《圆》新定义专题培优训练

《圆》新定义专题培优训练 1．如图，⊙O 的半径为（r ＞0），若点P ′在射线OP 上（P ′可以和射线端点重合），满足OP ′+OP ＝2r ，则称点P ′

是点P 关于⊙O 的“反演点”．

（1）当⊙O 的半径为8时，

①若OP 1＝17，OP 2＝12，OP 3＝4，

则P 1，P 2，P 3中存在关于⊙O 的反演点”的是 ．

②点O 关于⊙O 的“反演点”的集合是 ，

若P 关于⊙O 的“反演点在⊙O 内，则OP 取值范围是 ；

（2）如图2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12，⊙O 的圆心在射线CB 上运动，半径为1．若线段AB 上存在点

P ，使得点P 关于⊙O 的“反演点”P ′在⊙O 的内部，求OC 的取值范围．

2．定义： 对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为︒x 、︒y 和︒z ，若x 、y 、z 满足2

22z y x =+，

我们定义这个三角形为和谐三角形．

（1）△ABC 中，若 ∠B=50°，∠A=70° ，则△ABC_______(填“是”或“不是” ）和谐三角形；

（2）如图，锐角△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=60° ，AC=4 ， ⊙O 的直径是24 ，

求证：△ABC 是和谐三角形;

（3）当△ABC 是和谐三角形，且∠A=30°，则∠C 为 _______°

3.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．

（1）如图1，⊙O的半径为2，

①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ．

②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．

（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．

4．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．

（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；

（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N．

①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；

②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．