已知地球的质量M ＝

5.98l024kg ，月球的质量m =7.34l022kg 。（1）求 Q 的最小值；（2）如果电荷分配与质量成正比，求Q 的值。 解：（1）设Q 分成q 1、q 2两部分，根据题意有 2

221r

Mm

G r q q k

=，其中041πε=k 即 2221q k q GMm q q Q +=

+=。求极值，令0'=Q ，得 0122=-k

q GMm

C 1069.5132⨯==

∴k GMm q ，C 1069.51321⨯==k q GMm q ，C 1014.11421⨯=+=q q Q （2）21q m q M =

，k GMm q q =21 k

GMm m q mq Mq ==∴2122 解得C 1032.6122

2⨯==k

Gm q ， C 1015.51421⨯==m Mq q ，C 1021.51421⨯=+=∴q q Q 7-2 三个电量为 –q 的点电荷各放在边长为 l 的等边三角形的三个顶点上，电荷Q （Q ＞0）放

在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 值应为多大？

解：Q 到顶点的距离为 l r 33=

，Q 与-q 的相互吸引力为 20141r

qQ F πε=， 两个-q 间的相互排斥力为 2

2

0241l q F πε=

据题意有 10

230cos 2F F =，即 2

022041300cos 41

2r

qQ

l q πεπε=⨯，解得：q Q 33= 电场强度

7-3 如图7-3所示，有一长l 的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+λ，则杆上距原点x 处的线元d x 对P 点的点电荷q 0 的电场力为何？q 0受的总电场力为何（

2）若电荷线密度λ=kx ，k 为正常数，求P 点的电场强度。

解：（1）线元d x 所带电量为x q d d λ=，它对q 0的电场力为

200200)(d 41

)(d 41

d x a l x q x a l q q F -+=-+=

λπεπε

q 0 图7-3

a

λ

l P x

q -q

-q

-l

l r Q r

r

q 0受的总电场力 )(4)(d 4000200a l a l q x a l x

q F l

+=-+=

⎰πελπελ

00>q 时，其方向水平向右；00

（2）在x 处取线元d x ，其上的电量x kx x q d d d ==λ，它在P 点的电场强度为

2

020)(d 41)(d 41

d x a l x

kx x a l q E P -+=-+=

πεπε

)ln (4)(d 40020a

l a

a l k x a l x x k

E l

P ++=-+=

∴⎰πεπε 方向沿x 轴正向。

7-4一半径为R 的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q ，下半段均匀带电量-q ，如图7-4

所示，求半圆中心处电场强度。

解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q 和-q 在O 点电场强度沿x 轴的分量之和为

零。取长为d l 的线元，其上所带电量为

θπ

θππλd 2d 2d 2

1

d d q R R q l R q l q ===

=，2

0d 41d R q E πε=∴ 方向如图 y 方向的分量 θεπθ

θπεcos 2d cos d 41

d 2

0220R q R q E y -=-

= j R q

j R q E

2

0220

2

02d cos 22επθθεππ

-

=⨯

-=∴⎰

7-5一半径为R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ ，求球心处电场强度。 解：沿半球面的对称轴建立x 轴，坐标原点为球心O 。

在球面上取半径为r 、宽为d l 的环带，如图，其面积为

θππd 2d 2d R r l r S ⋅==，所带电荷 θπσσd 2d d R r S q ⋅⋅==

d q 在O 处产生的电场强度为，2

3

2202

3220)(d 2)(d 41d r x xr R r x q

x E +=

+=

θ

εσπε 图7-4

θsin R r = ，θcos R x = θθθεσ

d cos sin 2d 0

=

∴E 因为球面上所有环带在O 处产生的电场强度方向相同，

i i E

20

4d cos sin 2εσθθθεσπ

==

∴⎰

7-6一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为σ ，平板中部有一半径为R 的圆孔, 如图7-6所示。求圆孔中心轴线上的场强分布。（提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理）

解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为

一个

完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。

无穷大平板的电场为 n e E

012εσ= 圆盘激发的电场为 n e R x x E )1(22

20

2+--=εσ

，其中n e

为平板外法线的单位矢量。

圆孔中心轴线上的电场强度为 n e R x x E E E 2

20

212+=

+=εσ

电通量

7-7电场强度为E

的匀强电场，其方向与半径为R 的半球面的对称轴平行，如图7-7所示，

求通过该半球面的电场强度通量。

解：作半径为R 的平面S ’与半球面S 构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷，由高

斯定理

0d d d '

'

=⋅+⋅=⋅=Φ⎰⎰⎰

+S S

S S S E S E S E

E R R E S E S E S S

S 22'

cos d d πππ=⋅-=⋅-=⋅=Φ∴⎰⎰