回溯PPT课件
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算法分析与设计回溯法ppt课件
问题求解的方法
硬性处理法
– 列出所有候选解,逐个检查是否为所需要的解 – 理论上,候选解数量有限,并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时,上述方法可行
– 实际中则很少使用,因为候选解的数量通常都非常大 (比如指数级,甚至是大数阶乘),即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
这种以深度优先方式搜索问题的解的方法称为 回溯法
回溯法思想
第一步:为问题定义一个状态空间(state space)。这 个空间必须至少包含问题的一个解
第二步:组织状态空间以便它能被容易地搜索。典型 的组织方法是图或树
第三步:按深度优先的方法从开始结点进行搜索
– 开始结点是一个活结点(也是 E-结点:expansion node) – 如果能从当前的E-结点移动到一个新结点,那么这个新结点将
权衡:限界函数生成结点数和限界函数 本身所需的计算时间
效率分析
效率分析中应考虑的因素
– (1)—(3)与实例无关 – (4)与实例相关
有可能只生成O(n)个结点,有可能生成 几乎全部结点
最坏情况时间
– O(p(n)2n),p(n)为n的多项式 – O(q(n)n!),q(n)为n的多项式
Monte Carlo效率估计(1)
解空间
隐式约束描述了xi必须彼此相关的情况, 如0/1背包问题中的背包重量M
回溯法求解的经典问题(1) 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后,且使得每两个 之间都不能互相“攻击”,也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) , 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法求解的经典问题(2) 子集和数问题
回溯法_ppt课件
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析:
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n); {k:=l; repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:=TK (x1,x2,..., x K-1 )中未取过的一个值; if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k=n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:=k-l; //回溯 until k=0; end;{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1); if语句含义:Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时,在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件,否则不满足问题的约束条 件,可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时,在当前扩展节点处 x[1:t]的取值为时目标函数越界,还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则,当前扩展节点处 x[1:t]的取值是目标函数越界,可剪去相应的子树 for循环作用:搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口:Backtrack(t)执行完毕,返回t-1层继续 执行,对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时, 若以测试完x[1]的所有可选值,外层调用就全部结束。
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析:
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n); {k:=l; repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:=TK (x1,x2,..., x K-1 )中未取过的一个值; if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k=n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:=k-l; //回溯 until k=0; end;{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1); if语句含义:Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时,在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件,否则不满足问题的约束条 件,可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时,在当前扩展节点处 x[1:t]的取值为时目标函数越界,还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则,当前扩展节点处 x[1:t]的取值是目标函数越界,可剪去相应的子树 for循环作用:搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口:Backtrack(t)执行完毕,返回t-1层继续 执行,对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时, 若以测试完x[1]的所有可选值,外层调用就全部结束。
第四节事后回溯设计ppt课件
概述
• 事后回溯设计是指所研究的对象是已发生 过的事件,而且在研究过程中,研究者不 需要选择与分配被试。
• 在研究过程中,研究者不需要设计实验处 理或操纵自变量,只需通过观察存在的条 件或事实,将这种已自然发生的处理或自 变量与某种结果或因变量联系起来加以分 析,以便从中发现某种可能的简单关系。
设计模式
两类事后回溯设计
• (1)相关研究设计 • (2)准则组设计
(1)相关研究设计
• 相关研究设计是在一个被试组内收集两个集 合的数据,其中一个数据集合是观察到的结 果,另一个则是被追溯的数据集合,研究的 目的是确定这两个数据集合之间的关系(正 相关、负相关和无关)。
• 相关研究设计模式
(1)相关研究设计
均为等级影响!
• 皮尔逊简单积差相关: 用来度量定距型变量间的线 性相关系数。如:收入储蓄、身高体重、工龄和 收入等变量之间的线性相关关系。
• 斯皮尔曼等级相关:用于度量定序变量间的线性 相关关系。如:军队较远的军衔与职称、产品质 量的等级和返修次数等变量之间的线性关系。
评价
• 优点:可提供各个变量或现象之间相关的 程度和方向;可以在相关研究的基础上, 进一步设计严格的实验方案来讨论变量间 的因果关系。
• 缺点:不能操纵相关的实验过程,只能对 特定被试的特征既反映效果进行事后分析 ,只能得出相关关系不能得出因果关系。
• 编制心理测验时,相关研究不可缺少。
(2)准则组设计
相关研究与准则组研究
• 相关研究与准则组研究是事后回溯设计的两种主 要形式,这两种研究是相辅相成的。
• 相关研究的主要用途是辨认两个变量或两种现象 之间是否存在一定的关系及存在什么形式的关系;
• 准则组研究的主要用途则是通过准则组与非准则 组的对比,研究存在一定关系的两变量之间具有 什么样的状态特征。
• 事后回溯设计是指所研究的对象是已发生 过的事件,而且在研究过程中,研究者不 需要选择与分配被试。
• 在研究过程中,研究者不需要设计实验处 理或操纵自变量,只需通过观察存在的条 件或事实,将这种已自然发生的处理或自 变量与某种结果或因变量联系起来加以分 析,以便从中发现某种可能的简单关系。
设计模式
两类事后回溯设计
• (1)相关研究设计 • (2)准则组设计
(1)相关研究设计
• 相关研究设计是在一个被试组内收集两个集 合的数据,其中一个数据集合是观察到的结 果,另一个则是被追溯的数据集合,研究的 目的是确定这两个数据集合之间的关系(正 相关、负相关和无关)。
• 相关研究设计模式
(1)相关研究设计
均为等级影响!
• 皮尔逊简单积差相关: 用来度量定距型变量间的线 性相关系数。如:收入储蓄、身高体重、工龄和 收入等变量之间的线性相关关系。
• 斯皮尔曼等级相关:用于度量定序变量间的线性 相关关系。如:军队较远的军衔与职称、产品质 量的等级和返修次数等变量之间的线性关系。
评价
• 优点:可提供各个变量或现象之间相关的 程度和方向;可以在相关研究的基础上, 进一步设计严格的实验方案来讨论变量间 的因果关系。
• 缺点:不能操纵相关的实验过程,只能对 特定被试的特征既反映效果进行事后分析 ,只能得出相关关系不能得出因果关系。
• 编制心理测验时,相关研究不可缺少。
(2)准则组设计
相关研究与准则组研究
• 相关研究与准则组研究是事后回溯设计的两种主 要形式,这两种研究是相辅相成的。
• 相关研究的主要用途是辨认两个变量或两种现象 之间是否存在一定的关系及存在什么形式的关系;
• 准则组研究的主要用途则是通过准则组与非准则 组的对比,研究存在一定关系的两变量之间具有 什么样的状态特征。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及 x1,x2,…,xj 的一个约束,就可以肯定,以(x1, x2,…,xj)为前缀的任何n元组
(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题,利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理,所以哈肯 和阿佩尔的工作,不仅是解决了一个难题,而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解,引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后,要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言,我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解,因此,我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道,在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法(一)
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么?
为什么回溯?
怎样回溯?
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法,即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束,显然,其计算量是相当大的。
五大常用算法ppt课件
桥了。
A B→ 2 A←1
AC → 5 A←1
AD → 8
一共就是2+1+5+1+8=17分钟。
Your company slogan
贪心算法
但其实有更快的办法: AB→2 A←1 CD→8 B←2 AB→2
一共是2+1+8+2+2=15分钟。这个办法的聪明之处在于让两个走得最慢的人同时过桥, 这样花去的时间只是走得最慢的那个人花的时间,而走得次慢的那位就不用另花时间过 桥了。可以把所有可能的方案都列举一遍,就会发现这是最快的方案了。
Your company slogan
贪心算法
2015年周得水等人提出一种基于Dijkstra的贪心算法来实现模糊连接度的快速计算。 基于模糊连接度的图像分割过程如下: (1)由用户在图像中选取种子点; (2)计算图像中各点相对于种子点的模糊连接度,同时得到各点到种子点的最优路径; (3)对得到的最优路径进行各点相对于种子点的属性相似度计算,同时得到图像中各点新 的隶属度; (4)用户通过选取阈值来分割图像。
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P)) 3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi 6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
后将各子问题的解合并得到原问题的解。(分治与递归)
适用情况: 1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决; 2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质; 3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解; 4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。
最大团问题-回溯法ppt课件
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
下图G中,子集{1,2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团,因为它被G的更大的完全子图{1,2,
5}包含。{1,2,5}是G的最大团。{1,4,5}和{2,3,5}
也是G的最大团。
1
2
3
4
5
01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前,必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前,必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
8
07 改进
•选择合适的搜索顺序,可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn},依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数,若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到:从Si+1到Si,如果找到一个更大的团,那么vi必然属于找到 的团,此时有Si=Si+1+1,否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过,就可以确定已经找到最大值,不必再往下搜索了。
1
i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
1
i=2 cn=0 bestn=3
2
2
i=3 cn=1 bestn=3
3
4
4
3
3
i=5 cn=2 bestn=0
4
4
下图G中,子集{1,2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团,因为它被G的更大的完全子图{1,2,
5}包含。{1,2,5}是G的最大团。{1,4,5}和{2,3,5}
也是G的最大团。
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2
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4
5
01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前,必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前,必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
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07 改进
•选择合适的搜索顺序,可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn},依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数,若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到:从Si+1到Si,如果找到一个更大的团,那么vi必然属于找到 的团,此时有Si=Si+1+1,否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过,就可以确定已经找到最大值,不必再往下搜索了。
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i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
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i=2 cn=0 bestn=3
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i=3 cn=1 bestn=3
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i=5 cn=2 bestn=0
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4
回溯法ppt课件
分析:
可能解由一个等长向量(x1, x2, …, xn)组成, 其中
xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi=0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如:
当n=3时,其解空间是:
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例:排列与组合 小结
15
排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30:
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时,上图有3!个周游路线(排列问题)
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜 索,以达到目标。
但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或 达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不 通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ;
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi;
可能解由一个等长向量(x1, x2, …, xn)组成, 其中
xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi=0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如:
当n=3时,其解空间是:
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例:排列与组合 小结
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排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30:
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
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20
4
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当起点1固定时,上图有3!个周游路线(排列问题)
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回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜 索,以达到目标。
但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或 达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不 通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ;
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi;
回溯法 ppt课件
回溯法举例:
[旅行商问题] 在这个问题中 ,给出一个n 顶点网络(有向 或无向) ,要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行(t o u r )。在旅行商问题中 ,要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ,一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 , 在当前扩展节点处 x[1: t]的取值为时 目标函数越界 , 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 , 当前扩展节点处 x[1: t]的取值是目标函数越界 ,可剪去相应的子树
for循环作用: 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 , 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ,然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 , 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 , 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ,该算法进行回溯 , 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n); {k := l;
华为质量回溯[优质ppt]
Page 10
怎样防止和控制缺陷
• 控制引入点 › 明确错误是在哪一点引入的,规范这个点的活动,防止错误 遗留到产品中形成缺陷
• 切断传播途径(通过缺陷控制点来监控) › 通过明确的检查标准或要求,防止缺陷流入到下一环节 › 检查离错误的引入点越近,效果越好,成本越低
• 规避触发条件(隔离) › 缺陷虽然隐藏在产品中,但如果将触发条件隔离,该缺陷不 会导致产品故障或失效。对于无法解决的缺陷可采用此类方 法
Page 11
目录
• 什么是质量回溯 • 根因分析的目的 • 缺陷的产生和控制 • 根本原因定义、属性和分类 • 根本原因的分析步骤 • 根本原因的判定 • 实际操作
Page 12
根本原因定义和属性
定义:导致问题发生的源头或关键因素,同时这种 因素能被识别和纠正,消除了该因素,可防止问题 的再次发生。 根本原因的属性:
• 原因分析:
› 问题定位:以具体的方式叙述事情发生始末(时间、地点、如何发生), 并确认事件发生先后顺序(画出时间线或流程图,协助小组成员将焦点 放在事件的事实上,而不是一下就跳到结论),定位出造成问题的直接 原因
二、原因分析
1、分析问题发生始末 2、列出事件所有可能原因 3、理清各种原因之间的关系
四、改善行动
三、根本原因确定
Page 17
根本原因的分析步骤
• 准备工作:
› 市场发现问题、生产现场发现问题并报告 › 现场问题处理(临时措施) › 组建根因分析小组:确定参加人员并进行职责划分 › 数据搜集:主要包括现场数据、观察和测试资料、书面文件等等
质量回溯培训
供应链质量管理部
目录
• 什么是质量回溯 • 根因分析的目的 • 缺陷的产生和控制 • 根本原因定义、属性和分类 • 根本原因的分析步骤 • 根本原因的判定 • 实际操作
怎样防止和控制缺陷
• 控制引入点 › 明确错误是在哪一点引入的,规范这个点的活动,防止错误 遗留到产品中形成缺陷
• 切断传播途径(通过缺陷控制点来监控) › 通过明确的检查标准或要求,防止缺陷流入到下一环节 › 检查离错误的引入点越近,效果越好,成本越低
• 规避触发条件(隔离) › 缺陷虽然隐藏在产品中,但如果将触发条件隔离,该缺陷不 会导致产品故障或失效。对于无法解决的缺陷可采用此类方 法
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目录
• 什么是质量回溯 • 根因分析的目的 • 缺陷的产生和控制 • 根本原因定义、属性和分类 • 根本原因的分析步骤 • 根本原因的判定 • 实际操作
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根本原因定义和属性
定义:导致问题发生的源头或关键因素,同时这种 因素能被识别和纠正,消除了该因素,可防止问题 的再次发生。 根本原因的属性:
• 原因分析:
› 问题定位:以具体的方式叙述事情发生始末(时间、地点、如何发生), 并确认事件发生先后顺序(画出时间线或流程图,协助小组成员将焦点 放在事件的事实上,而不是一下就跳到结论),定位出造成问题的直接 原因
二、原因分析
1、分析问题发生始末 2、列出事件所有可能原因 3、理清各种原因之间的关系
四、改善行动
三、根本原因确定
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根本原因的分析步骤
• 准备工作:
› 市场发现问题、生产现场发现问题并报告 › 现场问题处理(临时措施) › 组建根因分析小组:确定参加人员并进行职责划分 › 数据搜集:主要包括现场数据、观察和测试资料、书面文件等等
质量回溯培训
供应链质量管理部
目录
• 什么是质量回溯 • 根因分析的目的 • 缺陷的产生和控制 • 根本原因定义、属性和分类 • 根本原因的分析步骤 • 根本原因的判定 • 实际操作
第5章 回溯法ppt课件
2x3=2
x3=4 x3=2 x3=3
3
5
x4=4 x4=3
8 x4=4
10 13 15 x4=2 x4=3 x4=2
4
6
9
11 14 16
迷宫问题
演示
5.1 回溯法的算法框架
问题的解空间〔1)
1. 解向量:问题的解用向量表示
(x1, x2, …, xk) 模。 2. 约束条件
子树; 5. (2)限界函数:某个函数表达式或关系式。 6. 不真时,用于剪去得不到最优解的子树。 7. 回溯法:具有限界函数的深度优先搜索方法
回溯法的基本思想
1. 以深度优先方式搜索解空间。 2. 开始时,根结点为活结点,也是当前的扩展结点。 3. 对扩展结点,寻找儿子结点: 4. 如找到新结点,新结点成为活结点并成为扩展
子集树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) //若合法 backtrack(t+1);
} }
排列树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
1装载问题2批处理作业调度3n后问题401背包问题5最大团问题6图的m着色问题7旅行售货员问题n皇后问题国际象棋中的皇后在横向直向和斜向都能走步和吃子问在nn格的棋盘上如何摆上n个皇后而使她们都不能相互吃掉
第5章 回溯法
上海大学计算机学院
学习要点与要求
• 掌握与理解回溯法的DFS搜索策略与方法
• (1〕掌握递归回溯
回溯建库课件
库的过程。
回溯建库的意义在于保护文 献资料,提高文献利用率,
促进知识传播和共享。
通过回溯建库,可以将分散、 无序的文献资料转化为集中、 有序的数字资源,方便用户检
索和利用。
回溯建库的历史与发展
回溯建库起源于20世纪80年代 ,随着信息技术的发展而逐渐
兴起。
早期的回溯建库主要是对纸质 文献进行扫描和转化,建立简
案例实施过程分析
1 2
资源调研
对馆藏资源进行全面调研,了解资源类型、数量 、分布等情况,为回溯建库提供基础数据。
制定方案
根据调研结果,制定详细的回溯建库方案,包括 数字化标准、工作流程、人员分工等。
3
实施过程
按照方案进行回溯建库工作,包括资源采集、数 据加工、质量检查等环节,确保数字化质量和效 率。
常见问题及原因分析
数据源问题
如数据源不全面、不准确、格式不统 一等,导致回溯建库的数据质量低下 。
技术难题
在回溯建库过程中,可能会遇到技术 瓶颈,如数据清洗、数据转换等技术 问题。
人力资源不足
回溯建库需要大量的人力资源投入, 如果人力不足,会影响建库进度和质 量。
沟通协作问题
团队成员之间沟通不畅、协作不紧密 ,也可能导致回溯建库出现问题。
原理应用
信息组织与检索原理在回溯建库中的应用主要体现在对原始文献的整理、分类、标引以及检索系统的构建等 方面,旨在提高数据的可访问性、可理解性和可利用性。
数据库基础知识
01
数据库概念
数据库是一种存储、管理数据的软件系统,它提供了数据的定义、存储
、查询、更新等操作功能。在回溯建库中,数据库是存储和管理数字化
单的文本数据库。
随着技术的不断进步,回溯建 库逐渐实现了图像数据、文本 数据和元数据等多层次、多维 度的数字化处理。
回溯建库的意义在于保护文 献资料,提高文献利用率,
促进知识传播和共享。
通过回溯建库,可以将分散、 无序的文献资料转化为集中、 有序的数字资源,方便用户检
索和利用。
回溯建库的历史与发展
回溯建库起源于20世纪80年代 ,随着信息技术的发展而逐渐
兴起。
早期的回溯建库主要是对纸质 文献进行扫描和转化,建立简
案例实施过程分析
1 2
资源调研
对馆藏资源进行全面调研,了解资源类型、数量 、分布等情况,为回溯建库提供基础数据。
制定方案
根据调研结果,制定详细的回溯建库方案,包括 数字化标准、工作流程、人员分工等。
3
实施过程
按照方案进行回溯建库工作,包括资源采集、数 据加工、质量检查等环节,确保数字化质量和效 率。
常见问题及原因分析
数据源问题
如数据源不全面、不准确、格式不统 一等,导致回溯建库的数据质量低下 。
技术难题
在回溯建库过程中,可能会遇到技术 瓶颈,如数据清洗、数据转换等技术 问题。
人力资源不足
回溯建库需要大量的人力资源投入, 如果人力不足,会影响建库进度和质 量。
沟通协作问题
团队成员之间沟通不畅、协作不紧密 ,也可能导致回溯建库出现问题。
原理应用
信息组织与检索原理在回溯建库中的应用主要体现在对原始文献的整理、分类、标引以及检索系统的构建等 方面,旨在提高数据的可访问性、可理解性和可利用性。
数据库基础知识
01
数据库概念
数据库是一种存储、管理数据的软件系统,它提供了数据的定义、存储
、查询、更新等操作功能。在回溯建库中,数据库是存储和管理数字化
单的文本数据库。
随着技术的不断进步,回溯建 库逐渐实现了图像数据、文本 数据和元数据等多层次、多维 度的数字化处理。
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第 5 章 回溯
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走,碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法(Backtracking method)有“通用解题法”之 美称,是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法:在一个扩展结点变成死结 点之前,它一直是扩展结点
回溯法:为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态,要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点,以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解,回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时,就选择下一个候选解。 在回溯法中,放弃当前候选解,寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外,满足所有其他要 求时,继续扩大当前候选解的规模,并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时,该候选解就是问题的一 个解。
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后,使它们互不攻击:
4皇后搜索过程
4皇后问题(First Checking)
8皇后问题()
皇后数与解的个数
皇后数 解个数 11 20 30 42 5 10 64 7 40 8 92 9 352 10 724 11 2680 12 14200
3. 回溯剖析与描述
(1) 回溯求解的问题P: 对于已知的由n元组(x1,x2,…,xn)组成的一个状态空
间E={(x1,x2,…,xn)|xi∈si,i=1,2,…,n},给定关于n元 组中的约束集D,要求E中满足D的全部约束条件的所有n元 组。 对于约束集D具有完备性的问题P,一旦检测断定某个j 元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及x1,x2,…,xj的一个约 束,就可以肯定,以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组 (x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P的解,因而就 不必去搜索它们,省略了对部分元素(xj+1,…,xn)的操作 与测试。
(2) 回溯法是一种试探求解的方法:通过对问题的归纳分 析,找出求解问题的一个线索,沿着这一线索往前试 探,若试探成功,即得到解;若试探失败,就逐步往 回退,换其他路线再往前试探。
(3) 回溯法可以形象地概括为“向前走,碰壁回头”,若 再往前走不可能得到解,就回溯,退一步另找线路, 这样可省去大量的无效操作,提高搜索效率。
void backtrack (int t) {
if (t>n) output(x); else
for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); }
}
迭代回溯
采用树的非递归深度优先遍历算法,可将回溯法表示为一个非递 归迭代过程。
if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;}
while(a[i]=<回溯点> &&a&& i==1) break; // 退出循环,结束
else a[i]=a[i]+1;
}
递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索,因此,在一般情况下 用递归方法实现回溯法。
2. 回溯实现
回溯法的试探搜索,是一种组织得井井有条的、能避免一些不必 要搜索的枚举式搜索。回溯法在问题的解空间树中,从根结点出 发搜索解空间树,搜索至解空间树的任意一点,先判断该结点是 否包含问题的解;如果肯定不包含,则跳过对该结点为根的子树 的搜索,逐层向其父结点回溯;否则,进入该子树,继续搜索。
else t--; } }
生成问题状态的基本方法
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点 称做活结点
死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点
深度优先的问题状态生成法:如果对一个扩展结点R,一 旦产生了它的一个儿子C,就把C当做新的扩展结点。在 完成对子树C(以C为根的子树)的穷尽搜索之后,将R 重新变成扩展结点,继续生成R的下一个儿子(如果存在 )
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
void backtrack (int t)
{
if (t>n) output(x);
else
for (int i=t;i<=n;i++) {
swap(x[t], x[i]);
if (legal(t)) backtrack(t+1);
swap(x[t], x[i]);
9
}
4. 4皇后问题的回溯举例
4皇后问题回溯描述
(2) 回溯描述
对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m)
i=1;a[i]=<元素初值>;
while (1)
{for(g=1,k=i-1;k>=1;k--)
if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回
if(g && <约束条件2>) printf(a[1:m]); // 输出解
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走,碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法(Backtracking method)有“通用解题法”之 美称,是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法:在一个扩展结点变成死结 点之前,它一直是扩展结点
回溯法:为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态,要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点,以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解,回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时,就选择下一个候选解。 在回溯法中,放弃当前候选解,寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外,满足所有其他要 求时,继续扩大当前候选解的规模,并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时,该候选解就是问题的一 个解。
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后,使它们互不攻击:
4皇后搜索过程
4皇后问题(First Checking)
8皇后问题()
皇后数与解的个数
皇后数 解个数 11 20 30 42 5 10 64 7 40 8 92 9 352 10 724 11 2680 12 14200
3. 回溯剖析与描述
(1) 回溯求解的问题P: 对于已知的由n元组(x1,x2,…,xn)组成的一个状态空
间E={(x1,x2,…,xn)|xi∈si,i=1,2,…,n},给定关于n元 组中的约束集D,要求E中满足D的全部约束条件的所有n元 组。 对于约束集D具有完备性的问题P,一旦检测断定某个j 元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及x1,x2,…,xj的一个约 束,就可以肯定,以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组 (x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P的解,因而就 不必去搜索它们,省略了对部分元素(xj+1,…,xn)的操作 与测试。
(2) 回溯法是一种试探求解的方法:通过对问题的归纳分 析,找出求解问题的一个线索,沿着这一线索往前试 探,若试探成功,即得到解;若试探失败,就逐步往 回退,换其他路线再往前试探。
(3) 回溯法可以形象地概括为“向前走,碰壁回头”,若 再往前走不可能得到解,就回溯,退一步另找线路, 这样可省去大量的无效操作,提高搜索效率。
void backtrack (int t) {
if (t>n) output(x); else
for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); }
}
迭代回溯
采用树的非递归深度优先遍历算法,可将回溯法表示为一个非递 归迭代过程。
if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;}
while(a[i]=<回溯点> &&a&& i==1) break; // 退出循环,结束
else a[i]=a[i]+1;
}
递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索,因此,在一般情况下 用递归方法实现回溯法。
2. 回溯实现
回溯法的试探搜索,是一种组织得井井有条的、能避免一些不必 要搜索的枚举式搜索。回溯法在问题的解空间树中,从根结点出 发搜索解空间树,搜索至解空间树的任意一点,先判断该结点是 否包含问题的解;如果肯定不包含,则跳过对该结点为根的子树 的搜索,逐层向其父结点回溯;否则,进入该子树,继续搜索。
else t--; } }
生成问题状态的基本方法
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点 称做活结点
死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点
深度优先的问题状态生成法:如果对一个扩展结点R,一 旦产生了它的一个儿子C,就把C当做新的扩展结点。在 完成对子树C(以C为根的子树)的穷尽搜索之后,将R 重新变成扩展结点,继续生成R的下一个儿子(如果存在 )
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
void backtrack (int t)
{
if (t>n) output(x);
else
for (int i=t;i<=n;i++) {
swap(x[t], x[i]);
if (legal(t)) backtrack(t+1);
swap(x[t], x[i]);
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}
4. 4皇后问题的回溯举例
4皇后问题回溯描述
(2) 回溯描述
对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m)
i=1;a[i]=<元素初值>;
while (1)
{for(g=1,k=i-1;k>=1;k--)
if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回
if(g && <约束条件2>) printf(a[1:m]); // 输出解