波的能量
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波 的 能 量
• 在这方面波动与振动的情况是完全不同的。
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波
波的能量
dV
u
波函数
y A cos (t x / u)
y A sin (t x / u) 质元振动速度 v t 1 2 •动能 dEk dm v 2 1 2 2 2 ( dV ) A sin (t x / u) 2
1 2 2 2 dEk ( dV ) A sin (t x / u) 2
2 2 2
三.平均能流、波强
1.平均能流
单位时间内垂直通过介质中某一面积 的能量。 u 在介质中取体积 V体 ，
波速方向垂直于面积S 长为 u ，则能流为
V体
u
S
P wV体 T/ T wuS 单位：焦耳/秒，瓦，J•s-1，W 与功率相同
1 2 2 P wuS A uS 2
2.平均能流密度----波强
单位时间内通过垂直于波的传播方向 的单位面积上的平均能量。
1 P 2 2 I wu A u 2 S
单位：J•s1•m2 ， W •m2
2 2 2
4.波动的能量与振动能量的区别
• 振动能量中Ek、EP相互交换，系统总机 械能守恒。 •波动能量中Ek、EP同时达到最大，同时 为零，总能量随时间周期变化。
二、能量密度 1.能量密度
dE w 单位体积内的能量 dV 2 2 2 dE ( dV ) A sin (t x / u)
2.波动的势能
由于介质发生形变而具有势能，可以 证明体元内具有的势能与动能相同。
1 2 2 2 •势能 dEP ( dV ) A sin (t x / u) 2 同时达到最大 平衡位置处 Ek、EP 同时达到最小 最大位移处
3.波动的能量
dE dEk dБайду номын сангаасP
波的能量(新)
§10-3 波的能量
一 、媒质元的能量 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 以棒的纵波为例， 有一行波在棒中传播： 以棒的纵波为例，设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 截面积为S,距原点为 处取长为dx的 距原点为x处取长为 设棒的密度为ρ; 截面积为 距原点为 处取长为 的媒质元：
A sin(ϕ1 − 1
2πr1
) + A2 sin(ϕ2 −
2πr2
)
A=
2 2 A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆ϕ
A与时间无关，与 ∆ϕ 有关 与时间无关， 与时间无关
∆ ϕ = (ϕ 2 − ϕ 1 ) − 2π
振源相差
r2 − r1
当两相干波源为同相波源时 当两相干波源为同相波源时 ，即 同相波源
∆ϕ = 2π (r1 − r2 )
λ
δ = 2π λ
ϕ 2 = ϕ1
δ = ± kλ
3)
k = 0 ,1, 2 , L
振动始终加强
A = A1 + A2
δ = ± (k + 1 2)λ
A = A1 − A2
k = 0 ,1, 2 , L
A r y = cos ω (t − ) r u
1 球面波的强度与半径的平方成反比 I ∝ 2 r
§10-4 惠更斯原理 波的衍射 10一、惠更斯原理(C.Huygens，1678年) 惠更斯原理( ， 年
表述： 表述： 媒质中波动传播到的各点都可以视为是发射 子波的新波源，而其后任意时刻， 子波的新波源，而其后任意时刻，这些子波的包 络面就是新的波阵面。 络面就是新的波阵面。
一 、媒质元的能量 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 以棒的纵波为例， 有一行波在棒中传播： 以棒的纵波为例，设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 截面积为S,距原点为 处取长为dx的 距原点为x处取长为 设棒的密度为ρ; 截面积为 距原点为 处取长为 的媒质元：
A sin(ϕ1 − 1
2πr1
) + A2 sin(ϕ2 −
2πr2
)
A=
2 2 A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆ϕ
A与时间无关，与 ∆ϕ 有关 与时间无关， 与时间无关
∆ ϕ = (ϕ 2 − ϕ 1 ) − 2π
振源相差
r2 − r1
当两相干波源为同相波源时 当两相干波源为同相波源时 ，即 同相波源
∆ϕ = 2π (r1 − r2 )
λ
δ = 2π λ
ϕ 2 = ϕ1
δ = ± kλ
3)
k = 0 ,1, 2 , L
振动始终加强
A = A1 + A2
δ = ± (k + 1 2)λ
A = A1 − A2
k = 0 ,1, 2 , L
A r y = cos ω (t − ) r u
1 球面波的强度与半径的平方成反比 I ∝ 2 r
§10-4 惠更斯原理 波的衍射 10一、惠更斯原理(C.Huygens，1678年) 惠更斯原理( ， 年
表述： 表述： 媒质中波动传播到的各点都可以视为是发射 子波的新波源，而其后任意时刻， 子波的新波源，而其后任意时刻，这些子波的包 络面就是新的波阵面。 络面就是新的波阵面。
波的能量公式
波的能量公式波是运动性物体，它是由能量和物质的共同运动而产生的一种物理现象。
波的能量公式可以用来衡量波的能量，并用于计算物理学中波的性质和行为。
波的能量公式是：E = mc2，其中，E表示波的能量，m表示波的质量，c表示光速。
从这一公式可以看出，波的能量随着质量和光速的增大而增大，因此，如果想让波具有更大的能量，可以改变其质量或者以更大的光速来发出波。
由于波的能量受到质量和光速的影响，所以波的振动频率也受到相同的影响。
由于质量比光速大的多，所以改变波的质量更能明显改变波的振动频率。
例如，如果质量增大，波的振动频率也会随之增大，反之，如果质量减小，波的振动频率会随之减小。
另外，光速也会影响波的振动频率，但其影响不会像质量的影响一样明显。
另外，光速本身是一个恒定的值，并且随着距离的增加而减小，因此，光速对波的振动频率的影响也是一个“减弱”过程，也就是随着距离的增加，波的振动频率会逐步减小。
此外，波的能量公式还可以用于计算波的总能量。
例如，假设一个波可以被分解为多个独立的小波，那么这个波的总能量就可以通过将每个小波的能量加总得到。
也就是说，总能量=小波的能量之和。
最后，波的能量公式还可以用来计算波的机械能。
就是说，波的机械能=波的能量×波的振动频率。
由此可见，波的机械能主要取决于波的能量以及波的振动频率，而这两者又与波的质量以及光速有关，因此，波的机械能也受到质量和光速的影响。
综上所述，波的能量公式不仅可以用来衡量波的能量，而且还可以用来计算波的振动频率、总能量以及机械能，它同时还受到质量和光速的影响。
因此，运用波的能量公式，可以更深入的了解波的性质，从而有助于我们更好的使用它们。
波的能量
式中的I0 和I 分别为x=0 和x=x 处的波的强度。
第三节 波的能量
I I 0e
x
1 2 I 0 uA0 2 2 1 1 2 2 2 2 I uA uA0 e 2 2
x
A A0e
x / 2
A0为x = 0 处的振幅。
W x 2 2 2 w A sin t V u
能量密度在一个周期内的平均值，称为平均能 量密度 w ：
1 2 2 w A 2
(因为正弦函数的平方在一个周期里的平均值为 1/2)
第三节 波的能量
注意： 波动到达的任意一个体积元时，则： 1、它的动能和势能以及机械能都随时间而发生变化， 并且均为周期性函数。
2、它在任意时刻所具有的势能和动能虽然均相等，
但该体积元的机械能不守恒。
第三节 波的能量
2.波的强度
能流 —— 在介质中垂直于波速方向取一面积S ，在单 位时间内通过S 的能量。
u
d W wSu d t P wSu dt dt
2 2 2
S
uSA sin (t x u)
第三节 波的能量
具体讨论波的吸收衰减
设平面简谐波在均匀介质中沿x轴正方向传播， 在x＝0处，I＝I0，在x处波的强度衰减为I，通过厚度 为dx的一层介质时，由于介质的吸收，波的强度减 弱了－dI，实验表明：
dI Id x
---介质的吸收系数。
代入边界条件求解得：
I I 0e
x
第三节
主要内容：
掌握
波的能量
理解 了解
一、波的能量和强度 二、波的衰减
第三节 波的能量
波的能量 机械波
1 Fx 2
( y x
)2
②
线元的机械能为 W Wk Wp ③
弦线中横波速度 线密度
将F
u
2
和
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
代入①、②ຫໍສະໝຸດ 、③Wk
1 x(y)2
2
t
1 xA2 2 sin 2[(t
2
x u
)
0
]
Wp
1 Fx ( y
2
x
)2
P wudtS wuS
dt 在一个周期中的平均能流为
u s
P 1
T
Pdt wuS
T0
udt
2. 能流密度 垂直通过单位截面积的能流。
大小： J dP wu
uS
dS
方向：波的传播方向
矢量表示式： J
wu
J
3. 波的强度 (平均能流密度)
一个周期内能流密度大小的平均值。
2. 能量密度
设绳子的横截面为S ，体密度为 ，则线元单位体积
中的机械能（能量密度）为
w
W Sx
A2
2
sin
2[
(t
x) u
0
]
w(x,t
)
• 平均能量密度
w 1 T wdt 1 A2 2
T0
2
二. 波的强度
1. 能流 在单位时间内通过一定截面的波动能量为能流
1 2
xA2
2
sin
2[
(t
x u
)
大学物理-波的能量
若波在各向异性或不均匀介质中传播时，同样能 应用惠更斯原理找出波前，确定波的传播方向。但是， 此时波前的几何形状和传播方向都可能发生变化。
二、波的衍射 衍射（绕射）--波动在传播过程中遇到障碍物时
能绕过障碍物的边缘继续前进的现象
能够衍射的条件：缝宽（对缝而言）
a 或障碍物的线度 a
三、波的反射和折射
在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动，故具 有动能；同时，弹性介质元在波动过程中因发生形变而具有弹 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的，
下面就讨论波的能量问题
以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例，对能
量的传播作简单说明。
y Acos
(t
x
)
u
波动媒质中一体积元 V中的能量
E EK EP
VA2 2 sin 2 (t x )
二、能流和能流密度（波强）
u
为了精确地描述波的能量分布，引入能量密度
1、能量密度---介质中单位体积中的波动能量
w E A2 2 sin 2 (t x )
V
u
能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）的分布
由间上t 而式周可期知变—w化—的波。的A能2量2 密sin度2是随(t介质ux的) 空间坐标 x 和时
1、反射定律：波在媒质介面上传播时，入射角等于反射
角，入射线反射线及介面的法线均在同 一平面内。
介面 i i' i i'
i
“1”
r “2”
2、折射定律：波经过两种媒质介面进行折射（媒质“1”
进入媒质“2”）时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等
到于波在第一种媒质中的波速与在第二种媒质中的波速之
比
二、波的衍射 衍射（绕射）--波动在传播过程中遇到障碍物时
能绕过障碍物的边缘继续前进的现象
能够衍射的条件：缝宽（对缝而言）
a 或障碍物的线度 a
三、波的反射和折射
在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动，故具 有动能；同时，弹性介质元在波动过程中因发生形变而具有弹 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的，
下面就讨论波的能量问题
以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例，对能
量的传播作简单说明。
y Acos
(t
x
)
u
波动媒质中一体积元 V中的能量
E EK EP
VA2 2 sin 2 (t x )
二、能流和能流密度（波强）
u
为了精确地描述波的能量分布，引入能量密度
1、能量密度---介质中单位体积中的波动能量
w E A2 2 sin 2 (t x )
V
u
能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）的分布
由间上t 而式周可期知变—w化—的波。的A能2量2 密sin度2是随(t介质ux的) 空间坐标 x 和时
1、反射定律：波在媒质介面上传播时，入射角等于反射
角，入射线反射线及介面的法线均在同 一平面内。
介面 i i' i i'
i
“1”
r “2”
2、折射定律：波经过两种媒质介面进行折射（媒质“1”
进入媒质“2”）时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等
到于波在第一种媒质中的波速与在第二种媒质中的波速之
比
波的能量与强度
波的能量与强度波是一种在空间中传播的物理现象，具有一定的能量和强度。
波的能量与强度是我们研究波动现象的重要指标，它们在多个学科领域中具有广泛的应用。
本文将探讨波的能量与强度的概念、计算方法以及相关的实际应用。
一、波的能量波的能量是指波传播过程中所携带的能量。
根据波的性质和媒介不同，波的能量可以有不同的形式，例如：机械波的能量主要由波动介质的运动能量组成，电磁波的能量则是由电场和磁场的能量共同构成。
波的能量与波的振幅密切相关。
以机械波为例，机械波的传播需要介质的参与，介质中的微观粒子以一定频率和振幅进行振动，从而传递能量。
波的振幅越大，介质微观粒子的振动范围越大，所携带的能量也越大。
波的能量与波速和波长有关。
波的速度指的是波的传播速度，而波长则是波的周期性重复的最短距离。
波的能量与波速和波长正相关，即波速越大、波长越小，波的能量也越大。
二、波的强度波的强度是指波通过单位面积传播或到达某一点的能量。
强度反映了波的能流密度，即单位时间内通过单位面积的能量。
波的强度与波的能量和传播面积有关。
对于机械波，强度与波的能量和波的传播面积呈正比。
以电磁波为例，波的强度与波的能量和电磁波的传播面积呈正比，而与传播距离无关。
三、波的能量和强度的计算波的能量和强度的计算可以根据波动方程和相关参数进行推导。
对于机械波，能量密度（单位体积的能量）可以表示为能量与体积的比值。
波的强度可以表示为能量密度与波速的乘积。
具体计算公式如下：能量密度= (1/2) * ρ * v^2 * A^2其中，ρ是介质的密度，v是波速，A是波的振幅。
波的强度 I = 能量密度 * v对于电磁波，能量密度可以表示为能量与电磁波的传播体积的比值。
波的强度可以表示为能量密度与光速的乘积。
具体计算公式如下：能量密度= (1/2) * ε₀ * E^2波的强度 I = 能量密度 * c其中，ε₀是真空中的电介质常数，E是电场的振幅，c是光速。
四、波的能量与强度的应用1. 医学领域中的超声波技术利用声波的能量和强度，可以检测和治疗疾病。
物理波的能量
=
3
cos
4πt
(2)以距a点5m处的b点为坐标原 点写出波动方程。
b.
u .a 5m
x
解：(1)以a点为原点在x轴上任取一点P，坐标为x
ya = 3 cos 4πt y =3 cos 4πt +
x
20
(2)以b点为坐标原点
wk
wp
2 A2
sin
2 [ (t
x )] u
平均能量密度（对时间平均)
w 1 T A2 2 sin 2[(t x)]dt
T0
u
w
=
1 2
ρAω2
2
三、波的强度
能流P :单位时间内垂直通过某一截面的 P = w S u 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值
(t+
d u
)
π
2
]
y
=
A cos[ω
(
t
+
d u
x u
)
π
2
]
例6、波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。
{ 写出波动方程。
t= 0 (o点)
得：
y 0
=
2
=
A
2
v0
＞0 0=
π
3
2
o
y(m)
4 5
p
u
x (m)
{ t =0
(p点)
2π
=
y 0
=
0
v0＜ 0
p
0
d
λ
得：
平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。 P = S w u 波的强度 I（能流密度）:
波的能量
Y ，结合波动表达式 y x A sin t
x u u
2 最后得： 1 x 2 2 2 Wp pu (V ) A 2 sin t 2 u u
1 x 2 2 2 (V ) A sin t 2 u
_____________________________________________
波的能量
Energy in waves
生活中的波
波动学基础
机械波：水波、声波、地震波。其传播需要有介质。
电磁波：无线电波、光波、x射线等，其传播无需介 质。 物质波：近代物理发现实物粒子也具有波性，即物质 波。 各种波性质不同，但又有共性。可以传递能量，可以 产生干涉、衍射等现象。以有限的速率传播。
3
一
波的能量
机械波在弹性媒质中传播时，各质点在其平衡位置 附近振动，因而各质点具有动能； 各质点之间的距离发生改变，媒质发生形变，因而 具有势能；
波的能量是指弹性媒质因波动而具有的动能 和势能的总和
波的能量 = 振动动能 + 形变势能
x x x
y
y y
x
波的能流和能流密度
1、能流 单位时间内沿波传播的方向通过 介质中某一截面积的能量称为该面 积的能流。 u
V udt s
udt
S
E P 瓦 t
如右图所示
wSudt P wSu dt
9
2、波的强度（平均能流密度)I：
单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的平均能量， 称为平均能流密度，或称为波的强度。
体积元的总能量为其动能和势能之和，即
x E (V ) A sin t u
波的能量
S1 = 4πr ; S2 = 4πr
2 1
2 2
∴A r = A r2 11 2
结论： 结论： （1）振幅与离波源的距离成反比 （2）与平面波类似，球面简谐波的波函数： 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
A r y = cos[ω( t − ) +ϕ0 ] r u
QI1S1T = I2S2T,
S1 = S2 = S
1 1 2 2 2 ρuω A S1T = ρuω2 A2 S2T 1 2 2 所以,平面波振幅相等。 1 所以,平面波振幅相等。 A = A 2
对球面波： 对球面波：
1 1 2 2 Q ρvω A S1T = ρvω2 A2S2T 1 2 2 2
2、质元的势能
二、波的能量密度
单位体积介质中所具有的波的能量。 1 定义 单位体积介质中所具有的波的能量。
dW x 2 2 2 = ρω A sin [ω(t − ) +ϕ0 ] w= dV u
2 平均能量密度
1 T 1 w = ∫ wdt = T 0 T
1 2 2 w = ρA ω 2
∫
T
0
x ρA ω sin [ω( t − ) +ϕ0 ]dt u
2 2 2
3 波的总能量
1 2 2 W = ∫ wdV = ∫ ρω A dV V V 2
三、波的能流和能流密度 波的能流和能流密度
1 能流 单位时间内通过介质中某一截面的能量
dW wபைடு நூலகம்Sdt p= = = wuS dt dt
2 平均能流
p = wuS = w uS
S
dt dt u
3 能流密度（波的强度） 能流密度（波的强度） 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量
【精品】波的能量
【精品】波的能量波是指在介质中传递能量的扰动或震动。
它可以是机械波，比如声波、水波等，也可以是电磁波，比如光波、无线电波等。
波所传递的能量是由波的振幅决定的。
波的能量与振幅成平方关系，即能量正比于振幅的平方。
例如，当你游泳时，在水中摆动手臂会产生水波，波的振动越强烈，波的能量就越大。
同样的道理，如果你在一个响板上敲击一下，声波的振幅越大，声音就越响。
波的能量通常以焦耳（J）作为单位。
波的能量还可以用功率来度量，功率表示单位时间内的能量消耗，以瓦（W）作为单位。
例如，在电磁波中，功率可以用来表示无线电波的强度，越强的无线电波，功率就越大。
波在空间传播时，能量有时会发生衰减，这是因为波能量会随着距离的增加而逐渐减少。
这个过程称为能量衰减或能量耗散。
例如，在声波中，声音在空气中传播时会逐渐变弱，这是因为空气分子之间的冲击会使声波的能量逐渐减少。
我们也可以利用这个规律，控制波的传播，在无线电通信中，我们使用中继站来增强信号，防止信号衰减过快。
除了衰减，波在遇到不同介质或障碍物时，也会发生反射、折射和干涉等现象。
这些现象也会影响到波的能量和传播。
例如，当光线射到一个反光镜上时，光线会反射回来，我们所看到的图像就是由反射光线形成的。
在声波中，当声波遇到障碍物时，它会产生反射和折射，这也是我们能够在角落里听到声音的原因。
波与能量密切相关，理解波的能量特性，有助于我们更好地理解和应用波的科学原理。
在日常生活和工作中，我们可以利用波的能量特性，进行声音、光学、雷达和通信等方面的应用。
§12-3 波的能量 波的强度
2、3段
解：在垂直于传播方向上取两个相等的面积，其能 流相等
1 2 2 P w1uS1 A1 uS 1 2
由于P P2 1
P 1
P2
所以 A1 A2
S1
S2
太原理工大学物理系
P39,倒数第1段
例2 证明介质无能量损失 （无吸收）时，球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比. 证 介质无吸收，通过两个 球面的平均能流相等.
P38，12.15式上1行
2.平均能量密度(w):能量密度在一周期内的平均值
P38，12.15式下1行
T
0
适用于任 何机械波
3.单位：焦耳/米3 (J/m3 )
太原理工大学物理系
三、能流与能流密度
1.能流(P )：单位时间垂直通过某面积的能量，其 方向就是波的传播方向。 P38，倒数第1段，第1-2行 2.平均能流（ P ):一个周期内垂直通过某面积的平 均能量
单位：W.m-2
方向：波的传播方向即u的方向。 说明：ω、ρ、u一定时， I∝A2，描述能量的强 弱，把它叫做波的强度。平均能流密度，对于声波 称为声强，对于光波称为光强。
P41，12.21式,12.22-23
太原理工大学物理系
例1 证明如果介质没有能量损失（无吸收），在 均匀介质中传播的平面波的振幅保持不变。P39,12.18式下
3)体积元的总能量（机械能）
x W＝Wk＋Wp V A sin t u
2 2 2
P37，12.14式
2.说明 1）Wk 、 Wp 、W均随t变化；且Wk =Wp均随t作 同频率、同相位的变化，同时达到最大，同时 减到零,总能量不守恒。
P37,12。14式下两行，见下页附图
解：在垂直于传播方向上取两个相等的面积，其能 流相等
1 2 2 P w1uS1 A1 uS 1 2
由于P P2 1
P 1
P2
所以 A1 A2
S1
S2
太原理工大学物理系
P39,倒数第1段
例2 证明介质无能量损失 （无吸收）时，球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比. 证 介质无吸收，通过两个 球面的平均能流相等.
P38，12.15式上1行
2.平均能量密度(w):能量密度在一周期内的平均值
P38，12.15式下1行
T
0
适用于任 何机械波
3.单位：焦耳/米3 (J/m3 )
太原理工大学物理系
三、能流与能流密度
1.能流(P )：单位时间垂直通过某面积的能量，其 方向就是波的传播方向。 P38，倒数第1段，第1-2行 2.平均能流（ P ):一个周期内垂直通过某面积的平 均能量
单位：W.m-2
方向：波的传播方向即u的方向。 说明：ω、ρ、u一定时， I∝A2，描述能量的强 弱，把它叫做波的强度。平均能流密度，对于声波 称为声强，对于光波称为光强。
P41，12.21式,12.22-23
太原理工大学物理系
例1 证明如果介质没有能量损失（无吸收），在 均匀介质中传播的平面波的振幅保持不变。P39,12.18式下
3)体积元的总能量（机械能）
x W＝Wk＋Wp V A sin t u
2 2 2
P37，12.14式
2.说明 1）Wk 、 Wp 、W均随t变化；且Wk =Wp均随t作 同频率、同相位的变化，同时达到最大，同时 减到零,总能量不守恒。
P37,12。14式下两行，见下页附图
波的能量
w
A2
2
sin2 t
x u
平均能量密度: 能量密度在一个周期内的 平均值.
w 1
T
T 0
A2
2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2
2
3. 能流密度
为了描述波动过程中能量的传播情况， 引入能流密度的概念.
单位时间内通过垂直于波动传播方向上单 位面积的平均能量，叫做波的平均能流密度, 也称之为波的强度.
LI
I lg
I0
贝尔（B）
LI
10 lg I I0
分贝（ dB ）
几种声音近似的声强、声强级和响度
声源
引起痛觉的声音 摇滚音乐会
交通繁忙的街道 通常的谈话 耳语
树叶的沙沙声 引起听觉的最弱声音
声强W/m2
1 10-1 10-5 10-6 10-10 10-11 10-12
声强级dB
120 110 70 60 20 10 0
声强：声波的能流密度. I 1 A2 2u
2
能够引起人们听觉的声强范围：
1012 W m2 ~ 1W m2
声强级：人们规定声强 I0 1012W m2（即相
当于频率为 1000 Hz 的声波能引起听觉的最弱的声
强）为测定声强的标准. 如某声波的声强为 I ， 则比
值 I I0 的对数，叫做相应于 I 的声强级 LI .
超声波可以用来弄碎肾石, 消毒食物，因为高速的 振动会令细菌难以抵抗. 超声波亦可以用来清除眼镜或 饰物的污垢.
3. 超声电子学 利用超声元件代替电子元件制作在 107 ~ 109 Hz 内的延迟线, 振荡器, 谐振器, 带通滤波器等仪器, 可广 泛用于电视、通讯、雷达等方面.
波的能量公式推导
波的能量公式推导
嘿，咱今天来聊聊波的能量公式推导哈！波的能量可是很神奇的呢！
先来说说简谐波的能量公式，就是E=1/2ρω²A²S，这里的 E 就是能量啦，ω是角频率，A 是振幅，S 是波所通过的面积。
比如说波浪，那波浪的能量就可以用这个公式来算算呀！想象一下大海里的波浪，那起伏的样子，它可就蕴含着能量呢！
还有机械波的能量，它会随着波的传播而不断向前传递。
这就好像接力比赛，能量就是那个接力棒，从一个地方传到另一个地方。
你想想看，声音在空气中传播，它的能量不就是这样一路传过来的嘛！我们能听到声音，可多亏了这波的能量传递呢！
怎么样，是不是对波的能量有了更清楚的认识呀？是不是觉得很有趣呢！以后再看到各种波，你就可以自己琢磨琢磨它们的能量啦！。
波的能量能流密度
1.波动的动能
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
波函数
x
dx
x
y dy
y
x
x y x y A cos ( t ) v A si n ( t ) t u u
•质元的动能
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2
1 x 2 2 2 dWk dVA si n ( t ) 2 u
① 任一时刻介质元的动能等于势能，且相位相同，与振动系 统的动能与势能总有π/2相位差不同。 ② 振动系统的机械能守恒，而波动过程中，能量不守恒。波 动过程中，沿波的传播方向，介质元不断地通过振动由后面的 质元获得能量，又不断地把能量传播给前面的质元，波是能量 传递的一种形式。 ③ 在平衡位置时质元具有最大动能和势能，在最大振幅处动 能和势能为零。在回到平衡位置时从相邻质元吸收能量，离开 时放出能量。
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA si n ( t ) 2 u 表明：质元的总能量随时间作周期性变 3.波动的能量 化，时而达到最大值，时而为零 x dW dWk dWp dVA2 2 si n2 ( t ) u 4.结论 意味着：在由波传播的细棒中有能量在传播
2.波动的势能
弹性势能 O
1 2 dWP k dy 2
F l E S l
F
弹性模量
x
dx
O
y y dy
u E
x x
ES l l
1 1 dy 2 2 dWP k dy ESdx( ) 2 2 dx
SE k dx
1 dy 2 y A si n ( t x ) 2 u dV ( ) x u u 2 dx 1 x 2 2 2 dVA si n ( t ) 2 u
§10.4 波的能量 平均能流密度
u
2）任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量.任一体积元的机械能不 守恒. 波动是能量传递的一种方式.
2、能量密度与平均能量密度
能量密度：单位体积介质中的波动能量.
dE 2 A2 sin2(t x )
dV
u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T dt 1 T 2 A2 sin2(t x)dt
§10.4 波的能量 * 平均能流密度
波是振动状态的传播，相位的传播，同时也 是能量的传播.
波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。每 个质元，有振动速度而具有振动动能；因发生形 变而具有形变势能， 两者之和称此媒质中弹性波 的能量。
对于“流动着”的能量，要由能量密度和能 流密度两个概念来描述。
一、波的能量分布
A' r
cos ( t
r V
), r
0
请在放映状态下随点堂击小你议认为是对的答案
一平面简谐波的频率为 300 Hz。波速为 340 m·s-1,在截面积为 3.0×10-2 m2 的管 内空气中传播,若在10s内通过该面的能量为 2.7×10-2 J。则波强（能流密度）为
（1）9.0×10 –2 w·m-2 ；
以固体中传播的横波为例分析波动能量的传播.
取一微小体元dV: 位移：y Acos (t x )
u
振动速度：
v y Asin (t x )
t
u
体元动能： dEk
1 2
dVv2
1 2
2 A2 sin2 (t
x )dV u
一、波的能量分布
位移：y Aco )
（2）2.7×10-3 J·s-1。
结束选择
三、波的反射和透射
2）任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量.任一体积元的机械能不 守恒. 波动是能量传递的一种方式.
2、能量密度与平均能量密度
能量密度：单位体积介质中的波动能量.
dE 2 A2 sin2(t x )
dV
u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T dt 1 T 2 A2 sin2(t x)dt
§10.4 波的能量 * 平均能流密度
波是振动状态的传播，相位的传播，同时也 是能量的传播.
波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。每 个质元，有振动速度而具有振动动能；因发生形 变而具有形变势能， 两者之和称此媒质中弹性波 的能量。
对于“流动着”的能量，要由能量密度和能 流密度两个概念来描述。
一、波的能量分布
A' r
cos ( t
r V
), r
0
请在放映状态下随点堂击小你议认为是对的答案
一平面简谐波的频率为 300 Hz。波速为 340 m·s-1,在截面积为 3.0×10-2 m2 的管 内空气中传播,若在10s内通过该面的能量为 2.7×10-2 J。则波强（能流密度）为
（1）9.0×10 –2 w·m-2 ；
以固体中传播的横波为例分析波动能量的传播.
取一微小体元dV: 位移：y Acos (t x )
u
振动速度：
v y Asin (t x )
t
u
体元动能： dEk
1 2
dVv2
1 2
2 A2 sin2 (t
x )dV u
一、波的能量分布
位移：y Aco )
（2）2.7×10-3 J·s-1。
结束选择
三、波的反射和透射
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波的叠加原理 ：
各列波在相遇区域内，任 一质元的振动是各列波单独存在 时对该质元所引起振动的合振动。
二．波的干涉
相干波源 相干波 波的干涉
1．相干波源：
1、频率相同； 两波源必须满足： 2、振动方向相同；
3、位相差恒定。
y s1 A1 cos(t 1 )
S1
r1 r2
y s2 A2 cos(t 2 )
i
S
ut
波动11
小结：
1 2 2 1、平均能量密度： w A 2
2、平 均 能 流： 3、平均能流密度：
焦 /米 3 瓦特 瓦 /米 2
P w uS
I w u
例1、机械波在弹性介质中传播时，某体积元位移 达到负最大值时，体积元中动能和势能为：【 】 D A、动能最大，势能最大； B、动能最大，势能为0；
y(m) 4 2 O -4
波动8
y(m) 2 t ( s) 4 2 O -4
波动9
2 x(m)
主要内容:
1. 波的能量与简谐振动的能量相比较, 有哪些特点? 2. 什么是波的强度? 它与波的振幅有什么关系?
一、波中“质元”的能量
波动的过程是能量传播的过程 波动方程：
x y A cos (t ) u
在空间形成强弱相间的稳定分布，这种现象
成为“波的干涉”（是波的共性）
2）干涉加强减弱的条件：
r1 y1P A1 cos[ (t ) 1 ] u r2 y2 P A2 cos[ (t ) 2 ] u
P点的合振动：
S1
r1 r2
P
S2
yP y1P y2 P A cos(t )
A 2 A0 加强 k , r2 r1 (2k 1) , A 0 减弱 2 k 0,1, 2,3......
例2、已知两相干波源振动的相位差为π，发出
的波到达某相遇点P的波程差为半波长的两倍，则
P点的合振动情况是：【 】 A、始终加强； B、始终减弱； C、时强时弱，呈周期变化； D、时强时弱，没有一定规律.
dE w u S dt P w uS dt dt
u
S
u dt
P w uS
单位：焦/秒＝瓦特
4、平均能流密度（波的强度）：
1）概念：单位面积上的平均能流 2） 表达式：
P w uS I wu S S 1 2 2 I w u A u 2
单位：瓦特/米2
例3、如图，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向相同，
发出波长为λ 的简谐波在P点相遇，已知S1P＝2λ ，S2P式 为
y1 A cos(2 t ，求 / 2) S2的振动表达式。
S1
解： 已知：r2 r1 (2.2 2) ,
幅：
合 振
A A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
（1）一般情况： 2 2 1 (r2 r1 )
2k , (2k 1) , k 0,1, 2,3
A A1 A2加强 A A1 A2 减弱
C、动能为0，势能最大； D、动能为0，势能为0；
习题：10-15
主要内容：
1. 什么是波的叠加原理? 2. 为什么相干波源发出的波才能产生干涉现象? 怎样 确定相干波在相遇点的相位差及叠加后的合振幅?
一．波的迭加原理（又称“波的独立性原理”） 波传播的独立性：
当几列波在空间某处相遇 后，各列波仍将保持其原有的频 率、波长、振动方向等特征,继 续沿原来的传播方向前进。
2 2 2
波的能量与振动能量
振动能量：动能与势能不同步变化，总能守恒。 波的能量：动能与势能随时间同步变化，总能不守恒。
二、描述波能的物理量 1、能量密度：单位体积里的能量。
dE x 2 2 2 w A sin t dV u
2、平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值
2、质元的势能：
可以证明： dE p＝dEk
1 x 2 2 2 dE p dEk A sin t dV 2 u
说明： 最大位移处，动能为零，势能也为零。 平衡位置处，动能最大，势能也最大。
3、质元的总能：
x d E d E k d E p A sin t d V u
上节课主要内容
一．描述波动的特征量 1．波速：
2．波长： 3. 周期： 4. 频率：
= u T
u/
T /u
二、平面简谐波波动方程
y A cos t
x u
三．波形图像
波的图像：表示的是某一时刻各个质元的位移
振动图像：表示的是某一质元各个时刻的位移
(2k 1) (相消干涉), 1 / 2 2 代入： 2 1 (r2 r1 )
r1 r2
P
解得： 2 2k 0.1
S2
y 2 A cos(2 t 0.1 )
习题：10-18、10-20
为相遇点P的相位差
注：
2 1是初相位差
r2 r1是波程差 2 是由波程差引起的相位差
2）特殊情况：
当 A1 A2 A0
则有 2 1 2
1 2 0 时
2
(r2 r1 ) A 2 A0 加强 A0 减弱
2k , 0 (2k 1) ,
1 T 1 T 1 x 2 2 2 w wdt A ω sin ω t dt A2 ω2 T 0 T 0 2 u
1 2 2 w A 2
单位：焦/米3
w w( x , t ) w A2 , 2 ,
3、平均能流：
1） 概念：单位时间垂直通过某个截面S的平均能量 2） 计算式：
质元在x处，质元的质量：
dm Sdx
dV Sdx
dm dV
O
B
C
dm S
x
dx
x
1、质元的动能：
质元的振动速度：
x v A sin t u
质元的振动动能：
1 1 2 dEk dmv dVv 2 2 2 1 x 2 2 2 dEk A sin t dV 2 u
则：ys1和ys2为相干波源 S 2
P
2．相干波：----由相干波源发出的波
由两波源在P点激发的振动 的振动方程为： S1 r1 y1P A1 cos[ (t ) 1 ] u r2 y2 P A2 cos[ (t ) 2 ] S 2 u
r1 r2
P
3．波的干涉：
1）概念：两列“相干波”在空间相遇，相互迭加，