备战中考数学专题训练---一元二次方程的综合题分类附详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x 的一元二次方程()2

2

2130x k x k --+-=有两个实数根．

()1求k 的取值范围；

()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．

【答案】（1）13

4

k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】

()1根据方程有实数根得出()()

22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．

()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方

程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()

1关于x 的一元二次方程()2

2

2130x k x k --+-=有两个实数根，

0∴≥，即()()22

[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，

解得134

k ≤

． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，

()

22

2222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 22

1223x x +=，

224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，

13

4

k ≤

， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】

本题考查了一元二次方程2

ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，

方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．

2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=

，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF

的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．

（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；

（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：

①∠FCD的最大度数为；

②当FC∥AB时，AD= ；

③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;

④△FCD的面积s的取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.

（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.

②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.

③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.

④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.

∵CD=10，∴AD=2.

（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.

∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."

② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，

∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.

∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.

∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，

由②知DH=3，FH=，则HC=.

在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，

∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.

而，

当时，；当时，.

∴△FCD的面积s的取值范围是.

考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

3．已知：关于的方程有两个不相等实数根．

（1）用含的式子表示方程的两实数根；

（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．

∴

由求根公式，得

．∴或

（II），∴．

而，∴，．

由题意，有

∴即（﹡）

解之，得

经检验是方程（﹡）的根，但，∴

【解析】

（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．

一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措

施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映

了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.

请你解答下列问题：

4．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.

月份用水量（吨）水费（元）

四月3559.5

五月80151

【答案】

5．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．

【解析】