2015年6月华东师大二附中联赛选拔试题(好题)

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2015华师附中物理二模试卷

2015华师附中物理二模试卷一、选择题（每小题3分，共36分）每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。

1、关于物理常识，下列说法中不正确的是（）A、“海市蜃楼”和“彩虹”这两种自然现象，形成的原理的完全一样的B、牛顿用三棱镜使白色的太阳光发生色散，从而证明了白光是由七种不同颜色的光组成C、在电磁波谱中，从γ射线到x射线到红外线的频率逐渐增大D、如果电视机遥控器发出的红外线的波长是900nm，那么，它的频率为1/3×1015Hz2、如图所示，水平桌面上有两个完全相同的鱼缸甲和乙，盛有适量的水，把一个橡皮泥做的小船放入乙后，小船处于漂浮状态，此时两鱼缸内的水面刚好相平。

然后把它们分别放在台秤上，则台秤的示数( )A．甲放上时大B．乙放上时大C．甲或乙放上一样大D．无法判断3、生物学研究表明，绿色植物的生长需要光；而物理学研究表明，不透明物体的颜色是由它反射的色光决定的，由此可以初步推断，不利于绿色植物生长的光是（）A、红光B、黄光C、绿光D、紫光4、如图为小科设计的遮光感烟探测器部分工作原理图，在一个外部光线无法进入的烟室中，装有一个激光发生器及带有一感光电阻（R0）的电路，R为定值电阻，电源电压恒定；当烟雾进入烟室后，激光被烟雾遮挡而使感光电阻的阻值发生变化．当烟雾达到某一浓度时，探测器便会发出警报．已知光照越强，感光电阻阻值越小，反之则越大．当烟雾进人烟室并越来越浓时，则（）A．电路的总电阻逐渐变小B．电压表的示数逐渐变大C．电流表的示数逐渐变大 D．R消耗的功率逐渐变大5、以下安全提示中主要考虑摩擦力因素的是（）A、请驾驶员系好安全带B、天干物燥，注意防火C、雨天路滑，请小心驾驶D、在火车站站台上候车的旅客请站在安全线以外6、在一支平底试管内转入适量的铁砂，然后先后放入装有甲、乙两种不同液体的烧杯里，如图所示，下列说法正确的是（）A、试管在甲液体中受到的浮力较大B、试管在乙液体里排开的液体重力较小C、装乙液体的烧杯底部所受压强较小D、在两液体中试管底部所受液体压强一样大7、在如图所示“研究亮度与电压电流关系”的电路中，电源电压保持不变，闭合开关S 后，电路正常工作。

2014-2015年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷含参考答案

2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．2（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（s inα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．2014-2015学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为1cm2．【解答】解：∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S===1cm2，故答案为：12．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．3．（3分）已知，则sin2α=﹣．【解答】解：由sin（π﹣α）=得，sinα=，因为，所以cosα=﹣=﹣=﹣，所以sin2α=2sinαcosα=2×=﹣，故答案为：﹣．=﹣2．【解答】解：=log cosα（1+）=log cosα（）=log cosα（）=﹣2故答案为：﹣2．5．（3分）化简：=﹣1．【解答】解：由题意=故答案为﹣16．（3分）若α是第三象限角，且，则=．【解答】解：由，得sin[（α+β）﹣β]=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．7．（3分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S△ABC=．【解答】解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．==，∴则S△ABC故答案为．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．【解答】解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为[﹣4，4] ．【解答】解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．【解答】解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．【解答】解：=2+令g（x）=（x∈[﹣π，π]），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与【解答】解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π 表示π的奇数倍，（4k±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k ±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定【解答】解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选：A．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx 【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选：B．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【解答】解：∵偶函数f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴f（x）在[2，3]上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（co sβ），故选：C．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．【解答】解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．【解答】解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈[0，]，f（x）=2sin（2x+）在[0，]上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈[，]，得2x0+∈[，]．从而cos（2x 0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．【解答】解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．【解答】解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．∴．（2）当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．理由：令．易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x 增大而减小，故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（易忘）等腰RT△条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（易忘）任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB=∠COD结论：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED（易忘）导角核心图形模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD；②∠AOB=∠COD模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA 非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOBOC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。

华二附中高三数学月考试卷(2015.12)

华师大二附中高三月考数学试卷2015.12一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分） 1. 22lim 21n n C n →∞=+ ； 2. 若直线(32)80m x y +++=不经过第二象限，则m 的取值范围是；3. 不等式||1x x ?≤的解为；4.若二项式51)a 的展开式中的第二项等于20a -（a 为大于零的常数），则实数x = ；5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项之和，若{}n S 是等差数列，则q = ；6. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若22a b -=，sin C =B ，则A = ；7. 已知方程cos 23sin 20x x +-=，则该方程在区间[,]ππ-上的所有解之和为；8. 已知数列{}n a 的通项公式为1133()[()1]44n n n a --=-*()n N ∈，则数列{}n a 中的最小项的值为； 9. 已知,x y 满足约束条件11y x x y y ≤??+≤??≥-?，则2z x y =+的最大值为；10. 一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为；11. 记51251...i i a a a a =∑=+++，若1 4.47a =， 2 4.51a =，3 4.61a =，4 4.65a =，5 4.76a =，则5123i i a =∑=，另有正整数i A (15)i ≤≤的和仍是23，若以i A 来估计i a ，则“误差和”51||i i i A a =∑-的最小值为； 12. 若数列x 、1a 、2log a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b 、2b 、y 成等比数列，则21212()a a b b +? 的取值范围是；13. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是；（写出所有正确命题的序号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 存在恰经过一个整点的直线；③ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数；④ 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；14. 几位高一学生学习函数的性质后感觉很有收获，分别有下列表述：① 函数251x y x -=-在其定义域上是单调递增的函数；② 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x R ∈，都有()(1)f x f x >+，则函数()f x 没有单调递增区间；③ 若定义在[2016,2016]-上的函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数，则一定存在0x ∈[2016,2016]-，使00()()f x f x -≠-且00()()f x f x -≠；④ 定义在R 上的函数()f x ，如果对任意x R ∈，都存在0x R ∈，当0x x ≠时，都有 0()()f x f x <；成立，则函数()f x 的最大值就是0()f x ；⑤ 定义1231...n k n k a a a a a π==，已知2()n n f x x =**(,)n N k N ∈∈，则121()()()...nk k f x f x f x π== ()n f x 为偶函数的n 的最小正整数为3；以上几位同学错误的表述是；（写出所有错误表述的序号）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15. 用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程20x ax b ++=没有实根B. 方程20x ax b ++=至多有一个实根C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根16. 已知复数122z i =+，222z i =--在复平面上对应的点分别为A 、B ，点B 绕点A 逆时针旋转90?到达点C ，则点C 所对应的复数为（）A. 2iB. 62i -C. 24i -+D. 22i -17. 若||x y e =([,])x a b ∈的值域为2[1,]e ，则点(,)a b 的轨迹是图中的（）A. 线段AB 和OAB. 线段AB 和BCC. 线段AB 和OCD. 点A 和点C18. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（）A . 4a B. 2()a c - C. 2()a c + D. 以上答案均有可能三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19. 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长为2，点E 为棱AD 的中点，求：（1）正四面体ABCD 的体积；（2）直线CE 与平面BCD 所成的角的大小（用反三角函数值表示）；20. 已知平面向量(sin(),1)a x π=- ，)b x = ，函数()f x a b =? ；（1）写出函数()f x 的单调递减区间；（2）设()()16g x f x π=-+，求直线2y =与()y g x =在闭区间[0,]π上的图像的所有交点坐标；21. 设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+ ，向量(,1)b x y =- ，a b ⊥ ，动点(,)M x y 的轨迹为E ；（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知14m =，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），并求出该圆的方程；22. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ；（1）当123n n a -=?*()n N ∈时，请写出用n S 表示为1n S +的函数式：1()n n S f S +=；（2）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠，试判断数列{}n a 是否为等比数列？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若数列{}n a 对任意的3n ≥的正整数满足：1()2n n n a a S +=，试证明{}n a 是等差数列；23. 已知函数2()(2)3f x x a x a =--+-；（1）若函数()y f x =在区间[2,2]-上是偶函数，求实数a 的值；（2）当2a =时，是否存在实数,m n ，使函数()y f x =在区间[,]m n 上的值域也是[,]m n ？如果存在，求出实数,m n 的值；（3）是否存在整数,m n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[,]m n ，若存在，求出,m n 的值，若不存在，请说明理由；。

2014-2015学年上海市华东师大二附中高一(下)期中数学试卷

2014-2015学年上海市华东师大二附中高一（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题（本大题共2小题，共8.0分）1.若且，则的终边所在的象限为第______ 象限．【答案】二【解析】解：，，的终边所在的象限为第二象限．故答案为：二．利用三角函数值的符号，直接判断角所在象限即可．本题考查三角函数值的符号，角所在象限，是基础题．2.一个扇形的面积是，它的周长为4cm，则其中心角弧度数为______ ．【答案】2【解析】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以，，面积所以解得：，，所以扇形的圆心角的弧度数是．故答案为：2．根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数．本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系，属于基础题．二、解答题（本大题共1小题，共4.0分）3.化简：．【答案】解：【解析】由诱导公式和两角和与差的正弦函数公式展开即可化简求值．本题主要考察了诱导公式和两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．三、填空题（本大题共7小题，共28.0分）4.若角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与射线重合，则______ ．【答案】【解析】解：角终边与射线重合，取点，，则，，，，，，故答案为：利用三角函数的定义取点，，进行求解即可．本题主要考查三角函数求值，利用三角函数的定义是解决本题的关键．5.函数的值域为______ ．【答案】，【解析】解：，，，故，当且仅当时“”成立，而，，故，故函数的值域是，，故答案为：，．根据x的范围，求出的范围，根据基本不等式的性质求出函数的值域即可．本题考查了求函数的值域问题，考查正切函数的性质以及不等式的性质，是一道中档题．6.若，，则适合的角的集合是______ ．【答案】【解析】解：，适合的角满足，，，角的集合是．故答案为：．适合的角满足即可．本题考查了三角函数的化简，及三角函数的取值情况，属于基础题．7.已知的外接圆半径为R，且其中，是角，的对边，那么的大小为______ ．【答案】【解析】解：的外接圆半径为R，且，，故答案为：．先利用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形的内角和及和角的三角函数，变形展开，化简即可得到结论．本题重点考查正弦定理的运用，考查三角式的恒等变形，属于基础题．8.定义运算例如，，则函数在区间，上的单调递增区间为______ ．【答案】，，，，，【解析】解：函数，，，，，，故由正、余弦函数的图象可知，函数在区间，上的单调递增区间为，，，，，故答案为：，，，，，先根据题意确定函数的解析式，再由正余弦函数的图象可得答案9.若满足条件，的有且只有两个，则边c所有可能的值域构成的集合是______ 用区间表示．【答案】，【解析】解：根据题意，在中，，，则有，则，若符合题意的有且只有两个，则有，故有，即c的取值范围为，；故答案为：，．根据题意，由正弦定理可得，变形可得，结合题意，符合题意的有且只有两个，可得的范围，即可得c的取值范围，即可得答案．此题考查正弦定理的应用，涉及正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．10.已知函数当，，，时，用x和n表示的______ ．【答案】【解析】解：，，则，，，，，，，故答案为．，，则，，，利用，，可得，即可得出结论．本题考查函数的解析式，考查学生的计算能力，属于中档题．四、选择题（本大题共4小题，共16.0分）11.下列函数中，最小正周期为的奇函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、，其最小正周期为，不符合题意；对于B、，其最小正周期为，且为奇函数，符合题意；对于C、，为非奇非偶函数，不符合题意；对于D、，其最小正周期为，不符合题意；本题考查三角函数周期的计算，涉及函数奇偶性的判定，关键是正确化简原函数的解析式．12.中，如果，则为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 锐角或直角三角形【答案】A【解析】解：依题意可知，，，为钝角故选：A利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得进而判断出，进而断定C为钝角．本题主要考查了三角形形状的判断，两角和公式的化简求值在判断三角形的形状的问题上，可利用边的关系或角的范围来判断．13.计算得A. B. C. D.【答案】A【解析】解：．故选：A．利用诱导公式化简所求，进而计算得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题．14.已知点，，，是函数上的两个不同点，且，则对于下列四个不等式：；；；．其中正确不等式的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：由于表示直线OA的斜率，表示直线OB的斜率，A在第三象限时，与原点连线斜率为正，B在第四象限时，与原点所连直线斜率为负，故，不一定成立．由于函数的图象在，上是下凹型的，而表示线段AB 中点的纵坐标，故有；成立．由题意可得，而函数在，上是增函数，故有成立，故不正确．故正确．故选：B．对于根据斜率公式判断即可，对于根据函数的单调性判断即可，对于根据正弦函数的图象和性质判断即可本题主要正弦函数的单调性，线段的中点公式以及直线的斜率公式的应用，属于基本知识的考查．五、解答题（本大题共5小题，共56.0分）15.在中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，求的值；若，且，求的面积．【答案】解：由正弦定理，得即由余弦定理，，再由，，得【解析】通过正弦定理把中的边换成角的正弦值，化简求得，进而求得．通过余弦定理求得c，代入三角形的面积公式，进而求得的面积．本题主要考查了余弦定理和三角形面积公式属基础题．16.设，，且，，求．【答案】解：，，，．，．．．【解析】，依上述角之间的关系便可求之．本题主要考查了余弦函数两角和公式的运用在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系其中变角是常见的三角变换．17.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知，m，于A处测得水深m，于B处测得水深m，于C处测得水深m，求的余弦值．【答案】解：如图作交BE于N，交CF于M．，，．在中，由余弦定理的变形公式，得．【解析】先利用勾股定理分别求得，和EF，进而利用余弦定理求得的值．本题主要考查了解三角形问题的实际应用综合考查了三角形问题中勾股定理，余弦定理的灵活运用．18.在半径为1，圆心角为的扇形中，求内接矩形面积的最大值．【答案】解：图一，设，则．在中，，，矩形面积．故图一矩形面积的最大值为．图二可拆分成两个，图一角是，图二拆分后角是，故根据图一得出的结论，可得矩形面积的最大值为，而图二时由两个这样的图形组成，两个则为．故图二矩形面积的最大值为．【解析】将图二可拆分成两个图一的形式，可以类比得到结论，图一角是，图二拆分后角是，故矩形面积的最大值为，由此可得结论．本题考查扇形内接矩形面积问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是发现两个图之间的联系，利用已有的结论进行解题，是中档题．19.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上，作出其在，的草图．【答案】解：的定义域为R；分，为偶函数；分，当，时，，当，时，单调递减；当，时，，单调递增；又是周期为的偶函数，在，上单调递增，在，上单调递减；分当，时，，；当，时，，．的值域为，；分由以上性质可得：在，上的图象如图所示：分【解析】本题研究的顺序为：先研究定义域、奇偶性、周期性，再研究函数的单调性、值域，最后画出图形．本题考查二倍角公式的应用，正弦函数、余弦函数的图象和性质，以及的图象及性质．。

上海市华师大二附中2014-2015学年高一数学下学期期中试卷(含解析)

上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36分）1. （3分）扇形的半径为1cm,圆心角为2弧度，则扇形的面积为 cmf .2. （ 3分）已知角 a 的终边过点 P （- 5, 12）,则cos a =.3. （3 分）已知虽口（兀一 □】二丄，a € （―, K ），则 sin2 a =.4 24. （3分）已知a 是锐角，则Io p 円（l + ta/口）6. ( 3 分)若 a 是第三象限角，且 '1 "J J -- ： ■- -~ =1 ：-. ■ T ■J :'-- -—，则13a =tajrif .&（ 3分）隔河测算 A , B 两目标的距离，在岸边取 C, D 两点，测得 CD=200m / ADC=105 ,/ BDC=15，/ BCD=120，/ ACD=30，贝U A , B 间的距离 mTT10.（ 3分）定义在区间上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为 P, 过点P 作PP 丄x 轴于点P ，直线PR 与y=sinx 的图象交于点 P 2,则线段P 1P 2的长为.TT 兀11. （ 3 分）已知函数 f （x ） =2x 2- ax+1,存在〔——f ——），使得 f （sin?） =f （cos ?）,T4 2则实数a 的取值范围是.sin 1 (TT - a) "t 1 2cos (- a )tan (7r+a). sin (肌 sin (2-n; - a)25. （3分）化简:7. （3分）在厶ABC 中，若b=1,-二.厂二二一，则 S△ABC=.9. （3分）定义则函数SLHK - 1 4COSK sins（x € R ）的值域为.43 2.12. （3分）设函数:f （尤）二4* 一2“□日X —（ x €）的最大值为 M 最小2 x 4+3cos2xi-4值为 m 贝U M+m=二、选择题(每小题 4分，共16分)13. ( 4分)已知k € Z ,下列各组角的集合中，终边相同的角是() A.丘；与 k 兀 ± £ B . 2k n + n 与 4k n±nC kM'H#与业兀士辛D•特与14. ( 4分)在厶ABC 中，若cosAcosB > sinAsinB ，则此三角形一定是() A.钝角三角形 B .直角三角形C.锐角三角形D.形状不确定15.( 4分)给出下列三个等式： f (xy ) =f (x ) +f (y ) , f (x+y ) =f ( x ) f(y ),=/ ??和玖 • •下列函数中不满足其中任何一个等式的是()1 _ f (x) f (y)A. f (x ) =3x B . f (x ) =sinx C. f (x ) =log 2X D. f (x ) =tanx16.( 4分)定义在 R 上的偶函数f (x )满足f (2 - x ) =f (x ),且在上是减函数，a,B是钝角三角形的两个锐角，且a<3，则下列不等式关系中正确的是()A. f (sin a)> f (cos 3) B . f (cos a)< f (cos 3) C. f (cos a) > f (cos 3) D. f (sin a)< f (cos 3)（本大题共 48分） 1 - tanA 1+tanA18. ( 8分)设厶ABC 的内角A 、B C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知a=1, b=2, cosC=-4(I) 求厶ABC 的周长； (n)求 cos (A- C )的值.19・(10 分)已知函数 f (x ) =2 I K - 1 I. -二jr(1) 求函数f (x )的最小正周期及在 J ,—— 上的单调递增区间； (2) 若f (xo )」,xo € ［卫，丄匚］,求cos2x0的值.5 L 4 2 J三、解答题 17. ( 6分)匕求Got (冷~+A )的值.20. （10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A,与钝角a的终边OB交于点B（X B, y B），设/ BAO甲.（1）用3表示a；则昭牛号寻怎,2点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力.考点：正弦定理的应用.a:「2所以tan(2) B (X B, y B)的坐标;21. （14 分）已知函数f （Q =lo g 加-睑Ca>0. 厘i+lx的集合）.求实数m的值，并写出区间D是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数（1）（2）若底数a满足0v a v 1，试判断函数y=f （x）在定义域D内的单调性，并说明理由;当x € A=(3)解答：解：由白sin (□十B〕cos 3 — sin B cos 'f ：-，得Sin=Sin a=■:~，. a2t an-…CL ClSsin-cos-^-.2 a 7a - 2 a [sin "rr-Hcos "TT tan是第三象限角，所以- 7T<a<2kn - k€2,贝U sin a =2sin —cos 怜解得诙冬仝或-2.2,故答案为:7. （3分）在厶ABC中，若b=1, QWX ，则&ABC.如果sin卩「，求点专题：解三角形. 分析：由正弦定理求出sinB 的值，可得B 的值，再由三角形的内角和公式求出A 的值，再由 S MBC =1、：・二二’，运算求得结果..• si nB=丄.2旷…中4.4点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题.&（ 3分）隔河测算 A , B 两目标的距离，在岸边取 C, D 两点，测得 CD=200m / ADC=105 ,/ BDC=15，/ BCD=120，/ ACD=30，贝U A , B 间的距离二一：m考点：余弦定理；正弦定理. 专题：计算题；解三角形.分析：依题意，利用正弦定理可求得 AD, BD 再利用余弦定理即可求得 AB. 解答：解：作图如下：•/ CD=200m Z ADC=105，/ ACD=30，/ BDC=15，/ BCD=120，•••/ CAD M CBD=45，/ BDA=90 ;•••在厶ACD 中，由正弦定理 ——卑——=——聖——，即一丫叫 =一笙 S1H2LCAD gin^ACD gin45sinSO• AD=100 二；在厶BCD 中，同理可求 BD=1OO. '■. 在直角三角形 BDA 中，由勾股定理得AB=二•’「［ •■= . 一「I ji -'=二―:.故A ，B 间的距离为200. m. 故答案为200 . ■:.点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得 AD, BD 是关键，考查作图与运算能力，属于中档题.解答:解：由于在△ ABC 中，若 b=1,|uRl ，•••贝V S^ABC=.故答案为,由正弦定理可得再由大边对大角可得 B=A ,「. A=n — B- C J .6考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域. 专题：新定义；三角函数的图像与性质.分析：利用新定义，展开f ( x )利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可.解答：解：由题意 f (曲二日‘门"1 =sin 2X +4COSX = - cos 2x+4cosx+仁-(cosx - 2)4cosx sim|2+5€.故答案为：.点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力.TT t … . ......................10. ( 3分)定义在区间上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为 P,过点P 作PR 丄x 轴于点P i ，直线PP 与y=sinx 的图象交于点巳，则线段PQ 的长为考点：余弦函数的图象；正切函数的图象. 专题：三角函数的图像与性质.分析：先将求P 1P 2的长转化为求sinx 的值，再由x 满足6cosx=5tanx 可求出sinx 的值，从而得到答案. 解答：解：线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=〜.线段P 1P 2的长为_3 13故答案为二.39. (3分)定义a b c d =ad 一 b<，则函数 f (x)=sinn -14cosy sinx(x € R )的值域为.点评：考查三角函数的图象、数形结合思想.11-(3分)已知函数f (x ) =2宀ax+1，存在pi 牛 9 ,使得f (sin ?) =f (cos ?), 则实数a 的取值范围是 (Z 龙迈).考函数与方程的综合运用. 专题：函数的性质及应用.分析：利用条件化简可得 2 (sin $ +cos $) =a ，禾U 用辅助角公式及角的范围，即可求实数 a 的取值范围.解答：解：根据题意： 2sin 2$— asin $ +1=2cos 2$— acos $ +1,即：2 (sin 2$ — cos 2$)(sin $ +cos $) (sin cos $) =a (sin cos $),故答案为：也纠2)点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用,考查学生的计算能力，属于中档题.12. ( 3分)设函数F&)二°’ 一力(x €)的最大值为 M 最小21 >3cos2xf4值为m 则M+m=4 考点：函数最值的应用. 专题：函数的性质及应用.将函数化简，构造新函数g ( x ) ="「"( x €),判断其为奇函数，可得g2I ^+3COS 2K +4(X )max +g (x ) min =0 ,从而可得结论.(x €),则 g (— x ) = — g (x ) , •••函数 g (x )是奇函数g ( x ) max +g ( x ) min =0• M + m=4+( x ) max +g (x ) min =4=a (sin $— cos $) 即：2 因为:7TTV.故：2 (sin $ +cos $) =a , 即：a=2 :_：sin 由*€(T-'.• €(n /2 , 3n /4 )，也就是：sin (电分析:解答:解:f &)二打-"；吩A 七皿十22 x ^3cos2x+4=2- SsLiir - 2 F 2』十3匚口旦2芸+4令 g (x ) =「"宀2x +3cos2x+4),所以 sin $— cos所以：a=2 ：sin ( .f故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.二、选择题（每小题 4分，共16分）13. （ 4分）已知k € Z ,下列各组角的集合中，终边相同的角是（） A.埒牛涯兀B . 2k n + n 与4k n±nCk 兀片¥与业兀士*D•号与考点：终边相同的角. 专题：计算题.分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断.n （ k € Z ）是终边相同的角，故 B 满足条件.k n +上=（k+丄）n 表示n 的（k 县）倍，而2k n 土卫=（2k 土丄）n 表示n 的（2k ±丄） 66 国6 国 1 倍，故两个角不是终边相同的角，故 C 不满足条件.（3k+1煜表示中非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D 不满足条件.故选：B . 点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义.14. （ 4分）在厶ABC 中，若cosAcosB > sinAsinB ，则此三角形一定是（）考点：三角形的形状判断. 专题：计算题.分析：先将条件等价于cos （ A+B > 0,从而可知C 为钝角，故可判断. 解答：解：由题意，T cosAcosB> sinAsinB /• cos （ A+B ）> 0••• cosC v 0•••C 为钝角故选A .点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C 为钝角.解：由于k"表示兀的整数倍，而 k n±（2k ± 1）厂表示兀222 2 2解答:的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故 A 不满足条件.（2k+1）n 表示 n 的奇数倍，（4k ± 1 ）n 也表示n 的奇数倍，故（2k+1）n 与（4k ± 1）由于——表示厶整数倍，而—=A.钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 形状不确定15. ( 4 分)给出下列三个等式： f (xy) =f (x) +f (y) , f (x+y) =f ( x) f (y),F (旳)H Cy)•下列函数中不满足其中任何一个等式的是()1 - f (z) f (y)A. f (x) =3xB. f (x) =sinxC. f (x) =log 2XD. f (x) =tanx考点：指数函数与对数函数的关系.分析：依据指、对数函数的性质可以发现 A C满足其中的一个等式，而D满足F (旳)H Cv)•, B不满足其中任何一个等式1 - f (z) f (y)解答：解：f (x) =3x是指数函数满足f (x+y) =f (x) f (y)，排除A. f (x) =log 2x是对数函数满足f (xy) =f (x) +f (y)，排除Cf (x ) =ta nx 满足f '，排除D.1-f (K)f W故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质.16. ( 4分)定义在R上的偶函数f (x )满足f (2 - x ) =f (x)，且在上是减函数，a,B 是钝角三角形的两个锐角，且a<3，则下列不等式关系中正确的是()A. f (sin a) > f (cos 3 )B. f (cos a) < f (cos 3 )C. f (cos a )> f (cos 3 ) D. f (sin a) < f (cos 3 )考点：奇偶性与单调性的综合.专题：函数的性质及应用.分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由 f (2-x ) =f (x)和偶函数的定义得f ( x) =f ( x+2)，求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据a和3的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数 f (x)的单调性进行判断.解答：解：•••偶函数f (x)在上是减函数，••• f ( x)在上是增函数，又•••偶函数f ( x)满足f (2 -x ) =f (x) ,••• f (x) =f (x - 2),即f (x+2 ) =f (x)，函数的周期T=2,• f ( x)在上是增函数，-/a,3是钝角三角形的两个锐角，且a<3,•根据余弦函数在(0 ,n)上递减得，0< cos 3< cos a< 1,则f (cos a) > f (cos 3 ).故选C.点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想.三、解答题(本大题共48分)17. ( 6分)若 -------- =2，求的值.1+tanA 4考点：两角和与差的正切函数.专题：三角函数的求值.分析：利用1 一tanA_J可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论.1+tanA -解答：解：...UanA tan A=-11+t anA -31-JL二tan(K |A)=l+t価—^=14 | 1 - tanA 岸2• cat(亍"「tan (斗)=2.点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题.18. (8分)设厶ABC的内角A B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1，b=2, cosC=：4 (I)求厶ABC的周长；(n)求cos (A- C)的值.考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数.专题：计算题.分析： (I )利用余弦定理表示出c的平方，把a, b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；(II )根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a, c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C,即A为锐角，贝U根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值.解答：解：(| )•., 2=a2+b2-2abcosC=1+4- 4X 丄=4,4二c=2,•••△ ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.(II )••• COSC计，••• sin C=Q1 一8氏+ -(¥.J15•si nA==^-=」=!'c Z 8•/ a< c,「. A v C,故A为锐角.则• cos ( A- C)=cosAcosC+sinAsinC= 4 8 4 16点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题.19. ( 10分)已知函数(X)=2I.;,;.丨K - 1 1!■：-二(1)求函数f (X)的最小正周期及在上的单调递增区间(2)若f (X o) , X o€5求cos2x 0的值.考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性.专题：计算题；三角函数的图像与性质.分析：(1 )利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f(x) =2 :_;sinxcosx+2cos 2x-1化为: f (x)的最小正周期及在f (x) =2sin (2x+——),从而可求函数6上的单调递增区间;3⑵由(1)知,f (xo) =2sin (2x0专)电，可求得sin (2x0专)冷，继而可求得cos4-：,而2x o= (2x o+-5(2x o+_-)6解答：解：(1)由数f (x) =2 _ ;sinxcosx+2cos f (x)=〔：'知n2x+cos2x=2sin (2x+- —6),，利用两角差的余弦即可求得cos2x o.2x- 1，得所以函数f (x)的最小正周期为n;_JTTTV•/2k n-丄-V 2x+2I T[ “,k n + —) , k€ Z 3 6V 2k n +丄2,k€ Z又x €, f (x) =2sin ( 2x+ )在上的单调递增区间为(0,TT(2)由(1)知，f (x o) =2sin (2x o+ ),6-f ( x o ) 一 ,由X o€,得2x o+—€.6从而cos ( 2X0/• cos2x 0=cos=cos (2X0+ ) cos--+sinb6)sin7T~67T)；~KM点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题.20. (10分)如图，单位圆(半径为 1的圆)的圆心 O 为坐标原点，单位圆与 y 轴的正半轴交于占八、、■ 4(1)考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用. 专题：综合题. 分析：(1 )作出图形，结合图形由 ZA0B=a- -2®，能求出- - 2P .坯 (2) 由 sin d =—, r =1，得r叶二siZ 二sin (三二-2已)=-G 曲邓二口邙- 1二(¥)- 1二丄.由此能求a2 5 25出点B (X B , y B )的坐标；兀(3)法一：耳廿—y*二GOS 口 — si 口口二 ( 口+~^~ )，由此能求出 X B - yB 的最小值.2 2 2 2 2法二：由 a 为钝角，知 X B V 0, y B >0, X B +y B =1,X B - y B = - (- X B +y B ), (- X B +y B ) <2=2,由此能求出X B - y B 的最小值. 解答：解：(1)如图，•••，「•丄…:r',A ,与钝角 a 的终边OB 交于点B (X B , y B ),设/ BAO 申. 用3表示a ；二二二「-一一，求点 B (X B , y B )的坐标；(2) 如果(2)由，又 r=1 ,点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用.21 • (14分)已知函数f (工)二皿加-［严 Ca>0. a^l)厘i+lD (使表达式有意义的实数 X 的集合).(1) 求实数m 的值，并写出区间 D(2) 若底数a 满足0V a v 1，试判断函数y=f (X )在定义域D 内的单调性，并说明理由;得 ■ i 、厂11---- -1=-遇卵二尿ijB -1二(半)1=7—5 25X B =COS CL= - 71 - sin2a = _ 刹由钝角a,知(3)法一:兀片 _ y-g=GOSa_ sin a /2C0S(又一 -- ---24cos ( a +-^) £ [ - 1,—y B 的最小值为为钝角， y B > 0,•・X B法二：a• x B V 0,2 2 .X B +y B =1, X B - y B =-44)，亍，■: • (-X B +y B ),2 2 2(—X B +y B ) w 2 ( X B +y B ) =2,2015届高考的常见题型•解题时要是奇函数，定义域为区间(3)当X€ A=集合是［1 , +s ）的要求， •必有b=1.因此，所求实数a 、b 的值是lr b=l .点评：本题从恒等式出发得到 m 另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数, 属于中档题.曰是,当O v a v 1时，函数f (z ) =lo g 1 - X ^D= (-I, 1)上是单调增函数. (3)v x € A=[a , b ) (A? D, a 是底数)••• 0v a v 1， a v b w 1.•••由（2）知，函数f （瓷）二1□菖丄二芒在A 上是增函数，即f （“ =1, lo a 1+工解得一一 £丄- .：一.a l+l1 a,二 1+a若b v 1贝U f （x ）在A 上的函数值组成的集合为_\ / I ，不满足函数值组成的 a1+b。

上海华师大二附中2015届高三暑期数学练习卷(四)

华东师大二附中2015届暑期练习（四）数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1、θ是第二象限角，则2θ是第象限角．2、复数z 满足1z z i-=-，则此复数z 所对应的点的轨迹方程是 .3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R=-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+,若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为 .一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .已知1tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时，()()22x f x a x b=+++（,a b 为常数），则()10f -的值为 .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则1213b b b ⋅等于 .已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第项．9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合.若直线l 的极坐标方程为3πθ=)R ρ∈（，曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，且)R θ∈，则直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为 .10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 . 11、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为 .x 12、P是双曲线221916x y－＝的右支上一点，M、N分别是圆22(5)4x y++=和22(5)1x y-+=上的点，则PM PN-的最大值等于.13、设,x y为实数，且满足：()()32014201320142013x x-+-=-，()()32014201320142013y y-+-=，则x y+=.14、在区间[]0,π上，关于α的方程5sin45cos2αα+=+解的个数为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知θ为实数，若复数)sin211z iθθ=-+-是纯虚数，则z的虚部为（）A、2B、0C、2-D、2i-16、“1=a”是“函数()||f x x a b=-+（,a b R∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件如果函数()f x在[,]a b上的最大值和最小值分别为M、m，那么()()()bam b a f x M b a-≤∆≤-.根据这一结论求出2212x--∆的取值范围（）.A、[0,3]B、3[,3]16C、33[,]162D、3[,3]218、如图，已知点(2,0)P，正方形ABCD内接于⊙22:2O x y+=，M、N分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，PM ON⋅A、[1,1]-B、[C、[2,2]-D、[2-解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D-,底面ABCD直角梯形，AB∥CD，90BAD∠=︒，P是棱CD上一点，2AB=，AD=13AA=，3CP=，1PD=.PD CD11B1A1（1）求异面直线1A P与1BC 所成的角；求证：PB ⊥平面11BCC B .20、（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数. （1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列；（2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.21、（本题满分14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC DQPDC BA22、（本题满分16分）阅读：已知a 、()0,b ∈+∞，1a b +=，求12y a b =+的最小值.解法如下：()1212233b a y a b a b a b a b ⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b a ab =，即1,2a b ==-12y a b =+的最小值为3+. 应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c =++的最小值；（2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x =+-的最小值；（3）已知正数1a 、2a 、3,,na a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++.23、（本题满分18分）已知函数2()5bf x ax x=++(常数,a b R ∈）满足(1)(1)14f f +-=.（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数()f x奇偶性；（2）若()f x在区间-∞（，上单调递减，求b的最小值；（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：()f x恰有一个零点q且存在递增的正整数数列{}n a，使得31225na aa aq q q q=+++++成立.虹口区2013学年度第二学期高三年级数学学科第二次月考试卷（答案）2014.051、一或三;2、x y-=．3、2m=4、123::3:1:2V V V=. 554-6、993)10()10(-=-=-ff.7、13131213728192b b b b⋅===. 8、20 9、0,0)（；设取红球x个，白球y个，则5(04)27(06)x y xx y y+=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x xy y y===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，取法为233241464646186C C C C C C++=. 11、221151341484Sπππ=⋅⋅+⋅⋅=.12、9. 13、4028x y+=. 14、1个解.15、sin 21sin 210410cos 2,2244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-，选C .16、1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故选A .17、求22x -在[]2,1-上的最值，选B .18、OM ON ⊥ 且长度为1，可设)sin ,cos (ααM ，)cos ,sin (αα-N ，然后用坐标求解.也可以OP OM PM -=，答案选C .19、解：（1）以D 原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则10,3)A ，(0,1,0)P，20B ，），1(0,4,3)C .于是1(2,1,3)PA =-,1(2,3)BC =-,1111cos 612PA BC PA BC θ⋅===⋅,∴异面直线1A P 与1BC所成的角的大小等于.过B 作BM CD ⊥交CD 于M ，在Rt BMC ∆中，BM =，2MC =，则BC =，1PC ==，1BC ==PB ==22211PC PB BC=+，1PB BC ∴⊥1B B ABCD⊥平面，1B B PB∴⊥.又1B B BC B ⋂=，∴PB ⊥平面11BCC B .20、解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，则有2213a a a =,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾.所以123,,a a a不成等比数列.y（2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭22(1)(321)33n n n a n b =--+=-,又1(18)b λ=-+,所以当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，此时{}n b 不是等比数列：当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n n b b +=-(n 为正整数) ，故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列.21、解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6x β=-.由tan tan αβ=，得126x x =-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6x β=-，21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x x παβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t +∠===-+-++-，747455274663t t≤+<+=，74118183t t ∴≤+-<，当7418180t t ≤+-<，所张的角为钝角，最大角当6x =时取得，故点Q 应选在距A 6km 处.22、解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而6b a c a c ba b a c b c +++++≥，当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c =++的最小值为9.（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭，而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x x x x -⋅+⋅≥=-，当且仅当12228212x x x x -⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥，所以函数1812y x x =+-的最小值为18.（3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()()()()22222221211223121211223112n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=当且仅当121n a a a n ====时取到等号，则12S ≥. 23、解：（1）由(1)(1)14f f +-=得5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2()25bf x x x =++，定义域为00-∞⋃+∞（，）（，）当0b =时，对于定义域内的任意x ，有2()()25f xf x x -==+，()f x 为偶函数当0b ≠时，(1)(1)140f f +-=≠从而(1)(1)f f -≠，()f x 不是奇函数；(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶.对于任意的12x x <<12()()0f x f x ->恒成立，即2212122525b b x xx x ++-++（）（）>0，得1212122()0x x x x b x x -++>.12x x <<，2312(x x >，122x x +<-12122()2x x x x -+>.又12122()b x x x x >+，2b ∴≤-，b的最小值等于2-.（3）在（2）的条件下，22()25f x x x =-+.当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点当0x >时，对于任意的210x x >>，恒有212121121()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++>，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在0∞（，+）上递增，又123()048f =-<，(1)50f =>， ∴()f x 在114（，）是有一个零点q .综上()f x 恰有一个零点q ，且1(,1)4q ∈…15分 22()250f q q q =-+=，得3251q q =-，又473231n q q q q q q -=+++++-，故473225n q q q q -=+++++，取32n a n =-。

上海市华东师范大学二附中2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年上海市华东师范大学二附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（共40分）1．已知扇形的圆心角为72°，半径为5，则扇形的面积S=．2．若实数x，y满足xy=1，则x2+3y2的最小值为．3．函数的定义域为．4．若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=．5．已知幂函数f（x）=xα，的图象关于原点对称，且当x∈（0，+∞）时单调递增，则α=．6．已知函数f（x）=x2﹣9，，那么f（x）•g（x）=．7．方程log2（x+14）+log2（x+2）=3+log2（x+6）的解是．8．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．9．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．10．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有四个零点，则b的取值范围是．二、选择题（共16分）11．设α是第三象限的角，且，，则是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角12．设a，b∈R，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数14．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三、解答题（共44分）15．（9分）已知cotα=﹣2，求tanα，sinα，cosα．16．（9分）记不等式2|x﹣1|+x﹣1≤1的解集为M，不等式16x2﹣8x+1≤4的解集为N，求M∩N．17．（12分）已知函数f（x）=2x+a•2﹣x（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求a的取值范围．18．（14分）对于定义在区间D上的函数y=f（x），若存在x0∈D，对任意的x ∈D，都有f（x）≥f（x0），则称函数f（x）在区间D上有“下界”，把f（x0）称为函数f（x）在D上的“下界”．（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；f1（x）=1﹣2x（x＞0），f2（x）=x+（0＜x≤5）．（2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数f（x）在区间D上有“上界”的定义；并判断函数f2（x）=|x﹣|（0＜x≤5）是否有“上界”？说明理由；（3）若函数f（x）在区间D上既有“上界”又有“下界”，则称函数f（x）是区间D 上的“有界函数”，把“上界”减去“下界”的差称为函数f（x）在D上的“幅度M”．对于实数a，试探究函数F（x）=x|x﹣2a|+3（a≤）是否是[1，2]上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M”的值．2015-2016学年上海市华东师范大学二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共40分）1．已知扇形的圆心角为72°，半径为5，则扇形的面积S=5π．【考点】扇形面积公式．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】解：72°化为弧度．∴扇形的面积S==5π．故答案为：5π．【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．若实数x，y满足xy=1，则x2+3y2的最小值为2．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足xy=1，则x2+3y2的≥2xy=2，当且仅当=±时取等号．因此最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．函数的定义域为{x|x＜4且x≠3} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】欲求此函数的定义域一定要满足：4﹣x＞0，x﹣3≠0，进而求出x的取值范围，得到答案．【解答】解：由，解得：x＜4且x≠3故答案为：{x|x＜4且x≠3}【点评】对数函数的真数大于0，分母不能是0，是经常在求定义域时被考到的问题．4．若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=2．【考点】反函数．【分析】令f（4）=t⇒f﹣1（t）=4⇒t2=4（t＞0）⇒t=2．【解答】解：令f（4）=t∴f﹣1（t）=4，∴t2=4（t＞0）∴t=2．答案：2．【点评】本题考查反函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．5．已知幂函数f（x）=xα，的图象关于原点对称，且当x∈（0，+∞）时单调递增，则α=3．【考点】函数的图象．【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求出α的值．【解答】解：因为 f （x）为幂函数且在[0，+∞）上为增函数，所以α＞0，又函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以α=3，故答案为3．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题．6．已知函数f（x）=x2﹣9，，那么f（x）•g（x）=x2+3x （x≠3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】直接相乘即可，一定要注意定义域．【解答】解：函数f（x）=x2﹣9，，那么f（x）•g（x）=x2+3x （x≠3）．故答案为：x2+3x （x≠3）【点评】本题考查了求函数解析式，要注意定义域，属于基础题．7．方程log2（x+14）+log2（x+2）=3+log2（x+6）的解是x=2．【考点】对数的运算性质．【分析】由已知条件可得log2（x+14）（x+2）=log28（x+6），即，由此求得方程的解．【解答】解：由方程log2（x+14）+log2（x+2）=3+log2（x+6），可得log2（x+14）（x+2）=log2 8（x+6），即，解得x=2，故答案为x=2．【点评】本题主要考查对数的运算性质，对数方程的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．8．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．9．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2] ．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，即log a x ≥1，故有log a2≥1，由此求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．10．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有四个零点，则b的取值范围是（，2）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数y=f（x）﹣g（x）恰好有四个零点可化为函数y=f（x）+f（2﹣x）与y=b的图象有四个交点，从而化简y=f（x）+f（2﹣x）=，作图象求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2﹣x）=，∵函数y=f（x）﹣g（x）恰好有四个零点，∴方程f（x）﹣g（x）=0有四个解，即f（x）+f（2﹣x）﹣b=0有四个解，即函数y=f（x）+f（2﹣x）与y=b的图象有四个交点，y=f（x）+f（2﹣x）=，作函数y=f（x）+f（2﹣x）与y=b的图象如下，，f（）+f（2﹣）=f（）+f（2﹣）=，结合图象可知，＜b＜2，故答案为：（，2）．【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用．二、选择题（共16分）11．设α是第三象限的角，且，，则是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【考点】三角函数值的符号．【分析】根据三角函数值的符号法则即可判断所在的象限．【解答】解：由，得出是第三或第四象限或终边在y负半轴上的角，由，得出是第一或第四象限或在x正半轴上的角，综上，是第四象限角．故选：D．【点评】本题考查了三角函数值符号的判断问题，是基础题目．12．设a，b∈R，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a=1，b=﹣2时，满足a＞b，但a＞|b|不成立，即充分性不成立，若a＞|b|，当b≥0，满足a＞b，当b＜0时，a＞|b|＞b，成立，即必要性成立，故“a＞b”是“a＞|b|”必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．13．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．14．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．三、解答题（共44分）15．已知cotα=﹣2，求tanα，sinα，cosα．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，分类讨论求得tanα，sinα，cosα的值．【解答】解：∵cotα=﹣2，∴tanα==﹣，∴α的终边在第二或第四象限，当α的终边在第二象限时，根据=﹣、sin2α+cos2α=1、以及sinα＞0，求得sinα=，cosα=﹣．当α的终边在第四象限时，根据=﹣、sin2α+cos2α=1、以及sinα＜0，求得sinα=﹣，cosα=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．16．记不等式2|x﹣1|+x﹣1≤1的解集为M，不等式16x2﹣8x+1≤4的解集为N，求M∩N．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】分别求出关于M，N的不等式，求出M、N的交集即可．【解答】解：∵2|x﹣1|+x﹣1≤1，∴或，解得：0≤x≤，故M=[0，]；∵16x2﹣8x+1≤4，∴（4x+1）（4x﹣3）≤0，解得：﹣≤x≤，故N=[﹣，]，故M∩N=[0，]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查集合的运算，是一道基础题．17．（12分）（2014•松江区三模）已知函数f（x）=2x+a•2﹣x（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求a的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得a值，进而可得结论；（2）由减函数可得对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）﹣f（x2）＞0，变形可得恒成立，又可得，可得a≥16．【解答】解：（1）∵f（x）=2x+a•2﹣x，∴f（﹣x）=2﹣x+a•2x，若f（x）为偶函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=f（﹣x），即2x+a•2﹣x=2﹣x+a•2x对任意的x∈R都成立．化简可得（2x﹣2﹣x）（1﹣a）=0对任意的x∈R都成立．由于2x﹣2﹣x不恒等于0，故有1﹣a=0，即a=1∴当a=1时，f（x）是偶函数；若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=﹣f（﹣x），即2x+a•2﹣x+2﹣x+a•2x=0，（2x+2﹣x）（1+a）=0对任意的x∈R都成立．由于2x+2﹣x不恒等于0，故有1+a=0，即a=﹣1∴当a=﹣1时，f（x）是奇函数，综上可得当a=1时，f（x）是偶函数；当a=﹣1时，f（x）是奇函数；当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．（2）∵函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，∴对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）=恒成立．由，知恒成立，即恒成立．由于当x1＜x2≤2时，∴a≥16【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及分类讨论的思想，属中档题．18．（14分）（2015秋•浦东新区校级期末）对于定义在区间D上的函数y=f（x），若存在x0∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≥f（x0），则称函数f（x）在区间D 上有“下界”，把f（x0）称为函数f（x）在D上的“下界”．（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；f1（x）=1﹣2x（x＞0），f2（x）=x+（0＜x≤5）．（2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数f（x）在区间D上有“上界”的定义；并判断函数f2（x）=|x﹣|（0＜x≤5）是否有“上界”？说明理由；（3）若函数f（x）在区间D上既有“上界”又有“下界”，则称函数f（x）是区间D 上的“有界函数”，把“上界”减去“下界”的差称为函数f（x）在D上的“幅度M”．对于实数a，试探究函数F（x）=x|x﹣2a|+3（a≤）是否是[1，2]上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M”的值．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据f（x0）称为函数f（x）在D上的“下界”的定义，判断即可；（2）类比函数有“下界”的定义，写出函数f（x）在区间D上有“上界”的定义；通过讨论x的范围，判断函数f2（x）是否有“上界”即可；（3）求出F（x）的分段函数式，讨论①当a≤0时，②当0＜a≤时，函数的解析式和对称轴，与区间的关系，由单调性即可得到最值和幅度M的值．【解答】解：（1）∵f1（x）=1﹣2x（x＞0），∴f1（x）＜1，无“下界”，∵f2（x）=x+≥2=8，当且仅当x=4时“=”成立（0＜x≤5）．∴f2（x）=x+（0＜x≤5）有“下界”；（2）对于定义在区间D上的函数y=f（x），若存在x0∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≤f（x0），则称函数f（x）在区间D上有“上界”，把f（x0）称为函数f（x）在D上的“上界”．f2（x）=|x﹣|（0＜x≤5），0＜x＜4时，x﹣＜0，f2（x）=﹣x，f2′（x）=﹣﹣1＜0，f2（x）在（0，4）递减，x→0时，f2（x）→+∞，无“上界”，4≤x≤5时，x﹣＞0，f2（x）=x﹣，f2′（x）=1+＞0，f2（x）=x﹣在[4，5]递增，f2（x）≤f2（5）=，综上，函数f2（x）=|x﹣|（0＜x≤5）无“上界”；（3）F（x）=x|x﹣2a|+3=，①当a≤0时，F（x）=x2﹣2ax+3对称轴为x=a，在[1，2]递增，F（x）max=F（2）=7﹣4a，F（x）min=F（1）=4﹣2a，幅度M=F（2）﹣F（1）=3﹣2a；②当0＜a≤时，F（x）=x2﹣2ax+3，区间[1，2]在对称轴的右边，为增区间，F（x）max=F（2），F（x）min=F（1），幅度M=F（2）﹣F（1）=3﹣2a．综上可得是[1，2]上的“有界函数”，“幅度M”的值为3﹣2a．【点评】本题考查新定义的理解和应用，考查二次函数的最值的求法，注意单调性的运用，属于中档题．。

2015年全国高中数学联赛试题及解答(一试、加试)

二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）若实数 a, b, c 满足 2a 4b 2c , 4a 2b 4c ，求 c 的最小值．解：将 2a , 2b , 2c 分别记为 x, y, z ，则 x, y, z 0 ．由条件知， x y2 z, x2 y z2 ，故
因此必有
x1
x2
2
0
，故由方程①及韦达定理知，
4km 2k2 1
( x1
x2
)
2
，即
mk 1 ．
③
2k
由②、③知，
2k
2
1
m2
k
1 2k
2
，化简得
k
2
1 4k
2
，这等价于
k
2 ．
2
2 反之，当 m, k 满足③及 k 2 时，l 必不经过点 F1（否则将导致 m k ，与③矛盾），
而此时 m, k 满足②，故 l 与椭圆有两个不同的交点 A 、 B ，同时也保证了 AF1 、 BF1 的斜率
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
22
4
2
(iii) 9 13 2 ，此时有 13 9 ，得 13 4 ．
依次成等差数列知， y1 x1 1
y2 x2 1
2k
，
又 y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以
(kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ．

上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(一)

华东师大二附中2015届暑期练习（一）数学试卷一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数()2x x x f -=的定义域为 .2．如果sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin()2πα+= ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ． 4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有组. 8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 _________米．9．已知圆的方程是1)1(22=-+y x ，若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为．10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271>∈=--n n a a n n nN ，则当n a 取得最小值时n 的值是．11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d ___ .12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有33)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件：（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．给出下面三个数列： ①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-； ②数列}{n b ：1，2，3，4，5；③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.具有“P 性质”的为；具有“变换P 性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．非零向量b a ,，m =||，n b =||，若向量21λλ+=，则||c 的最大值为（） A ．n m 21λλ+ B ．n m ||||21λλ+ C ．||21n m λλ+ D ．以上均不对16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前n 项和910n S =,则双曲线2211x y n n -=+的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．4y x =±C ．10y x =± D ．3y x =±17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是（）A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. C ．0,4π⎛⎤⎥⎝⎦D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 18．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足MF MF =,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为（）A B C 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin f x m x x = ()0m >的最大值为2．（1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，角A ，B 所对的边分别是a ，b ，求ba 11+的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF 的方程是200(540)xy x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点2，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b. （1）求椭圆C 的方程；（2）求MON ∠tan 的最大值；（3）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,若点A 、B 的“伴随点”分别是P 、Q ,且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .椭圆C 的右顶点为D ，试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈．（1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式；（2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．① 记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；② 若数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．数学试卷参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．]1,0[； 2．13； 3．4； 4．i 1812+-； 5．060； 6．3π； 7．25； 8．8； 9．2sin ρθ=； 10．6或7； 11．a 36； 12．0 ； 13．9； 14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．B ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()f x ．………………………2分而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分()f x 在]4,0[π上递增．在ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减，所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=得s i n s i n 6s i n s i n A B A B +=．……………………………………………………7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分因为△ABC 的外接圆半径为3=R．a b +．…………………………11分所以211=+ba …………………………………………………………………12分20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，………………2分因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a a y ，…4分即x x a a y --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以x x a a x f -⋅+=2)(||．……………………………………………………6分（2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2，…………………………………………8分即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，………………………………………12分解得322<<m ；所以m 的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=，又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤；.…………………………………………………………………2分. 211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤；………………………4分所以z 的取值范围是75502z ≤≤..………………………………………………6分（2）由题意，得200200(,),(,)K s G t s t ，..…………………………………………8分所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st∆=⋅⋅=--=+- 则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，..……………………………10分因为函数140000(400)2MGK S z z ∆=+-在75,502z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，..………12分所以当50z =时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,3a b == ,方程为22143x y +=.·······················4分（2）当000=y x 时，显然0tan =∠MON ，由椭圆对称性，只研究0,000>>y x 即可，设k x y k OM ==00（0>k ），于是32k k ON =···························································5分 =-≤+-=+-=∠32232233232132tan k kk kkMON （当且仅当232=k 时取等号）··············································································8分（3）设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛⎝⎝; 1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得: 222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩①···································································10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=；整理得: 221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ②将①式代入②式得: 22342k m +=, ································································· 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m mk k m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAB S AB d ∆==·············································································14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得: 223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)304m m --=； 552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上: OAB ∆又ODE ∆所以二者相等. ·························································16分23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，有()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．…………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，所以， 1656161661626364111221722n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=，所以，数列{}n c 为等差数列．……………………………………………………8分 ②设()6*n n i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=，即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分设()677767766666666i i k i ik i k a i a i a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++．（其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =；……………………………… 12分当76i a i ≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a if f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦．（Ⅰ）若76i a i >，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列；（Ⅱ）若76i a i <，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分。

上海市名校数学真题之华二附中高三月考(2015.12)

【精品资料、学习必备】上海市名校数学真题系列各大名校数学真题Word精排版，可以自由编排打印使用华师大二附中高三月考数学试卷2015.12一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分） 1. 22lim 21n n C n →∞=+ ； 2. 若直线(32)80m x y +++=不经过第二象限，则m 的取值范围是；3. 不等式||1x x ⋅≤的解为；4.若二项式51)a 的展开式中的第二项等于20a -（a 为大于零的常数），则实数x = ；5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项之和，若{}n S 是等差数列，则q = ；6. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若22a b -=，sin C =B ，则A = ；7. 已知方程cos 23sin 20x x +-=，则该方程在区间[,]ππ-上的所有解之和为；8. 已知数列{}n a 的通项公式为1133()[()1]44n n n a --=-*()n N ∈，则数列{}n a 中的最小项的值为； 9. 已知,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为；10. 一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为；11. 记51251...i i a a a a =∑=+++，若1 4.47a =， 2 4.51a =，3 4.61a =，4 4.65a =，5 4.76a =，则5123i i a =∑=，另有正整数i A (15)i ≤≤的和仍是23，若以i A 来估计i a ，则“误差和”51||i i i A a =∑-的最小值为； 12. 若数列x 、1a 、2log a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b、2b 、y 成等比数列，则21212()a a b b +⋅ 的取值范围是；13. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是；（写出所有正确命题的序号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 存在恰经过一个整点的直线；③ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数；④ 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；14. 几位高一学生学习函数的性质后感觉很有收获，分别有下列表述：① 函数251x y x -=-在其定义域上是单调递增的函数； ② 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x R ∈，都有()(1)f x f x >+，则函数()f x 没有单调递增区间；③ 若定义在[2016,2016]-上的函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数，则一定存在0x ∈[2016,2016]-，使00()()f x f x -≠-且00()()f x f x -≠；④ 定义在R 上的函数()f x ，如果对任意x R ∈，都存在0x R ∈，当0x x ≠时，都有 0()()f x f x <成立，则函数()f x 的最大值就是0()f x ；⑤ 定义1231...n k n k a a a a a π==，已知2()n n f x x =**(,)n N k N ∈∈，则121()()()...nk k f x f x f x π== ()n f x 为偶函数的n 的最小正整数为3；以上几位同学错误的表述是；（写出所有错误表述的序号）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15. 用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程20x ax b ++=没有实根B. 方程20x ax b ++=至多有一个实根C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根16. 已知复数122z i =+，222z i =--在复平面上对应的点分别为A 、B ，点B 绕点A 逆时针旋转90︒到达点C ，则点C 所对应的复数为（）A. 2iB. 62i -C. 24i -+D. 22i -17. 若||x y e =([,])x a b ∈的值域为2[1,]e ，则点(,)a b 的轨迹是图中的（）A. 线段AB 和OAB. 线段AB 和BCC. 线段AB 和OCD. 点A 和点C18. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（）A . 4a B. 2()a c - C. 2()a c + D. 以上答案均有可能三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19. 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长为2，点E 为棱AD 的中点，求：（1）正四面体ABCD 的体积；（2）直线CE 与平面BCD 所成的角的大小（用反三角函数值表示）；20. 已知平面向量(sin(),1)a x π=-，(3,cos )b x =，函数()f x a b =⋅；（1）写出函数()f x 的单调递减区间；（2）设()()16g x f x π=-+，求直线2y =与()y g x =在闭区间[0,]π上的图像的所有交点坐标；21. 设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-，a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ；（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知14m =，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），并求出该圆的方程；22. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ；（1）当123n n a -=⋅*()n N ∈时，请写出用n S 表示为1n S +的函数式：1()n n S f S +=；（2）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠，试判断数列{}n a 是否为等比数列？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若数列{}n a 对任意的3n ≥的正整数满足：1()2n n n a a S +=，试证明{}n a 是等差数列；23. 已知函数2()(2)3f x x a x a =--+-；（1）若函数()y f x =在区间[2,2]-上是偶函数，求实数a 的值；（2）当2a =时，是否存在实数,m n ，使函数()y f x =在区间[,]m n 上的值域也是[,]m n ？如果存在，求出实数,m n 的值；（3）是否存在整数,m n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[,]m n ，若存在，求出,m n 的值，若不存在，请说明理由；。

2015年6月华东师大二附中联赛选拔试题 Word版含答案

2015年华东师大二附中联赛选拔试题姓名年级成绩一试考试时间100分钟一、填空题1、已知正三角形ABC 在平面α内的射影是边长为2、3、 2、已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .3、设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +- 的最小值为___ ____．4、已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且564035aGA bGB cGC ++=0，则B ∠=__________．5．四面体两条异面棱长为a ，另两条异面棱长为b ，还有两条棱长为c ，有一个球与四面体的一个界面和其它界面的延伸面相切，则这个球的球心与四面体内切球球心间的距离是． 6、数列{}n a 中每一项都是整数，2a 是奇数，且对任意n 都有()1133n n n n n a a a a ++-+=++．若2009a 能被2010整除，则使得n a (2)n ≥能被2010整除的最小正整数n = ．7、对于0~6的一个排列A ，记L (A )为该排列从第一项开始的连续且单调（不含数字0）的最长子列的长度，例如L (2,3,4,6,1,0,5)=3，L (5,4,1,0,2,3,6)=2，L (0,1,2,3,5,6,4)=0．如果0~6的所有排列都可能的出现，则L (A )的期望是．8、对正合数n ，记()f n 为其最小的三个正约数之和，()g n 为其最大的两个正约数之和．求所有的正合数n ，使得()g n 等于()f n 的某个正整数次幂．二、解答题：9. 已知数列}{n a 中，01>a ，且231nn a a +=+．（1）试求1a 的取值范围，使得n n a a >+1对任何正整数n 都成立；（2）若41=a ，设)3,2,1(||1 =-=+n a a b n n n ，并以n S 表示数列}{n b 的前n 项的和，证明：25<n S ．10、已知抛物线px y 22=及定点A (a ，b )，B (-a ，0 )（ab ≠0，b 2≠2pa ）．M 是抛物线上的点，设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1、M 2．求证：当M 点在抛物线上变动时，（只要M 1、M 2存在且不重合），直线M 1M 2恒过一定点，并求出这个定点的坐标．11、已知集合{1,2,3,,21}(2).A n n =-≥ 从集合A 中至少拿掉(1)n -个元素,满足:(1)若a A ∈已拿掉,则2a A ∈也被拿掉;(2)若,()a b A a b ∈≠已拿掉,则a b A +∈也被拿掉. 求集合A 中留下的所有数之和的最大值.二试一、ABC ∆的内切圆切BC,CA,AB 于点D,E,F.一个圆过点A,且切BC 于D,该圆与线段BF,CE 交于K,L.过E 作DL 的平行线与过F 作DK 的平行线相交于P .记,,,AFD AED FPD EPD ∆∆∆∆的外接圆半径分别为1234,,,R R R R .证明: 1423R R R R =.二、求所有的正整数,,,a b m n ,满足: 21()m na b a b =++.三、设3,0,,222=++>c b a c b a 且,求证：18)414141(9)(2222≤-+-+-+++c b a c b a四、设{}()*∈=N n n S 2,,3,2,1 。

华师大二附中高三数学测试试卷

e1 , e2 分别为与斜坐标系的 x 轴 , y 轴同方向的单位向量 ), 则点 P 的坐标为 ( x0 , y 0 ) ” . 若
F1 (1,0), F2 (1,0), 且动点 M ( x, y ) 满足 MF 1 MF 2 ,则点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为
（） B． x 2 y 0 C． 2 x y 0 D． 2 x y 0
A． x 2 y 0
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分 12 分（第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分）已知函数 f ( x) m sin x 2 cos x
m 0 的最大值为 2．
（1）求函数 f ( x) 在 0，π 上的值域；（2）已知 ABC 外接圆半径 R 边分别是 a，b，求
f ( x) 在 [0,

π ] 上递增．在，π 递减， 4 4
所以函数 f ( x) 在 0，π 上的值域为 [ 2 ,2] ；…………………………………5 分
π π （2）化简 f ( A ) f ( B ) 4 6 sin A sin B 得 4 4
1 1 2 …………………………………………………………………12 分 a b
20．本题满分 14 分（第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1）设点 P ( x , y ) 是函数 f ( x ) 图像上任意一点， P 关于点 A 对称的点为 P ( x , y ) ，则
14．定义：对于各项均为整数的数列 an ，如果 ai i ( i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列 an 具有 “ P 性质” ；不论数列 an 是否具有“ P 性质”，如果存在数列 bn 与 an 不是同一数列，且 bn 满足下面两个条件：（1） b1 , b2 , b3 ,..., bn 是 a1 , a2 , a3 ,..., an 的一个排列；（2）数列 bn 具有“ P 性质” ，则称数列 an 具有“变换 P 性质” ．给出下面三个数列： ①数列 an 的前 n 项和 S n

上海市华东师范大学第二附属中学2015-2016学年高一上学期期末考试物理试题Word版缺答案

华师大二附中2015学年第一学期期末考试卷高一物理（考试时间：90分钟；试卷总分：100分；本试卷g取210m/s）一、单项选择题（每小题2分，每题只有一个答案正确，共26分．）1．下列各组物理量中，全部是矢量的是（）A．位移、时间、速度、加速度B．质量、路程、速度、平均速度C．速度、平均速度、位移、加速度D．位移、路程、时间、加速度2．关于速度和加速度的关系，下列说法正确的是（）A．物体的速度越大，加速度也越大B．物体速度为零时，加速度也为零C．物体速度的变化量越大，加速度越大D．物体的速度变化越快，加速度越大3．关于惯性，下列说法正确的是（）A．物体仅在静止和匀速直线运动状态时才具有惯性B．汽车速度越大越不容易停下来，是因为速度越大惯性越大C．在月球上举重比在地球上容易，所以质量相同的物体在月球上比在地球上惯性小D．歼击机战斗前抛掉副油箱是为了减小惯性4．如图所示，某人静躺在椅子上．椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ．若此人所受重力的大小为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为（）A．G B．sinGθD．tanGθGθC．cos5．下列关于作用力与反作用力的说法中，正确的是（）A．物体相互作用时，先有作用力，后有反作用力B．虽然马能将车拉动，但是马拉车的力与车拉马的力大小相等C．鸡蛋碰石头时，鸡蛋对石头的力小于石头对鸡蛋的作用力D．作用力和反作用力的合力为零，所以两个力的作用效果可以相互抵消6．质量均为m的a、b两木块叠放在水平面上，如图所示，a受到倾斜向上与水平面成θ角的力F作用，b受到斜向下与水平面成θ角等大的力F作用，两力在同一竖直平面内，此时两木块保持静止，则（）A ．b 对a 的支持力一定等于mgB ．水平面对b 的支持力小于2mgC ．b 与水平面之间可能存在静摩擦力D ．a 、b 之间一定存在静摩擦力7．在自由落体运动中，第一个2s 、第二个2s 和第5s 这三段时间内，相对应的三段位移之比为（） A ．135∶∶B ．265∶∶C ．287∶∶D ．4129∶∶8．正常走动的钟表，其时针和分针都在做匀速转动，下列关系中正确的有（） A ．时针和分针角速度相同B ．分针角速度是时针角速度的12倍C ．时针和分针的周期相同D ．分针的周期是时针周期的12倍9．小球以速度0v 竖直上抛，不计阻力，从抛出到最大高度一般所需的时间是（）A ．v gB ．2v gC ．2gD ．01v g ⎛ ⎝⎭10．L 型木板P （上表面光滑）放在固定斜面上，斜面光滑，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q 相连，如图所示，若P 、Q 一起沿斜面下滑，P 、Q 相对静止，不计空气阻力．则木板P 的受力个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．611．先后用完全相同的橡皮条彼此平行地沿水平方向拉同一质量为m 的物块，且每次使橡皮条的伸长量均相同，物块m 在橡皮条的拉力作用下所产生的加速度a 与所用橡皮条的数目n 的关系如图所示，若更换物块所在水平面的材料，再重复这个实验，则图中直线与水平轴间的夹角θ将（）A ．变小B ．不变C ．变大D ．与水平面的材料有关12．如图所示，放在固定斜面上的物块以加速度a 沿斜面匀加速下滑，若在物块上再施加一竖直向下的恒力F ，则（）A ．物块可能匀速下滑B ．物块仍以加速度a 匀加速下滑C ．物块将以大于a 的加速度匀加速下滑D ．物块将以小于a 的加速度匀加速下滑13．如图所示，在静止的木箱内，用细绳a 和b 系住一个小球c ；绳a 水平，绳b 与竖直方向成角，静止不动时，两绳拉力分别为a T 和b T ，现将木箱沿cb 方向斜向上由静止开始加速度直线运动，则细绳拉力的变化时（）A ．b T 增大，a T 减小B ．b T 增大，a T 不变C ．b T 不变，a T 减小D ．b T 和a T 都增大二、多项选择题（每小题3分，每题有两个或多个答案正确，共15分．）14．下图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为1r ，从动轮的半径为2r ．已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是（）A ．从动轮做逆时针转动B ．从动轮做顺时针转动C ．从动轮的转速为12r n r D ．从动轮的转速为21r n r 15．关于向心力的说法中正确的是（）A．物体由于做圆周运动才受到向心力的作用B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某种力的分力D．向心力只改变物体的运动方向，不可能改变物体运动的快慢16．小明站在电梯中的体重计上，电梯静止时体重计示数如图甲所示．电梯运行经过5楼时体重计示数如图乙所示，则此时（）A．电梯一定在向上运动B．电梯可能在向下运动C．电梯的加速度方向可能向上D．电梯的加速方向一定向下17．如右图所示，物块放在倾斜的木板上，木块的倾角α为30︒和45︒时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则（）A．物块和木板间的动摩擦因数为0.5BC．木板的倾角α为45︒时物块可能在斜面上做匀速运动D．木板的倾角α为45︒时物块的加速度等于)251m/sF F≠的作用18．如图所示，小木块放在倾角为α的斜面上，它受到一个水平向右的力()0下处于静止状态，以竖直向上为y轴的正方向，则小木块受到的斜面的支持力与摩擦力的合力的方向可能是（）A．沿y轴正方向B．向右上方，与y轴夹角小于αC．向左上方，与y轴夹角小于αD ．向左上方，与y 轴夹角大于α 三、填空题（每空2分，共20分．）19．如图所示，在水平面上有一个向右运动的物体，物体的质量为10kg ，与水平面间的动摩擦因数为0.2，它在运动过程中还受到一个水平向左的大小为50N 的拉力作用，则物体所受滑动摩擦力大小为_________N ，方向_________．20．重为30N G =的物体放在水平地面上，物体受到大小为5N F =的竖直向上的拉力作用，则物体受到的外力的合力大小为_________N ，水平地面对物体的支持力大小为_________N ．21．两个大轮半径相等的皮带轮的结构如图所示，AB 两点的半径之比为21∶，则A 、B 、C 三点的角速度大小之比为A B C ωωω=∶∶_________，这三点的向心加速度大小之比为A B C a a a =∶∶_________．22．质点做直线运动，其s t -关系如图所示，质点在020s -内的平均速度大小为_________m/s ，质点在_________时的瞬时速度等于它在620s -内的平均速度．23．某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为S ，比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a 的加速度从静止开始做匀加速运动，当速度达到0v 时，再以0v 做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为0θ，如图所示．设球在运动过程中受到的空气阻力与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m ，重力加速度为g ．则⑴空气阻力大小与球速大小的比例系数k 为_________．⑵整个匀速跑阶段，若该同学速率仍为0v ，而球拍的倾角比0θ大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力的变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r 的下边沿掉落，求β应满足的条件_________．四、实验题（共10分）24．某研究性学习小组的学生在研究“共点力的合成问题”时得到的实验结果如图所示，F 与A 、O 共线，A 端为固定橡皮条的图钉，O 为橡皮条与细线的结点．⑴利用平行四边形定则作出1F 和2F 的合力F ，通过比较_________和_________来验证力的合成是否遵守平行四边形定则⑵（单选）在上述实验中所说的合力与两个分力具有相同的效果，是通过下列哪个方法实现的（）A ．弹簧秤的弹簧被拉长B ．固定橡皮条的图钉受拉力产生形变C ．细线套受拉力产生形变D ．使橡皮条在同一方向上伸长到相同长度⑶（多选）在本实验中，采取下列哪些方法和步骤可以减小实验误差（） A ．两个分力1F 、2F 间的夹角尽量大些 B ．两个分力1F 、2F 的大小要适当大些 C ．拉橡皮条的细绳要稍长一些D ．实验中，弹簧秤必须与模板平行，读数时视线要正对弹簧秤刻度25．关于“用DIS 探究牛顿第二定律”的实验，下图是本实验的装置图，图中固定在小车上的是_________传感器的_________部分．本实验通过__________________来改变对小车的拉力，通过______________来改变小车的质量．五、计算题（共29分）26．某种类型的飞机在起飞滑行时，从静止开始做匀速直线运动，经过20s速度达到80m/s时离开地面升空，如果在飞机达到起飞速度80m/s时，又突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机制动，飞机做匀减速直线运动直到停止，加速度大小为25m/s，求：⑴飞机做匀加速直线运动阶段的加速度；⑵飞机制动阶段所用时间；⑶飞机在跑道上共滑行的距离．27．如图所示，质量为m=的小球置于倾角为30︒的光滑固定斜面上，劲度系数为200N\mk=的轻弹簧一端系在小球上，另一端固定在P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30︒．取210m/sg=．求：⑴小球对斜面的压力的大小；⑵弹簧的伸长量；⑶弹簧被剪断的瞬间，小球的加速度．28．为了提高运动员奔跑时下肢向后的蹬踏力量，在训练中，让运动员腰部系绳拖汽车轮胎奔跑，已知运动员在奔跑中拖绳上端与地面的高度为1.2m，且恒定，轻质无弹性的拖绳长2m，运动员质量为12kg，车胎与跑道间的动摩擦因数为13μ=，如图甲所示，将运动员某次拖着胎奔跑100m当做连续过程，抽象处理后的v t-图象如图乙所示，210m/sg=，不计空气阻力．求：⑴运动员加速过程中的加速度大小a及跑完100m后用的时间t；⑵在加速阶段绳子对轮胎的拉力大小T及运动员与地面间的摩擦力大小f人．29．物理兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量2kgm=，动力系统提供的恒定升力28NF=．试飞时．飞行器从地面由静止开始竖直上升，设飞行器飞行时所受的阻力大小不变，g取210m/s．⑴第一次试飞，飞行器飞行18st=时到达高度为64mH=．求飞行器所受阻力f的大小．⑵第二次试飞，飞行器飞行26st=时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力，求飞行器能达到的最大高度h．⑶接第⑵问，为了是飞行器不致坠落到地面，求飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间3t．。

【精选试卷】华师大二附中中考数学专项练习经典题(培优)

一、选择题1．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是（）A ．12B ．24C ．123D ．163 2．若正比例函数y=mx （m≠0），y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y=mx 2+m 的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．3．下列计算正确的是（）A ．()3473=a b a bB ．()232482--=--b a b ab b C ．32242⋅+⋅=a a a a a D ．22(5)25-=-a a 4．某服装加工厂加工校服960套的订单，原计划每天做48套．正好按时完成．后因学校要求提前5天交货，为按时完成订单，设每天就多做x 套，则x 应满足的方程为（） A ．96096054848x -=+ B ．96096054848x +=+ C ．960960548x -= D ．96096054848x-=+ 5．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，若AC ＝8，BD ＝6，则菱形的周长为（）A．40B．30C．28D．206．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )A．10°B．15°C．18°D．30°7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b2，③2a+b=0，④a－b+c>2，其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．48．若关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣349．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是()A．24B．16C．413D．2310．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：3x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P 在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6B．8C．10D．1211．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D 的边长为（）A．14cm B．4cm C．15cm D．3cm12．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1B．0，1C．1，2D．1，2，313．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD AC⊥于点D，连接BD，BC，且10AB=，8AC=，则BD的长为（）A．25B．4C．213D．4.814．如图所示，已知A（12，y1），B(2,y2)为反比例函数1yx=图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．(12，0)B．(1,0)C．(32,0)D．(52,0)15．在△ABC中（2）2+|1-tanB|=0，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形16．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．617．下列计算正确的是（）A．2a＋3b＝5ab B．(a－b)2＝a2－b2C．(2x2)3＝6x6D．x8÷x3＝x518．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm19．直线y=﹣kx+k﹣3与直线y=kx在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．20．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分21．已知平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为( )A．﹣3B．﹣5C．1或﹣3D．1或﹣522．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．3C．3米D．10031)米23．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )A．众数B．方差C．平均数D．中位数24．如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（）A．4B．3C．2D．125．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（）①x=1是二次方程ax2＋bx＋c=0的一个实数根；②二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向下；③二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的左侧；④不等式4a+2b+c>0一定成立．A．①②B．①③C．①④D．③④26．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4个27．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．928．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折29．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα30．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A13B5C．22D．4【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．A3．C4．D5．D6．B7．C8．B9．C10．A11．A12．A13．C14．D15．D16．A17．D18．D19．B20．B21．A22．D23．D24．A25．C26．C27．A28．B29．B30．A2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】如图，连接BE，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°．∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°．∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°3．∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．∴矩形ABCD的面积33D．考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．2．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且m＜0，∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，综上所述，符合题意的只有A选项，故选A.3．C解析：C【分析】根据幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式对各选项逐一计算即可得答案.【详解】A.43123()a b a b =，故该选项计算错误，B.()232482b a b ab b --=-+，故该选项计算错误， C.32242⋅+⋅=a a a a a ，故该选项计算正确，D.22(5)1025a a a -=-+，故该选项计算错误，故选B.【点睛】本题考查幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键.4．D解析：D【解析】解：原来所用的时间为：96048，实际所用的时间为：96048x +，所列方程为：96096054848x -=+．故选D ．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是时间作为等量关系，根据每天多做x 套，结果提前5天加工完成，可列出方程求解．5．D解析：D【解析】【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO ＝OD ，AO ＝OC ，在Rt △AOB 中，根据勾股定理可以求得AB 的长，即可求出菱形ABCD 的周长．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，BO ＝OD ＝3，AO ＝OC ＝4，AC ⊥BD ，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5，∴菱形的周长为4×5＝20．故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等和对角线互相垂直且平分的性质，本题中根据勾股定理计算AB 的长是解题的关键．6．B【解析】【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选B.【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.7．C解析：C【解析】【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac <b2，所以②正确；③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．故选C．8．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，已知关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，所以m的取值范围是：m＜92且m≠32．故答案选B．9．C解析：C【解析】【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB 的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=12AC=3，OB=12BD=2，AB=BC=CD=AD，∴在Rt△AOB中，AB=222+3=13，∴菱形的周长为413．故选C．10．A解析：A【解析】试题解析：∵直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，43），∴OB=43，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=3OB=3×43=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=12 PA，设P（x，0），∴PA=12-x，∴⊙P 的半径PM=12PA=6-12x ， ∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．故选A ．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征．11．A解析：A【解析】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D 的边长为x ，则22222(65)(5)10x +++=，x =（负值已舍），故选A12．A解析：A【解析】【分析】【详解】由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4×3k ，由方程有实数根，得(-4)2-4×3k≥0，解得k≤43，由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0，所以k 的取值范围为k≤43且k≠0，即k 的非负整数值为1，故选A ．13．C解析：C【解析】【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到142CD AD AC ===，然后利用勾股定理计算BD 的长．【详解】 ∵AB 为直径，∴90ACB ︒∠=，∴6BC ==，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD ∆中，2246213BD =+=．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．14．D解析：D【解析】【分析】求出AB 的坐标，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB ，延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可．【详解】∵把A （12，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=1x 得：y 1=2，y 2=12， ∴A （12，2），B （2，12）， ∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：122122k b k b ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝，解得：k=-1，b=52， ∴直线AB 的解析式是y=-x+52，当y=0时，x=52，即P（52，0），故选D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．15．D解析：D【解析】【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A、∠B 的度数，根据直角三角形的判定，可得答案．【详解】解：由（2cosA-2）2+|1-tanB|=0，得2cosA=2，1-tanB=0．解得∠A=45°，∠B=45°，则△ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．16．A解析：A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.17．D解析：D【解析】分析：A．原式不能合并，错误；B．原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；C．原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D．原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．详解：A．不是同类项，不能合并，故A错误；B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故B错误；C．（2x2）3＝8x6，故C错误；D．x8÷x3＝x5，故D正确．故选D．点睛：本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方及积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．18．D解析：D【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AO=OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AO=OC，∵AM=BM，∴BC=2MO=2×5cm=10cm，即AB=BC=CD=AD=10cm，即菱形ABCD的周长为40cm，故选D．【点睛】本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，能根据菱形的性质得出AO=OC是解此题的关键．19．B解析：B【解析】【分析】若y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，可对A、D进行判断；若y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，则可对B、C进行判断．【详解】A、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以A选项错误；B、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以B选项正确；C、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以C选项错误；D、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以D选项错误．故选B．【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象为一条直线，当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．20．B解析：B【解析】试题分析：A．对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B．矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．考点：矩形的判定与性质．21．A解析：A【解析】分析：根据点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，得到4＝|2a＋2|，即可解答．详解：∵点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，∴4＝|2a＋2|，a＋2≠3，解得：a＝−3，故选A．点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x轴和y轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数．22．D解析：D【解析】【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，∴BD＝CD＝100米，∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，∴AC＝2×100＝200米，∴AD∴AB＝AD+BD＝100（故选D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．23．D解析：D【解析】【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.故本题选：D.【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.24．A解析：A【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x 的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．详解：根据题意，得：67955x ++++=2x 解得：x=3，则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，所以这组数据的方差为15[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，故选A ．点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数． 25．C解析：C【解析】试题分析：当x=1时，a+b+c=0，因此可知二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根，故①正确；根据a ＞b ＞c ，且a+b+c =0，可知a ＞0，函数的开口向上，故②不正确；根据二次函数的对称轴为x =-2b a，可知无法判断对称轴的位置，故③不正确；根据其图像开口向上，且当x =2时，4a+2b+c ＞a+b+c=0，故不等式4a+2b+c>0一定成立，故④正确.故选：C.26．C【解析】【分析】【详解】解：①由纵坐标看出，起跑后1小时内，甲在乙的前面，故①正确；②由横纵坐标看出，第一小时两人都跑了10千米，故②正确；③由横纵坐标看出，乙比甲先到达终点，故③错误；④由纵坐标看出，甲乙二人都跑了20千米，故④正确；故选C ．27．A解析：A【解析】【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解．【详解】∵E 是AC 中点，∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC=2EF=2×3=6， ∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.28．B解析：B【解析】【详解】设可打x 折，则有1200×10x -800≥800×5%，解得x≥7．即最多打7折．故选B ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解． 29．B解析：B【解析】【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．30．A解析：A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.。

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二、解答题：9. 已知数列}{n a 中，01>a ，且231nn a a +=+．（1）试求1a 的取值范围，使得n n a a >+1对任何正整数n 都成立；（2）若41=a ，设)3,2,1(||1 =-=+n a a b n n n ，并以n S 表示数列}{n b 的前n 项的和，证明：25<n S ．10、已知抛物线px y 22=及定点A (a ，b )，B (-a ，0 )（ab ≠0，b 2≠2pa ）．M 是抛物线上的点，设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1、M 2．求证：当M 点在抛物线上变动时，（只要M 1、M 2存在且不重合），直线M 1M 2恒过一定点，并求出这个定点的坐标．11、已知集合{1,2,3,,21}(2).A n n =-≥ 从集合A 中至少拿掉(1)n -个元素,满足:(1)若a A ∈已拿掉,则2a A ∈也被拿掉;(2)若,()a b A a b ∈≠已拿掉,则a b A +∈也被拿掉. 求集合A 中留下的所有数之和的最大值.二试一、ABC ∆的内切圆切BC,CA,AB 于点D,E,F.一个圆过点A,且切BC 于D,该圆与线段BF,CE 交于K,L.过E 作DL 的平行线与过F 作DK 的平行线相交于P .记,,,AFD AED FPD EPD ∆∆∆∆的外接圆半径分别为1234,,,R R R R .证明: 1423R R R R =.二、求所有的正整数,,,a b m n ,满足: 21()m na b a b =++.三、设3,0,,222=++>c b a c b a 且,求证：18)414141(9)(2222≤-+-+-+++c b a c b a四、设{}()*∈=N n n S 2,,3,2,1 。

求S 的子集T 的数目，使得T 中不存在两个元素a 、b ，满足1=-b a 或n 。

2015年华东师大二附中联赛选拔试题姓名年级成绩一试考试时间100分钟一、填空题1、已知正三角形ABC 在平面α内的射影是边长为2、3、答案：设正三角形的边长为m ，三角形的三个顶点到平面α的距离为x 、y 、z ，则()()()(222222223m x y y z x z=-+=-+=-．令a x=-，b y z=-，()22224912m a b a b =+=+=++，即225a b -=，2280b ab ++=，得()()2222845b b b +=+，解得24b =，m = 2、已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .解：4π．提示：原方程等价于：cos(sin )cos(cos )2x x x x π--=-．.所以cos 2sin (1)2x x k x x k z ππ-=+--∈ ，，或 cos 2(sin )(2)2x x k x x k z ππ-=---∈ ，，由（1）得：2sin cos 22x x x k ππ+-=+，且函数()2sin cos f x x x x =+-在[]π,0上为增函数．所以1(0)2()212f k f ππππ-=<+<=+．由此得0k =．所以 2sin cos 2x x x π+-=．令()2sin cos 2g x x x x π=+--，易知()g x 在[]π,0上单调递增，且当4x π>时，()0g x >；当4x π<时，()0g x <，因此当且仅当4x π=时，()0g x =．由（2）得：ππk x x 22cos sin -=+．因为 122k ππ<-<k 无整数解，即此方程无解．综上所述, 原方程的解为4x π=．3、设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +- 的最小值为________．24p -. 解法一设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则22222222()()()()4()A B A B A B A B A B A B OA OB x x y y AB x x y y OA OB AB x x y y +=+++=-+-+-=⋅+⋅ ，，．设直线AB 和x 轴交于点(,0)P a ．若直线AB 的斜率存在，设为m ，则直线AB 的方程为()y m x a =-，将其代入抛物线方程得()2222220m x am p x m a -++=．由二元一次方程根与系数的关系得2A B x x a =，由此得2()()2A B A B y y m x a x a ap =--=-．所以222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=-->- ．当直线AB的斜率不存在时，有,A B A B x x a y y ===-222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=--≥- ．显然，当且仅当a p =时，即直线AB 的斜率不存在时等号成立， 22OA OB AB +- 有最小值24p -．解法二设22(,),(,)22A BA B y y A y B y p p，则2222222222()(),2()()2A BA B A B A B y y OA OB y y py y AB y y p++=++-=+- ．所以222222224()44[()]24A BA B A B OA OB ABy y y y p y yp p pp +-⋅=+⋅⋅=+-≥- ．当22A B y y p =-时， 22OA OB AB +- 取最小值24p -． 4、已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且564035aGA bGB cGC ++=0，则B ∠=__________． 60. 提示：因为GA GB GC ++=0，所以404040bGA bGB bGC ++=0．所以(5640)(3540)aGA b GA c b GC - +- =0．因为,GA GC不共线，所以有750,780a b c b -= -=．设5,a k = 则7,8b k c k = =，由余弦定理可得2222564491cos 2582k k k B k k +-==⨯⨯．所以60B ∠=．5．四面体两条异面棱长为a ，另两条异面棱长为b ，还有两条棱长为c ，有一个球与四面体的一个界面和其它界面的延伸面相切，则这个球的球心与四面体内切球球心间的距离是．略解：如图，设ABCD 是已知的四面体，过每条棱作平行于对棱的平面，6个平面限定了一个平行六面体AKBN -MCLD ．由于四面体ABCD 对棱相等，所以所得平行六面体同一面内的两条对角线相等，因此这个平行六面体是长方体．那么显然四面体ABCD 的内切球球心就是长方体的中心O ，下面我们证明L 就是与四面体的一个界面和其它界面的延伸面相切的球的球心，只需证明点L 到四面体ABCD 四个面的距离相等．由长方体的对称性，L 到面BCD 的距离，与K 到面ABC 的距离相等．又在面KBLC 内，线段BC 与LK 相互平分，所以L 、K 到面ABC 的距离相等，从而L 到面BCD 的距离与到面ABC 的距离相等．同理可证明L 到面ABC 、面BCD 、面ACD 、面ABD 的距离都相等，所以所求两个球心之间的距离就是线段OL 的长度．设长方体的长、宽、高依次为x 、y 、z ，则有222222222x y a x z b y z a ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，所以2AL OL =6、数列{}n a 中每一项都是整数，2a 是奇数，且对任意n 都有()1133n n n n n a a a a ++-+=++．若2009a 能被2010整除，则使得n a (2)n ≥能被2010整除的最小正整数n = ．答案：269略解：2n ≥时，有1(1)31n n n a a n ++=--，可整理为13(1)(1)(1)n n a a n n n n n n +=-+-+，于是累加可得21113()(1)22334(1)n a a n n n n=-+++-⨯⨯- ，于是2(1)3(1)(2)22n n n n n a a ---=-．由2009a 能被2010整除，可得29(mod1005)a ≡，又2a 是奇数，故29(mod 2010)a ≡．如果n a 能被2010整除，代入得9(1)3(1)(2)20103(1)(1)22n n n n n n ----=-+，所以只要670(1)(1)n n -+，经考察因数可知最小的n 是269．7、对于0~6的一个排列A ，记L (A )为该排列从第一项开始的连续且单调（不含数字0）的最长子列的长度，例如L (2,3,4,6,1,0,5)=3，L (5,4,1,0,2,3,6)=2，L (0,1,2,3,5,6,4)=0．如果0~6的所有排列都可能的出现，则L (A )的期望是．28792520解：考虑在0~6中满足条件的且最大长度≥k （其中k=2~6）的个数为（7-k ）2⨯⨯（7-k ）！。