万有引力场

第五章 万有引力

5-1 月球的质量是地球质量的1/81。直径为地球的3/11，计算质量为65kg 的人在月球上所受的月球引力。

解：设月球，地球的质量分别为21M ,M ，它们的半径分别为21,r r ，人的质量为m ，由万有引力定律可知 ：

人在月球表面受力为：

2

1

1r m M G F ⋅⋅

=，由21)811(M M =，2121113

21132r r r r =⇒=得 2

22222729121)113(811

r m M G r m

M G F ⋅⋅==，而g r M G =222则 N mg F 106729

121=⋅=

5-2 根据地球的半径g R 和引力常数G 的值，估算地球的质量和平均密度。（已知

22116107.6,104.6--⋅⋅⨯=⨯=kg m N G m R g ）

解：设地球的质量为g M 由题意可知 2

E

E

R

G g μ≈

由密度的定义：V

m

=

ρ知地球的平均密度为 332105.53

4-⋅⨯===

m kg R m V

m E E

E πρ 5-3 如图5-3所示，有两个半径分别为1R 和2R 的同心薄壁球壳，质量分别为'1m 和'2m 。将质量为m 的质点P 置于距球心O 分别为c B A r r r ,,处，求（1）质点P 所受的引力；（2）如去质点在无限远处的引力势能为零，计算质点P 在以上三处的引力势能。

解：（1）A 点在两球壳内部，此处质点所受的引力为0=A F 。 B 点在两球壳之间，此处质点只受内部球壳的引力：2

1'B

B r m

m G

F = C 点在两球壳的外面，此时质点受两个球壳的引力：

2

21)''(c

C r m

m m G

F += （2）由引力势能⎰

∞

=

r

P Fdr E 可知质点在A 、B 、C 各点的势能为

)'

'(

)''(

)''(

212

212

2112

2

2

2

1

1

C

r C C B R C R r B r B R C R R B R r A r A r m m Gm dr F E R m r m Gm dr F dr F dr F E R m R m Gm dr F dr F dr F dr F E C

B

B

A

A

+-=⋅=+-=⋅+⋅=⋅=+-=+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞

∞

∞

∞

⋅∞

5-4 如图5-4所示，在一半径为R 、质量为m ’、密度均匀的球体中挖了一个半径为R/2的球形空腔，在P 点处放置一质量为m 的质点，求质点所受的引力。

解：设打球未被挖空时，对质点P 的引力为F ，打球被挖去一个小球之后，对质点P 的引力为1F ，只有一个小球时 ，小球对质点P 的引力为2F 则

21F F F +=

被挖出的小球质量为：

'8

1)2(343

4'''33m R R m m =⋅=

ππ 由万有引力定律得：

2

22

)2

('' ,'R r m

m G F r

m m G

F -== 由以上式子可得

])21(811['2

2

21r

R r m

m G

F F F --=-=

5-5 当一物体从地球表面竖直向上或向下移动一小距离时，计算重力加速度变化规律。 解：（1）物体在地表面上移动高度为h 时，所受的万有引力为：

2

1)

(h R GMm

G

F += 此处重力加速度为：

图5-4

)21()1()1()(2222

11R

h g R h g R

h R GM h R GM m F g -≈+

=-

=+==

- （2）物体在地面以下移动h 时，重力加速度为

2

2)

('

h R GM g -=

，式中的M 为半径为)(h R r -=的地球内部质量。设想地球的质量是均匀分布的，则

3333)()(343

4'h R R

M

h R R M M -=-⋅=

ππ 所以)1()(3

2R h

g R h R GM g -=-=

从（1）、（2）计算可以看出，在地球表面的重力加速度最大，向上或向下移动时重力加

速度都变小。

5-6 有一质量为m 的质点，从地面高空h 处下落，设空气的阻力不计，且h 与地球半径E R 相比要小的多，试证质点落地时的速率为)/(2h R hgR E E +。

证明：质点势能的变化

)11(E 22h R R m Gm dr r

m m G dr r m m G

E E E h R E R E P E E

+-=---=∆⎰⎰∞+∞

考虑2

2G g E

E E

E gR Gm R m =⇒=

带入上式得： )11(

22

h

R R mgR E E E E P +-=∆ 根据机械能守恒定律得：

0=∆+∆k P E E

即021

)11(

22

=+++mv h R R mgR E E E 所以h

R ghR v E E

+=2

5-7 同步卫星在赤道上空以和地球自转的角速度相同，为了满足这一要求，同步卫星应位于赤道多高的地方？其线速度为多大？

解：同步卫星作圆周运动的角速度和地球自转的角速度相同，而地球自转的周期为24小时，因此，13600

2422-⨯==

s T ππω 万有引力提供向心力)()

(2

2

h R m h R m M G

E E E +=+ω