偏微分方程数值解习题

边界条件 u = 0 ∂Ω
Ω = {( x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}
用二阶中心差商逼近 1 u yy ≈ 2 [u j −1 − 2u j + u j +1 ] h 将方程半离散化,二维问题化为常微分方程组
9.写出热传导方程
2 ∂u ∂ u 2 −a = f ( x, t ) 2 ∂t ∂x
k j
的矩阵形式 13. 分析对流-扩散方程的差分格式
1
τ
[u
k +1 j
b k a k k k − u ] = 2 [ u j + 1 − 2u j + u j −1 ] + [ u j + 1 − u k j −1 ] 2h h
k j
的截断误差
14. 分析一维隐格式
误差传播因子
k +1 uk u − j j
矩阵、微积分、数值分析
1. 证明 n 阶三对角矩阵
⎡− 2 1 ⎤ ⎢ 1 −2 1 ⎥ ⎥ T=⎢ ⎢ O O O⎥ ⎢ ⎥ 1 − 2⎦ ⎣
特征值 特征向量
pj =
jπ λ j = −4 sin 2( n + 1)
2
jπ 2 jπ njπ T 2 ] L sin [sin sin n+1 n+1 n+1 n+1
写出显差分格式
1
矩阵形式
18. 写出一维双曲型方程显差分格式误差传播因子, 并分析稳定性条件 19. 写出二维波动方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u −( 2 + 2 )= 0 2 ∂t ∂x ∂y
的显式差分格式,并分析截断误差
有限元法
1.求最速降线问题 的欧拉方程 2.求函数的广义导数
⎧ x − x k −1 , x ∈ [ x k −1 , x k ] ⎪ ⎪ h ϕk ( x) = ⎨ ⎪ xk +1 − x , x ∈ ( x , x ] k k +1 ⎪ h ⎩
2 x 2 y
截断误差
4 4 4 ∂ ∂ 1 ∂ ˆ= R h4 ( 8 2 2 − 3 4 − 3 4 ) f ( x i , y j ) + O ( h6 ) ∂x ∂ y ∂x 720 ∂y
8. 二维 Helmholtz 方程
( u xx + u yy ) + k 2 u = f ( x , y )
17. 一维双曲型方程初边值问题 2 ∂ u ∂ 2u 2 = 0, (0 < x < 1, t > 0) −a 2 2 ∂x ∂t u( x ,0) = ϕ ( x ), ut ( x ,0) = ψ ( x )
u(0, t ) = α ( t ), u(1, t ) = β ( t )
2 a 2 k 2 k δ u = δ j x uj 2 t 2 τ h
k =1 ∞
u( x j + h) − 2u( x j ) + u( x j − h)
= u′′( x j ) + ∑ C k h 2 k
k =1
∞
7. 外推法证明四阶截断误差
4 1 G1 ( x j ) − G2 ( x j ) = u′′( x j ) + O( h4 ) 3 3
这里
Gk ( x j )
14.分部积分公式应用II
∫
x j +1
x j −1
2 ′ ′ ϕ j [u + k u]dx = u( x j −1 ) − 2 cos( kh)u( x j ) + u( x j +1 )
⎧ ⎪sin k ( x − x j −1 ), x ∈ [ x j −1 , x j ] ϕ j ( x) = ⎨ ⎪ ⎩sin k ( x j + 1 − x ), x ∈ ( x j , x j + 1 ]
Ω ∂Ω
11.辛卜生公式
∫
x j பைடு நூலகம்1
x j +1
x j −1
h f ( x )dx = [ f ( x j −1 ) + 4 f ( x j ) + f ( x j +1 )] + Rh [ f ] 3
12.辛卜生公式推广
h2 ∫x j−1 ϕ j ( x ) f ( x )dx = 12 [ f ( x j −1 ) + 10 f ( x j ) + f ( x j +1 )] + Rh [ f ]
∫
xi
x i −1
′ [ p( x )u′ h v h + q( x )uh v h ]dx
∫
b
a
u′′vdx = − ∫ u′v ′dx +[u′v ] a
b a
b
10.格林公式应用
∂Q ∂P − [ ]dxdy = ∫ Pdx + ∫ Qdy ∫∫ ∂Ω ∂Ω ∂x ∂y Ω
∫∫ u
Ω
xx
vdxdy = − ∫∫ u x v x dxdy + ∫ u x vdx
Ω ∂Ω
∫∫ u
Ω
yy
vdxdy = − ∫∫ u y v y dxdy − ∫ u y vdx
有限差分法
1. 局部边值问题求四阶紧差分格式 (1).
⎧ ⎪ − u′′ = f ( x ), x j −1 ≤ x ≤ x j +1 ⎨ ⎪ ⎩ u( x j −1 ) = u j −1 , u( x j + 1 ) = u j +1 ⎧ ⎪ − u′′ + u = f ( x ), x j −1 ≤ x ≤ x j + 1 ⎨ ⎪ ⎩ u( x j −1 ) = u j −1 , u( x j +1 ) = u j +1 ⎧ ⎪ u′′ + u = f ( x ), x j −1 ≤ x ≤ x j +1 ⎨ ⎪ ⎩ u( x j −1 ) = u j −1 , u( x j +1 ) = u j +1
15.分部积分公式应用III
∫
x j +1
x j −1
ϕ j [u′′ − k 2 u]dx = u( x j −1 ) − 2 cosh( kh)u( x j ) + u( x j +1 )
⎧ ⎪sinh k ( x − x j −1 ), x ∈ [ x j −1 , x j ] ϕ j ( x) = ⎨ ⎪ ⎩sinh k ( x j + 1 − x ), x ∈ ( x j , x j + 1 ]
4. 设A是实对称正定矩阵, 求证A的特征值均为正. 5. 求证矩阵 A =( aij )n的特征值在下面圆盘的并集中.
| λ − a ii |≤ ∑ | a ij |
j =1 j≠i n
( i = 1, 2, L , n)
6. 证明中心差商逼近
u( x j + h) − u( x j − h) 2h h2 = u′( x j ) + ∑ c k h 2 k
利用边界条件. u( x0 , t ) = 0, u( xn+1 , t ) = 0 写差分方程的矩阵形式.
12. 写出对流-扩散方程 ut = a u xx + bu x 差分格式
1
τ
[u
k +1 j
b k a k k k − u ] = 2 [ u j + 1 − 2u j + u j −1 ] + [ u j + 1 − u k j −1 ] 2h h
2. (n + 1)三对角矩阵
⎡− 1 1 ⎤ ⎢ 1 −2 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ O O O⎥ ⎢ ⎥ 1 − 2⎦ ⎣
2
特征值 特征向量
qk =
2k + 1 λ k = −4 sin π 2( 2n + 3)
( 2k + 1) ( 2k + 1) ( 2k + 1) 4 π cos ( 2n + 1)π ]T 3π L cos [cos 2( 2n + 3) 2( 2n + 3) 2( 2n + 3) 2n + 3
6. 证明五点差分格式差分算子 1 2 2 ∆ h = 2 (δ x + δ y ) h
h2 ∂ 4 ∂4 截断误差 ∆ h = ∆ + [ 4 + 4 ] + O ( h4 ) 12 ∂x ∂y
7. 泊松方程的九点差分格式
1 2 2 1 2 2 2 − (δ + δ + δ x δ y )uij = h [1 + (δ x + δ y )] f ij 6 12
⎧ ⎪ x − x j , x ∈ [ x j −1 , x j ] ϕ j ( x) = ⎨ ⎪ ⎩ x j +1 − x , x ∈ ( x j , x j +1 ]
13.分部积分公式应用I
xi
∫
x j +1
x j −1
ϕ j u′′dx = u( x j −1 ) − 2u( x j ) + u( x j +1 )
u( x j + kh) − 2u( x j ) + u( x j − kh) ( kh) 2
8. 用外推法构造六阶截断误差的二阶导数逼近？
3 3 1 G1 ( x j ) − G2 ( x j ) + G3 ( x j ) = u′′( x j ) + O( h6 ) 2 5 10
9.牛顿-莱布尼兹公式应用
T [ y( x )] = ∫
x1
0
1 + ( y′)2 dx 2 gy
xi
3. 用牛顿-莱布尼兹公式证明
∫
b
a
b ′ ′ ′ ′ ′ ′ [u v − uv ]dx = [u v − uv ]a
4. 用格林公式证明
∂u ∂v (v∆u − u∆v )dxdy = ∫ [ v − u ]ds ∫∫ ∂Ω ∂ n ∂n Ω
2 4 具有截断误差 R k = O ( τ ) + O ( h ) 的差分格式 j 1 +1 k k +1 k k +1 k [( u k − u ) + 10 ( u − u ) + ( u − u j −1 j −1 j j j +1 j + 1 )] 12τ a2 2 k +1 − 2 δ x (u j + uk ) j 2h 1 1 k k +1 k k +1 = [( f jk−1 + f jk−+ ) + 10 ( f + f ) + ( f + f 1 j j j +1 j + 1 )] 24
3. 验证(n+2) 阶矩阵
⎡ 1 −1 ⎤ ⎢− 1 2 − 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ O O O⎥ ⎢ ⎥ − 1 1 ⎣ ⎦
特征值 特征向量
qk =
kπ λ k = 4 sin 2( n + 2)
2
q0 =
1 [1 1 L 1]T n+ 2
2 kπ ( 2n + 3)kπ T [cos , L , cos ] n+ 2 2( n + 2) 2( n + 2)
5.计算矩阵积
⎡ N i2−1 ∫xi−1 ⎢ ⎣ N i N i −1
xi
N i −1 N i ⎤ ⎥ dx 2 Ni ⎦
1 N i ( x ) = [ x − x i −1 ] hi
其中,线性插值基
1 N i −1 ( x ) = [ x i − x ] hi
6. 考虑两点边值问题
⎧ − u′′ + u = f ( x ), a < x < b ⎨ ⎩ u(a ) = α , u(b ) = β
(1). 用等距结点线性元推导有限元方程; (2) 用中心差商代替导数推导差分方程; (3) 比较有限元方程和差分方程有何差异.
7.表述二维问题四方形四顶点双线性插值问题
uh ( x , y ) = ax + by + cxy + d
8. 参考二维问题的三角形三顶点线性插值,考虑三 维问题四面体四个顶点的线性插值问题。 9. 用线性插值方法处理单元上积分
τ
u
k +1 sj
a 2 k +1 = 2 δ x uj h
15.分析二维隐格式
误差传播因子
−u
k sj
τ
1 2 2 k +1 = 2 [δ x + δ y ]usj h
16. 求二维热传导方程隐差分格式
k +1 2 2 k +1 k uij − r (δ x +δy )uij = uij
对应的块三对角矩阵特征值
(2).
(3).
3. 利用微分方程 − u′′( x j ) = f ( x j ) 求差分格式
u j −1 − 2u j + u j + 1
的局部截断误差
h2 = [ f j −1 + 10 f j + f j +1 ] 12
4. 构造两点边值问题余弦差分格式
⎧ u′′ + ω 2 u = f ( x ), a ≤ x ≤ b ⎨ ⎩ u( a ) = µ 0 , u(b ) = µ1 5. 构造两点边值问题双曲余弦差分格式 ⎧ u′′ − ω 2 u = f ( x ), a ≤ x ≤ b ⎨ ⎩ u( a ) = µ 0 , u(b ) = µ1
t
显式差分格式 k +1 uk − u a 2 k j j − 2 δ x u j = f jk τ h 的矩阵形式 10.写出热传导方程隐式差分格式
k +1 uk − u j j
x
t
τ 的矩阵形式
2 k +1 − aδ x u j / h2 = f jk +1
x
11.传导方程
2 ∂u ∂ u 2 −a = f ( x, t ) 2 ∂t ∂x