伯努利分布参数p的区间估计 _ 负二项分布 - 贝塔分布法
概率分布的种类与性质
概率分布的种类与性质概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率。
不同的随机变量具有不同的概率分布，而概率分布又可以分为多种种类。
本文将介绍常见的概率分布种类及其性质。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量取有限个或可数个值的概率分布。
常见的离散型概率分布有以下几种：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种重要的离散型概率分布，它描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中k=0,1,...,n，C(n,k)为组合数，p为成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中k=0,1,2,...，λ为平均发生率。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量取值为连续区间内的概率分布。
常见的连续型概率分布有以下几种：1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型概率分布，它在给定区间内的取值概率相等。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种重要的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线，对称分布于均值周围。
二项分布和泊松分布参数的区间估计
令：
n
X
X
xi x
i 1
n
（近似服从） （近似服从）
（近似服从）
u X / n ~ N (0,1), n
X /n
对于给定的 查标1 准正态分布双侧临界值表：
（近似服从）
P{u / 2 u u / 2 } 1
P{u / 2
解： Q X 12, 0.01
查附表9可得总菌落数nλ的置信区间的上限： 上限：24.14，下限：4.94 所以同样条件下该菌落数的99%置信区为:
(4.94,24.14)
小结
1.二项分布总体率 P 的置信区间
p(1 p)
p u / 2
n , p u / 2
1 D(
n
n i 1
xi )
n
x
1 n
n i 1
xi
~
N ( , ),
n
n
（近似服从）
x
1 n
n i 1
xi
~
N ( , ),
n
n
u x ~ N(0,1), n /n
Q
x
1 n
n i 1
xi
u x ~ N(0,1), n
1.总体率与样本率的定义
总体率:设总体的容量为N,其中具有某种特点的个体数为M,则称
P M N
为具有某种特点的个体的总体率。
置信区间
样本率:设总体中抽取容量为n的样本，其中具有某种特点的个体数为m,则 称
p m n
为具有某种特点的个体的样本率。
伯努利分布参数p的区间估计_F分布法
Assuming n 0 && 0 p 1 && k Integers && 0 k n,
k 11 p CDF FRatioDistribution 2 n k , 2 k 1 ,
nk p
FullSimplify
, k Integers && 0 k n && 0 p 1
FullSimplify
Out[101]=
参数p的置信水平为 1 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB n,p k 1
1 Α Β和 FB n,p k Β决定，其中0 Β Α。根据定理二及其推论 ，得到
FB n,p k 1
2 伯努利分布参数p的区间估计_F分布法.nb
FF 2 n k 1 ,2 k 和
k 1p nk1 p
1 FF 2 k,2 n k 1
In[362]:=
伯努利分布参数p的区间估计_F分布法.nb 3
Α 0.05;
"1.等尾置信区间 ："
"1.2常规区间估计 ——F比分布："
If k 0, pL 0, F FRatioDistribution 2 n k 1 , 2 k ,
q Quantile F, 1 Α 2 ,
pL k k n k 1 q ;
k1 pU
k 1 n k FΑ 2 2 n k , 2 k 1
k 1 F1 Α 2 2 k 1 , 2 n k n k k 1 F1 Α 2 2 k 1 , 2 n k
其区间长度
k L1 pU pL
k n k 1 F1 Α 2 2 n k 1 , 2 k
k1
k1 n k FΑ 2 2 n k , 2 k 1
负二项分布参数
负二项分布参数负二项分布（Negative Binomial Distribution）是一种离散概率分布，适用于描述多次独立伯努利试验中，达到指定次数的成功所需要的独立伯努利试验次数的分布。
在本文中，我们将详细介绍负二项分布的定义、特征以及其在概率统计学中的应用。
负二项分布可以看作是几何分布的一个自然扩展。
几何分布描述的是在一系列独立伯努利试验中，第一次成功所需要的试验次数的分布。
而负二项分布则描述的是在一系列独立伯努利试验中，获得指定次数的成功所需要的试验次数的分布。
负二项分布的定义如下：设X为负二项分布的随机变量，n为成功的次数，p为每次试验成功的概率。
那么X会取到整数k的概率可以表示为：P(X=k) = C(k-1,n-1) * p^n * (1-p)^(k-n)，其中C(k-1,n-1)表示组合数。
负二项分布的期望值与方差的计算公式如下：E(X) = n/pVar(X) = n*(1-p)/p^2负二项分布的几个特征值可总结如下：1. 分布的值域为正整数集合，即X的取值只能是自然数。
2. 分布函数的形状呈现出右偏的特点，即大部分质量集中在较小的数值上。
3. 分布的均值与方差与分布参数n和p相关，当n固定时，p越大，均值越大；方差越小。
当p固定时，n越大，均值越大；方差越大。
负二项分布在概率统计学中有着重要的应用。
以下是几个负二项分布的典型应用场景：1. 在风险管理中，负二项分布可以用于描述某件事发生特定次数以后才出现成功或失败的风险概率。
例如，某公司希望在某个项目中获得10个以上的成功案例才视为成功，那么可以使用负二项分布来计算项目成功的风险。
2. 在金融领域，负二项分布可以用于描述某个事件发生特定次数以后再次发生的概率。
例如，某交易员交易股票，希望在10次交易中至少有2次赚钱，那么可以使用负二项分布来计算赚钱的概率。
3. 在医学领域，负二项分布可以用于描述治疗某种疾病所需的试验次数。
概率统计分布列知识点总结
概率统计分布列知识点总结一、离散分布对于离散型随机变量，它取值为有限个或者可数个。
在概率统计中，常见的离散分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两种可能结果的随机实验的分布。
例如，抛一次硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个典型的伯努利分布。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=x) ={p, if x=11-p, if x=0}其中，p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
伯努利分布的期望值为p，方差为p(1-p)。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验的结果。
例如，抛n次硬币，其中正面的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示事件发生的次数，p表示事件发生的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，单位时间内接到的电话数、单位时间内发生事故的次数等都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的期望值和方差都等于λ。
二、连续分布对于连续型随机变量，它可以取任意的实数值。
在概率统计中，常见的连续分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布均匀分布描述了取值在一定范围内的随机变量的概率分布。
例如，在区间[a,b]内取值的随机变量就可以用均匀分布来描述。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) ={1 / (b-a), if x∈[a,b]0, otherwise}均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)^2 / 12。
2. 正态分布正态分布是最常见的连续分布之一，它具有许多重要的性质，例如中心极限定理。
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法
Out[109]=
1.等尾置信区间： 0.0771355, 0.385667 等尾区间长度： 0.308531 2.最短置信区间：
Out[112]=
Out[113]=
Out[114]=
Out[116]=
4
伯努利分布参数p的区间估计_贝塔分布法.nb
0.38
0.36
Out[117]=
0.34
0.32
BetaDistribution k, n k Α 2 ; BetaDistribution k 1, n 1 Α 2 ;
1 , k ,
"2.最短置信区间 ：" Plot L Quantile BetaDistribution k 1, n k , 1 Β Quantile BetaDistribution k, n k 1 , Α Β , Β, 0, Α
设X1 , X2 ,
n
, Xn 为伯努利分布 B p 总体的一个 i.i.d. n为样本容量 ，
k
i 1
Xi 为成功数 ，根据定理一 ，知 k B n, p 。 Α的经典等尾置信区间的下限和上限由 FB k FB
n,p n,p
参数 p的置信水平为 1 1 和 FB 从上两式分别得到 Α Β和 FB
n,p
伯努利分布参数 p的区间估计 _贝塔分布法 本文基于 Wolfram Mathematica 9, 在证明伯努利分布与二项分布的关系 、 二项分布与贝塔分布关系的基础上 ，给出了伯努得分布参数 p的经典等尾置信区间和区间长度 ， 以及最短置信区间和区间长度的求法 ，并通过程序实现 。 定理一：n个独立同伯努利分布 B p 的和服从二项分布 B n, p ： CharacteristicFunction BinomialDistribution n, p , t CharacteristicFunction BernoulliDistribution p , t n
二项分布与泊松分布参数的区间估计
二项分布与泊松分布参数的区间估计一、二项分布的参数估计二项分布是一种离散型概率分布，适用于一次试验中只有两个可能结果的情况，如抛硬币、掷骰子等。
在二项分布中，参数p表示成功的概率，n表示试验次数，X表示成功的次数。
在实际问题中，可以通过对样本进行观测，来估计二项分布的参数p。
设样本总数为N，其中成功的次数为n。
首先，我们可以计算样本中成功的比例估计值p'=n/N，称为样本比例。
根据大数定律，当N充分大时，样本比例p'趋近于成功概率p。
为了对p进行区间估计，常用的方法是使用二项分布的置信区间。
假设样本比例服从正态分布，根据格林估计法，二项分布的置信区间为：p' ± Z * sqrt(p' * (1 - p') / N)其中，Z是标准正态分布的分位数，代表置信水平的选择，N是样本总数。
二、泊松分布的参数估计在实际问题中，可以通过对样本进行观测，来估计泊松分布的参数λ。
设样本总数为N，其中事件发生的次数为n。
根据大数定律，当N充分大时，样本事件发生的平均发生率n/N趋近于参数λ。
为了对λ进行区间估计，常用的方法是使用泊松分布的置信区间。
假设样本事件发生的平均发生率服从正态分布，根据格林估计法，泊松分布的置信区间为：λ' ± Z * sqrt(λ' / N)其中，Z是标准正态分布的分位数，代表置信水平的选择，N是样本总数。
需要注意的是，对于二项分布和泊松分布的参数估计，以上所述的置信区间都基于大样本的情况。
当样本量较小时，可以采用Wilson方法或Agresti-Coull方法进行参数估计。
综上所述，二项分布和泊松分布的参数估计涉及到样本比例和样本事件平均发生率的计算，然后使用置信区间来估计参数的范围。
这对于对概率分布的参数进行推测和决策具有重要的意义。
负二项分布
负二项分布
负二项分布（Negative binomial distribution）是统计学上一种描述在一系列独立同分布的伯努利试验中，成功次数达到指定次数（记为r）时失败次数的离散概率分布。
比如，如果我们定义掷骰子随机变量x值为x=1时成功，所有x≠1为失败，这时我们反复掷骰子直到1出现3次（成功次数r=3），此时非1数字出现次数的概率分布即为负二项分布。
帕斯卡分布（Pascal distribution，来自布莱兹·帕斯卡(Blaise Pascal)）和波利亚分布（Polya distribution，又称罐子模型，来自乔治·波利亚(George Pólya)）均是负二项分布的特例。
在工程、气候等领域中经常用“负二项分布”或“帕斯卡分布”来描述变量r为整数的情况，而使用“波利亚分布”来描述r取到实数值R的情况。
对于“相关的离散事件”（"associated discrete events"）的发生，例如龙卷风爆发，相比于泊松分布，波利亚分布由于允许其平均值和方差不同，而能够给出更精确的模型。
在流行病学中，它已被用于模拟传染病的疾病传播，其中可能的继发感染数量可能因个体和环境而异[1]。
更一般地说，由于正协方差项，事
件具有正相关的事件导致比独立事件更大的方差可能是合适的。
“负二项分布”与“二项分布”的区别在于：“二项分布”是固定试验总次数N的独立试验中，成功次数k的分布；而“负二项分布”是所有到r次成功时即终止的独立试验中，失败次数k的分布。
概率分布的计算和应用
概率分布的计算和应用概率分布是统计学中的一个重要概念，它描述了随机变量在所有可能取值上的概率分布情况。
在实际应用中，我们经常需要计算和应用概率分布，以便进行数据分析和预测。
本文将介绍概率分布的计算方法和一些常见的应用。
一、离散型概率分布离散型概率分布描述的是随机变量的取值只能是有限个或可数个，而且每个取值的概率都可以明确确定的情况。
常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布。
1. 伯努利分布伯努利分布适用于只有两个可能结果的随机试验，比如投硬币的结果为正面或反面。
设随机变量X表示试验结果，X=1表示成功，X=0表示失败。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)其中，p为成功的概率，取值范围为0到1。
应用时，我们可以根据给定的p值计算出X取某个值的概率。
2. 二项分布二项分布适用于重复进行相同的独立试验，每次试验只有两个可能结果的情况。
常见的例子是抛硬币多次的结果，或者进行多次赌博的结果。
设随机变量X表示成功的次数，则X的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示独立试验的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)为组合数，表示n次试验中取k次成功的组合数。
通过计算二项分布的概率，我们可以得到在给定的条件下，成功次数为某个值的概率。
3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或者空间内随机事件发生的次数的情况。
常见的例子有单位时间内电话呼叫次数、单位空间内的汽车交通事故次数等。
设随机变量X表示单位时间或者空间内事件发生的次数，X的概率质量函数为：P(X=k) = (lambda^k * e^(-lambda)) / k!其中，lambda表示单位时间或者空间内事件的平均发生次数。
泊松分布的一大特点是，它对于小概率事件的模拟非常有效。
二、连续型概率分布连续型概率分布描述的是随机变量的取值可以是一个连续区间上的任意一个值。
Binomial分布、Multinomial分布、Beta分布、Dirichlet分布
Multinomial distribution
•
Beta distribution
•
Beta distribution
Beta distribution
•
Beta distribution
•
Beta distribution
•
Beta distribution
Multinomial distribution Bernoulli and Multinoulli distributions Bernoulli and Multinoulli distributions Beta distribution（贝塔分布）
outline?bernoullimultinoullidistributions伯努利分布?binomialdistribution二项分布?multinomialdistribution多项分布?betadistribution贝塔分布?dirichletdistribution狄利克雷分布bernoullimultinoullidistributionsmultinoullidistributionsmultinoullidistributionsmultinomialdistributionbinomialdistributionmultinomialdistributionbetadistributionbetadistributionbetadistributionbetadistributionbetadistributionbetadistributiondirichletdistribution?如果将multinomial分布看成是binomial分布的升维那么dirichlet分布就是升维后的beta分布
伯努利分布和二项分布的关系
伯努利分布和二项分布的关系1.引言1.1 概述在数学和统计学中，伯努利分布和二项分布是两个重要的概率分布。
它们都属于离散随机变量的分布，广泛应用于各种实际问题的建模和解决。
伯努利分布是最简单的概率分布之一，也被称为0-1分布。
它描述了只有两种可能结果的试验，比如抛硬币的结果可以是正面或反面，或者一次考试的结果可以是及格或不及格。
伯努利分布的特点是每个试验的结果只有两种可能，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
这个分布可以用一个参数p来描述，表示成功的概率。
而二项分布则是由多次独立的伯努利试验组成的概率分布。
它描述了在n次相互独立的重复试验中，成功的次数的概率分布。
比如抛硬币n次，统计出正面朝上的次数，或者进行n次考试，统计出及格的次数。
二项分布的特点是每次试验只有两种可能的结果，成功和失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p，且每次试验之间是相互独立的。
这个分布可以用两个参数n和p来描述，n表示试验的次数，p表示每次试验中成功的概率。
伯努利分布是二项分布的特殊情况，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。
也就是说，伯努利分布可以看作是进行一次独立试验的结果，而二项分布则是进行多次独立试验的结果。
因此，二项分布可以用来描述多次独立试验的结果，而伯努利分布则适用于只有一次独立试验的情况。
总而言之，伯努利分布和二项分布在概率论和统计学中具有重要的意义。
它们之间存在着密切的关系，伯努利分布可以看作是二项分布的特殊情况。
了解这两个分布的定义和特点，有助于我们更好地理解和应用概率统计的知识。
在接下来的内容中，我们将进一步介绍伯努利分布和二项分布的定义与特点，并探讨它们之间的关系。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论伯努利分布和二项分布之间的关系。
第一部分是引言部分，将对文章的内容进行概述。
首先介绍伯努利分布和二项分布的定义和特点，并指出它们在概率统计中的重要性。
常用的概率分布：伯努利分布、二项式分布、多项式分布、先验概率，后验概率
常⽤的概率分布：伯努利分布、⼆项式分布、多项式分布、先验概率，后验概率⼀，伯努利分布(bernouli distribution)⼜叫做0-1分布，指⼀次随机试验，结果只有两种。
也就是⼀个随机变量的取值只有0和1。
记为: 0-1分布或B(1,p)，其中 p 表⽰⼀次伯努利实验中结果为正或为1的概率。
概率计算：期望计算：最简单的例⼦就是，抛⼀次硬币，预测结果为正还是反。
⼆，⼆项式分布(binomial distrubution)表⽰n次伯努利实验的结果。
记为：X~B(n,p)，其中n表⽰实验次数，p表⽰每次伯努利实验的结果为1的概率，X表⽰n次实验中成功的次数。
概率计算：期望计算：例⼦就是，求多次抛硬币，预测结果为正⾯的次数。
三，多项式分布(multinomial distribution)多项式分布是⼆项式分布的扩展，不同的是多项式分布中，每次实验有n种结果。
概率计算：期望计算：最简单的例⼦就是多次抛筛⼦，统计各个⾯被掷中的次数。
四，先验概率，后验概率，共轭分布先验概率和后验概率： 先验概率和后验概率的概念是相对的，后验的概率通常是在先验概率的基础上加⼊新的信息后得到的概率，所以也通常称为条件概率。
⽐如抽奖活动，5个球中有2个球有奖，现在有五个⼈去抽，⼩名排在第三个，问题⼩明抽到奖的概率是多少？初始时什么都不知道，当然⼩明抽到奖的概率P( X = 1 ) = 2/5。
但当知道第⼀个⼈抽到奖后，⼩明抽到奖的概率就要发⽣变化，P(X = 1| Y1 = 1) = 1/4。
再⽐如⾃然语⾔处理中的语⾔模型，需要计算⼀个单词被语⾔模型产⽣的概率P(w)。
没有看到任何语料库的时候，我们只能猜测或者平经验，或者根据⼀个⽂档中单词w的占⽐，来决定单词的先验概率P(w) = 1/1000。
之后根据获得的⽂档越多，我们可以不断的更新。
也可以写成。
再⽐如，你去抓娃娃机，没抓之前，你也可以估计抓到的概率，⼤致在1/5到1/50之间，它不可能是1/1000或1/2。
三种分布介绍(正态分布,伯努利分布,泊松分布)
1、正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution），若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
当μ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布N（0，1)。
概率密度函数为：正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
2、伯努利分布如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1一p，则X的概率函数可写为：伯努利分布（二点分布）的期望E(X)=p，D(X)=p(1-p)。
（其中，离散数据的方差计算公式为D(X)=E{[X-E(X)]^2}）n重伯努利分布（二项分布）的期望E(X)=np，D(X)=np(1-p)。
3、泊松分布在统计学上，只要某类事件满足三个条件，它就服从"泊松分布"。
三个条件分别是：①事件X的发生是小概率事件②事件X的发生是随机而且互相独立的③事件X发生的概率相对稳定。
泊松分布的公式为：各个参数的含义：单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率，即P（X=k）事件X发生k次的概率，λ表示事件X稳定发生的概率。
当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似。
设X~B（n,p)，当n很大,p很小,且λ＝np适中时,有P(x=k)≈λ^k/k! ·e^(-λ)，推导过程如下所示：为第二重要极限公式，上面的推到会涉及到。
常见的概率分布
常见的概率分布离散分布0-1分布(伯努利分布)它的分布律为：\[P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1, (0<p<1)\]0-1分布记作：\(X \sim b(1,p)\)期望：\(E(X)=p\)⽅差:\(D(X)=p(1-p)\)常⽤的场景：新⽣婴⼉性别的登记，招⽣考试的录取，产品的是否合格，硬币的正反⾯。
⼆项分布⼆项分布为\(n\)重伯努利实验的概率分布。
分布律为：\[P\{X=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n,(0<p<1)\]\[\sum\limits_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1\]⼆项分布记作：\( X \sim b(n,p)\)期望：\(E(X)=np\)⽅差:\(D(X)=np(1-p)\)常⽤的场景：⽐如⼀个⼈射击\(n\)次，其中\(k\)次命中的概率，抽查50台设备，其中10台出故障的概率等等。
从下⾯的图中，我们可以看到命中次数先增加，到了3达到最⼤，之后⼜逐渐减少，⼀般来说，对于固定的\(n,p\)，都具有这⼀性质。
（1）当\(（n+1）p\)不为整数时，⼆项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=[(n+1)p]\)时达到最⼤值；（2）当\(（n+1）p\)为整数时，⼆项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=(n+1)p,k=(n+1)p-1\)时达到最⼤值。
%每轮射击10次，命中概率0.3，射击10000轮，x中返回的是每轮中命中的次数x=binornd(10,0.3,10000,1);%bin的数⽬为10hist(x,10);N=100;p=0.4;k=0:N;%事件发⽣k次的概率pdf=binopdf(k,N,p);%事件发⽣不⼤于k次的概率cdf=binocdf(k,N,p);plotyy(k,pdf,k,cdf);grid on;多项分布多项式分布是⼆项式分布的扩展，在多项式分布所代表的实验中，⼀次实验会有多个互斥结果，⽽⼆项式分布所代表的实验中，⼀次实验只有两个互斥结果。
伯努利分布的分布函数
伯努利分布的分布函数
伯努利试验是n重二项分布；区别可以这样理解：二项分布是指试验结果为：0，1，
其中一个概率为p，另一个概率为1-p, 而伯努利是指进行n次二项分布试验，1或0 的
出现k次的概率；简单理解，就是二项分布是只进行一次试验求概率，而伯努利试验是进
行次数大于1次。
不懂可追问。
一、性质不同
1、两点原产：在一次试验中，事件a发生的概率为p，事件a不发生的概率为q＝l
－p，若以x记一次试验中a发生的次数，则x仅挑0、i两个值。
2、二项分布：是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，
而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与
否的概率在每一次独立试验中都保持不变。
二、特点相同
1、两点分布：是试验次数为1的伯努利试验。
2、二项分布：就是试验次数为n次的伯努利试验。
二项分布的图形特征：
1、当（n＋1）p不是整数时，当k＝［（n＋1）p］时，二项概率p｛x＝k｝达至最大值；
2、当（n＋1）p为整数时，当k＝（n＋1）p和k＝（n＋1）p－1时，二项概率p｛x
＝k｝达到最大值。
二项分布的应用领域条件：
1、每个观测单元只能有一个相对的结果，如正或负、生存或死亡等，属于两类数据。
2、考虑到一定的概率结果（积极主动的），恰好相反结果的概率就是1pi，实际工作建议与相对平衡的赢得大量的观测值。