拉格朗日插值法理论及误差分析

浅析拉格朗日插值法

目录：

一、 引言

二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验

四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献

一、引言

插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。

二、插值及多项式插值

1、插值问题的描述

设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：

插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=

的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数

值。

x

x 0

y y

1

y 1

n y -n

y 1

x 1

n x -n

x

2、插值的几何意义

插值的几何意义如图1所示：

图1 3、多项式插值 3.1 基本概念

假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<

<≤处的函数值01,,n y y y 。找一个简单的函数，例如函数

()P x ，使之满足条件

(),0,1,2,

,,i P x y i n == （3.1）

通常把上述01n x x x <<

< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项

式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。 3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：

1011()m m m m m P x a x a x a x a --=++

+

那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数

011,,

,m m

a a a a -。由于插值条件包含n+1独立式，只要m=n 就可证明插值函数多

项式是唯一存在。

实际上，由n+1个插值条件可得

1

0010100

101111111011n n n n n n n n n n n

n n n n n

a x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x a y ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪

⎪+++=⎩

这是一个关于01,,n a a a 的n+1阶线性方程组，且其系数矩阵对应的行列式是

线性代数中著名的范德蒙（Vandemonde ）行列式。该行列式得值为 0110

(,,

)()n i

n n i j i j V x x x x x ===-∏∏

因为i j ≠时，i j x x ≠，所以01(,,)0n n V x x x ≠。从而证明了上述线性方程组

的阶是唯一存在的。既满足插值条件的多项式唯一存在。

三、 拉格朗日插值的理论及实验 1、拉格朗日插值的理论

拉格朗日（Lagrange ）插值公式的基本思想是把()n P x 的构造问题转化为n+1个插值基函数()(0,1,

,)i l x i n =。首先我们利用节点直接构造如下多项式：

1'

1()

()()()

i

n n i n x l x x x x ππ++=

- 其中

101()()()()n n x x x x x x x π+=---，

'1011()()()()()n i i i i i i n x x x x x x x x x π+-+=----

容易验证该多项式具有性质

0,1,i j i l j i ≠⎧=⎨

=⎩

因此，n 次多项式

00110

()()()()()n

n n n k k k L x l x y l x y l x y l x y ==++

=∑

一定具有性质

()()(),0,1,

,,n

n i k k i i i k L x l x y l x y i n ====∑

既满足插值条件。我们称()n L x 为拉格朗日插值多项式，()i l x 称为拉格朗日插值及函数。

一次拉格朗日插值多项式又叫做线性插值多项式。 二次拉格朗日插值多项式又叫做抛物线插值多项式。

2、拉格朗日插值实验

经过学习掌握拉格朗日插值的理论，学以致用，使学到的知识运用到现实生活中，并运用计算机来解决我们在学习中遇到的一些问题。以下为运用MATLAB 软件平台上计行拉格朗日插值问题：

例：已知在[0,30]内对应的节点x 以及函数值y 如表所示，利用拉格朗日插值多项式求在区间x=2.035,x=9.771,x=17.815,x=26.907所对应的函数值。

在已知数表函数的条件下，拉格朗日插值多项式可用来计算复杂函数或未知函数的函数值，为此我们首先编写如下利用拉格朗日插值多项式方法计算函数值的程序：

function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end

s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end

上述三重循环给出了拉格朗日插值计算多项式计算任何点x 处的函数值的过程，