高一数学函数解析式的七种求法

高一数学函数解析式的七种求
法(总4页)
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函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则
二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(x
x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x
x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32
22y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上
把⎩⎨⎧-='--='y
y x x 64代入得： 整理得672---=x x y
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f 解 x x
f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x
1，得： x
x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：
例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=
+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，
又1
1)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-
=-+-x x g x f 即11)()(+-
=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得 11)(2-=x x f ， x
x x g -=21)( 利用判别式求值域时应注意的问题
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。

一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。

本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据
例1、 求函数1
22+--=x x x x y 的值域
象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由1
22+--=x x x x y 得： （y-1）x 2+(1-y)x+y=0 ①
上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验 例：求函数3
22122+-+-=x x x x y 的值域。

错解：原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （＊）
∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得
21103≤≤y 。

故所求函数的值域是]21,103[
错因：把21=y 代入方程（＊）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。

事实上，21=y 时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“∆”来判定其根的存在情况。

正解：原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （＊）
（1）当2
1=y 时，方程（＊）无解； （2）当21≠
y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103<≤y 。

综合（1）、（2）知此函数的值域为)2
1,103[ 二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
例2：求函数6
3422-+++=x x x x y 的值域。

错解：将函数式化为0)36()4()1(2=+--+-y x y x y
（1）当1=y 时，代入上式得093=--x ，∴3-=x ，故1=y 属于值域；
（2）当1≠y 时， 0)25(2≥-=∆y ，
综合（1）、（2）可得函数的值域为R y ∈。

错因：解中函数式化为方程时产生了增根（3-=x 与2=x 虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉3-=x 与2=x 时方程中相应的y 值。

所以正确答案为1|{≠y y ，且
}5
2≠y 。

三、注意变形后函数值域的变化
例3：求函数21x x y -+=的值域。

错解：由已知得21x x y -=- ①，两边平方得221)(x x y -=- ②
整理得012222=-+-y yx x ，由0)1(8)2(22≥---=∆y y ，解得22≤≤-y 。

故函数得值域为]2,2[-。

错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了y 的取值范围。

由函数得定义域为]1,1[-易知1-≥≥x y ，因此函数得最小值不可能为2-。

∵1-=x 时，1-=y ，∴1min -=y ，故函数的值域应为]2,1[-。

四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
例4：求函数5
422++=x x y 的值域。

错解：令42+=x t ，则1
2+=t t y ，∴02=+-y t yt ，由0412≥-=∆y 及0>y 得值域为]2
1,0(∈y 。

错因：解法中忽视了新变元t 满足条件2≥t 。

∴设y t yt t f +-=2)(，0>y ，
),2[+∞∈t ，
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤>>≥∆2210)2(0)2(0,0y
f f y 或520≤<⇔y 。

故函数得值域为]520，（。

综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。

因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。