函数奇偶性的应用 课件

【规范答题】设x<0，则-x>0. ………………………………2 分 ∵x>0时，f(x)=x+1, ∴f(-x)=-x+1. ………………………………………………6分 又∵f(x)是偶函数，f(-x)=f(x) …………………………8分 ∴f(x)=-x+1(x<0). …………………………………………12分
示
③
若由③处-x3-x+1=-f(x)求 f(x)(x<0)时出错，只能得6分.
(1)明确求哪个区间上的解析式，将x设在哪个区间. 解 (2)解题过程中一定不能忘记定义域，定义域为R时不 题 能忘记求f(0). 启 (3)用好奇偶函数所满足的f(-x)=-f(x)或f(-x)= 示 f(x)，也可以变形为f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x)，不能
∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0②, …………………………………6分 ∴-x3-x+1=-f(x)③, ∴f(x)=x3+x-1(x<0), ………………………………………9分
x3 x 1x 0,
∴f(x)=
0
…x… …0,……………………………12分
x3 x 1x 0.
函数奇偶性和单调性的综合应用 【技法点拨】
1.函数奇偶性和单调性的关系 (1)若f(x)是奇函数，且f(x)在［a,b］上是单调函数，则f(x) 在［-b,-a］上也为单调函数，且具有相同的单调性. (2)若f(x)是偶函数，且f(x)在［a,b］上是单调函数，则f(x) 在［-b,-a］上也为单调函数，且具有相反的单调性.
数，所以
11
1 3x
x
1, 1 1,
1 x 3x 1.
解得0<x< 1 ，即不等式的解集为{x|0<x< 1 }.
2
2
【思考】解答本题2首先应注意什么问题?利用函数奇偶性及单 调性解抽象不等式的思路是什么? 提示:(1)首先要注意函数的定义域,离开定义域解题是没有意义 的. (2)利用奇偶性及单调性解抽象不等式的思路是先利用奇偶性 将自变量转化到单调区间内，利用单调性脱去“f”,转化为具 体不等式求解.
2.利用单调性和奇偶性解不等式的关注点和方法 关注点:奇偶性是在整个定义域所具有的性质，而单调性是在 某一区间所具有的性质. 方法:利用单调性和奇偶性解不等式，要确定好单调区间，做 好抽象不等式到具体不等式的转化.
【典例训练】 1.函数y=x|x|( ) (A)是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递减 (B)是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递增 (C)是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增 (D)是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减 2.已知奇函数f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，求解不等式 f(1-x)+f(1-3x)<0.
【规范解答】利用奇偶性求函数解析式 【典例】(12分)(2012·鹤岗高一检测)已知f(x)是定义在R上 的奇函数，且当x>0时,f(x)=x3+x+1，求f(x)的解析式. 【解题指导】
【规范解答】设x<0①,则-x>0. ……………………………2分 ∵x>0时f(x)=x3+x+1, ∴x<0时,f(-x)=-x3-x+1. …………………………………4分
2.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由g(x)+f(x)=x2+x-2, ① 得g(-x)+f(-x)=(-x)2-x-2,即-g(x)+f(x)=x2-x-2, ② 由①②得f(x)=x2-2，g(x)=x.
【想一想】(1)解答题1的易忽视点是什么？ (2)解答题2的关键点是什么？ 提示：(1)解题1时易忽视函数f(x)的定义域内含有0且为奇函 数，则必有f(0)=0的情况，导致得出解析式不完整. (2)解题2的关键点是应用函数奇偶性解关于f(x)与g(x)的方程 组.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)
在解题过程中，若漏掉①处设x<0则无法得出x的具
① 体范围，后边当x>0时的解析式f(x)=x3+x+1就无
失
法应用,导致本题不得分.
分
警
②
解题过程中若漏掉②处f(0)=0，由于本题定义域为R， 导致解题不完整，最多得9分.
Байду номын сангаас
【解析】1.∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(-x)=-f(x)，f(0)=0.
当x>0时，-x<0，
∴f(x)=-f(-x)=-x2+1，
x2 1, x 0,
∴函数f(x)的解析式为 f x 0, x 0,
x2 1, x 0. x2 1, x 0,
答案：f x 0, x 0,
x2 1, x 0.
【解析】1.选C.y=x|x|为奇函数，x>0时，y=x2在(0,+∞)上
单调递增.
2.解题流程
移项
由f(1-x)+f(1-3x)<0 得f(1-x)<-f(1-3x).
转化
∵f(x)是奇函数，∴f(x)=-f(-x), ∴f(1-x)<f(3x-1).
列式 求解
又f(x)在定义域(-1,1)上是减函
在转化时出错.
【 规 范 训 练 】 (12 分 ) 已 知 函 数 f(x) 是 偶 函 数 ， 当 x>0 时 ， f(x)=x+1，求当x<0时，f(x)的解析式. 【解题设问】 (1)本题应该设x<0还是x>0？x_<__0__ (2)代入解析式时，是将x还是-x代入f(x)=x+1？-_x__
函数奇偶性的应用
利用函数的奇偶性求函数解析式 【技法点拨】
利用奇偶性求函数解析式的关注点 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间 内. (2)转化代入已知区间的解析式. (3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x).
【典例训练】 1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x2-1，则 函数f(x)的解析式为_____. 2.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且g(x)+f(x)=x2+x-2， 求f(x)，g(x)的解析式.