四色定理

四色定理的发现：
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大 学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作 时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用 四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜 色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在 大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一 问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进 展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了 他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到 解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学 家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四 色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题 也没有能够解决。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明 基本上是按照肯普的想法（如上证明）在进行。 1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫 利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某 些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于 1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。 1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有 人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着 色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十 分缓慢。
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在平面图中的无数点中，任取相邻三点 构成各点相邻的△ABC（见图2），则需 3种颜色A B C,在平面图中再任取一点 D 与 A B C 三点相邻,同时D又与A B C三点相连后形成三角形。任取一 点E与 A、B、C、D四色相连，E必与四色之一色相同即E点在 △ABD中与C色相同、在△ACD中与B色相同、在△BCD中与A色相 同、在△ABC外与D色相同，E与另外三色相连形成新的三角形。 在三角形的三点之外任取一点只有在三角形的内部和外部 两种情况且这两种情况的点不会相邻，该点最多与三角形的三 点相连且又形成新的三角形。 继续选取一点进行着色，该点同样最多与三角形的三点相 连且又形成新的三角形，该点至少为四色中的一色。逐点（第 n点）着色至将所有点（第n+1点）着色只须A、B、C、D四色其 中一色。
结论：
将平面图的不相连点使其相连（这样 增加着色难度），形成有许多三角形相连 的平面图，根据三角形的稳定性，利用数 学归纳法，平面图进行着色最多需４种颜 色。
Biblioteka Baidu
在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面， 那么三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最 稳定、密闭的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考 虑点是否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增 加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图（三点 以下肯定成立）。如图1：添加辅助线（不相邻的点使 其相邻，这样就增加了着色的色数，有利于证明），将 图1分解为４个△ABC。
公开徵答
1878年，英国数学家 将上述问题曝光取名為「四色猜想」， 公开徵求解答。 问题一传出后，马上就有了回应。1879年和1880年， 和 分 别发表论文证明了四色问题。轰动一时的热度终於平息。不料事 隔11年后，一个名叫 的年轻人指出了 证明中的错误，并利用 的 方法证明出若用5 种顏色就保证一定能区分出地图上相邻的区域。 虽然四色问题未被破解，但是至此算是迈出了一大步。而另一方 面， 的论文亦被陆陆续续发现多处错误，甚至最后一个错误是 一直到1946年才被发现的。从这裡我们可看出这些人的研究精 神是多麼可敬，被发现错误的东西并未被弃之如敝屣般丢在一旁， 仍旧不断有人去研究它，甚至是在事隔半个多世纪之后。 尽管如此，这篇论文仍然起着巨大的作用。
四色定理
许多同学都知到排列组合把， 也应该应该都做过这个着色问题 吧： 用4种不同的顏色去涂右边这 个脸谱，每区域一色，同一种顏 色可重复使用，但相邻区域不可 同色，则有多少种涂法？
藍 綠
答案是214种
黃
4× 3× 2× 1× 1× 3× 3
四色問題
任何一张平面地图， 如果相邻的两个国家， 必须涂上不同的顏色以 便划清边界，则至多只 要四种顏色就搞定了， 不管这张地图有多麼奇 特复杂。
时势造英雄
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对 话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学 哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个 很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台 不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。 “四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题， 而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究 过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技 巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不 仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算 机的编码程序上都起到了推动作用。 不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应 该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍由不少数学家 和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
一番风风雨雨下来，四色问题更加受到瞩目了。由於 的 「五色定理」的证明并不难，因此就有许多人也小看了「四色 问题」的难度。最有趣的是以下这个例子。 1902年秋天，閔可夫斯基教授( ，1864 -1909，爱因斯 坦的数学导师)在上拓朴学的课堂上就当着学生面前说：「四 色问题之所以尚未被解决是因為世界上第一流的数学家都还没 空去研究它。」而且兴之所至，当场就证了起来；但是写了好 几个黑板，却依旧未能得证。接下来几个星期的课，他继续证 下去，课一堂一堂地过去了，他如身陷泥沼，仍旧无法证明出 来。他终於投降，承认自己也无能為力了。就在这个时候，天 空正好霹靂一声巨响，他感嘆地说：「上帝在责备我的狂妄！」 然后就继续上他的拓朴课了。